25.1一元二次方程讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本讲义系统梳理一元二次方程的核心知识，从概念（定义、三个必备条件、一般形式）到解法（直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法），再到根的判别式与韦达定理，构建完整学习支架，为后续应用奠定基础。 资料通过表格对比解法适用形式与思路，突出“先化简再判断”等关键注意事项，培养抽象能力与运算能力。典型例题涵盖概念辨析、含参问题等，助力学生用数学语言表达问题，课中辅助教师高效授课，课后帮助学生查漏补缺，强化知识理解。

人教版九上 · 25.1 一元二次方程的概念 讲义 25.1 一元二次方程的概念 讲义 一、知识梳理 1. 什么是一元二次方程 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件：①是整式方程（分母不含未知数、根号下不含未知数）；②只含一个未知数；③整理后未知数最高次数为 2。三者缺一不可。 【注意】判断时须先化简整理！例如 (x+1)² = x² + 2x + 1 化简后实际是一次方程，不能只看表面。 如何判断一个方程是不是一元二次方程 条件 含义 反例（不是一元二次方程） ① 整式方程 分母、根号下不含未知数 + x = 2 ② 一元 只含一个未知数 x² + y = 3（二元） ③ 二次 最高次数为2，且二次项系数≠0 ax²+bx+c=0 中 a=0 时退化为一次 2. 一般形式 任何一个一元二次方程，经过去分母、去括号、移项、合并同类项后，都可以化为以下形式： ax² + bx + c = 0 （a ≠ 0） ax²：二次项，a 是二次项系数（a ≠ 0 是核心前提）。 bx：一次项，b 是一次项系数（可为 0）。 c：常数项（可为 0）。 【注意】当 a = 0 时，方程退化为 bx + c = 0，变成一元一次方程，不再是一元二次方程。 如何化为一般形式（步骤） 例：将方程 (x + 3)(x − 2) = 5 化为一般形式。 ① 展开左边：x² − 2x + 3x − 6 = 5 ② 合并同类项：x² + x − 6 = 5 ③ 移项使右边为 0：x² + x − 11 = 0 ∴ 一般形式为：x² + x − 11 = 0，其中 a = 1，b = 1，c = −11。 3. 方程的根（解） 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，也叫方程的根。 检验方法：将 x 的值代入方程左边，看是否等于右边（通常为 0）。 例：判断 x = 2 是不是 x² − 5x + 6 = 0 的根。 代入：左边 = 2² − 5×2 + 6 = 4 − 10 + 6 = 0 = 右边。 ∴ x = 2 是该方程的根。 【注意】已知一根求参数：把根代入方程，得到关于参数的新方程，解出即可。 4. 含字母系数时如何判断 当方程中含有字母参数时，必须保证化简后：①二次项系数 ≠ 0；②存在 x² 项。 例：关于 x 的方程 (m − 1)x² + 2x + 3 = 0 是一元二次方程，求 m 的取值范围。 解：由题意得 m − 1 ≠ 0，∴ m ≠ 1。 例：方程 (m² − 1)x² + (m + 1)x − 2 = 0 是一元二次方程，求 m。 解：需满足 m² − 1 ≠ 0，即 m ≠ ±1。 二、一元二次方程的四种解法 解法总览 解法 适用形式 核心思路 速度/通用性 直接开平方法 (x+m)² = n (n≥0) 两边直接开方，注意± ⚡最快，但条件苛刻 因式分解法 左边可分解为两一次因式乘积 降次为两个一次方程 ⚡首选，需能分解 公式法 所有一元二次方程 套求根公式，先算Δ 🐢万能，计算量大 配方法 所有方程（公式法基础） 凑完全平方再开方 🐇通用，推导必备 解法一：直接开平方法 适用条件：方程可化为 (x + m)² = n 的形式，且 n ≥ 0。 步骤：两边开平方 → x + m = ±√n → x = −m ± √n。 例题1 用直接开平方法解方程 方程：(x − 3)² = 16 解：两边开平方得 x − 3 = ±4。 当 x − 3 = 4 时，x₁ = 7；当 x − 3 = −4 时，x₂ = −1。 ∴ x₁ = 7，x₂ = −1。 【注意】开平方务必写“±”，漏写会丢一半分数！ 解法二：因式分解法（首选最快） 核心原理：若 A × B = 0，则 A = 0 或 B = 0（降次思想）。 步骤：①移项使右边 = 0；②左边因式分解；③令每个因式 = 0；④分别求解。 例题2 用因式分解法解方程 方程：x² − 5x + 6 = 0 解：因式分解得 (x − 2)(x − 3) = 0。 ∴ x − 2 = 0 或 x − 3 = 0。 ∴ x₁ = 2，x₂ = 3。 常用分解技巧：提公因式、平方差公式、完全平方公式、十字相乘法。 【注意】能分解就分解，因式分解法是最快的解法。 解法三：配方法（公式法的基础） 步骤：①二次项系数化为 1（两边÷a）；②移常数项到右边；③两边同加“一次项系数一半的平方”；④左边写成完全平方；⑤开方求解。 例题3 用配方法解方程 方程：x² − 6x + 5 = 0 解：①移项得 x² − 6x = −5。 ②一次项系数 −6 的一半是 −3，平方为 9，两边同加 9： x² − 6x + 9 = −5 + 9 ③写成完全平方：(x − 3)² = 4 ④开平方：x − 3 = ±2 ∴ x₁ = 5，x₂ = 1。 【注意】配方法的关键口诀：“一次系数一半的平方”。它是推导求根公式的必经之路。 解法四：公式法（万能解法） 求根公式：对于方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），当 b² − 4ac ≥ 0 时： x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a) 步骤：①化为一般形式，确定 a、b、c；②计算判别式 Δ = b² − 4ac；③判断 Δ 的符号；④代入公式求解。 例题4 用公式法解方程 方程：2x² − 3x − 2 = 0 解：a = 2，b = −3，c = −2。 Δ = b² − 4ac = (−3)² − 4×2×(−2) = 9 + 16 = 25。 √Δ = √25 = 5。 x = (3 ± 5) / (2×2) = (3 ± 5) / 4。 ∴ x₁ = 2，x₂ = − 。 【注意】公式法最大易错点：b 为负数时，−b 变正，符号最容易出错，务必小心。 三、根的判别式 Δ = b² − 4ac 定义：对于一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0），令 Δ = b² − 4ac，称为根的判别式。 作用：不解方程，即可判断根的情况。 Δ 的符号 根的情况 记忆口诀 Δ > 0 两个不相等的实数根 正号→两不同 Δ = 0 两个相等的实数根（重根） 零→两相同 Δ < 0 没有实数根（有共轭虚根） 负号→无实根 例题5 不解方程，判断根的情况 方程：3x² − 2x + 1 = 0 解：a = 3，b = −2，c = 1。 Δ = (−2)² − 4×3×1 = 4 − 12 = −8 < 0。 ∴ 该方程没有实数根。 例题6 已知根的情况，求参数范围 关于 x 的方程 x² − 2x + k = 0 有两个不相等的实数根，求 k 的取值范围。 解：a = 1，b = −2，c = k。 Δ = (−2)² − 4×1×k = 4 − 4k。 ∵ 有两个不等实根，∴ Δ > 0，即 4 − 4k > 0。 ∴ k < 1。 【注意】已知根的情况求参数，本质是列关于 Δ 的不等式，注意前提是 a ≠ 0。 四、根与系数的关系（韦达定理） 定理：若一元二次方程 ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）的两个实数根为 x₁、x₂，则： x₁ + x₂ = − x₁ · x₂ = 使用前提：方程必须有实数根，即 Δ ≥ 0。 常见变形（必记） 表达式 变形结果 1/x₁ + 1/x₂ (x₁+x₂)÷(x₁x₂) = (− )÷() = − x₁² + x₂² (x₁+x₂)² − 2x₁x₂ = − 2 (x₁−x₂)² (x₁+x₂)² − 4x₁x₂ = − 4 x₁²x₂ + x₁x₂² x₁x₂(x₁+x₂) = ()(− ) = − 例题7 利用韦达定理求代数式的值 已知 x₁、x₂ 是方程 2x² − 5x + 3 = 0 的两根，求 1/x₁ + 1/x₂ 的值。 解：a = 2，b = −5，c = 3。 x₁ + x₂ = −(−5)÷2 = ，x₁x₂ = 。 + = (x₁ + x₂)÷(x₁x₂) = ()÷() = 。 ∴ + = 。 五、典型例题精讲 例题8 综合：识别与化一般形式 将下列方程化为一般形式，并指出 a、b、c： （1）3x(x − 1) = 2(x + 2) （2）(2x − 1)² = 4x 解（1）： 3x² − 3x = 2x + 4 → 3x² − 5x − 4 = 0 ∴ a = 3，b = −5，c = −4。 解（2）： 4x² − 4x + 1 = 4x → 4x² − 8x + 1 = 0 ∴ a = 4，b = −8，c = 1。 例题9 已知根求参数 若关于 x 的方程 x² − ax + 6 = 0 的一个根是 2，求 a 的值及另一根。 解：将 x = 2 代入方程：4 − 2a + 6 = 0 → 10 − 2a = 0 → a = 5。 方程为 x² − 5x + 6 = 0，因式分解得 (x − 2)(x − 3) = 0。 ∴ a = 5，另一根为 x = 3。 例题10 含参一元二次方程的识别 当 m 为何值时，方程 (m² − 1)x² + (m − 1)x + 2 = 0 是关于 x 的一元二次方程？ 解：需满足二次项系数 m² − 1 ≠ 0。 m² ≠ 1 → m ≠ 1 且 m ≠ −1。 ∴ 当 m ≠ ±1 时，该方程是一元二次方程。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $