考点培优练05 导数综合突破：双变量与极值点偏移7大考点（高效培优专项训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦导数双变量与极值点偏移，构建“问题类型-方法技巧-逻辑推理”三维体系，通过7大考点系统整合解题策略，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01-02|2典例9跟踪|单调性判定、存在性/任意性转化|从基础双变量关系到复杂量词问题递进| |考点03-07|5典例16跟踪|均值不等式应用、对称化构造、比值/差值代换|极值点偏移问题多维度解法，形成“构造-转化-证明”逻辑链|

考点培优练05 导数综合突破：双变量与极值点偏移7大考点 考点预览 目录 考点01 函数单调性有关的双变量问题 1 考点02 双变量存在性或任意性问题 11 考点03 两个平均不等式在双变量中的应用 21 考点04 双变量技巧——对称化构造函数 28 考点05 比值代换法求解极值点偏移型 37 考点06 差值代换法求解极值点偏移型 52 考点07 对、指数均值不等式法求解极值点偏移型 63 考点通关 考点01 函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 【典例1】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，对，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求出函数导数，对分类讨论即可得解； （2）根据题意，可转化为恒成立，构造函数，根据函数为减函数，利用导数求解即可. 【详解】（1）, ①当时，恒成立，所以时，，故，单调递减； 时，，故，单调递增. ②当时，的零点为， 当时，，故，所以单调递增； 当时，，故，所以单调递减； 当时，，故，所以单调递增. ③当时，，所以在上单调递增. ④当时，的零点为， 当时，，故，所以单调递增； 当时，，故，所以单调递减； 当时，，故，所以单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时, , 因为， 所以， 即恒成立， 可得， 令， 则不等式等价于对都成立， 即在上是减函数， 因为， 则在上恒成立， 整理可得在上恒成立. 令，则需在上恒成立， 则，解得， 即实数的取值范围为. 【跟踪训练】1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数有两个零点，求的取值范围； (3)若，证明对任意，函数有两个零点，且满足. 【答案】(1)当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. (2) (3) ,令， ， 在为增函数，为减函数， . 和各存在一个零点，即， 且， 要证，即证， 即证，即证，即证， ,即. 【分析】（1）求导后对分类讨论即可； （2）代入极大值点得到不等式，求出范围，再验证充分性即可； （3）求导后根据零点存在性定理得，再将不等式等价转化为证明，最后代入即可. 【详解】（1）因为，，， 所以. 当时，在为增函数， 当时，令， 当， 所以在为增函数，为减函数． 综上所述，当时，在为增函数， 当时，在为增函数，为减函数． （2）要使得函数有两个零点， ,即, 所以， 令， 在为减函数，， 即， 令,令, 在为增函数，，则，即，解得. 下面证明充分性： 令， 在为增函数，为减函数，， 即，可得． 令, 设，则，令， 当时，，当时，， 在为减函数，为增函数， ， 在为增函数，，即， 此时， ， 当且仅当，即时取等号. （3）略 2．（2026·山西吕梁·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，求函数的极值点的个数； (3)若存在，且，，证明：. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减， 上单调递增； (2)1 (3) 由题得， 即， 由(2)知，在上单调递增， 不妨设，则，即， 所以， 即， 下面证明， 即证明， 令，即证，即证， 令， 则， 所以在上单调递减， 即，即， 所以，即， 所以． 【分析】（1）确定定义域，求导，再分、两种情况讨论求解； （2）对求导，再令，利用导数可得时，时，，进而得到函数的单调性得到极值点个数； （3）根据题意得，不妨设，再可得，接着证，即证明，再换元结合导数证明即可． 【详解】（1）解：定义域为， ， 当时，恒成立， 当时，时，， 时，， 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， 上单调递增； （2）因为， 所以， 由，得，所以在上单调递增， 又，所以时，时，， 又恒成立， 所以当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 故存在唯一的极小值点，即极值点的个数为； （3）略 3．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 【答案】(1)函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; (2) (3) 【分析】（1）利用导数与单调性的关系即可求解； （2）利用同构函数思想，结合函数的单调性，再用分离参变量求解即可； （3）先分离参变量，再利用韦达定理消元，最后化成单变量函数进行最值分析即可求解. 【详解】（1）由得， 令，得，故函数在区间上单调递增， 令，得，故函数在区间上单调递减， 综上，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减; （2）当时，不等式可化为， 变形为即 同构函数，求导得， 所以在上是增函数. 所以原不等式可化为， 根据单调性可得: 再构造，则 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 所以，即满足不等式成立的， 所以的最小值为; （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得: 因为，而的对称轴是，所以可得， 根据对称性可得另一个零点，此时有， 故，又由且可得， 而 令， 则， 因为所以，即， 则， 即在区间上单调递减， 所以有， 即， 所以实数取值范围. 4．（2025·云南·模拟预测）已知函数. (1)为的导数，讨论的单调性； (2)若函数在定义域内有两个极值点，，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1) 当，在上单调递减； 当，在上单调递增；在上单调递减. (2)（i）； （ii）证明：因为，是的两根， 所以，即，两式相减得. 又， 同理，则. 欲证，即证， 只需证，而，即证， 因为，所以，则只需证. 令，则转化为证明，. 设，，则， 所以在上单调递减，故， 即恒成立. 所以成立. 【分析】（1）将设成，通过二次求导，讨论，可得单调性. （2）（i）在定义域内有两个极值点，转化为在区间上恰有两个“变号”零点问题，进行求解. （ii）通过构造差函数，将“双元”转变成“一元”，从而得证. 【详解】（1）由题，，. 设，，则， 若，则，所以在上单调递减. 若，当时，，所以在上单调递增. 当时，，所以在上单调递减. 