重难点01基本不等式常考题型专题讲义-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

重难点01 基本不等式常考题型 目录 考点1 直接法 0 考点2 配凑法 3 考点3 基本不等式链 5 考点4 常数1的代换 7 考点5 齐次化 9 考点6 换元法 11 考点7 因式分解配凑 13 考点8 万能K法 15 考点9 多次使用基本不等式 16 考点10 商式（二次比一次）求最值 18 考点11 柯西不等式 19 考点12 权方和不等式 21 考点1 直接法 基本不等式： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 注意：一定要验证取等条件，当取等条件不满足时，可以考虑用对勾函数求最值 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 【答案】AD 【分析】由基本不等式结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，当时，，所以， 当且仅当，即时取等号，故A正确； 对于B，，当且仅当，即时取等号，又因为，故等号取不到，故B错误； 对于C，当时，，所以，当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，当时，，当且仅当，即时取等号．故D正确. 故选：AD 3．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可判断. 【详解】当时，函数无最小值，故A错误； 函数，当且仅当时取等号，明显不成立，故B错误； 当时，函数，当且仅当时取等号，故C正确, D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 【答案】ABC 【分析】根据各项函数，结合基本不等式及相关结论检验各选项最小值，即可判断. 【详解】对于A，当时函数值为负数，显然错误. 对于B，，当且仅当时等号成立，但，所以取等条件不成立，错误； 对于C，，当且仅当时等号成立，错误； 对于D，，当且仅当，即时等号成立，正确. 故选：ABC 考点2 配凑法 利用基本不等式求最值时： （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值，（简记为：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值，（简记为：和定积最大） 注意：看题目条件，看能否配凑成积是定值，或者和是定值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由，结合基本不等式求解即可； （2）由，结合基本不等式求解即可 【详解】（1）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号， 所以的最大值为. （2）因为，所以， 则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为； 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】由应用基本不等式求最大值，进而确定取值条件即可得. 【详解】因为，所以， 当且仅当，，即时等号成立. 故选：C 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 【答案】25 【分析】方法1，由基本不等式可得最大值；方法2，由，可得，代入可得，然后由二次函数性质可得答案. 【详解】方法1，由，得，则， 当且仅当，即时，取等号，所以的最大值为25； 方法2，因为，所以，则 ， 又因为，则结合二次函数图象可知当时，取到最大值25，即的最大值为25． 故答案为：25 考点3 基本不等式链 重要不等式链： 即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 2．（2025·全国·模拟预测）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 【答案】AC 【分析】利用均值不等式以及其常用变式分别判断各个选项的正误即可. 【详解】由均值不等式知：，当且仅当时，等号成立，选项A正确； 因为，故，当且仅当时，等号成立， 即最小值是，选项B错误； ， 当且仅当且，即时，等号成立，选项C正确； ，故， 当且仅当时等号成立， 即的最大值为，选项D错误， 故选：AC． 3．（2024·吉林长春·一模）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】运用基本不等式逐一运算判断即可. 【详解】对于A，因为正实数，满足， 所以， 当且仅当且，即，时等号成立，故A正确； 对于B，， 则，当且仅当时等号成立，故B正确； 对于C，，，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为，故C错误； 对于D，由，可得， 当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 【答案】AD 【分析】根据基本不等式即可对选项逐一判断. 【详解】A选项，因为为正实数，，则，当且仅当时取等号，故A选项正确； B选项，，当且仅当时取等号，所以的最大值为，故B选项错误； C选项，因为，则，故，当且仅当时取等号，故C选项错误； D选项，因为 ，因为， 所以，所以的最小值为16，故D选项正确. 故选：AD 考点4 常数1的代换 利用与“1”的相乘，构造可以使用基本不等式的结构 1．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 2．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解. 【详解】，, ，当且仅当=4时取等号， 结合,解得，或时，等号成立. 故答案为： 【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”的合理变换是解题的关键，属于基础题. 3．（25-26高三上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】或 【分析】由条件和基本不等式直接可得. 【详解】由，，，得. ， 当且仅当，即，由，得时不等式等号成立. 所以当时，有最小值. 故答案为：. 4．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用常数代换，结合基本不等式可得. 【详解】因为，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4. 故选：C 考点5 齐次化 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意将表达式中的“2”进行替换，将分式化为齐次式，再利用基本不等式计算即可. 【详解】因为，，且， 所以， 当且仅当时等号成立，则的最大值为． 故选：D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 【答案】/ 【分析】利用齐次化结合判别式可求最大值和最小值，从而得到它们的和. 【详解】因为，故， 而， 若，则，则， 若，则， 设，则，令， 则， 若，则； 若， 故， 故即且， 综上，， 故的最小值为，最大值为， 所以的最大值与最小值的和为． 故答案为：. 3. （2025高一上·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】16 【解析】由条件可知，则原式变形为，展开后，利用基本不等式求最小值. 【详解】原式； 当且仅当即，时取等. 所以的最小值为16. 故答案为：16 4. （2025高一上·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把要求的式子变形为，再利用基本不等式求得它的最小值． 【详解】已知，，， 则， 当且仅当 时，即当，且，等号成立， 故的最小值为， 故选：． 【点睛】本题考查基本不等式的运用，考查常数代换法，注意最值取得的条件，考查运算能力，属于中档题． 考点6 换元法 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，将转化为，化简后利用基本不等式即可得求最小值. 【详解】∵，令，则 当且仅当时等号成立. 故选：C. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且，求的最小值． 【答案】 【分析】令，，进而利用，展开结合基本不等式可求最小值. 【详解】令，，则，． ， 当且仅当，，即，， 即，时取等号． 所以的最小值． 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 【答案】9 【分析】通过换元，令，得，将问题转化为求的最小值.再通过“1”的代换结合基本不等式即可得解. 【详解】由，得，令，则， 故， 当且仅当即时等号成立， 也即，即时，等号成立， 故的最小值为9． 故答案为：9. 4．（2025高三·全国·专题练习）已知x，，求的最大值． 【答案】 【分析】解法1：设，令，可得，令，再令，进而结合 基本不等式可求最大值.解法2：令，可得，利用基本不等式可求最大值. 【详解】解法1：， 令，则， 求的最大值即可， 令，当时，；当时，令， 则， 故． 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值为． 解法2：令，则 ． 当且仅当，即时，等号成 ， 即，时取等号， 所以的最大值为． 考点7 因式分解配凑 1．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】将已知等式变形为，然后使用常数代换法，结合基本不等式可得. 【详解】由得，即， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 故选：D 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 【答案】C 【分析】由a，，结合，可得a，.随后注意到由可得，最后将化为，再利用基本不等式可得答案. 【详解】，因a，， 则，同理易得. 则. 从而， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 3. （25-26高三上·阶段练习）设，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】法一：设，进而将问题转化为已知，求的最大值问题，再根据基本不等式求解即可； 【详解】解：法一：（基本不等式） 设，则， 条件， 所以，即. 故选：D. 考点8 万能K法 1. （25-26高一上·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】设，将已知函数用表示，整理成关于的一元二次方程，根据方程有解，用求出判别式法的范围即可. 【详解】由化简可得， 令，则，所以，即， 所以，解得， 所以的最大值是，此时，． 故答案为：. 2. （25-26高一上·期中）已知a，，且，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题知，进而得，再结合已知得，即可得答案. 【详解】解：， 则，当且仅当时，“=”成立， 又a，，所以，当且仅当时，“=”成立， 所以的最大值为. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最小值为 ． 【答案】2 【分析】因式分解后可得积为定值，再利用配凑法结合基本不等式可求最小值. 【详解】因为，所以． 因为，所以， 则， 当且仅当，且满足， 即时等号成立，故的最小值为2． 故答案为：2. 4.（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 【答案】2 【分析】先由条件配方，再由基本不等式即可得到. 【详解】因，，，得. 再由，得，所以. 所以的最大值为2. 故答案为：2. 考点9 多次使用基本不等式 1．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 2．（2025高二下·湖南·学业考试）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】利用均值不等式即可求解． 【详解】由，根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 所以，也即， 再次根据均值不等式可得，当且仅当时等号成立， 故的最小值是4. 故选：C 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】化简整理后，将看成一个整理，利用基本不等式求最值即可. 【详解】 ， 当且仅当，，即时，等号成立. 故答案为： 4．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】D 【分析】结合题意，由基本不等式求解可得. 【详解】因为，， 则， 当且仅当时取等号，即时. 故选：D. 考点10 商式（二次比一次）求最值 1．（2024高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 2．（2024高三·全国·专题练习）求函数，的值域． 【答案】 【分析】令，将原函数转化为，根据对勾函数的单调性求解即可. 【详解】， 令，则． 由对勾函数的单调性知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，，所以 故的值域为． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，运用基本不等式求值域. 【详解】当时， 当，. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时 ，即. 若时，，当且仅当，即时等号成立，此时，即. 综上所述，函数的值域为. 故答案为： 4．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 【答案】 【分析】令，则，则，利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，，令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最大值为． 故答案为： 考点11 柯西不等式 二维柯西不等式： 设，则，当且仅当时等号成立 1．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则的最小值为_____． 【答案】 【分析】将原式变形，利用柯西不等式即可得出结果． 【详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为． 故答案为：． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，求的最大值． 【答案】 【分析】将已知条件化为，再将待求式拆配系数，利用柯西不等式求解. 【详解】由题意知，故， 则． 【评注】对于有条件定值的齐次型函数，宜先考虑柯西不等式，这样更简单、快速，而解题关键在于系数的拆配． 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数（x，）的最大值． 【答案】 【分析】根据柯西不等式求解即可. 【详解】根据柯西不等式得 即， 当，时等号成立, 所以函数的最大值为． 考点12 权方和不等式 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用： 设，则，当且仅当时等号成立 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】 【分析】解法1：双变量换元法，设，，可得，再利用1的妙用可求最小值. 解法2：配凑法，可得，利用基本不等式可求最小值. 解法3：权方和不等式，可得，可求最小值. 【详解】解法1：设，， 则，所以 ． 因为， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 当且仅当，时取等号． 所以的最小值为． 解法2：因为，则， 所以 ， 当且仅当，即，时取等号． 所以的最小值为． 解法3：， 当且仅当，即，，即，时取等号． 所以的最小值为． 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】变形给定式子，再利用基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】当时， ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故选：A 3. （2025高一·全国·专题练习）若正实数，满足，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】根据题意，若，则；又由，则有，则；当且仅当时，等号成立；即的最小值是，故答案为. 4. （24-26高一上·青岛·期末）若，且，则的最小值为_____ 【答案】 【分析】令，可得，化简可得，再结合基本不等式可求解. 【详解】令，则， 则，即， 则 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题考查基本不等式的应用，解题的关键是令，化简得出利用基本不等式求解. 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点01 基本不等式常考题型 目录 考点1 直接法 0 考点2 配凑法 3 考点3 基本不等式链 5 考点4 常数1的代换 7 考点5 齐次化 9 考点6 换元法 11 考点7 因式分解配凑 13 考点8 万能K法 15 考点9 多次使用基本不等式 16 考点10 商式（二次比一次）求最值 18 考点11 柯西不等式 19 考点12 权方和不等式 21 考点1 直接法 基本不等式： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方 注意：一定要验证取等条件，当取等条件不满足时，可以考虑用对勾函数求最值 1．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·陕西延安·阶段练习）下列结论正确的有（    ） A．当时， B．当时，最小值为 C．当时， D．当时， 3．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）下列说法正确的是（    ） A．函数的最小值为 B．函数的最小值为 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为 4．（24-25高一上·河北邢台·阶段练习）下列判断错误的是（    ） A．函数的最小值为7 B．函数的最小值为7 C．函数的最小值为7 D．函数的最小值为7 考点2 配凑法 利用基本不等式求最值时： （1）如果积是定值，那么当且仅当时，有最小值，（简记为：积定和最小） （2）如果和是定值，那么当且仅当时，有最大值，（简记为：和定积最大） 注意：看题目条件，看能否配凑成积是定值，或者和是定值 1．（25-26高一上·全国·课后作业）求下列各式的最值 (1)已知，求的最大值. (2)当时，求的最大值； 2．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最大值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，则取最大值时的值为（    ） A．1 B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）已知，且，则的最大值为 ． 考点3 基本不等式链 重要不等式链： 即：调和平均值≤几何平均值≤算数平均值≤平方平均值(注意等号成立的条件). 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·全国·模拟预测）已知，且，则（   ） A．的最大值是 B．的最大值是 C．的最小值是4 D．的最小值是 3．（2024·吉林长春·一模）设正实数满足，则（    ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 4．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知x，y为正实数，，则（    ） A．xy的最大值为4 B．的最小值为 C．的最小值为3 D．的最小值为16 考点4 常数1的代换 利用与“1”的相乘，构造可以使用基本不等式的结构 1．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为 ． 2．（2020·天津·高考真题）已知，且，则的最小值为 ． 3．（25-26高三上·湖北宜昌·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 4．（2025·四川巴中·模拟预测）已知，若，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D． 考点5 齐次化 1．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知，，，则的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）若实数满足，则的最大值与最小值的和为 ． 3. （2025高一上·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为 . 4. （2025高一上·全国·专题练习）已知，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点6 换元法 1．（25-26高三上·安徽·阶段练习）已知，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且，求的最小值． 3．（2025高一上·全国·专题练习）已知且，则的最小值为 ． 4．（2025高三·全国·专题练习）已知x，，求的最大值． 考点7 因式分解配凑 1．（2025·广东梅州·模拟预测）已知，且，则的最小值是（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）已知a，，且，则的最小值是（    ） A．6 B．9 C．13 D． 3. （25-26高三上·阶段练习）设，，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 考点8 万能K法 1. （25-26高一上·阶段练习）设为实数，若，则的最大值是 ． 2. （25-26高一上·期中）已知a，，且，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则的最小值为 ． 4.（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，，且满足，则的最大值为 . 考点9 多次使用基本不等式 1．（2021·天津·高考真题）若，则的最小值为 ． 2．（2025高二下·湖南·学业考试）若是正数，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 3．（23-24高一上·上海浦东新·期中）已知实数，则的最大值为 ． 4．（25-26高三上·吉林延边·开学考试）已知，，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．12 D．24 考点10 商式（二次比一次）求最值 1．（2024高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 2．（2024高三·全国·专题练习）求函数，的值域． 3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）函数的值域是 ． 4．（22-23高三上·福建泉州·期中）函数在上的最大值为 ． 考点11 柯西不等式 二维柯西不等式： 设，则，当且仅当时等号成立 1．（2025高一上·全国·专题练习）已知，则的最小值为_____． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知，且，求的最大值． 3．（2025高三·全国·专题练习）求函数（x，）的最大值． 考点12 权方和不等式 权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用： 设，则，当且仅当时等号成立 1．（2025高一·全国·专题练习）已知，是正实数，且，求的最小值． 2．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．1 3. （2025高一·全国·专题练习）若正实数，满足，则的最小值是 ． 4. （24-26高一上·青岛·期末）若，且，则的最小值为_____ 学科网（北京）股份有限公司 $