专题01 空间向量及其线性运算（重难点讲义）数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及运算核心知识点，从平面向量类比迁移，系统梳理空间向量的定义、共线（平行）与共面向量判定，线性运算（加法、减法、数乘）及运算律，构建从基础概念到复杂几何体向量代换的完整学习支架。 该资料通过概念辨析（如共面向量误区）和多面体向量拆解（如四面体跨棱代换）培养数学思维，结合正方体等载体设计典例变式，助学生用向量语言表达几何关系（数学语言）。课中辅助教师突破难点，课后巩固训练可查漏补缺，提升空间观念与逻辑推理能力。

专题01 空间向量及运算 重点目标： 1. 类比平面向量，掌握空间向量的定义、有向线段表示、字母书写规范，熟练区分零向量、单位向量、相等向量、相反向量的概念。 2. 准确识别共线（平行）向量，牢记共线向量充要条件，能利用直线方向向量刻画空间直线。 3. 理解共面向量定义，熟记两不共线向量确定平面、三向量共面的充要条件，能判定向量、四点是否共面。 4. 熟练掌握空间向量加法（三角形、平行六面体法则）、减法、数乘三种线性运算，能在正方体、平行六面体、四面体中化简向量式子。 5. 熟记空间向量线性运算全部运算律（交换律、结合律、数乘分配律），并能简单推导验证。 6. 掌握用一组基底线性表示几何体中任意向量，能利用中点、等分点快速拆分向量。 7. 掌握四点共面向量证明标准步骤，会完成基础几何证明题。 8. 建立向量法基础逻辑：空间几何线段转化为向量→线性代数变形→回归平行 / 共面几何结论。 难点目标： 1. 辨析核心易错结论：任意两个空间向量一定共面，三个空间向量不一定共面，能结合正方体实例区分。 2. 在复杂多面体（四面体、平行六面体）中，多层拆解、重组向量，完成多步线性代换化简。 3. 灵活运用向量减法处理跨顶点、跨面向量转换。 4. 熟练运用共面向量定理完成证明、求值综合题，解决 “已知四点共面求参数” 类题型。 5. 理解空间向量自由性，掌握平移向量解题的思维方法，突破立体图形空间想象障碍。 6. 区分基底判定规则：三个不共面向量才能构成空间基底，快速判断一组向量能否作为基底。 7. 自主类比平面向量线性运算，梳理二维、三维向量的异同，形成迁移学习能力。 1、 重点知识 （一）空间向量基础概念 1. 定义：空间内具有大小和方向的量；模、零向量、相等向量（同向等长）、相反向量（反向等长）定义与平面向量完全一致。 2. 共线向量（平行向量） · 定义：表示向量的有向线段平行或重合，规定与任意向量共线； · 充要条件：，； · 拓展：直线方向向量，一条直线所有方向向量互相共线。 3. 共面向量 · 定义：平行于同一个平面的向量；任意两个空间向量总能平移至同一平面，故一定共面； · 共面定理：若不共线，则与共面； · 推论：四点共面。 4. 基础几何载体：正方体、平行六面体、四面体，所有线性运算题目均依托三类立体图形。 （二）空间向量线性运算 1. 加法运算 · 三角形法则：； · 平行六面体法则（空间核心）：； · 有限个向量首尾相接，和向量为起点指向最后终点。 2. 减法运算：，（向量化简核心公式）。 3. 数乘运算：，同向、反向、得零向量；长度。 4. 线性运算运算律（同平面向量） · 交换律： · 结合律：； 5. 分配律：； 6. 常用中点结论（高频计算） · 为中点：； · 分线段，，可快速写出线性表达式。 2、 难点知识 （一）概念辨析难点（选择高频易错点） 1. 共面向量三大误区 · 误区 1：有公共起点的三个向量一定共面；反例：正方体顶点出发的不共面； · 误区 2：三个向量两两共线，则三向量共面（正确）；三个向量两两共面，则三向量一定共面（错误）； · 误区 3：四点中任意三点共面，四点就共面（错误，三棱锥四个面满足，但四点不共面）。 2. 基底判定易错点 · 若三个向量存在线性关系（可互相线性表示），则三向量共面，不能作为基底； · 快速判定：只要其中一个向量能写成另外两个的线性组合，直接排除基底资格。 （二）运算化简难点 1. 多面体多层向量代换 四面体、平行六面体中跨棱、跨面对向量拆分，多次使用，步骤多、符号易出错，是期中填空压轴。 示例：已知、分别为两条棱中点，用基底表示，需要两次减法转换。 2. 含参数线性方程组求解 已知四点共面，给出向量表达式，利用共面定理列二元一次方程求参数，计算易漏条件。 （三）几何证明综合难点（期末解答题） 1. 四点共面完整证明逻辑 步骤：①选取公共顶点，拆分三个向量；②证明其中一个向量是另外两个的线性组合；③根据共面向量定理得出四点共面。 2. 空间线线平行向量证明 证明两条直线的方向向量满足，结合直线不在同一直线，推出线线平行。 （四）高考深度拓展拔高知识（尖子生拓展） 1. 位置向量通用公式 设为空间任意基点，四点共面，满足（高考常用推论）。 2. 基底选取技巧 平行六面体直接选取同一顶点三条棱；四面体优先选取顶点出发三条棱，减少化简步骤。 3. n 维向量简单拓展（课本阅读材料延伸） 二维平面向量、三维空间向量统一为有序数组，线性运算规则可推广至 n 维，衔接大学线性代数。 4. 向量线性无关拓展 三个向量不共面等价于线性无关，不存在不全为 0 的实数使，基底本质是一组线性无关向量。 （五）平面向量 VS 空间向量对比辨析（课堂重点区分） 对比维度 平面向量（二维） 空间向量（三维） 共面性质 所有向量全部共面 任意两向量共面，三向量可共面 / 不共面 基底构成 2 个不共线向量 3 个不共面向量 线性运算 加减、数乘法则完全相同 加减、数乘法则完全相同 几何适用 平面图形平行、共线 空间立体的线线平行、四点共面 核心定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理（下一课时） 题型01 空间向量概念的辨析 【典例】在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式1】下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 【变式2】（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若∥，则∥ B．是共线的必要条件 C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 题型02 空间向量的线性运算 角度1：线性运算及其几何表示 【典例1】如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则 A． B． C． D． 【变式1】在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为________． 【变式2】 如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ） A． B． C． D． 角度2：线性运算求参数 【典例1】设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【典例2】已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【典例3】已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【典例4】已知空间三点共线，则_________． 【变式1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2】已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，.若三点共线，求的值； 【变式3】已知，，，为在或其延长线上的一点，若使最小，则________. 角度3：共线定理证明空间三点共线 【典例】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    证明：三点共线． 【变式】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． 求证：、、 三点共线． 题型03 空间向量的共面定理 角度1：空间向量共面定理的理解 【典例】（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 角度2：共面定理证明空间四点共面（三向量共面） 【典例1】如图，在长方体中，点是棱的中点，点是面对角线与的交点，试判断向量与、是否共面． 【典例2】已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【变式1】如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面． 【变式2】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 角度3：空间向量共面定理（推论）求参数 【典例1】已知 若三向量共面，则实数____. 【典例2】已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【典例3】已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【变式1】已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【变式2】已知平面内有四点，，，，且为空间中一点，若，则（   ） A． B． C． D． 角度4：由空间向量共面定理求体积（最值） 【典例】已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【变式1】空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【变式2】已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【巩固训练】 一、单选题 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 4．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 5．在正四面体中，点O是的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 6．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 9．在正方体中，给出以下向量表达式： ①；        ②； ③；        ④. 其中能够化简为向量的是______________（填序号）. 四、解答题 10．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 11．已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【强化训练】 一、单选题 1．在下列命题中正确的是（    ） A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 B．若所在的直线是异面直线，则不共面 C．若三个向量两两共面，则共面 D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面 2．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 4．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 6．已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 二、填空题 7．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是_______（把所有真命题的序号都填上）． 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________. / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 空间向量及运算 重点目标： 1. 类比平面向量，掌握空间向量的定义、有向线段表示、字母书写规范，熟练区分零向量、单位向量、相等向量、相反向量的概念。 2. 准确识别共线（平行）向量，牢记共线向量充要条件，能利用直线方向向量刻画空间直线。 3. 理解共面向量定义，熟记两不共线向量确定平面、三向量共面的充要条件，能判定向量、四点是否共面。 4. 熟练掌握空间向量加法（三角形、平行六面体法则）、减法、数乘三种线性运算，能在正方体、平行六面体、四面体中化简向量式子。 5. 熟记空间向量线性运算全部运算律（交换律、结合律、数乘分配律），并能简单推导验证。 6. 掌握用一组基底线性表示几何体中任意向量，能利用中点、等分点快速拆分向量。 7. 掌握四点共面向量证明标准步骤，会完成基础几何证明题。 8. 建立向量法基础逻辑：空间几何线段转化为向量→线性代数变形→回归平行 / 共面几何结论。 难点目标： 1. 辨析核心易错结论：任意两个空间向量一定共面，三个空间向量不一定共面，能结合正方体实例区分。 2. 在复杂多面体（四面体、平行六面体）中，多层拆解、重组向量，完成多步线性代换化简。 3. 灵活运用向量减法处理跨顶点、跨面向量转换。 4. 熟练运用共面向量定理完成证明、求值综合题，解决 “已知四点共面求参数” 类题型。 5. 理解空间向量自由性，掌握平移向量解题的思维方法，突破立体图形空间想象障碍。 6. 区分基底判定规则：三个不共面向量才能构成空间基底，快速判断一组向量能否作为基底。 7. 自主类比平面向量线性运算，梳理二维、三维向量的异同，形成迁移学习能力。 1、 重点知识 （一）空间向量基础概念 1. 定义：空间内具有大小和方向的量；模、零向量、相等向量（同向等长）、相反向量（反向等长）定义与平面向量完全一致。 2. 共线向量（平行向量） · 定义：表示向量的有向线段平行或重合，规定与任意向量共线； · 充要条件：，； · 拓展：直线方向向量，一条直线所有方向向量互相共线。 3. 共面向量 · 定义：平行于同一个平面的向量；任意两个空间向量总能平移至同一平面，故一定共面； · 共面定理：若不共线，则与共面； · 推论：四点共面。 4. 基础几何载体：正方体、平行六面体、四面体，所有线性运算题目均依托三类立体图形。 （二）空间向量线性运算 1. 加法运算 · 三角形法则：； · 平行六面体法则（空间核心）：； · 有限个向量首尾相接，和向量为起点指向最后终点。 2. 减法运算：，（向量化简核心公式）。 3. 数乘运算：，同向、反向、得零向量；长度。 4. 线性运算运算律（同平面向量） · 交换律： · 结合律：； 5. 分配律：； 6. 常用中点结论（高频计算） · 为中点：； · 分线段，，可快速写出线性表达式。 2、 难点知识 （一）概念辨析难点（选择高频易错点） 1. 共面向量三大误区 · 误区 1：有公共起点的三个向量一定共面；反例：正方体顶点出发的不共面； · 误区 2：三个向量两两共线，则三向量共面（正确）；三个向量两两共面，则三向量一定共面（错误）； · 误区 3：四点中任意三点共面，四点就共面（错误，三棱锥四个面满足，但四点不共面）。 2. 基底判定易错点 · 若三个向量存在线性关系（可互相线性表示），则三向量共面，不能作为基底； · 快速判定：只要其中一个向量能写成另外两个的线性组合，直接排除基底资格。 （二）运算化简难点 1. 多面体多层向量代换 四面体、平行六面体中跨棱、跨面对向量拆分，多次使用，步骤多、符号易出错，是期中填空压轴。 示例：已知、分别为两条棱中点，用基底表示，需要两次减法转换。 2. 含参数线性方程组求解 已知四点共面，给出向量表达式，利用共面定理列二元一次方程求参数，计算易漏条件。 （三）几何证明综合难点（期末解答题） 1. 四点共面完整证明逻辑 步骤：①选取公共顶点，拆分三个向量；②证明其中一个向量是另外两个的线性组合；③根据共面向量定理得出四点共面。 2. 空间线线平行向量证明 证明两条直线的方向向量满足，结合直线不在同一直线，推出线线平行。 （四）高考深度拓展拔高知识（尖子生拓展） 1. 位置向量通用公式 设为空间任意基点，四点共面，满足（高考常用推论）。 2. 基底选取技巧 平行六面体直接选取同一顶点三条棱；四面体优先选取顶点出发三条棱，减少化简步骤。 3. n 维向量简单拓展（课本阅读材料延伸） 二维平面向量、三维空间向量统一为有序数组，线性运算规则可推广至 n 维，衔接大学线性代数。 4. 向量线性无关拓展 三个向量不共面等价于线性无关，不存在不全为 0 的实数使，基底本质是一组线性无关向量。 （五）平面向量 VS 空间向量对比辨析（课堂重点区分） 对比维度 平面向量（二维） 空间向量（三维） 共面性质 所有向量全部共面 任意两向量共面，三向量可共面 / 不共面 基底构成 2 个不共线向量 3 个不共面向量 线性运算 加减、数乘法则完全相同 加减、数乘法则完全相同 几何适用 平面图形平行、共线 空间立体的线线平行、四点共面 核心定理 平面向量基本定理 空间向量基本定理（下一课时） 题型01 空间向量概念的辨析 【典例】在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 【变式1】下列命题中，正确命题的个数为（    ） ①若，则与方向相同或相反； ②若，则A，B，C，D四点共线； ③若，不共线，则空间任一向量 (). A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】当，时，，不能说与方向相同或相反，①不正确； 当时，A，B，C，D四点共面不一定共线，故②不正确； 当，不共线时，当且仅当共面时才满足(). 故③不正确. 故选：A 【变式2】（多选）下列命题中正确的是（    ） A．若∥，则∥ B．是共线的必要条件 C．三点不共线，对空间任一点，若，则四点共面 D．若为空间四点，且有（不共线），则是三点共线的充要条件 【答案】ACD 【详解】对于A,由∥，则一定有∥，故A正确； 对于B，由反向共线，可得，故B不正确； 对于C，由三点不共线，对空间任一点，若，则 ，即， 所以四点共面，故C正确； 对于D,若为空间四点，且有（不共线）， 当，即时，可得，即， 所以三点共线，反之也成立，即是三点共线的充要条件， 故D正确. 故选：ACD. 题型02 空间向量的线性运算 角度1：线性运算及其几何表示 【典例1】如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 【典例2】如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 【变式1】在三棱锥中，若是正三角形，为其重心，则化简的结果为________． 【答案】 【详解】延长交边于点，则， 则有，， 故．    故答案为：. 【变式2】 如图， 在四面体OABC中， M为棱BC的中点， 点N，P分别满足 则 （   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 . 故选：B 角度2：线性运算求参数 【典例1】设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 【典例2】已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 【典例3】已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 【典例4】已知空间三点共线，则_________． 【答案】 【详解】，， 共线，， ，，， . 故答案为： 【变式1】平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】 ， 所以， 故选：C. 【变式2】已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，.若三点共线，求的值； 【答案】 【详解】因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； 【变式3】已知，，，为在或其延长线上的一点，若使最小，则________. 【答案】 【详解】因为为在或其延长线上的一点， 设， 所以， ， 所以， ， 当时，最小，此时，. 故答案为： 角度3：共线定理证明空间三点共线 【典例】如图，在正方体中，分别为棱的中点，．    证明：三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】连接． 因为， ， 所以，则． 因为，所以三点共线． 【变式】四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． 求证：、、 三点共线． 【答案】证明见解析 【详解】因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 题型03 空间向量的共面定理 角度1：空间向量共面定理的理解 【典例】（多选）若构成空间的一个基底，则下列不能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】空间基底判定：三个向量不共面才能构成空间基底； 若存在不全为 0 实数使，则三向量共面，不能作为基底， A：因为，系数不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； B：因为，系数全为 1 不全为 0，所以三向量共面，不能构成基底； C：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底； D：设，整理：， 不共面，解得唯一解，所以三向量不共面，可以构成基底. 【变式】已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【详解】设，即， ，此方程组无解， ，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解， ，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 角度2：共面定理证明空间四点共面（三向量共面） 【典例1】如图，在长方体中，点是棱的中点，点是面对角线与的交点，试判断向量与、是否共面．    【答案】向量与、共面． 【详解】因为，． 所以， 所以，向量与、共面． 【典例2】已知平行六面体，分别是棱和的中点，求证：四点共面． 【答案】证明见解析 【详解】取，，，结合题图及已知， 则 ， 所以与共面，又，， 所以与，共面，即四点共面. 【变式1】如图所示，已知斜三棱柱，点，分别在和上，且满足，，判断向量是否与向量，共面． 【答案】向量与向量，共面． 【详解】． ， ， 由共面向量定理知向量与向量，共面． 【变式2】如图所示，已知是平行四边形，点是平面外一点，连接、、、.设点、、 、分别为、、、的重心.试用向量方法证明、、、四点共面 【详解】证明：分别连接、、、交对边于、、、点. 因为、、、分别是所在三角形的重心. 所以、、、为所在边的中点， 所以，且，，且， 所以，，故四边形为平行四边形， 且有，，，， 所以，同理可得， 因为四边形是平行四边形，所以，所以，则， 故、、、四点共面. 角度3：空间向量共面定理（推论）求参数 【典例1】已知 若三向量共面，则实数____. 【答案】3 【详解】因为三向量共面，故存在实数，使得， 所以 则 解得. 故答案为：3. 【典例2】已知平面内有四点 ，其中 三点不共线，且 为平面 内一点，若 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由于点P与共面, 三点不共线, 故存在实数，使得， 则, 即， 而，故，解得， 故选：A 【典例3】已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且 ，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 【变式1】已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 【变式2】已知平面内有四点，，，，且为空间中一点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以. 因为，，，四点共面，所以，故. 故选：A 角度4：由空间向量共面定理求体积（最值） 【典例】已知四棱锥的底面是平行四边形，过点和的中点作平面，且平面与侧棱，（不含端点）分别交于点，，若四棱锥的体积为24，则四棱锥体积的最小值为________． 【答案】 【详解】设，其中， 取空间基底, 因为底面是平行四边形， 所以 , 又因为为的中点， 所以, 又因为四点共面， 所以 , 所以，解得， 又因为, 又因为， ， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立. 所以四棱锥体积的最小值为8. 【变式1】空间向量四点共面定理：已知，，为空间中的一组基底，空间中任一向量（，，），若，，，四点共面，则.如图所示，正方体的棱长为2，点，分别为，的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】/ 【详解】 连接，与平面交于点， 设，则有， 由于，，三点共线，设， 另一方面，易得， 显然，， 可得，即， 所以. 故答案为： 【变式2】已知正四面体外接球的球心为，，过点，的平面与棱，分别相交，记在平面两侧的几何体的体积分别为，，其中，则的最大值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】设平面与棱分别交于点，设，其中， 直线与平面交于点， 由点为外接球的球心，有， 又由，得到， 因为四点共面，所以，即. 易知：，其中为棱之间的夹角， 下面求的取值范围， 由，又，可得，其中， 令，则，因此， 又因为，，所以. 故的最大值为， 故选：B. 【巩固训练】 一、单选题 1．关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 2．如图，在三棱柱中，设，，，是的中点，则可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的中点，则 ． 3．下列关于空间向量的命题中，正确的是（ ） A．将空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点，则它们的终点构成一个圆 B．若空间向量，满足，则或； C．若空间向量满足，则； D．若空间向量满足，，则． 【答案】C 【分析】根据单位向量的性质可判断A的正误，根据相等向量的定义可判断BC的正误，根据零向量的性质可判断D的正误. 【详解】对于A，根据空间向量的定义，空间中所有的单位向量平移到同一个点为起点， 则它们的终点构成一个球面，所以A错误； 对于B，若空间向量，满足， 但由于它们的方向不一定相同或相反，故不一定相等或相反，所以B错误； 对于C，根据向量相等的定义可得，所以C正确； 对于D，向量的平行不具有传递性，比如当为零向量时，零向量与任何向量都平行， 则不一定平行，所以D错误. 故选：C. 4．若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【分析】由条件结合空间向量共线定理可得，列方程求，由此可得结论. 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. 5．在正四面体中，点O是的中心，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】因为四面体是正四面体，则每个面都是正三角形， 所以 . 又由，所以. 故选：B.    6．已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. 二、多选题 7．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 8．以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 三、填空题 9．在正方体中，给出以下向量表达式： ①；        ②； ③；        ④. 其中能够化简为向量的是______________（填序号）. 【答案】①② 【分析】根据空间向量的加法、减法运算的几何意义，即可得答案； 【详解】①中，； ②中，； ③中，； ④中，. 故答案为：①②. 【点睛】本题考查空间向量的加法、减法运算的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题. 四、解答题 10．如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． （2） ， 所以. （3）. 11．已知向量是空间中不共面的三个向量，. (1)若，求的值； (2)若四点共面，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的运算得到以及，再根据与的关系列得方程组，即可求得结果； （2）根据四点共面得到，可用和表示出和，即可求出结果. 【详解】（1）由题可得： ， ， 因为，所以， 即解得 所以的值分别为； （2）因为四点共面，所以存在，使得， 即， 于是有 所以， 即的值为. 【强化训练】 一、单选题 1．在下列命题中正确的是（    ） A．已知是空间三个向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为 B．若所在的直线是异面直线，则不共面 C．若三个向量两两共面，则共面 D．已知A，B，C三点不共线，若，则A，B，C，D四点共面 【答案】D 【详解】对于A，若三个向量共面，在平面，则空间中不在平面的向量不能用表示，所以A错误， 对于B，因为向量是自由向量，是可以自由平移，所以当所在的直线是异面直线时，有可能共面，所以B错误， 对于C，当三个向量两两共面时，如空间直角坐标系中的3个基向量两两共面，但这3个向量不共面，所以C错误， 对于D，因为A，B，C三点不共线，，且，所以A，B，C，D四点共面，所以D    正确， 故选：D 2．如图，已知空间四边形，M，N分别是边OA，BC的中点，点满足，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， ， ， ， . 故选：B. 3．已知，，不共面，若，，且三点共线，则（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】因为三点共线， 所以， 即， 所以，解得， 所以， 故选：A 4．已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 5．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【详解】 由题意可得， 因为所以，且 ，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 6．已知三棱锥的体积为15，是空间中一点，，则三棱锥的体积是（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【详解】 因为，则， 即， 即，所以， 因为，由空间向量基本定理可知，在平面内存在一点， 使得成立，即， 所以，即，则， 又三棱锥的体积为15， 则. 故选：C 二、填空题 7．有下列命题： ①若，则四点共线； ②若，则三点共线； ③若为不共线的非零向量，，则； ④若向量是三个不共面的向量，且满足等式，则． 其中是真命题的序号是_______（把所有真命题的序号都填上）． 【答案】②③④ 【详解】对于①，当时，不一定在一条直线上，故①错误. 对于②，当时，因共起点，故三点共线，故②正确. 对于③，因为，故，故，故③正确. 对于④，若至少有一个不为零，不妨设， 则，故为共面向量，与题设矛盾， 故全为零，故④正确. 故答案为：②③④. 8．如图，在四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，H在棱PD上，若E，F，G，H四点共面，则________.    【答案】 【详解】由题知，设，则， 又，且 ， 因为，，，四点共面，所以， 即， 又因为，则，即， 所以， 所以， 所以 ， 所以，解得， 故，所以，所以. 故答案为： / 学科网（北京）股份有限公司 $