1.3 用反比例函数解决问题 暑期预习作业-2026-2027学年九年级上册数学苏科版

**基本信息** 聚焦反比例函数应用，通过选择、填空、解答题分层设计，从概念理解到综合应用，结合生活情境，培养数学眼光、思维与语言。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|反比例函数概念及基本公式应用|单一知识点直接应用，如压强公式、行程问题，夯实运算能力| |能力提升|图像分析与实际问题关联|结合图像判断、情境变量关系，如温度变化、密度计问题，发展推理意识| |综合应用|多步骤问题解决与模型构建|复杂情境综合应用，如药物浓度、行程规划，体现模型意识与应用能力|

1.3 用反比例函数解决问题 一．选择题（共8小题） 1．根据压强公式P，当压力F（单位：N）一定时，压强P（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）成反比例关系．若某物体受力面积增加0.3m2，则受到的压强比原来减少60Pa．设该物体原受力面积为xm2，压力F为定值，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 2．日常生活中的“盐水”，是指含有氯化钠的水溶液．如图，用三个点分别表示甲、乙、丙三瓶盐水的浓度与盐水的质量的对应关系（盐水处于不饱和盐水的浓度和状态），其中甲、丙两点恰好在反比例函数（k＞0，k为常数）的图象上．若甲、乙、丙三瓶盐水中含氯化钠的质量分别为a、b、c，则其大小关系为（提示盐水的浓度100%）（　　） A．b＞a＝c B．a＝c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c 3．已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p．当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，则压强p关于受力面积S的函数图象正确的是（　　） A． B． C． D． 4．一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以平均80千米/小时的速度用了4个小时到达乙地，当他按原路匀速返回时．汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是（　　） A．v＝320t B．v C．v＝20t D．v 5．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，某工厂自2019年1月开始限产进行治污改造，其月利润y（万元）与月份x之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图象的一部分，治污完成后是一次函数图象的一部分，下列选项错误的是（　　） A．4月份的利润为50万元 B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加30万元 C．治污改造完成前后共有4个月的利润低于100万元 D．9月份该厂利润达到200万元 6．学校的自动饮水机，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降．此时水温y（℃）与通电时间x（min）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机再自动加热，若水温在20℃时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法中正确的是（　　） A．水温从20℃加热到100℃，需要7min B．水温下降过程中，y与x的函数关系式是y C．上午8点接通电源，可以保证当天9：30能喝到不超过40℃的水 D．在一个加热周期内水温不低于30℃的时间为min 7．综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（cm）是液体的密度ρ（g/cm3）的反比例函数，其图象如图所示（ρ＞0）．下列说法正确的是（　　） A．当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm B．当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝40cm C．当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3 D．当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm 8．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图象，其中BC段是双曲线的一部分，则当x＝16时，大棚内的温度约为（　　） A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃ 二．填空题（共6小题） 9．某市举行中学生党史知识竞赛，如图，用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，则这四所学校在这次竞赛中成绩优秀的人数最多的是　 　 （填“甲”“乙”“丙”或“丁”）． 10．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度v（m/s）是载重后总质量m（kg）的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s；当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝ 　 　 m/s． 11．已知一菱形的面积为12cm2，对角线长分别为xcm和ycm，则y与x的函数关系式为　 　 12．某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空．现在排水量为平均每小时Q立方米，那么将满池水排空所需要的时间为t（小时），写出时间t（小时）与Q之间的函数表达式　 　 ． 13．验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．小雪的镜片焦距为0.2米时，眼镜度数为500度，经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距变为0.5米，此时眼镜的度数为 　 　 度． 14．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是 　 　 ． 三．解答题（共4小题） 15．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示（当4≤x≤10时，y与x成反比例）． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式． （2）问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间多少小时？ 16．教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃停止加热，水温开始下降，此时水温y（℃）与开机后用时x（min）成反比例关系，直至水温降至30℃，饮水机关机，饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序．若在水温为30℃时接通电源，水温y（℃）与时间x（min）的关系如图所示： （1）分别写出水温上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）怡萱同学想喝高于50℃的水，请问她最多需要等待多长时间？ 17．方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时． （1）求v关于t的函数表达式； （2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发． ①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围． ②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由． 18．已知一艘轮船上装有100吨货物，轮船到达目的地后开始卸货．设平均卸货速度为v（单位：吨/小时），卸完这批货物所需的时间为t（单位：小时）． （1）求v关于t的函数表达式． （2）若要求不超过5小时卸完船上的这批货物，那么平均每小时至少要卸货多少吨？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 1．【解答】解：根据题意得，60， 故选：B． 2．【解答】解：甲、丙两点恰好在反比例函数（k＞0，k为常数）的图象上． 根据题意可知，氯化钠的质量为xy＝k， ∵甲、丙两点恰好在反比例函数的图象上， ∴甲、丙两瓶盐水中氯化钠的质量相同，即a＝c＝k， 如图，设乙对应的点为A，过点A分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为B、C，设AB与反比例函数图象相交于点D，过点D作DE⊥y轴于点E，则b＝S矩形ABOC＞S矩形DBOE＝k， ∴a、b、c大小关系为b＞a＝c． 故选：A． 3．【解答】解：已知压力F（单位：N）一定时，压强p（单位：Pa）与受力面积S（单位：m2）之间的函数关系式为p， ∴压强p关于受力面积S的函数为反比例函数，图象为双曲线，故A，B不符合题意； 当S＝0.3m2时，p＝1800Pa，即1800， 故F＝540， 当S＝0.6时，p＝900，故C符合题意； 当S＝0.5时，p＝1080，故D不符合题意； 故选：C． 4．【解答】解：由题意vt＝80×4， 则v． 故选：B． 5．【解答】解：A、设反比例函数的解析式为y， 把（1，200）代入得，k＝200， ∴反比例函数的解析式为：y， 当x＝4时，y＝50， ∴4月份的利润为50万元，故此选项正确，不合题意； B、治污改造完成后，从4月到6月，利润从50万到110万，故每月利润比前一个月增加30万元，故此选项正确，不合题意； C、当y＝100时，则100， 解得：x＝2， 则只有3月，4月，5月共3个月的利润低于100万元，故此选项不正确，符合题意． D、设一次函数解析式为：y＝ax+b， 则， 解得：， 故一次函数解析式为：y＝30x﹣70， 故y＝200时，200＝30x﹣70， 解得：x＝9， 则治污改造完成后的第5个月，即9月份该厂利润达到200万元，故此选项正确，不合题意． 故选：C． 6．【解答】解：∵开机加热时每分钟上升10℃， ∴水温从20℃加热到100℃，所需时间为：8min， 故A选项不合题意； 由题可得，（8，100）在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为y， 代入点（8，100）可得，k＝800， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是y， 故B选项不合题意； 令y＝20，则20， ∴x＝40， 即饮水机每经过40分钟，要重新从20℃开始加热一次， 从8点9点30分钟，所用时间为90分钟， 而水温加热到100℃，仅需要8分钟， 故当时间是9点30时，饮水机第三次加热，从20℃加热了10分钟， 令x＝10，则y80℃＞40℃， 故C选项不符合题意； 水温从20℃加热到30℃所需要时间为：min， 令y＝30，则30， ∴， ∴水温不低于30℃的时间为min， 故选：D． 