综上所述，当，在上单调递减； 当，在上单调递增；在上单调递减. （2）（i）函数在定义域内有两个极值点， 等价于在区间上恰有两个“变号”零点， 由（1）知，，且， 解得. 而当且时，; 时，. 综上所述，的取值范围为. （ii）略 考点02 双变量存在性或任意性问题 1.“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化． 2.构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 【典例2】（25-26高三下·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)0个 (2) 令且，则， 令，则，且在上单调递增， 结合（1）知时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以使， 综上，时，，在上单调递减， 时，，在上单调递增， 所以， 所以时，，得证； (3) 【分析】（1）对函数求导得，再应用导数研究其区间单调性和最值，即可得； （2）构造，利用导数证明在上恒成立，即可证； （3）问题化为，上，，应用导数求它们的区间最大值，即可求. 【详解】（1）由题设，令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，故在上的零点个数为0； （2）略 （3）由题设，在，上，， 由（1）知，在上，则在上单调递增，故最大值为， 由，则时，时， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 综上，，即. 【跟踪训练】1．（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，，其中时取等号， 所以为增函数， 对任意的，，不妨设，则， 又， 所以为增函数，得，即， 故； (3) 【分析】（1）利用导数研究函数的极小值，即可得； （2）首先应用导数确定为增函数，再得到为增函数，利用单调性即可证明； （3）设，，从而得到能成立，利用导数及分析法求右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由，得. 令，解得，， 当时，；当时，； 当时，. 所以在、上单调递增，在上单调递减， 因此，的极小值为； （2）略 （3）由题意，不妨设，， 因为，所以， 整理得，， 令，，. ①当时，， 此时. ②当时，令，解得， 因此，在上单调递减，在上单调递增，故， 法一：因为， 又因为，得，即 所以， 记，， 则， 因为，所以， 即， 因此，当时，， 又， 综上，， 法二：求最小值的第二种解法. 令，因为，，所以， 下证：， 因为 ， 只需证：， 只需证：， 令，则， 因为， 所以，即恒成立， 因此，， 令，则，对于，， 所以，当且仅当时，. 所以a的取值范围是. 2．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）设函数. (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 当时，在上单调递增； 当时，所以在上单调递减，在上单调递增. (3). 【分析】（1）根据的值表示出切线方程，代入点可求结果； （2）根据和进行分类讨论，由此确定出单调性； （3）当时，将问题转化为“” ，当时，将问题转化为“” ，然后构造函数并分析新函数的单调性，通过分类讨论并结合新函数的端点值确定出满足要求的的取值范围. 【详解】（1）因为，所以， ，所以曲线在点处的切线为， 又切线过点，所以，所以. （2）的定义域为，， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得；由，得；由，得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （3）当时，在上单调递增，由知时，， 当时，由（2）知当，即时，对成立， 所以时，存在正实数，使得对，从而化为， 当，即时，由（2）知在上单调递减，， 化为，即， ①时，令，则， 当时，在单调递增，存在正实数，使得对， 当时，由得，由得，由得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为， 要存在正实数，使得对，则，所以； ②当时，令， 要存在正实数，使得对， 则存在正实数，使得在上单调递减，即对成立， 当时，，此时单调递增，不符合题意， 当时，由得，从而，所以. 综合①②知，的取值范围为. 3．（2025·宁夏石嘴山·一模）设函数，且在处有极值，． (1)求实数a的值； (2)求函数的极值； (3)若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围． 【答案】(1) (2)极小值0，极大值32 (3) 【分析】（1）先计算导函数，再代入1得出函数值为0计算求参； （2）先求出导函数，再根据导函数正负得出函数单调性进而得出函数极值； （3）先把恒成立问题转化为最值，再结合基本不等式求出最小值即可得出参数范围. 【详解】（1），由已知得，解得． （2）由（1）得，则， 令，解得， 当，当， 当，可得当时，函数取极小值． 当时，取得极大值. （3）存在，使得，都有成立 等价于， 又由（1）（2）可知，当时，． 故，，即成立． 又因为，当且仅当，即时等号成立． 故，即的取值范围为． 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 【答案】(1)减区间为，增区间为 (2)1 (3) 【分析】（1）该问已知a的取值，为不含参函数求单调区间，求导可得解； （2）已知a的范围，可表达函数的单调区间和极值，进而判断零点个数及区间，从而得解； （3）由（2），可以分析得出所属区间和范围条件，结合恒成立转化为最值求解. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ，令，则或， 当或时，，，， 所以函数在上严格减，在上严格增， 故函数的减区间为，增区间为； （2）证明：函数的定义域为， ，令，则或， 当时，因为， 所以当或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以的极小值为，极大值为， 因为，， 且在上是减函数，所以至多有一个零点． 又因为，所以， 所以，函数只有一个零点，且；； （3）因为， 所以任意且， 由（2）可知且， 因为函数在上是增函数，在上是减函数， 所以，，所以， 当时，， ， 的最小值为， 所以使得恒成立的的最大值为． 5．（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）已知函数，，． (1)求曲线过点的切线方程； (2)求函数的最大值； (3)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1） 先设切点求出导函数得出切线斜率，再点斜式写出切线方程列方程组计算求解； （2） 根据导函数正负得出函数单调性，进而得出最值； （3）先把恒成立问题转化为，再分，，，分别讨论单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）设：切点坐标为，，对函数求导得：， 所以切线斜率为：．又因为切线过点， 所以．解得， 所以切线方程为：． （2）令， 对函数求导得：， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为. （3）由题设得：存在，使得对任意， 都有成立，等价于， 对函数求导得：， ①当时，令,则， 所以函数在区间上单调递增，在单调递减， 所以函数在处取得最大值，最大值为， 所以，符合题意．           ②时，令，即，解得：， 当，即时，函数在上单调递增，此时函数无最大值，不符合题意；   ③当，即时，函数在上单调递增， 在上单调递减，此时函数无最大值，不符合题意；         ④当，即时，函数在上单调递增． 在上单调递减．此时函数无最大值，不符合题意；     ⑤当，即时．函数在上单调递增，在上单调递减，此时函数在处取得最大值，最大值为， 所以，即．        综上所述，实数的取值范围是：． 考点03 两个平均不等式在双变量中的应用 解题策略：对数平均不等式在大题中不能直接使用，遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化． 基本步骤： (1)求导确定极值点x₀，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x₁+x₂>2x₀）； (2)利用f(x₁)=f(x₂)的等式取对数变形，分离出对数平均结构； (3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证. 【典例3】（24-25高三下·青海玉树·开学考试）对于某个实数k，若存在两个不同的实数，使得，则称函数为“函数”.若函数是“函数”. (1)求实数a的取值范围； (2)证明： 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）问题化为在上有两个不同根，构造，应用导数研究值域范围，即可得参数范围； （2）由（1），令，并将问题化为证明，构造并证明在上即可. 【详解】（1）由题设在上有两个不同的零点，即在上有两个不同根， 令，则， 令，则，即在上单调递增， 又，故上，即，上，即， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若趋向于0或正无穷时都趋向于正无穷，且， 所以时，在上有两个不同的零点，即. （2）不妨令，由（1）易知， 要证，即证，而在上单调递减，即证， 令且，则， 所以， 故在上单调递减，且，则， 所以，故，得证. 【点睛】关键点点睛：第一问，化为在上有两个不同根，并应用导数研究右侧值域；第二问，令，分析法化为证明为关键. 【跟踪训练】1．（2025·广东江门·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 【答案】(1) 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； (2)①； ②由上知， 不妨设，显然， 令， 则， 所以在上单调递增，所以当时，， 即，所以， 又， 时，单调递减，所以，即，证毕. 【分析】（1）分类讨论m的取值结合导数研究函数的单调性即可； （2）①通过同构将问题化为的零点个数，分别用导数研究的单调性，计算参数范围即可；②借助①的结论结合极值点偏移构造差函数判定函数单调性证明即可. 【详解】（1）由可知， 对于方程，若，即或， ①当时，有两个不等正实根， 此时在上，在上， 当，有两个不等负实根，此时在上， ②若时，恒成立，此时在上， 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减； （2）当时，， 记，则， 显然时，，时，， 即在上单调递减，在上单调递增，则， ①令，则， 记，则，所以在上单调递增， 所以，要与有交点，需， 又时，，时，， 所以时，与只有一个交点， 若，此时，则，不符合题意， 若，此时有两个解记为， 所以； ②略 2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，结合函数走势，得到不等式，求出答案； （2）先证明对一切不相等的正实数，都有，进而得到，则，由基本不等式得，进而求出. 【详解】（1）定义域为， 由题意可得. 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减. 当时，，当时，，且， 则，解得，即的取值范围为； （2）证明：先证明对一切不相等的正实数，都有. 不妨设，要证，即证 设， 则， 所以在上单调递增，所以，即当时，有， 故，即. 因为是的两个零点，所以 所以，则， 所以，则. 因为，所以. 因为， 所以. 因为，所以，即. 3.已知函数． （1） 当时，函数为递减函数，求的取值范围； （2） 设是函数的导函数，，是函数的两个零点，且， 求证：． 【分析】（1）求导，利用导函数非正恒成立进行求解；（2）带点作差分离得到，再代入.，将问题转化为，进而利用对数平均不等式进行证明. 【解析】（1）（过程略）． 证明：由，是函数的两个零点，且，所以，两式相减得：，所以， 所以， 要证，只需证即可． 由变形得． 由对数平均不等式可知，上式显然成立． 4．（2026·天津·模拟）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）（i），时，取得极值，所以，求出，进而可求出函数的单调区间； （ii），存在两个极值点，即方程，在上有两个不等实根，所以，而等价于，构造函数即可得证. 【详解】（1）， 则， 所以曲线在点处的切线方程为，即； （2）（i）， ， ∵时，取得极值，∴，解得， ∴， 令，得或；令，得， ∴的单调增区间为，，单调减区间为； （ii）， ∵存在两个极值点， ∴方程，即在上有两个不等实根. ∵，解得， 则 ∴所证不等式等价于， 即， 不妨设，即证， 令，， 则， ∴在上递增，∴， ∴成立， ∴. 考点04 双变量技巧——对称化构造函数 解题步骤： ①不妨设，求出单调区间，确定两变量分属增减区间； ②构造对称辅助函数（为极值点/对称轴）； ③求导判断单调性，结合得到时； ④代入，利用脱去，转化自变量不等式； 难点突破： •极值点是对称中心，固定构造对称式； •证明乘积型偏移，先取对数转化和型偏移再构造； •最后必须结合定义域、单调性完成放缩证明。 【典例4】（河北衡水中学2026年高三下学期一调考试数学试题）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，再判断函数的单调性，最后求函数的最值； （2）首先根据方程构造函数，再根据函数有两个零点，利用同构，以及构造函数，由函数的单调性得到，再构造函数根据函数的单调性，继续构造函数，根据的单调性和端点值，证明不等式 【详解】（1）由题意知函数的定义域为 则令得；令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以 （2）证明：不妨设，则由(1)知， 设，由 得 即 因为函数在R上单调递增， 所以                                         构造函数 则 令，得，令，得 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增． 构造函数 则 所以在区间上单调递增， 所以当时，，即当时， 所以 又在区间上单调递减， 所以，即. 【跟踪训练】1．（2026·河南周口·三模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 2．（25-26高三上·内蒙古通辽·阶段检测）已知函数有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)记，为的两个零点，证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求导讨论单调性，结合零点存在定理讨论零点个数即可； （2）左侧构造，结合单调性即可证明；右侧利用，以及与的关系，代入化简整理即可证明. 【详解】（1）由题意得的定义域为， 由已知得，， 设， 可得， 由反比例函数性质得在上单调递减， 由幂函数性质得在上单调递减， 则在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 由于，故时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增，， 当时， ，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，再区间上单调递增， 所以时，函数有最小值，即， 因为在区间上恒为正，而， 所以 ， 即， 取，则，存在，使， 可得，存在，使，符合题意； 当时，有且只有1个零点，不符合题意； 当时，，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，， 此时单调递减，不会有两个零点； 当时，当时，，单调递增， 而，单调递减，得到， 当时，存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减， 且由对数函数与幂函数增长速度可知，当趋于时，趋于， 则存在，， 当时，，单调递增，， 当时，，单调递减，不会有2个零点； 当时，，， 存在，， 当时，，， 当时，，单调递减，， 单调递减，在上不会有2个零点； 综上，. （2）由（1）得，，设， 则， 则，又所以，故， 由于，且在上单调递增，则，即； 3．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若函数恰有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见详解 【分析】（1）由，，求导利用导数求函数最值即可； （2）（i）由参变分离得，令，则，令，求导分析函数的单调性，根据单调性确定图像，再根据函数图像确定范围即可； （ii）由（i）知，恰有两个不同的解为，，令，求导确定单调性，根据单调性可得，继而得到，再结合函数的单调性可得，即. 【详解】（1），，， 又因为在单调递增，且， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 即， 故的最小值为1. （2）（i），则， 令，即， 令，， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 则，又时，，时，， 所以的函数图像如下： 又单调递增，函数恰有两个不同的零点， 所以恰有两个不同的解， 则的取值范围为. （ii）证明：由（i）设恰有两个不同的解为， 则，即，不妨取，， 令， ， ，即， 所以在单调递增，即， 故，又， 所以， 又，在单调递减， 所以，即， 所以. 4．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 【答案】(1) (2)函数的定义域为， ， 当时，，所以，所以单调递增； 当时，，所以，所以单调递减. 因为，所以可设，则. 令， 则， 当，所以，，所以； 当，所以，，所以， 又，所以恒成立， 所以函数是增函数. 所以，所以， 即. 【分析】（1）利用导数分析的单调性，并求得其最小值，由此不等式对恒成立，转化为.构造函数，利用导数分析其单调性，即可解得实数的取值范围； （2） 利用导数分析函数的单调性，得，则，构造函数，利用导数分析函数的单调性，得，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为， . 当时，令，得. 当时，，所以； 当时，，所以. 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为. 因为不等式对恒成立，所以. 设， 则恒成立， 所以在上单调递增. 因为，所以，解得，即. 综上所述：的取值范围是. （2）略 考点05 比值代换法求解极值点偏移型 （1）求函数唯一极值点； （2）由对数项：设且，将等式整理为 “指数项（或对数项）与多项式项分离” 的形式（如）；若含指数项，两边取自然对数；若含对数项，直接利用对数运算法则合并（如 = ）。 （3）设比值变量，统一变量为单参数：:令，则），得； 将代入步骤 2 的等式，实现 “双变量” 的转化。 【典例5】（25-26高三下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) . (2)（ⅰ）； （ⅱ）由（ⅰ）知：，， ∴，， ∴，则， 不妨设， 要证，则需证， ∵，∴，∴，则只需证， 令，则只需证时，恒成立， 令， ∴， ∴在上单调递增，∴， ∴当时，恒成立， ∴原不等式得证． 【分析】（1）利用导数判断函数的单调区间； （2）（ⅰ）转化为函数与有两个交点的问题；（ⅱ）由函数的两个零点可得，再利用构造函数的方法证明即可. 【详解】（1）当时，， 则 ， ，切线方程为 ，即. （2）（ⅰ）当时，若函数有个不同的零点，， ∴恰有个正实根，，即方程恰有个正实根，， 令，则与有两个不同交点， ∴， ∴当时，；当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增，又， 当从的右侧无限趋近于时，趋近于； 当无限趋近于时，的增速远大于的增速，则趋近于， 则图象如下图所示， ∴当时，与有两个不同交点， ∴实数a的取值范围为． （ⅱ）略 【点睛】方法归纳：研究时函数的零点个数，可通过分离参数将问题转化为，通过研究函数的单调性、极值与值域，结合函数图象与直线的交点个数确定参数范围；证明双变量不等式，属于极值点偏移问题，可通过将两个零点满足的等式变形，统一为单变量，构造辅助函数，利用导数研究辅助函数的单调性与最值完成证明. 易错归纳：求解过程中易忽略定义域的限制，导致参数范围求解错误；求导运算失误，造成函数单调性、极值点判断错误；极值点偏移证明中变量替换不严谨，辅助函数构造或单调性分析出错，导致证明逻辑断裂. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 2．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①； ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②略 3．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1) (2) 令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. (3) 先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （2）略 （3）略 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) (3) 当时，即， 不妨设，由（1）可知， 要证明，即证， 因为，且在上单调递增，所以只需要证， 又因为， 所以只需要证，即证， 即证， 两边同时除以，得， 化简为， 因为，所以只需证， 即证， 令， 则， 令， 则在上恒成立， 所以在上单调递增，， 即在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以． 故，即， 所以． 【分析】（1）求导，分析单调性，确定极值． （2）分类讨论不同取值下需满足的条件，最后取并集. （3）利用函数对称性，将转化为证明，构造函数，求导分析单调性和极值，最终证得． 【详解】（1）， 令，所以，解得， 当时，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在的极小值为，无极大值． （2）在上恒成立， 即在上恒成立， ①当时，由，得，因此，满足题意. ②当时，令， 则， 令，则． 由，得，， 因此，则在上单调递增， 若，则， 则在上单调递增， 所以，满足题意； 若，则，， 因此在上存在唯一的零点， 且， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，不满足题意. 综上，实数的取值范围为． （3）略 【点睛】规律总结  极值点偏移问题的解法： （1）（对称化构造法）构造辅助函数：对结论型，构造函数；对结论型，构造函数，通过研究的单调性证得不等式． （2）（比值代换法）通过代数变形将所证的双变量不等式通过代换化为单变量的函数不等式，利用函数单调性证明． 5．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【答案】(1) (2)（ⅰ）； （ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2知，，， 要证，即证， 因为，所以， 又在单调递减，即证， 又，即证. 设，， 则 ， 当且仅当时取等号， 所以，函数在单调递增. 当时，，因此，， 因为，所以，故原不等式成立； 证明2：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，则，即证（），即证（）， 设（），则， 由（1）知，，当且仅当时取等号， 故，即，在单调递增， 当时，，故原不等式成立， 证明3：由题意可知，，两式相减得， 要证，即证，即证， 令，，则，，， 即证（），即证（）， 令，即证（）， 设（），则， 在单调递减，， 因为，所以，故原不等式成立. 【分析】（1）借助导数研究函数单调性后即可得其最小值； （2）（ⅰ）解法1：令得，再构造函数，结合导数求出该函数单调性后，利用图象与直线有两个交点即可得解；解法2：求导后，分及进行讨论，再利用导数研究其单调性后结合零点存在性定理即可得；（ⅱ）证明1：由（ⅰ）解法2可得、的范围，从而可转化为证明，结合函数单调性，即证，再构造函数，利用导数研究其单调性即可得证；证明2：由题意可知，，则，从而只需证明，再构造函数，结合（1）中所得即可得证；证明3：由题意可知，，则，从而只需证明，令，，令，即只需证（），再构造函数，再利用导数研究该函数单调性即可得证. 【详解】（1）当时，，， 令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 故的最小值为； （2）（ⅰ）解法1：令得， 设，则图象与直线有两个交点， ，当时，；当时，， 因此在单调递增，在单调递减， 时，，，，故的取值范围为； 解法2：函数的定义域为，， 若时，则，故在上单调递减，不满足题意； 若时，令得， 当时，；当时，， 因此在单调递减，在单调递增， 因为函数有两个零点，所以， 即，解得， 此时，， 满足题意，故的取值范围为； （ⅱ）略 考点06 差值代换法求解极值点偏移型 （1）求函数唯一极值点； （2）设差值变量，统一双变量为 “基变量 + 差值”：设，不妨令，即为两点差值； （3）由零点或极值点建立等式，分离复杂项，整理等式：将指数项、对数项等复杂项移到一侧，多项式项移到另一侧，实现 “双变量 的转化。 （4）将偏移目标转化为关于的不等式。 【典例6】（25-26高三上·河南·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 【答案】(1) 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) (3) 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增. 函数有两个零点，，不妨设，则. 要证，只要证，，，只要证. 又∵，∴只要证.     设，， 则. 当时，，，， ∴，∴单调递减，∴.     ，即， ∴. 【分析】（1）求出导函数，按照和分类讨论研究函数单调性； （2）将题干恒成立问题转化为，设，利用导数法求得在上单调递增，从而转化为在上恒成立，设，，利用导数法求得，即可求解； （3）将证明转化为证，设，，利用导数法求得单调递减，则有，即可得证. 【详解】（1）函数，其定义域为，∴.     当时，恒成立，∴在上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增.     综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）由题意，∴即.     ∵，∴不等式可化为，即.     设，则当时，；当时，；当时，. ，当时，，在上单调递增. 当时，，，故， 当时，，，，在上恒成立， 即在上恒成立. 设，，则， 在上单调递增，， ∴， 综上实数a的取值范围是. （3）略 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 【答案】(1)答案见解析； (2)1； (3)证明见解析. 【分析】（1）先求出函数的定义域和导数，然后根据的取值范围讨论导数的正负，从而确定函数的单调性. （2）将恒成立转化为恒成立，通过构造函数求其最大值，进而得到的最小值. （3）先求出的表达式，根据有两个零点得到相关等式，然后通过构造函数利用函数的单调性证明不等式. 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，，即在上恒成立，所以在上单调递增. 当时，令，解得, ，即在上单调递增. ，即在上单调递减. 综上， 当时,在上单调递增， 当时,在上单调递减，在上单调递增. （2）由，得对所有成立， 令，则， 令， 当时，，在上单调递增. 当时，，在上单调递减. 所以在处取得最大值，. 因为恒成立， 所以,即的最小值为1. （3）. ，且， 令，得， 由有两个零点，且有唯一的正根，此时， 当时，，在单调递减， 当时，，在单调递增. 所以是的极小值点，且，两个零点满足. 因为，解得， 又因为，，且是的极小值点， 所以，将代入得到， 若，则，与矛盾， 所以，即，可以得到. 所以位于的递增区间内. ， 将代入得，， 因为，所以， 又与都在的递增区间内， 所以有，即. 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． (3)证明：令，则， 令，故， 令，解得． 故当时，单调递增， 当时，单调递减， 故 ，即在区间上单调递减，且． 又，所以， 令，， 则，， 令，， 则， 所以函数在区间上单调递增，且时，，所以，即 所以函数在区间上单调递减，且时，，所以， 所以当时，，所以， 因为，所以，即， 因为函数在区间上单调递减，所以，即． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）分和两种情况讨论即可求解； （3）令，根据的单调性以及，得出，然后令，， 通过二次求导证明出，结合即可得证. 【详解】（1）依题意，，，则， 而 ，故所求切线方程为 . （2）依题意，的定义域为， 令，得， 若，则当时，单调递减； 当时，单调递增； 若，则当时，单调递增； 当时，单调递减． 综上所述，当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递增，在区间上单调递减． （3）略 3．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 【答案】(1) 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)（i）； （ii）由（1）得，所以，两边同时取自然对数， 得， 两式相减得，即， 要证，只需证明， 令，只需证明构造函数， 求导得， 所以函数在上单调递增， 于是，所以不等式（*）成立，于是原不等式成立． 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得函数的单调区间； （2）（i）结合（1）的分析，确定满足的条件，从而求得的取值范围；（ii）通过构造函数证明对数均值不等式，从而证得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，，所以函数在上单调递增；． 当时，令，解得， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． （2）（i）由题意知方程有两个不同的正实根， 由（1）知，且， 所以，解得． （ii）略 4．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 【答案】(1)① ； ②由①知，当时，，即， 令，则，则， 所以，则， 所以，得证. (2) 函数的定义域为， 又， 因为，是的两个极值点，所以，， 即， 令，，则， 当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 不妨假设， 要证，只需证，因为，所以， 因为在上单调递增，所以只需证， 又因为，所以只需证， 令， 则， 因为，所以， 则，所以， 所以在上单调递减，， 所以，即. 【分析】（1）①求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出函数的最小值； ②由①可知，令，从而得到，再结合等差数列求和公式即可证明； （2）求出函数的导函数，即可得到，令，利用导数说明函数的单调性，不妨设，利用分析法可得只需证，令，利用导数说明函数的单调性，即可证明. 【详解】（1）①当时，，其定义域为， 又， 所以当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，即； ②略 （2）略 5．（25-26高三上·广东·阶段检测）设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解； （2）构造函数，求导数，结合函数单调性与导数的关系即可证明结论； （3）先判断的范围，继而将证明转化为证明．从而设，求导数，利用函数的单调性即可证明. 【详解】（1）由题意得，所以，即， 因为，所以点在切线上，即，所以． （2）由（1）知，切线的方程为，所以要证，即证． 设，则， 当时，此时单调递增： 当时，此时单调递减， 所以，当且仅当时，等号成立．所以． （3）因为，当时，此时单调递减； 当时，此时单调递增，则的极小值为， 且，且小于0，，；且； 因为存在两根且，所以，且． 要证明：，即证．因为在上单调递减， 所以只要证，结合，即证． 设，则， 当时，，则，所以在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 故，所以． 考点07 对、指数均值不等式法求解极值点偏移型 （1）由建立 “对数差与变量差” 的关联等式设，将等式整理为含对数项（或可转化为对数项）的形式；变形等式，分离出对数均值，如由。 （2）套用对数均值不等式，建立与 “算术均值 / 几何均值” 的关系 对数均值不等式核心：对正实数；将步骤1中得到的 “对数均值表达式” 代入不等式： 若需证明 “和的偏移”：用右侧不等式，代入得； 若需证明 “积的偏移”：用左侧不等式，代入对数均值表达式得。 【典例7】（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【答案】(1) (2) 令，，因为函数在上为增函数，且，则， 先证明：， 不妨令，则，即证，即证. 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，所以， 即当时，，故. 本题中，因为，，且， 即，即， 故，所以，故， 即. (3) 先证明：， 不妨令，则，即证， 即证， 令，即证， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，故， 即，故，即. 本题中，，所以，即，即. 【分析】（1）由可得，令，令，其中，分析可知直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出关于实数的取值范围； （2）令，，先证明出，由已知条件得出，可得，即可证得所证不等式成立； （3）先证明，结合以及所证不等式可证得结论成立. 【详解】（1）由， 可得， 令，其中，则函数，故函数在上为增函数， 所以，故函数的值域为， 令，其中，则， 当时，，则函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， 所以， 因为内层函数在上为增函数， 故直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图可知，实数的取值范围是. （2）略 （3）略 【跟踪训练】1．（2026高三·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】由可得，设，其中，则直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可判断①；构造函数，其中，分析函数的单调性，可判断②③；分析出、，利用不等式的基本性质可判断④. 【详解】由可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个交点，， 由可得，即函数的单调递增区间为， 由可得，即函数的单调递减区间为， 且当时，，当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，①对； 对于②，由图可知，， 因为，由可得，由可得， 所以，函数的增区间为，减区间为，则必有， 所以，，则， 令，其中， 则，则函数在上单调递减， 所以，，即，即， 又，可得， 因为函数的单调递减区间为，则，即，②错； 对于③，由，两式相加整理可得， 所以，，可得，③对； 对于④，由图可知，则，又因为，所以，，④对. 故选；C. 【点睛】证明极值点偏移的相关问题，一般有以下几种方法： （1）证明（或）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （2）证明（或）（、都为正数）： ①首先构造函数，求导，确定函数和函数的单调性； ②确定两个零点，且，由函数值与的大小关系，得与零进行大小比较； ③再由函数在区间上的单调性得到与的大小，从而证明相应问题； （3）应用对数平均不等式证明极值点偏移： ①由题中等式中产生对数； ②将所得含对数的等式进行变形得到； ③利用对数平均不等式来证明相应的问题. 2．（2026·山东·模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 【答案】(1) (2) 由，得， 令，则，易得， 所以函数在上单调递增， 令，则关于的方程有两个实数根，且， 要证，即证，即证，即证， 由已知得，所以，所以， 不妨设，即证， 即证，令，即证，其中， 构造函数，则， 所以函数在上单调递增，所以，故原不等式得证. 【分析】（1）对函数求导，分和研究函数的单调性，根据零点个数数形结合求解参数范围即可； （2）令，将证明问题转化为，令，即证，构造函数，利用导数法研究单调性，即可得证. 【详解】（1）易知函数的定义域为， 当时，，在上无零点，与题意不符， 当时，由，得，令， 所以若有两个零点，则直线与函数的图象有两个不同的交点， 易得，令，得， 所以当时，单调递增； 当时，单调递减，所以， 又，当时，，所以函数的大致图象如图所示， 由图可知，当，即时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （2）略 3.（2026高三·全国·专题练习）已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 【答案】证明见解析 【分析】先换元，即证，分别构造函数来证明即可. 【详解】因为，有两个零点，， ， 令，则， 即证明，即证， 设， 由于，即， 左边即证， 即证， 设，则，单调递增， 则当时，，即成立，故. 要证， 即证即, 而, 故即证， 即证：， 令，即证：. 则， 设， 则， 设，则， 设，则，其， 而，故在为减函数， 而，，故存在， 使得时，，时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故，且， 故，故即恒成立， 故在上为减函数，而， 故当时，即，时，即， 故在上为增函数，在上为减函数， 故，故（不恒为零），故为减函数， 故，即， 即得证. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点培优练05 导数综合突破：双变量与极值点偏移7大考点 考点预览 目录 考点01 函数单调性有关的双变量问题 1 考点02 双变量存在性或任意性问题 3 考点03 两个平均不等式在双变量中的应用 5 考点04 双变量技巧——对称化构造函数 7 考点05 比值代换法求解极值点偏移型 9 考点06 差值代换法求解极值点偏移型 11 考点07 对、指数均值不等式法求解极值点偏移型 13 考点通关 考点01 函数单调性有关的双变量问题 此类问题一般是给出含有的不等式,若能通过变形,把不等式两边转化为同源函数,可利用函数单调性定义构造单调函数,再利用导数求解. 常见结论： (1)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (2)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (3)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增； (4)若对任意,当时恒有,则在D上单调递增. 【典例1】（2026·河南濮阳·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，对，都有成立，求实数的取值范围． 【跟踪训练】1．（2026·新疆乌鲁木齐·三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数有两个零点，求的取值范围； (3)若，证明对任意，函数有两个零点，且满足. 2．（2026·山西吕梁·二模）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，求函数的极值点的个数； (3)若存在，且，，证明：. 3．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数， (1)当时，讨论函数单调性； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求b的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，且，求实数取值范围． 4．（2025·云南·模拟预测）已知函数. (1)为的导数，讨论的单调性； (2)若函数在定义域内有两个极值点，，. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 考点02 双变量存在性或任意性问题 1.“恒成立”“存在性”问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转化． 2.构造函数是求范围问题中的一种常用方法，解题过程中尽量采用分离参数的方法，转化为求函数的最值问题 当f(x),g(x)均存在最值时，有以下结论成立： (1)∀x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)max. (2)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)min≥g(x)min. (3)∃x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)min. (4)∃x1∈[m,n],∀x2∈[a,b], f(x1)≥g(x2)成立,则f(x)max≥g(x)max. (5)∀x1∈[m,n],∃x2∈[a,b], f(x1)=g(x2)成立,则f(x)的值域g(x)的值域. 【典例2】（25-26高三下·河北保定·期中）已知函数． (1)若函数为的导函数，判断在上的零点个数； (2)证明：当时，； (3)设，若存在，对任意，都有成立，求实数的取值范围． 【跟踪训练】1．（2026·浙江台州·二模）已知，函数. (1)当时，求函数的极小值； (2)证明：当时，对任意，，都有； (3)若存在，，，使得成立，求实数a的取值范围. 2．（25-26高三上·山西大同·阶段检测）设函数. (1)若曲线在点处的切线经过点，求实数的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在正实数，使得对，都有，求的取值范围. 3．（2025·宁夏石嘴山·一模）设函数，且在处有极值，． (1)求实数a的值； (2)求函数的极值； (3)若存在，使得，都有成立，求实数b的取值范围． 4．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 5．