四川省成都石室中学2025-2026学年高二下学期数学零诊复习专题-数列（二）

**基本信息** 聚焦数列核心方法与逻辑，通过递推转化、求和技巧及实际模型应用，系统训练推理能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择填空|12题（含8单选、2多选、2填空）|倒序相加法、累加法、构造新数列、等比数列性质应用|从定义到性质，递推关系转化，实际情境模型应用| |解答题|2题|错位相减法、分组求和、不等式恒成立转化|综合通项推导、求和及应用，强化运算与推理能力|

零诊复习专题--数列（二） 姓名 一、单选题 1．科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，其定义是：对于函数，若数列满足，则称数列为牛顿数列，若函数，数列为牛顿数列且，，则的值是（   ） A．9 B． C． D．7 2．已知定义在上的函数满足，当时，.设在上的最大值为，且的前项和为，则（ ） A．3 B． C．2 D． 3．数列满足，则数列的前项和等于 A． B． C． D． 4．在中插入个数，使它们和组成等差数列，则（　　） A． B． C． D． 5．在等比数列中，，是方程的根，则的值为． A． B． C． D．或 6．在流行病学中，基本传染数是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数．一般由疾病的感染周期、感染者与其他人的接触频率、每次接触过程中传染的概率决定．对于，而且死亡率较高的传染病，一般要隔离感染者，以控制传染源，切断传播途径．假设某种传染病的基本传染数，平均感染周期为7天（初始感染者传染个人为第一轮传染，经过一个周期后这个人每人再传染个人为第二轮传染……）那么感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要的天数为（参考数据：，）（    ） A．35 B．42 C．49 D．56 7．设等比数列的前项和为，前项的乘积为．若，则（   ） A．无最小值，无最大值 B．有最小值，无最大值 C．无最小值，有最大值 D．有最小值，有最大值 8．在数列中，，，若数列满足，则数列的最大项为　　 A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 二、多选题 9．已知等差数列的前n项和为，则下列命题正确的是（    ） A．若为递增数列，则公差 B．公差时，有最大值 C．若中有不同的四项满足，则 D．为等差数列 10．若数列的前项和满足，则（    ） A． B． C．为等比数列 D． 三、填空题 11．已知数列满足，则数列的通项公式为______ 12． 已知数列满足，设，为数列的前项和.若对任意恒成立，则实数的取值范围为_____. 四、解答题 13．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且满足，数列为等比数列，且满足，． (1)求数列和的通项公式； (2)求证：； (3)求的值． 14．在数列中，. (1)求数列的通项公式； (2)不等式对一切恒成立，求的最小值； (3)若对数列，在与之间插入个2，组成一个新数列，求数列的前2026项和. 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B C B D B ABD ABD 1．C 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以，所以数列是以2为首项，为公比的等比数列， 所以，所以， 所以， 故选:C. 2．D 【详解】∵函数满足， ∴，即函数向右平移2个单位，最大值变为原来的， 又∵当时，，则在上的最大值为， 又时，在上的最大值为， ∴， 故数列是首项为1、公比为的等比数列， ∴， 则． 故选：D. 3．A 【详解】当为正奇数时，由题意可得，， 两式相减得； 当为正偶数时，由题意可得，， 两式相加得. 因此，数列的前项和为. 故选:A. 4．B 【详解】令，倒过来写，两式相加得，故，所以，故选B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，即，考查倒序相加法，属于基础题. 5．C 【详解】在等比数列中，，是方程的根， 由韦达定理：， 所以同为负数，等比数列所有偶数项符号相同，所以 根据等比数列的性质：，， 所以 故选：C 6．B 【详解】感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要n轮传染, 则每轮新增感染人数为， 经过n轮传染，总共感染人数为：， ∵，∴当感染人数增加到1000人时，，化简得， 由，故得，又∵平均感染周期为7天， 所以感染人数由1个初始感染者增加到1000人大约需要天， 故选：B 7．D 【详解】由已知，是等比数列，，即，可得， 若，则，可计算当时，， 结合，可得即为的最小值， 同理，当，，当，，可知的最小值为， 综上可得，有最小值. 由可得，， 根据等比数列的性质，，必有满足对于所有，， 因为一定是正负交替出现，可得一定存在最大值. 综上，对于满足已知条件的等比数列，满足有最小值，有最大值. 故选：D 8．B 【详解】数列中，，， 得到：， ， ， ， 上边个式子相加得： ， 解得：． 当时，首项符合通项． 故：． 数列满足， 则， 由于， 故：， 解得：， 由于是正整数， 故．故选B． 9．ABD 【详解】对于A，为等差数列且递增，所以，故A正确； 对于B，等差数列的前n项和为， 当时，有最大值，故B正确； 对于C，当为常数列时，任意四项满足， 但不一定成立，故C错误； 对于D，因为，则 所以， 所以是公差为的等差数列，故D正确. 故选：ABD. 10．ABD 【详解】对于A：当时，； 当时，，相减得， 所以数列是等比数列，进而得，， 所以，A选项正确； 对于B：因为，所以数列是以1为公差的等差数列， 所以由等差中项性质可得 ，故B选项正确； 对于C：，不为常数，所以不是等比数列，故C选项错误； 对于D：， 当时，则； 当时，令， 则， 所以单调递增，所以，即， 综上：，故D项正确. 故选：ABD. 11． 【详解】由，可得，两式相除得， 所以的奇数项和偶数项分别是以4为公比的等比数列， 由，，可得， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以. 故答案为：. 12． 【详解】当时，， 因为， 当时，， 两式相减可得，即，当时不适合此式， 所以，所以， 当时，， 当时，， 若对任意恒成立， 所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 13．(1)， (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）由，得①，则②， ②①得，整理得， 由，得， 又时，，解得， 所以数列是首项为1公差为2的等差数列，则， 即数列的通项公式为； 设等比数列公比为，由，有，， 则， ，解得，则， 即数列的通项公式为. （2）由，得， 则， 所以. （3）设， ， ， 设，， 则， ， 两式相减，得 ， 则有，得， 所以. 14．(1)； (2)； (3). 【详解】（1）， 是常数列， ， ； （2）依题意，对一切恒成立， 对一切恒成立，即， 是单调递减， ∴当时，最大，即， 的最小值为2. （3）由（1）知， ∴在数列中，从项开始到项为止，共有项. 当时，， 当时，， ∴数列前2026项包含数列的前11项，即有个2， . 答案第4页，共6页 答案第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $