第5章 等可能条件下的概率 单元巩固测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦等可能条件下的概率，通过端午赛龙舟、投壶游戏等生活与文化情境设计问题，适配初中数学暑假巩固，体现数学眼光（几何直观）、思维（推理能力）与语言（数据意识）的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|古典概型、频率估计概率|如“破浪队赛龙舟获胜概率”，情境真实且分层| |填空题|6/18|几何概型、组合问题|如“投壶位置选择”，融入文化传承素材| |解答题|8/72|统计与概率综合、游戏公平性|如“配紫色游戏设计”，创新应用且关联核心素养|

第5章 等可能条件下的概率 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 【答案】D 【分析】本题考查列举法（树状图法）．利用树状图法首先确定红球的个数，然后确定黑球的个数，最后确定对应的白球的个数即可． 【详解】解：画树状图如图所示： 则取法的种数是16． 故选：D． 2．在一只暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算大约是（    ） A．15 B．12 C．9 D．4 【答案】A 【分析】摸到红球的频率稳定在20%，即，即可求解； 【详解】解：摸到红球的频率稳定在20%，即 解得， 经检验，符合题意， 故选：A 【点睛】本题考查用频率估计概率，熟记概率公式，正确计算是本题的解题关键． 3．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出所有等可能的结果，找出满足条件的结果数，再根据概率公式计算得到结果． 【详解】解：∵本次试验为放回摸球，每次摸球都有2种等可能的结果， ∴两次摸球共有种等可能的结果，分别是：(热爱，热爱)，(热爱，奔赴)，(奔赴，热爱)，(奔赴，奔赴)；其中两次摸出词语都为“热爱”的结果只有1种， ∴根据概率公式可得，所求概率为． 4．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，分别求得阴影部分的面积是解题的关键．设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为，根据题意，分别求得阴影部分面积和总面积，根据概率公式即可求解． 【详解】解：设小正方形的边长为1，则大正方形的边长为， ∴总面积为， 阴影部分的面积为， ∴点落在阴影部分的概率为， 故选：A． 5．某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】用画树状图法列出两人选择活动的所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中两人恰好都选择“红色研学”的结果只有种， 两人恰好都选择“红色研学”的概率是． 6．下列说法正确的是（　　） A．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是必然事件 B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖 C．抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上 D．“若是实数，则”是必然事件 【答案】C 【分析】根据随机事件、必然事件的定义，概率的意义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是随机事件，原说法错误； B.某彩票的中奖机会是，买100张也不一定会中奖，原说法错误； C.抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上，说法正确； D.“若是实数，则”是必然事件，原说法错误； 故选：C． 【点睛】本题考查随机事件、必然事件的定义，概率的意义，掌握事件和概率的意义是正确判断的前提． 7．一个两位数，它的十位数字是2，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直接得出两位数是3的倍数的个数，再利用概率公式求出答案． 【详解】根据题意可知，抛掷这个骰子得到的两位数是21,22,23,24,25,26，共6种等可能结果，其中是3的倍数的两位数是21,24共2种结果， 所以得到的两位数是3的倍数的概率为：． 故选：B 【点睛】此题主要考查了概率公式，正确应用概率公式是解题关键． 8．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先列出“破浪”队所有等可能的出场顺序，找出满足“破浪”队获胜的情况，再根据概率公式计算概率，即可得到答案． 【详解】解：∵“追风”队出场顺序固定为快，中，慢，设“破浪”队的三种龙舟为快，中，慢，对“破浪”队的出场顺序进行列举，所有等可能的结果共6种，分别为：快中慢，快慢中，中快慢，中慢快，慢快中，慢中快． 根据比赛规则，“破浪”队要获得三局两胜，仅有一种出场顺序满足获胜条件，即：“破浪”队慢对“追风”队快（输一局），快对“追风”队中（赢一局），中对“追风”队慢（赢一局）． ∴“破浪”队获胜的概率为 ． 9．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 10．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】可采取把9个球三三组合，共分成3个组去称，用天平每次称两组，则：二二选一，两次即可． 【详解】解：把9个小球，三三组合，则可以分成3组，用天平去称，第一次称两组： ①若天平平衡，则重球在第三组，第二次称第三组其中的两个球，若天平平衡，则重球就是第三个，若不平衡，重的一边就是重球； ②若天平不平衡，则重球在重的一边，第二次称重的一边三个球中的两个，若平衡，第三个就是重球，若不平衡，重的一边就是重球． 综上所述，至少需要天平的次数是2． 故选：C． 【点睛】本题考查了二分法的应用，理解二分法是解答关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率为，则口袋中白球的个数是 _____个． 【答案】 【分析】根据概率的求法，确定全部等可能情况的总数，符合条件的情况数目，利用概率公式列方程求解即可． 【详解】解：设口袋中白球有个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意， 口袋中白球的个数是． 12．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 【答案】 【分析】根据题意，选出3个不同数字后，按百位、十位、个位从左到右依次增大的要求排列，仅有唯一一种排列方式．因此所求三位数的个数等于从6个数字中任选3个不同数字的选法总数． 【详解】解：由题意，要得到满足条件的三位数，只需从个数字中选出个不同数字，选出的数字按从小到大排列后对应唯一满足条件的三位数分别是123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，共20个． 13．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点处往点处的壶内投箭矢，要想获胜的可能性最大，则应站在的位置是点________． 【答案】C 【分析】根据垂线段最短判断获胜概率大小． 【详解】解：根据垂线段最短可知是四条线段中最短的一条，即点离最近，故站在点投中的概率最大，获胜概率最大． 14．如图，为圆心，．若转动转盘指针，停止后，指针在阴影部分的概率为_________． 【答案】/0.25 【分析】用阴影部分的份数除以总份数即可得． 【详解】解：由图可知自由转动转盘一次，停止后，指针落在阴影区域的概率是． 15．如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 【答案】 【分析】分析电路通路条件：因为电路是A、B并联部分与C、D并联部分串联，所以当A、B中至少闭合1个，且C、D中至少闭合1个时，灯泡发光，据此统计符合条件的情况数．用古典概型概率公式，将符合条件的情况数除以总情况数得到所求概率． 【详解】解：任意闭合4个开关中的2个，所有等可能的闭合情况为：、、、、、，共种． 由电路图可知，左侧A、B为并联，右侧C、D为并联，两部分串联；要让灯泡发光，需要一个开关在左侧、一个开关在右侧闭合，才能形成通路． 满足条件的情况为：、、、，共种． 所以灯泡发光的概率为． 16．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 【答案】 【分析】先确定所有等可能的结果数，再找出满足条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】列表如下： 由表可知，一共有9种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好都从同一入口进入的结果有3种， P（甲、乙两人恰好都从同一入口进入）=． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【答案】(1) (2) ∵一副扑克牌共有54张，其中大王有1张，4有4张， ∴从中任选一张，恰好是大王的概率是， 从中任选一张，恰好是4的概率是， ∵ ∴摸到大王的机会比摸到4的机会小． 【分析】（1）根据概率公式用方片的张数除以总张数即可． （2）根据题意求出摸到大王的概率和摸到4的概率，进而比较大小求解即可． 【详解】（1）∵共有54张扑克牌，其中方片有13张， ∴从中任选一张，恰好是方片的概率是； 故答案为：； （2）略 【点睛】此题考查了概率的意义，用到的知识点是概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 18．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 【答案】(1)4 (2)解：公平，理由： （小颖获胜），（小英获胜） ， 公平． 【分析】本题考查了根据概率公式求解，游戏的公平性的判断，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）利用概率公式直接计算即可； （2）根据概率判断即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验是方程的解， 所以； 故答案为：4； （2）略 19．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 【答案】(1) (2)游戏对双方公平，理由如下： 共有种等可能的结果，其中摸到蓝球的有种，摸到红球的有种， ∴（小明获胜）；（小亮获胜）； 又∵， ∴游戏对双方公平． 【分析】（1）大量重复试验下摸到蓝球的频率可以估计摸到蓝球的概率，据此求解； （2）确定摸到蓝球的有种，摸到红球的有种，然后根据概率公式计算并比较后即可作出判断． 【详解】（1）解：观察折线统计图发现随着摸球次数的增多摸出蓝球的频率逐渐稳定在附近， 估计袋子中蓝球的个数是：（个）； （2）略 20．端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 【答案】(1) (2)3个 【分析】（1）利用简单概率公式求解； （2）根据概率求出符合要求的个数． 【详解】（1）解：因为共有20种等可能结果，其中获得中性笔的有3种，所以获得中性笔的概率是； （2）解：因为获得奖品的概率提高为，所以涂色的区域一共（个）， 所以（个）， 所以需要再将3个空白扇形涂上颜色． 21．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 【答案】不公平，理由如下： 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，质数有2，3，5，7；被5整除的数有5，10， ∴小丽去的概率为，小华去的概率为． ∵， ∴这个游戏不公平． 游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 【分析】分别计算小丽去的概率和小华去的概率，若概率相等则公平，若概率不相等则不公平；要修改游戏规则达到对双方公平的目的，则应使小丽去的概率和小华去的概率相等． 【详解】解：游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去． 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，奇数有1，3，5，7，9；偶数有2， 4， 6， 8， 10； ∴小丽去的概率为，小华去的概率为， ∴游戏规则修改为摸出小球的号码为奇数时，小丽去；摸出小球的号码为偶数时，小华去，才能对双方公平． 22．某学校于4月份举办校级艺术节，将参与展演的节目分为A类（歌唱类）、B类（舞蹈类）两个类别，通过转盘游戏方式决定到C区（主舞台）、D区（副舞台）两个区域进行展演．第一个转盘被等分成红、蓝两个区域（分别标有数字1，2），负责教师转动该转盘，指针指向的数字记为．第二个转盘被等分成黄、绿、紫三个区域（分别标有数字1，2，3），负责教师再转动该转盘，指针指向的数字记为．若，则A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动；若，则A类节目到D区参加展演活动，B类节目到C区参加展演活动．（注：若指针指向转盘的等分线，则重新转动转盘．） (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动的概率． 【答案】(1)所有可能出现的结果总数为 (2) 【分析】（1）用树状图或列表法列举出所有等可能的结果； （2）结合（1）中所有等可能的结果，找出满足的结果，根据概率公式计算即可． 【详解】（1）解：画树状图如下： 由图可知，可能出现的结果为： ，，，，，， 答：所有可能出现的结果共有6种； （2）由（1）可知所有可能出现的结果共有6种， 其中有两种：，， ∵它们出现的可能性相等， ∴， 答：A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动的概率为． 23．节约能源，从我做起．为响应国家要求，哪吒决定将家里的3只白炽灯全部换成节能灯．商场有功率为和两种型号的节能灯若干个可供选择． (1)列出选购3只节能灯的所有可能方案，并求出买到的节能灯都为同一型号的概率； (2)若要求选购的3只节能灯的总功率不超过，求买到两种型号的节能灯总功率相等的概率． 【答案】(1)选购3只节能灯的所有可能方案有8种情况：，，，，，，，； (2) 【分析】（1）先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． （2）先得到3只节能灯的总功率不超过的有7种，然后求出1只和2只时符合题意，再由概率公式求解． 【详解】（1）解：用树状图列举出所有等可能出现的结果如下： ∴选购3只节能灯的所有可能方案有8种情况：，，，，，，，，其中“买到的节能灯都为同一型号”的有2种， ∴买到的节能灯都为同一型号的概率为； （2）解：3只节能灯的总功率不超过的有7种：，，，，，，， 设灯有只，则灯有只， 由题意得， 解得 ∴1只和2只时符合题意， ∴有，，三种情况， ∴买到两种型号的节能灯总功率相等的概率． 24．小科同学在学习了“频率与概率应用”配紫色游戏这一节后，也设计了一款配紫色游戏如图，O为矩形的对称中心，线段和对角线将矩形分成三部分，其中，分别用“红”、“绿”、“蓝”三种颜料将这三部分涂上颜色，O处的指针拨动后在不受干扰的情况下可在任意位置停下．设计游戏规则如下：拨动指针，待指针停下记下指针指向的颜色，若指针停在，不计入次数，重新拨动指针，直至指向某一颜色区域，记为一次有效拨动.记录一次完整的有效拨动后，才可进行第二次拨动． (1)一次有效拨动，恰好指针停在红色区域的概率____________ (2)利用列表或画树状图的方法求两次有效拨动恰好配成紫色的概率．（已知红蓝可配成紫色） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用概率公式即可得到答案； （2）列出表格，用配成紫色的情况数除以总的情况数即可得到答案． 【详解】（1）解：； （2）连接，则， ∴， 作的平分线， ∴ 列表如下： 红 绿 绿 蓝 蓝 蓝 红 （红 红） （红 绿） （红 绿） （红 蓝） （红 蓝） （红 蓝） 绿 （绿 红） （绿 绿） （绿 绿） （绿 蓝） （绿 蓝） （绿 蓝） 绿 （绿 红） （绿 绿） （绿 绿） （绿 蓝） （绿 蓝） （绿 蓝） 蓝 （蓝 红） （蓝 绿） （蓝 绿） （蓝 蓝） （蓝 蓝） （蓝 蓝） 蓝 （蓝 红） （蓝 绿） （蓝 绿） （蓝 蓝） （蓝 蓝） （蓝 蓝） 蓝 （蓝 红） （蓝 绿） （蓝 绿） （蓝 蓝） （蓝 蓝） （蓝 蓝） 共有36种等可能的结果，其中两次有效拨动恰好配成紫色的有6种， 两次有效拨动恰好配成紫色的概率为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 等可能条件下的概率 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在一个不透明的盒子中有20个不同颜色的玻璃球，其中白色玻璃球有9个，黑色玻璃球有6个，红色玻璃球有5个．现从中任取10个玻璃球，使得其中白色玻璃球不少于2个但不多于8个，黑色玻璃球至多3个，红色玻璃球不少于2个，那么上述取法共有（    ） A．19种 B．18种 C．17种 D．16种 2．在一只暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以推算大约是（    ） A．15 B．12 C．9 D．4 3．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同．第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（     ） A． B． C． D． 4．如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ） A． B． C． D． 5．某校开展“红色研学”“科技探秘”两项实践活动，小红和小星随机选取一项参加，如果选择任意一项可能性都相同，则两人恰好都选择“红色研学”的概率是（     ） A． B． C． D． 6．下列说法正确的是（　　） A．在一张纸上任意画两条线段，这两条线段相交，是必然事件 B．某彩票的中奖机会是，买100张一定会中奖 C．抛一枚硬币正面朝上的概率为，则抛一枚硬币有的可能出现正面朝上 D．“若是实数，则”是必然事件 7．一个两位数，它的十位数字是2，个位数字是抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面分别标有数字）朝上一面的数字，任意抛掷这枚骰子一次，得到的两位数是3的倍数的概率等于（   ） A． B． C． D． 8．某市端午赛龙舟，“追风”与“破浪”两队进行三局两胜的友谊赛，双方各有快、中、慢三种龙舟，同规格较量，“追风”队皆占优．但“破浪”队的快速舟可胜“追风”队的中速舟，中速舟可胜“追风”队的慢速舟．若“追风”队按快、中、慢顺序固定出场，“破浪”队随机安排顺序．则“破浪”队获胜的概率为（   ） A． B． C． D． 9．某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 10．有9个形状大小相同的小球，其中一个略重些，其余8个重量相同．现给你一架天平，能将那个略重些的小球找到，则至少需要天平的次数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同．从中随机摸出一个球，若摸到红球的概率为，则口袋中白球的个数是 _____个． 12．从数字1，2，3，4，5，6中选3个不同数字组成三位数，要求百位、十位、个位从左到右依次增大．这样的三位数有___个． 13．投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线上的点处往点处的壶内投箭矢，要想获胜的可能性最大，则应站在的位置是点________． 14．如图，为圆心，．若转动转盘指针，停止后，指针在阴影部分的概率为_________． 15．如图，四个开关A、B、C、D，一个电源和一个灯泡组成了一个电路图，现任意闭合其中两个开关，则灯泡发光的概率为_______． 16．某公园有A、B、C三个入口，甲、乙两名游客各自随机选择一个入口进入，甲、乙两人选择每一个入口的可能性都相同，那么甲、乙两人恰好都从同一入口进入的概率是______． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．一副扑克牌共有54张，黑桃、红桃、梅花、方块各有13张，还有两张王牌． (1)洗匀后背面朝上放在桌面上，任意抽取1张，抽到方块的概率是________； (2)请你解释一下，打牌的时候，你摸到大王的机会比摸到4的机会小． 18．一个不透明的盒子中装有 3 个白球，2 个黄球，1 个红球，这些球除颜色外形状和大小完全一样． (1)在上述盒子中再放入n个形状和大小完全相同的红球，小颖同学从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率为，则 ． (2)在（1）的条件下，小颖和小英同学一起做游戏，小颖从上述盒子中任意摸出一个球，如果摸到红球，小颖获胜，否则小英获胜．这个游戏对双方公平吗？为什么？（利用概率的知识进行说明） 19．在一个不透明的袋子中装有蓝色和红色小球共个，每个小球除颜色外都相同．小明和小亮做摸球试验，将袋子中的小球摇匀，从中随机摸出一个小球，记下颜色后放回，记作一次试验．不断重复上述过程，大量摸球试验后，累计试验结果，将摸到蓝球的频率绘制成如下折线统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)请估计袋子中蓝球的个数是 ； (2)小明和小亮向袋子中再放入个除颜色以外都相同的红球，开始游戏：将袋子中小球摇匀，从中随机摸出一个小球，摸到蓝球小明获胜，摸到红球小亮获胜．这个游戏对双方公平吗？请你比较概率大小，加以说明． 20．端午节期间，某商场文具卖场为了吸引顾客，设立了一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成20个扇形），并规定：顾客每购买80元的商品，就能获得一次转动转盘的机会．如果转盘停止后，指针正好对准红色、黄色或绿色区域，顾客就可以分别获得相应的奖品（如下表）．小明和妈妈购买了100元的商品，可以获得一次转动转盘的机会，请完成下列问题： 颜色 奖品 红色 笔袋 黄色 中性笔 绿色 橡皮 (1)小明获得中性笔的概率是多少？ (2)为了吸引更多顾客，商家决定将获得奖品的概率提高为，则需要在原转盘的基础上将空白扇形涂色，通过计算说明需要再将几个空白扇形涂上颜色？ 21．某校举行“传颂中华家风，弘扬中华美德”演讲比赛．每班选拔一人参加．七年级（1）班的小丽和小华表现都很优秀，现在打算从这2名同学中任选1名参加学校的演讲比赛．为此设计了如下游戏规则：在一个不透明的袋子里装有10个除号码外其余都相同的小球，小球的号码分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，10．将它们充分摇匀，并从中任意摸出一个小球．规定摸出小球的号码是质数时，则小丽去；摸出小球的号码能被5整除时，则小华去．这个游戏对双方公平吗？请说明理由．如果不公平，应该如何修改游戏规则才能对双方公平？ 22．某学校于4月份举办校级艺术节，将参与展演的节目分为A类（歌唱类）、B类（舞蹈类）两个类别，通过转盘游戏方式决定到C区（主舞台）、D区（副舞台）两个区域进行展演．第一个转盘被等分成红、蓝两个区域（分别标有数字1，2），负责教师转动该转盘，指针指向的数字记为．第二个转盘被等分成黄、绿、紫三个区域（分别标有数字1，2，3），负责教师再转动该转盘，指针指向的数字记为．若，则A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动；若，则A类节目到D区参加展演活动，B类节目到C区参加展演活动．（注：若指针指向转盘的等分线，则重新转动转盘．） (1)请用列表法或树状图法中的一种方法，求所有可能出现的结果总数； (2)求A类节目到C区参加展演活动，B类节目到D区参加展演活动的概率． 23．节约能源，从我做起．为响应国家要求，哪吒决定将家里的3只白炽灯全部换成节能灯．商场有功率为和两种型号的节能灯若干个可供选择． (1)列出选购3只节能灯的所有可能方案，并求出买到的节能灯都为同一型号的概率； (2)若要求选购的3只节能灯的总功率不超过，求买到两种型号的节能灯总功率相等的概率． 24．小科同学在学习了“频率与概率应用”配紫色游戏这一节后，也设计了一款配紫色游戏如图，O为矩形的对称中心，线段和对角线将矩形分成三部分，其中，分别用“红”、“绿”、“蓝”三种颜料将这三部分涂上颜色，O处的指针拨动后在不受干扰的情况下可在任意位置停下．设计游戏规则如下：拨动指针，待指针停下记下指针指向的颜色，若指针停在，不计入次数，重新拨动指针，直至指向某一颜色区域，记为一次有效拨动.记录一次完整的有效拨动后，才可进行第二次拨动． (1)一次有效拨动，恰好指针停在红色区域的概率____________ (2)利用列表或画树状图的方法求两次有效拨动恰好配成紫色的概率．（已知红蓝可配成紫色） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $