第1章 2.2 菱形的判定 课时同步训练 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦菱形判定定理的分层巩固，通过基础理解、方法对比到综合应用的三阶设计，培养几何直观与推理能力，适配新授课知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|三种判定定理（定义、四边相等、对角线垂直）|选择填空题结合图形辨析，强化定义与定理直接应用| |提升层|判定方法对比、证明规范、性质判定逆向运用|解答题突出逻辑推理，如尺规作图判定依据分析| |拓展层|综合应用（动点、坐标系、几何综合题）|结合矩形、坐标系等情境，如菱形与等边三角形综合证明|

2026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 2菱形的性质与判定 第2课时菱形的判定 课时目标 理解并掌握菱形的三种判定方法（定义判定、四边相等判定、对角线互相垂直的平行 四边形判定)，能根据已知条件灵活选用恰当的判定定理。 2. 能运用菱形的判定定理进行逻辑推理和几何证明，规范书写证明过程，体会“性质” 与“判定”的互逆关系。 能综合运用菱形的判定和性质解决几何计算与证明问题，提高分析问题、构造辅助条 件和逻辑推理的能力。 课时目录 知识点01：菱形的判定定理一：定义判定 知识点02：菱形的判定定理二：四条边都相等 知识点03：菱形的判定定理三：对角线互相垂直的平行四边形 知识点04：三种判定方法的适用条件对比 1/54 知识点05：菱形判定的证明过程 知识点06：菱形判定与性质的逆向运用 知识点07：菱形判定在实际几何题中的综合应用 知识点01：菱形的判定定理一：定义判定 菱形的定义本身就是一种判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若·ABCD且AB=AD,则四边形ABCD是菱形。 使用条件：必须先证明四边形是平行四边形，再证明其一组邻边相等。 这是最基础的判定方法，也是后续判定定理证明的依据。 1.(25-26八年级下河北唐山期末)根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是( 5 5 A 70° B Q70° 70°> C D 110° 110° 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理，逐一分析选项； 【详解】A.己知两个相邻内角和为70°+110°=180°，仅可推出一组对边平行，因此该四边形不能判 断出是平行四边形；邻边长度都为5，也无法判定四边相等或对角线垂直，因此不足以判定为菱形. B.三个内角为70°、70°、110°，可得第四个角110°，然后根据对角相等，可判定是平行四边形；又 有一组邻边长度都为5，即邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定为菱形. 2/54 C.四边形四条边都相等，根据“四边相等的四边形是菱形”，可判定为菱形 D.四边形对角线互相平分且垂直，根据“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，可判定为菱形. 2.(2025安徽宿州：一模)己知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB川CD.添加下列选项中 的条件，仍不能判定四边形ABCD是菱形的是() A.AD=BC且AC⊥BD B.AB=CD且AB=AD C.AD|BC且OA+OB2=AB2 D.AB=CD且AC⊥BD 【答案】A 【分析】本题考查菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键 根据菱形的判定方法，逐一进行判断即可· 【详解】解：A.由AB‖CD和AD=BC,不能判定四边形ABCD是平行四边形，所以由AC⊥BD, 不能判定四边形ABCD是菱形，符合题意： B.由AB‖CD和AB=CD可知四边形ABCD是平行四边形，再由AB=AD可判定四边形ABCD是菱 形，故不符合题意： C.由AB‖CD和AD‖BC可知四边形ABCD是平行四边形，由OAP+OB2=AB可知AC⊥BD,即可 判定四边形ABCD是菱形，故不符合题意： D.由AB‖CD和AB=CD可知四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD可判定四边形ABCD是菱 形，故不符合题意： 故选：A 3.(23-24八年级下·山西朔州期中)如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为 () A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.无法确定 【答案】A 3/54 【分析】本题考查菱形的判定.根据题意，先证明四边形ABCD是平行四边形，再证明邻边相等即可， 【详解】解：如图，过点A作AE⊥BC于E,过点A作AF⊥CD于F A ·.·AB∥CD.AD∥BC ∴四边形ABCD是平行四边形 ·两张等宽的纸条交叉叠放在一起 ∴.AE=AF SARCD=BC·AE=CD·AF ∴BC=CD ∴四边形ABCD是菱形 故选：A 4.(2425八年级下·辽宁沈阳期末)下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是() A.∠A=90 B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 【答案】D 【分析】本题考查菱形的判定方法，根据菱形的判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，结合 选项逐一分析即可 【详解】A.若∠A=9O°，则平行四边形ABCD为矩形，而非菱形，故A错误： B.由∠B=∠C及平行四边形邻角互补可得∠B=∠C=90°，此时平行四边形为矩形，故B错误： C.对角线AC=BD的平行四边形是矩形，不能判定为菱形，故C错误： D.对角线AC⊥BD的平行四边形是菱形，符合菱形的判定条件，故D正确。 故选：D 知识点02：菱形的判定定理二：四条边都相篗 四条边都相等的四边形是菱形。 4/54 几何语言：在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA,则四边形ABCD是菱形。 证明思路：由四边相等可先证两组对边分别相等(AB=CD,BC=DA),根据“两组对边 分别相等的四边形是平行四边形”得平行四边形，再由AB=BC得一组邻边相等，由定义 判定为菱形。 注意：该判定不需要预先证明平行四边形，直接由四边相等即可得出结论，适用范围更 广。 5.(25-26八年级下·河北沧州期末)数学活动课上，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O,小颖 同学利用尺规按如下步骤操作：①如图，以C为圆心，以OC长为半径画弧：②以D为圆心，以OD长 为半径画弧；两弧交于点E,分别连接CE,DE.小颖认为：若AC=BD,则四边形OCED是菱形， 她最直接的判定依据是() B A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.菱形的四条边相等 【答案】A 【分析】根据菱形的判定定理，即四条边相等的四边形是菱形解答即可， 【详解】解：：四边形ABCD为平行四边形， :.OC-AC,OD=IBD 2 2 若AC=BD,则OC=OD 由作图可得DE=OD,CE=OC, .'DE =OD=CE=OC. ∴，四边形OCED是菱形，即小颖最直接的判定依据是四条边相等的四边形是菱形. 6.(25-26八年级下陕西西安期末)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AD∥BCE为BC上一点且 AE=AD,连接AC,DE交于点O,AC平分∠DAE. 5/54 D Q B (I)求证：四边形AECD为菱形： (2)若AB=5,BC=10,求四边形AECD的面积. 【答案】(I)证明：AD‖BC, ∴.∠DAC=∠ACE, AC平分∠DAE, .∠DAC=∠EAC, ·.∠ACE=∠EAC, .AE=EC, AE AD, .EC=AD. “四边形AECD是平行四边形， AE=AD, ∴，四边形AECD是菱形： 25 ②4 【分析】(1)由平行加平分角可得AD=EC,可得四边形是平行四边形，由已知条件即可证明： (2)设菱形的边长为x,在Rt△ABE中，利用勾股定理建立方程求出菱形的边长即可求解. 【详解】(1)证明：略： (2)解：由于四边形AECD为菱形，故设菱形的边长为x, AE=EC=x,BE=BC-EC=10-x, :AB⊥BC,AB=5, ∴由勾股定理得，AB2+BE2=AE2, 即5+(0-x= 解得25 4 6/54 即EC25 4 ÷四边形AECD的面积为ECAB=25x5=125 4 4· 7.(25-26八年级下·云南昭通期末)如图，矩形ABCD中，点E,F分别在边AB,CD上， AB=2AD=8.BE=DF=3. B (I)求证：四边形AECF是菱形： (②)连接EF,求线段EF的长. 【答案】(I)证明：四边形ABCD为矩形，AB=2AD=8,BE=DF=3, ∴∠B=∠D=90°，CD=8,AD=BC=4,AE=CF=5, .AF=CE=V32+42=5 .AE=EC=CF=AF ∴.四边形AECF是菱形 ②EF=2V5 【分析】(1)根据矩形的性质得到AB=2AD=8,BE=DF=3,∠D=∠B=90°，求得AF=CE=5, 根据勾股定理得到AF=CE=5,于是得到结论： (2)连接AC,交EF于点O,勾股定理求得AC,进而可得OC的长，根据菱形的性质可得AC⊥EF 再根据勾股定理，求得OF,进而即可求解. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AC,交EF于点O, B C..AD=4 CD=8 7/54 .AC=V42+82=45 ~四边形AECF是菱形， ·AC⊥ER,EF=20F,0C=AC=2√5 0F=52-(25=5, .EF=25 &.(25-26八年级下·安徽芜湖期末)如图，在△ABC中，BC=2AB,D,E分别为BC,AC的中点， 过点A作AFI‖BC交DE的延长线于点F. A (I)求证：四边形ABDF是菱形： (2)若AB=6,∠B=60°，求AE的长 【答案】)证明：：D,E分别为BC,AC的中点， ∴，DE为△ABC的中位线，BC=2BD, .DE AB. ..AF ll BC, ∴四边形ABDF为平行四边形， .BC=2AB, .AB=BD, ∴四边形ABDF是菱形： ②36 【分析】(1)先证明DE为△ABC的中位线，BC=2BD,得出DE‖AB,结合AFI‖BC,得出四边形 ABDF为平行四边形，再证明出AB=BD,即可得证： 8/54 (2)由菱形的性质可得AB=BD=AF=DF=6,连接AD,证明△ADF为等边三角形，由等边三角形 的性质可得DE=EF=2DF=3,AE⊥DP,最后再由勾股定理计算即可得出结果， 【详解】(1)略： (2)解：，四边形ABDF是菱形， .AB=BD=AF=DF=6, 如图，连接AD, ,∠B=60°， ∴.△ABD为等边三角形， .AD=6=AF DF, ∴.△ADF为等边三角形， :E为AC的中点， .DE-EF-DF-3 AE1 DF 、4E=VAF2-EF2=35 知识点03：菱形的判定定理三：对角线互相垂直的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 几何语言：在ABCD中，若AC⊥BD,则ABCD是菱形。 证明思路：设对角线交于点O,由平行四边形性质知OA=OC,OB=OD;又AC⊥BD, 故∠AOB=∠COB=90°；在Rt△AOB和Rt△COB中，OA=OC,OB=OB,可证 Rt△AOB≌Rt△COB(HL),得AB=BC,即一组邻边相等，由定义判定为菱形。 该判定利用了平行四边形对角线互相平分的性质，再加上垂直条件即可推出菱形。 9/54 9.(25-26八年级下湖南邵阳期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD, OB=OD,请你补充一个条件：-，求证：四边形ABCD是菱形. 【答案】添加条件：OA=OC(答案不唯一) 证明：OA=OC,OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形， :AC⊥BD ·.平行四边形ABCD是菱形. 【分析】根据添加条件，先证四边形ABCD是平行四边形，再由AC⊥BD,即可得出结论. 【详解】略 10.(25-26八年级下·甘肃兰州期末)如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和AD上，AC和EF相 交于点O,AE=CF,AC⊥EF (I)求证：四边形AECF是菱形； (2)若AD=4,AB=2,求DF的长， 【答案】Q)证明：：四边形ABCD是矩形， .AD‖BC,AF∥EC, .∠0AF=∠OCE, :AC⊥EF, .AOF=∠COE=90°， 在△AOF和△COE中： 10154 ∠OAF=∠OCE ∠AOF=∠COE AE=CF △AOF≌△COE(AAS) .AF=CE, AF∥EC .四边形AECF是平行四边形， AC⊥EF, ∴.四边形AECF是菱形 3 ez 【分析】(1)先证 AOF≌COE(AAS)得4F=CE,再证四边形1ECF是平行四边形，结合 AC⊥EF即可证得四边形AECF是菱形. (2)设DF=x,由(1)得CF=AF=4-x,结合勾股定理求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：设DF=x,则AF=AD-DF=4-x, ,四边形AECF是菱形， .CF=AF=4-x, 在RtCDF中CF2=CD+DF2即(4-x=2'+ 解得x=2,即DF= 3 11.(25-26八年级下·甘肃张掖期末)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E是OC上一点， 连接BE,DE,且BE=DE. (I)求证：四边形ABCD是菱形： 11/54 (2)若AB=20,∠BAC=60°，求BD的长. 【答案】I)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴.BO=DO ∴.EO是BD边上的中线， BE=DE, ∴.EO⊥BD ,AC⊥BD ∴.四边形ABCD是菱形： ②205 【分析】(I)根据平行四边形对角线互相平分，可知BO=D0,结合BE=DE,利用等腰三角形三 线合一，可证EO⊥BD,即可证明结论成立 (2)由(1)可得ABCD是菱形，然后算得∠ABO=30°，然后在Rt△ABO中利用勾股定理，可算得 AO,BO,根据BD=2BO即可得到答案. 【详解】(1)略 (2)解：：EO⊥BD,∠BAC=60°， .∠AB0=30°， AB=20 ..AO=AB =10 2 :B0=VAB2-A02=V202-102=10N5 ~四边形ABCD是平行四边形， .∴.BO=DO BD=2B0=20V5 12.(25-26八年级下四川成都期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC的中点，过点 O作EF⊥AC分别交边AD,BC于点E,F,垂足为O 12154 (I)求证：四边形AFCE为菱形： Q在BC的延长线上取一点G,使CG=0C,连接OG.若F为8C的中点，且∠G=15”,4B=45 求线段OC的长度，并求出△FOG的面积. 【答案】Q)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .ADl BC .∠EAO=∠FCO,∠AEO=∠CFO, ,O为对角线AC的中点， ..OA=OC, △AOE≌△COF(AAS) ..OE=OF, ∴，四边形AFCE是平行四边形， EF⊥AC, ,四边形AFCE为菱形： ②9+65 【分析)(I)由题意易得AD‖BC,OA=OC,则有∠EA0=∠FCO,∠AE0=∠CF0,然后可得 △AOE≌ACOF(AAS ,则有OE=OF,进而根据菱形的判定定理进行求证即可： (2)过点O作OH⊥BC,由题意易得∠COG=∠G=15°，则有∠FC0=∠COG+∠G=30°，然后根 据三角形钟位线可得0r-)4B=25,GF=20r-45,OC=NCr-OF=6CG,进而可得 OH=)OC=3,最后根据三角形面积公式可进行求解。 2 13154 【详解】(1)略 (2)解：过点O作OH⊥BC,如图所示： ,CG=0C,∠G=15°， ∠C0G=∠G=15°， ∴.∠FC0=∠C0G+∠G=30°. :O为对角线AC的中点，F为BC的中点， :OF是△ABC的中位线， :0F=4B=25 ,∠FC0=30°，∠F0C=90° :CF=20F=45,0C=CF2-0F=6=CG FG=FC+CG=43+6 .OH⊥BC, 1 ..OH =0C=3 2 1 S.FOG= FG0H=9+6√3 2 知识点04：三种判定方法的适用条件对北此 判定方法 前提条件 需证条件 适用题型特点 题目已给出平行四边形 定义判定 已知或易证平行四边形 一组邻边相等 背景，只需补充边相等 条件 题目未说明平行四边 四边相等判定 无平行四边形前提 四条边都相等 形，直接给出各边长度 或边长相等关系 对角线垂直判定 己知或易证平行四边形 对角线互相垂直题目涉及对角线交点， 14/54 给出垂直条件或角度为 90° 选择判定方法的原则：优先利用题目中已有的条件（如已证平行四边形则用定义或对角线 法，已给各边相等则用四边相等法)，避免重复证明。 13.(25-26八年级下·辽宁大连期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，连接BE,作 ∠EBC的角平分线交AD的延长线于点F,连接CF,若∠ABE=∠DCF,求证：四边形EBCF是菱形. A 【答案】证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AB∥CD,AD∥BC, .∠BAE=∠CDF, ∠BAE+∠ABE+∠AEB=180°，∠CDF+∠DCF+∠DFC=-180°，∠ABE=∠DCF .∠AEB=∠DFC. BECF 又，EF∥BC “.四边形EBCF是平行四边形 :BF平分∠EBC, ·.∠EBF=∠CBF :EF∥BC ∴.∠CBF=∠EFB ∴.∠EBF=∠EFB ∴BE=EF 又：四边形EBCF是平行四边形 ∴四边形EBCF是菱形 【分析】先根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形EBCF是平行四边形，然后证明 BE=EF,即可证明为菱形 【详解】略 15/54 14.(25-26八年级下山东临沂期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,BC=2AD,点E是BC的 中点，且AC平分∠DAE. (I)求证：四边形ADCE是菱形： (2)已知AB=4,AE=3,求线段AC的长 【答案】(I)证明：：点E是BC的中点， .BC=2CE, .BC=2AD :CE=AD, .AD I BC, ∴四边形ADCE为平行四边形， ADI‖BC,∠DAC=∠ACE, AC平分∠DAE,.∠DAC=∠EAC, ,∠ACE=∠EAC,.AE=CE, .平行四边形ADCE为菱形： g26 【分析】(1)先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形ADCE为平行四边形， 再证明AE=CE，进而根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形证明四边形ADCE为菱形，题目得证： (2)由(1)得CE=BE=AE=3,BC=6,进而结合三角形内角和为180°得 ∠ACE=∠ABE=∠EAC=∠EAB=45°，得∠BAC=90°，在Rt△ABC中，根据勾股定理得 AC=BC2-AB2 计算即可得线段4C的长。 【详解】(1)略 (2)解：AE=3,根据(1)可得CE=BE=AE=3,BC=6, ∴.∠ACE=∠EAC,∠ABE=∠EAB, :∠ACE+∠ABE+∠EAC+∠EAB=180°， 16154 ∴.2∠EAC+2∠EAB=180° .∠BAC=∠EAC+∠EAB=90°， AB=4, AC=√BC2-AB2=V6-4平=25 15.(25-26八年级下·上海松江期末)如图，在平行四边形ABCD中，P是边BC上的一点（点P不与 B、C重合)，连接AP,交对角线BD于点E,连接CE,且AE=CE. (I)求证：四边形ABCD是菱形： 2)连接AC,若AB=5,AC=6,设BP长度为x,△ABP的面积为y,求y关于x的函数表达式，并 写出函数的定义域. 【答案】I)证明：如图所示，连接AC交BD于点O, D :四边形ABCD是平行四边形， .0A=0C, 又，AE=CE,OE=OE △AOE≌△COE(SSS) .∠ACE=LCQE, ∠A0E+∠COE=180°， ∴.∠A0E=∠C0E=90°， ,AC⊥BD. “平行四边形ABCD是菱形： 17154 12 ②y=5x0<r<5) 【分析】(1)连接AC交BD于点O,由平行四边形的性质得到OA=OC,证明△AOE≌△COE,推 出∠AOE=∠COE=90°，据此可证明平行四边形ABCD是菱形： (②)连接AC交BD于点O,由菱形的性质得到OC=21C=3BC=AB=5BD=2OB,ACLBD,利 用勾股定理求出OB的长，得到BD的长，设点A到BC的距离为h,利用等面积法求出的值，再根 据三角形的面积公式求解即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图所示，连接AC交BD于点O, D B 由(I)得四边形ABCD是菱形， :0C-AC-3.BC-AB=5.BD-20B,4CLBD 2 :0B=VBC2-0C2=4 .BD=8: 设点A到BC的距离为h, 1 :S菱形HCn=BCh= AC·BD 2 :5h=号x6x8 1 2 :hs24 5, y=号BPh=x.24-12 (0<x<5) 2 2551 16.