（24-25高三下·江苏南通·阶段检测）已知函数，，． (1)求曲线过点的切线方程； (2)求函数的最大值； (3)若存在，使得对任意，都有成立，求实数的取值范围． 考点03 两个平均不等式在双变量中的应用 解题策略：对数平均不等式在大题中不能直接使用，遇见想用对数平均不等式的问题时，需要从齐次化的角度考虑，把式子往齐次式上转化． 基本步骤： (1)求导确定极值点x₀，验证函数单调性，明确待证偏移结论（如x₁+x₂>2x₀）； (2)利用f(x₁)=f(x₂)的等式取对数变形，分离出对数平均结构； (3)套用对数平均不等式放缩，整理后直接得证. 【典例3】（24-25高三下·青海玉树·开学考试）对于某个实数k，若存在两个不同的实数，使得，则称函数为“函数”.若函数是“函数”. (1)求实数a的取值范围； (2)证明： 【跟踪训练】1．（2025·广东江门·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性． (2)已知，函数，且仅有两个零点． ①求的取值范围； ②证明：的两个零点之积小于1． 2．（25-26高三上·河北·月考）已知函数，且有两个零点. (1)求的取值范围； (2)证明：. 3.已知函数． （1） 当时，函数为递减函数，求的取值范围； （2） 设是函数的导函数，，是函数的两个零点，且， 求证：． 4．（2026·天津·模拟）设函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)设函数 （i）当时，取得极值，求的单调区间； （ii）若存在两个极值点，证明：. 考点04 双变量技巧——对称化构造函数 解题步骤： ①不妨设，求出单调区间，确定两变量分属增减区间； ②构造对称辅助函数（为极值点/对称轴）； ③求导判断单调性，结合得到时； ④代入，利用脱去，转化自变量不等式； 难点突破： •极值点是对称中心，固定构造对称式； •证明乘积型偏移，先取对数转化和型偏移再构造； •最后必须结合定义域、单调性完成放缩证明。 【典例4】（河北衡水中学2026年高三下学期一调考试数学试题）已知函数 (1)求的最小值； (2)若有两个零点，证明： 【跟踪训练】1．（2026·河南周口·三模）已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 2．（25-26高三上·内蒙古通辽·阶段检测）已知函数有两个零点 (1)求a的取值范围； (2)记，为的两个零点，证明： 3．（25-26高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若，求的最小值； (2)若函数恰有两个不同的零点. （i）求的取值范围； （ii）求证：. 4．（2026·甘肃嘉峪关·三模）已知函数，其中. (1)设，若不等式对恒成立，求的取值范围. (2)，若，求证： 考点05 比值代换法求解极值点偏移型 （1）求函数唯一极值点； （2）由对数项：设且，将等式整理为 “指数项（或对数项）与多项式项分离” 的形式（如）；若含指数项，两边取自然对数；若含对数项，直接利用对数运算法则合并（如 = ）。 （3）设比值变量，统一变量为单参数：:令，则），得； 将代入步骤 2 的等式，实现 “双变量” 的转化。 【典例5】（25-26高三下·天津静海·期中）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)当时，若函数有个不同的零点，． （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 【跟踪训练】1．（2026高三·全国·专题练习）已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 2．（2026·山西晋中·二模）已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 3．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 4．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)求在上的极值； (2)若在上恒成立，求实数的取值范围； (3)若存在实数使得函数在上有两个不同的零点，证明：． 5．（25-26高三上·陕西榆林·期末）已知函数. (1)当时，求的最小值； (2)已知函数有两个零点，，且. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）证明：. 考点06 差值代换法求解极值点偏移型 （1）求函数唯一极值点； （2）设差值变量，统一双变量为 “基变量 + 差值”：设，不妨令，即为两点差值； （3）由零点或极值点建立等式，分离复杂项，整理等式：将指数项、对数项等复杂项移到一侧，多项式项移到另一侧，实现 “双变量 的转化。 （4）将偏移目标转化为关于的不等式。 【典例6】（25-26高三上·河南·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)设，若对任意，恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，函数有两个零点，，求证：. 【跟踪训练】1．（25-26高三·全国·二轮复习）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若对所有成立，求a的最小值； (3)设,若有两个零点,求证：． 2．（2025·云南·模拟预测）已知函数． (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若，且，证明：． 3．（25-26高三上·天津蓟州·期中）已知函数． (1)求的单调区间； (2)若有两个正零点，且． （i）求的取值范围； （ii）求证：． 4．（25-26高三上·重庆九龙坡·期中）已知函数 ． (1)当时， ① 求的最小值； ② 设，求证: ； (2)设，，是的两个极值点，求证：． 5．（25-26高三上·广东·阶段检测）设，曲线在处的切线方程为． (1)求k，b的值； (2)证明：； (3)若存在两根，，且，证明：． 考点07 对、指数均值不等式法求解极值点偏移型 （1）由建立 “对数差与变量差” 的关联等式设，将等式整理为含对数项（或可转化为对数项）的形式；变形等式，分离出对数均值，如由。 （2）套用对数均值不等式，建立与 “算术均值 / 几何均值” 的关系 对数均值不等式核心：对正实数；将步骤1中得到的 “对数均值表达式” 代入不等式： 若需证明 “和的偏移”：用右侧不等式，代入得； 若需证明 “积的偏移”：用左侧不等式，代入对数均值表达式得。 【典例7】（2026高三·安徽合肥·专题练习）已知函数 (1)若有两个零点，求实数的取值范围； (2)若且，证明：； (3)若且，证明：. 【跟踪训练】1．（2026高三·四川成都·期中）已知函数有两个零点、，且，则下列命题正确的个数是（    ） ①；②；③；④； A．个 B．个 C．个 D．个 2．（2026·山东·模拟预测）已知函数. (1)若有两个零点，求的取值范围； (2)若方程有两个实数根，且，证明：. 3.（2026高三·全国·专题练习）已知函数（，）.若函数有两个零点，.证明：. 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $