27.1 二次函数（教学课件）数学新教材沪教版五四制九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数概念、一般形式、函数值计算及实际问题表达式列写，通过回顾一次函数等旧知，结合喷水池水线、铅球轨迹等生活实例引入，再以正方形面积、铁丝弯折等合作探究问题搭建学习支架，引导学生逐步抽象出二次函数特征。 其亮点在于以数学眼光观察生活实例，用数学思维通过合作探究抽象函数特征，借数学语言列写实际问题表达式。如通过产值增长、矩形花圃面积等实例培养模型意识，类比一次函数梳理知识体系。学生能提升抽象与推理能力，教师可依托中考链接和分层练习优化教学。

27.1 二次函数 第二十七章 二次函数 沪教版九年级上册 学习目标 理解二次函数的概念，掌握二次函数的一般形式，与一次函数能作本质区分； 一 根据简单二次函数实际问题，挖掘隐藏等量关系列出二次函数表达式，并求自变量取值范围. 二 1 情境引入 目录 3 典例分析 5 归纳总结 4 巩固练习 6 感受中考 7 小结梳理 8 布置作业 2 合作探究 情境引入 本章学习重点 函数概念回顾 我们已经学习了正比例函数、一次函数和反比例函数，初步了解了函数的概念。 在本章中，我们将学习二次函数。实际生活中，喷水池喷头向周围射出的一条条水线，运动员推出的铅球的运动轨迹等，其所呈现出的曲线形状都可以用二次函数来表示。 合作探究 思考 :设正方形的边长是 x cm, 面积是 y cm² . 当 x 在一定范围内变化时，面积 y 也随之变化，y 关 于x 的函数表达式是____________? (1)一个边长为4cm 的正方形，若它的边长 增加 x cm, 相应的面积增加 y cm², 如图所示，y 关于x 的函数表达式是____________? 增加的面积=大正方形的面积-小正方形的面积 合作探究 (2)将一根 40 cm 长的铁丝分为两段，再分别将每 一段弯折成一个正方形(不计损耗),设其中一段铁丝长为 x cm, 两个正方形的面积之和为 y cm², 如图所 示，y 关 于x 的函数表达式是____________________? y=大正方形的面积+小正方形的面积 y= = y= 合作探究 观 察上述三个函数表达式的特点 y= y=+8 y= 上述三个函数表达式的右边都是关于自变量x 的二次式. 合作探究 二 次函数 的概念 我们把形如 y=ax²+bx+c (a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数.其中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项. 自变量x的取值范围是一切实数。 典例分析 例1 下列函数，哪些是二次函数？ √ √ × × 它是一次函数 总结：判定一个函数是不是二次函数，需要将它化简整理后再判断它是否符合y=ax²+bx+c (a、b、c是常数，a≠0)的样式。 巩固练习 B 1. 下列函数中，y是关于x的二次函数的是（    ） A．y=3x B． C．D． 分析：y=3x它是一次函数； =它是二次函数； 是分式不是整式，所以它不是二次函数； 是x关于y的二次函数，不是y关于x的二次函数； 提醒：二次函数的右边都是关于自变量x 的二次式，二次式属于整式. 巩固练习 D 2. 下列函数中，y是关于x的二次函数的是（    ） A．y=1-3x B．y=ax²+bx+c C．D． 分析：y=1-3x它是一次函数； y=ax²+bx+c因为a不知是否为0，所以不能确定它是二次函数； 是分式不是整式，所以它不是二次函数； 是y关于x的二次函数； 提醒：二次函数的二次项系数必须不为0(). 巩固练习 3.已知函数， (1)当 m 为何值时，此函数是 y 关于 x 的一次函数？ (2)当 m 为何值时，此函数是y 关于 x的二次函数？ 解：(1)若函数为一次函数， 则有， 解得 m=4或 m=-1， 所以，当 m=4或 m=-1时，此函数是一次函数； （2）解：若函数为二次函数， 则有， 解得m4且 m-1， 所以，当m4且 m-1时，此函数是二次函数． 巩固练习 4. 圆柱的体积公式是 V=πr²h, 其 中 V 是圆柱的体积，r 是圆柱底面的半径，h 是圆柱的高. (1)当 r 是常量时，V 是 h 的什么函数? (2)当 h 是常量时，V 是 r 的什么函数? 解：(1)当 r 是常量时，πr²h 是关于 h 的一次单项式，故 V 是 h 的一次函数(正比例函数).其中______为一次项系数。 ( 2 ) 当 h 是常量时，πr²h 是关于r 的二次单项式，故 V 是 r 的二次函数，其中______为二次项系数。 总结： 1.在实际问题中，两个变量满足的函数关系类型特指满足其表达式具备的特征. 2. π表示是圆周率，属于一个常数，不属于变量。 πr² πh 典例分析 例2 已知函数y=3 x²- 2x-1. (1)当 x时，求函数 y 的值； (2)当x 为何值时，函数值为0. 解：(𝟏)将x代入 y=3x²-2x-1，得 ∴当x=时 ，y=. (2)令y=0，由题意得 3x²-2x-1=0, 解得 ， ∴当x=1 或 时 ，y=0. 总结：把x 的值代入函数表达式中可计算出函数值y; 已知函数y的值可建立一元二次方程，解方程求出自变量x的值. 巩固练习 1. 已知二次函数 (1)当 x=-2 时，求函数的值； (2)当函数值为 2 时，求自变量x的值． 解：(𝟏)将x代入得 ∴当x=时 ，函数的值为2. (2)令x²+5x+8=2, 解得 , ∴当函数值为 2 时，变量x的值为-2 或 。 巩固练习 2. 已知，二次函数y=+b+c的部分对应值见下表， (1)求二次函数的表达式． (2)求n的值 解：(1)由题意得 解之得，a=1,b=-1,c=-2 ∴二次函数的表达式为 y=x²x (2)把x=2时，y=n代入函数表达式，n=0. ∴n 的值为0. X … -1 0 1 2 … Y … 0 -2 -2 n … 总结：确定二次函数的表达式就是要定各项的系数a、b、c. 典例分析 例3 某厂七月份的产值是100万元，设第三季度每个月产值的增长率 相同，都为x(x>0), 九月份的产值为y 万元.写出y 关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围. 解：七月份产值为100万元，月增长率为x, 则八月份产值为_______________万元， 九月份产值为________________万元. 100(1+x) 100(1+x)² 所以，y 关于x 的函数表达式是 ____________, (化为一般形式)即：______________________, 100(1+x)² y=100x²+200x+100 x>0 总结：确定实际问题中的函数的表达式时，一定要考虑自变量的取值范围。 一般情况下，函数的表达式都要写成一般式。 其中自变量x 的取值范围是_______. 典例分析 例4 用长为20m 的篱笆，一面靠墙(墙的长度超过20 m), 围成一个矩形花圃，如图所示 . 设AB 的长为x m, 花圃的面积为y m², 求 y关于x 的函数表达式及自变量x 的取值范围.. 解：在矩形ABCD 中 ，AB=x, 则 BC=202x, 所以y 关 于x 的函数 表达式是 _____________, y=x(20-2x) y= (化为一般形式)即：______________________, 由边长的实际意义，知x>0且20—2x>0, 解得 0<x<10. 所以，自变量x 的取值范围是0< x<10. 巩固练习 1. 一条隧道的横截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个 矩形，矩形的一条边长为2.5m. 如果隧道下部的宽度大于8m 但不超过 12 m, 求隧道横截面积S ( 单位：m²) 关于上部半圆半径r ( 单位：m) 的 函数表达式及自变量r 的取值范围. 解：上部半圆的面积为___________ 下部矩形的为宽________m，高为2.5 m, 所以矩形面积为____________, ∴隧道截面积S=________________。 r 5r ∵隧道下部的宽度大于8m 但不超过 12 m, ∴由题意得 ：_____________, 8<2r<12 解得 4<r<6. ∴S关于r的函数表达式是________________________________ (4<r<6) 归纳总结 二次函数 概念 有关函数 值的计算 列函数 表达式 我们把形如 y=ax²+bx+c (a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数. 把x 的值代入函数表达式中可计算出函数值y， 已知函数y的值代入表达式可建立一元二次方程，解方程即可求出自变量x的值. 根据实际问题中的等量关系可列出二次函数表达式，要注意隐藏的自变量取值范围. 感受中考 1.（2026·上海长宁·一模）在下列给定的关于的函数中：①，②，③，④，一定是y关于x的 二次函数的是___________．（填写序号） B 感受中考 2.一个边长为10 厘米的正方形，如果它的边长减少x 厘米，则正方形的面积随之减少y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是_______________． y= 感受中考 3.（2026·上海·一模）二次函数的函数值是2 ，那么对应的x值是（     ) A．3 B．1 C．3和-1 D． -3和1 D 感受中考 4.（2026·辽宁沈阳·三模）某商场销售一种进价为每件15 元的商品，售价为每件25 元时，每天可售出50 件；售价每上涨1 元，每天的销售量就减少2 件.设每件商品的售价为x 元（且x 为整数），每天的销售量为y 件. (1)求y 与x 的函数关系式； (2)设每天的销售利润为w 元，求w与x 的函数关系式 y= 小结梳理 二次函数的概念 函数值的计算 列函数表达式 一次函数的概念 函数值的计算 列函数表达式 类比 布置作业 必做题：习题27.1-27.2 第1，2题. 1 探究性作业：习题27.1-27.2 第 14题. 2 沪教版九年级上册 谢谢观看！ $