四川省成都石室中学2025-2026学年高二下学期数学零诊复习专题-导数（二）

**基本信息** 以导数应用为主线，通过基础定义、几何意义到综合性质的层级设计，系统提炼构造函数、转化化归等解题方法，培养数学思维与表达能力，构建导数与函数性质融合的知识网络。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4题|定义应用、切线方程求解、构造函数比较大小|从导数定义出发，通过几何意义（切线）过渡到单调性判定，形成“定义-几何意义-应用”逻辑链| |性质综合|6题|极值最值分析、函数图像识别、奇偶性与导数结合|结合函数奇偶性、对称性，深化导数在函数性质研究中的工具性，体现“性质-导数-应用”关联| |综合探究|4题|零点问题分类讨论、不等式证明、对称点存在性判断|通过多知识点融合，强化转化思想与逻辑推理，构建“问题-转化-导数求解”完整思维路径|

零诊复习专题--导数（二） 姓名 一、选择题 1．定义在上的函数，则（   ） A． B． C．2 D．4 2．过点作函数图象的切线，则切线方程是（   ） A． B． C．或 D． 3．设，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的可能取值为（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若对，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知函数的部分图象如图，则的解析式可能为：（    ） A． B． C． D． 8．已知是定义在上的偶函数，，且恒成立，，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数，则下列不正确的是（ ） A．若，则 B．若在区间上单调递增，则 C．当时，函数的递减区间为 D．若方程有三个实数解，则 10．已知函数的定义域为，若满足，且函数图象关于中心对称，则（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．已知函数在处取得极大值0，则________. 12．已知直线与曲线，分别交于A，B两点，则_____． 四、解答题 13．已知函数，. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，证明：对恒成立； (3)若在区间上有且仅有一个零点，求实数的取值范围. 14．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求满足的的取值范围； (3)当时，判断曲线上是否存在两个不同的点关于点对称，并说明理由． 参考答案： 1．A 【详解】 2．C 【详解】设切点为， 由得，则当时， 则切线方程为，即， 将点代入得，得或， 则切线方程为或 3．C 【详解】其中，，，， 设，则， 令得，令得， 故在上单调递增， 所以，即，， ，， 所以，故. 4．C 【详解】求导得，定义域为， 因为在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解， 设，，求导得在上恒成立， 因此在上单调递增， 所以，即只需满足即可． 5．A 【详解】， 当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； 因为，函数在上存在最小值， 所以，得， 故a的可能取值为. 6．D 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式等价于， 即. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，， 所以的取值范围为. 7．A 【详解】由图可知，关于原点中心对称，且不是上的单调函数； 对于B，是偶函数，不符合，排除B； 对于C， 的定义域不含，不符合，排除C； 对于D，由复合函数的单调性知是单调递增函数，排除D； 所以A正确. 8．C 【详解】设，由， 得， ， 令，则， 所以函数在上单调递减，因为是定义在上的偶函数， 所以，所以， 所以函数为上的偶函数，且， 由，得， 也即，因此，即， 得或，解得或 ， 则满足的的取值范围为. 9．ABD 【详解】对于A，，得 ，即； 对于B，由于，若在区间上单调递增， 则在时恒成立，又因为， 所以在时恒成立. 当时，，即，解得，故B错误； 对于C，当时，函数求导得：， 由，解得， 所以函数的递减区间为，故C正确； 对于D，令函数，求导得：， 当或时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 可得函数的极小值点为1，且， 函数的极大值点为，且， 由于当时，，当时，，作函数的图象如下：    所以要使方程有三个实数解，则，故D错误； 10．ABD 【详解】对于A，因为函数的定义域为，且函数图象关于中心对称， 所以， 又因为，所以， 取可得， 因为，所以，所以A正确； 对于B，由且，可得，， 累加之后，可得，所以B正确； 对于C，由和，可得周期不是2026，所以C错误； 对于D，由且， 因为函数图象关于中心对称，且， 由，可得， 所以，所以D正确．] 11．/ 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 12． 【详解】设，所以，， 整理得，， 又在直线上，所以， 要使最小，只需求的最小值， 由得或， 当时，， 当时，， 显然， 所以要求的最小值，则， 令， 则， 令，则， 所以当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以， 所以的最小值为. 13．(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）当时，，则， 所以，， 故当时，曲线在点处的切线方程为. （2）当时，，， 令，其中，则， 所以函数在上为增函数， 对任意的，，所以函数在上为增函数， 所以， 故时，对恒成立. （3）由（2）可知，当时，在上为增函数， 对任意的，，不符合题意； 当时，，， 令，其中，则， 令可得， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，， 令，其中，则， 令，则，即函数在上为增函数， 所以，即函数， 即对任意的，， 故存在，使得， 当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以， 当时，，故存在，使得， 此时函数在上有且只有一个零点. 综上所述，实数的取值范围是. 14．(1) (2) (3)曲线上不存在两个不同的点关于点对称，理由见解析 【详解】（1）当时，，所以， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）若，由，可得， 令，，所以有两个正根， 记两正根为，且， 当，，所以在上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 所以函数至多三个零点，又， ，， 所以函数有三个零点，所以且， 所以满足的的取值范围为； （3）曲线上不存在两个不同的点关于点对称，理由如下： 设曲线上是否存在两个不同的点关于点对称， 即关于点对称，所以， 所以有解， 所以在上有解， 所以，即， 令，因为，所以， 即在上有解. 令，求导得， 因为，所以，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上无解， 故曲线上不存在两个不同的点关于点对称. 学科网（北京）股份有限公司 $