7．【解答】解：根据题意得，反比例函数解析式为：h， A、当液体密度ρ≥1g/cm3时，浸在液体中的高度h≤20cm，故原说法错误，不符合题意； B、当液体密度ρ＝2g/cm3时，浸在液体中的高度h＝10cm，故原说法错误，不符合题意；， C、当浸在液体中的高度0＜h≤25cm时，该液体的密度ρ≥0.8g/cm3，正确，符合题意； D、当液体的密度0＜ρ≤1g/cm3时，浸在液体中的高度h≥20cm，故原说法错误，不符合题意；， 故选：C． 8．【解答】解：∵点B（12，18）在双曲线y上， ∴18， 解得：k＝216． 当x＝16时，y13.5， 所以当x＝16时，大棚内的温度约为13.5℃． 故选：C． 二．填空题（共6小题） 9．【解答】解：用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）y与该校参加竞赛人数x的情况，则： 描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上，设反比例函数表达式为，甲（x1，y1）、乙（x2，y2）、丙（x3，y3）、丁（x4，y4）， 过甲点作y轴平行线交反比例函数于（x1，y′1），过丙点作y轴平行线交反比例函数于（x3，y′3），如图所示： 由图可知y′1＞y1，y′3＜y3， ∴（x1，y′1）、乙（x2，y2）、（x3，y′3）、丁（x4，y4）在反比例函数图象上， 根据题意可知xy＝优秀人数， ①x2y2＝k＝x4y4，即乙、丁两所学校优秀人数相同； ②x1y1＜x1y′1＝k，即甲学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数少； ③x3y3＞x3y′3＝k，即丙学校优秀人数比乙、丁两所学校优秀人数多； 综上所述：甲学校优秀人数＜乙学校优秀人数＝丁学校优秀人数＜丙学校优秀人数， ∴在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数最多的是丙学校， 故答案为：丙． 10．【解答】解：设反比例函数解析式为v， ∵机器狗载重后总质量m＝60kg时，它的最快移动速度v＝6m/s； ∴k＝60×6＝360， ∴反比例函数解析式为v， 当m＝90kg时，v4（m/s）， 答：当其载重后总质量m＝90kg时，它的最快移动速度v＝4m/s． 故答案为：4． 11．【解答】解：由题意得：y与x的函数关系式为y（x＞0）． 故本题答案为：y（x＞0）． 12．【解答】解：∵某蓄水池的排水管的平均排水量为每小时8立方米，6小时可以将满池水全部排空， ∴该水池的蓄水量为8×6＝48（立方米）， ∵Qt＝48， ∴t． 故答案为：t． 13．【解答】解：设y（k≠0）， ∵（0.2，500）在图象上， ∴k＝500×0.2＝100， ∴函数解析式为：y， 当x＝0.5时，y200， ∴此时眼镜的度数为200度． 故答案为：200． 14．【解答】解：如图，记AP边上的高为DE， ∵矩形ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠APB， ∵∠B＝∠AED＝90°， ∴△ABP∽△DEA， ∴， ∴， ∴y． 故答案为：y． 三．解答题（共4小题） 15．【解答】解：（1）当0≤x≤4时，设直线解析式为：y＝kx， 将（4，8）代入得：8＝4k， 解得：k＝2， 故直线解析式为：y＝2x， 当4≤x≤10时，设反比例函数解析式为：y， 将（4，8）代入得：8， 解得：a＝32， 故反比例函数解析式为：y； 因此血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为y＝2x（0≤x≤4）， 下降阶段的函数关系式为y（4≤x≤10）． （2）当y＝4，则4＝2x，解得：x＝2， 当y＝4，则4，解得：x＝8， ∵8﹣2＝6（小时）， ∴血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间6小时． 16．【解答】解：（1）观察图象，可知：当x＝7（min）时，水温y＝100（℃） 当0≤x≤7时，设y关于x的函数关系式为：y＝kx+b， ，得， 即当0≤x≤7时，y关于x的函数关系式为y＝10x+30， 当x＞7时，设y， 100，得a＝700， 即当x＞7时，y关于x的函数关系式为y， 当y＝30时，x， ∴y与x的函数关系式为：y，y与x的函数关系式每分钟重复出现一次； （2）将y＝50代入y＝10x+30，得x＝2， 将y＝50代入y，得x＝14， ∵14﹣2＝12，12 ∴怡萱同学想喝高于50℃的水，她最多需要等待min； 17．【解答】解：（1）∵vt＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v关于t的函数表达式为：v，（t≥4）． （2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时 将t＝6代入v得v＝80；将t代入v得v＝100． ∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100． ②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由如下： 8点至11点30分时间长为小时，将t代入v得v120千米/小时，超速了． 故方方不能在当天11点30分前到达B地． 18．【解答】解：（1）由题意可得：100＝vt， 则v（t＞0）； （2）∵不超过5小时卸完船上的这批货物， ∴t≤5， 则v20， 答：平均每小时至少要卸货20吨 学科网（北京）股份有限公司 $