(25-26九年级下山东淄博期末)如图1，P为ABCD的AB边上一点，连接DP,CP,使DP=DC, 过点A作AE∥DP,交CP延长线于点E,连接BE. 18154 P 图1 图2 (I)求证：△ABE≌△PDA: (②)如图2，连接AC,交DP于点F,再连接EF,若DF=AE,求证：四边形BCFE是菱形 【答案】(I)证明：ABCD, .AB CD AB=CD .∠APE=∠DCP, AE IDP ∠EAB=∠APD,∠AEP=∠DPC, .DP=DC, .AB=DP,∠DPC=∠DCP, ∴∠AEP=∠APE, :AE=AP, 在△ABE和△PDA中， AE=AP ∠EAB=∠APD AB=DP .△ABE≌△PDA(SAS) (2)证明：：DF=AE,AEII DP即AE∥DF, 四边形ADFE是平行四边形， .ADI‖EF,AD=EF, ABCD, AD‖BC,AD=BC, .EF BC EF=BC 19154 ∴四边形BCFE是平行四边形， △ABE≌△PDA, ∴∠AEB=∠PAD, 口ABCD ·LBAD=∠DCB, .∠AEB=∠DCB, 由(I)知∠AEP=∠DPC=∠DCP ∠AEB=∠AEP+∠BEP,∠DCB=∠DCP+∠BCP, .∠BEP=∠BCP, :BC=BE, ∴四边形BCFE是菱形. 【分析】(I)根据平行线的性质可得∠APE=∠DCP,∠EAB=∠APD,∠AEP=∠DPC,进而根据 DP=DC结合平行四边形的性质可得AB=DP,∠DPC=∠DCP,证明AE=AP,进而证明 △ABE≌△PDA(SAS) (2)先证明四边形BCFE是平行四边形，进而证明BC=BE,即可证明四边形BCFE是菱形. 【详解】(1)略 (2)略 知识点05：菱形判定的证明过程 教材中三种判定定理的证明均需规范书写。以"对角线互相垂直的平行四边形是菱形"为 例，规范证明过程： 己知：在ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD。 求证：~ABCD是菱形。 ●】 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD(平行四边形对角线互相平分)。 又，AC⊥BD, 20154 .∠AOB=∠C0B=90°。 在Rt△AOB和Rt△COB中， ∠AOB=∠COB=90° OA=OC OB=OB ∴.Rt△AOB≌Rt△COB(L), ∴.AB=BC, ∴.·ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 17.(25-26八年级下·贵州遵义期末)如图，点E,F分别在口ABCD的边AB,BC上，AE=CF,连接 DE,DF,且∠ADE=∠CDF. D (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接BD,若AD=5,BD=6,求菱形ABCD的面积. 【答案】(I)证明：，四边形ABCD是平行四边形， .∠A=∠C, :AE=CF,∠ADE=∠CDF, :△ADE≌aCDF(AAS) .'.AD=CD, 四边形ABCD是菱形： (2)24 【分析】(1)证 △ADE≌aCDF(MMS),可得AD=CD,即可求证： (②)连接AC,交BD于点O,根据菱形的性质可得OD=BD=3,4CLBD,AC=2O41,在 Rt△AOD中，利用勾股定理可得OA=4,AC=8,再由菱形的面积公式解答即可. 【详解】(1)略 (2)解：如图，连接AC,交BD于点O, 21154 四边形ABCD是菱形，BD=6, :.OD-7BD=3.AC L BD,AC=204 在Rt△AOD中，AD=5, 01=VAD-0D=5S-3=4 AC=8, 菱形ABCD的面积为24C×BD= 1 ×6×8=24 18.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)已知：在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC的中点，连 接BE,且BE⊥AC. D (图1) (图2) (1)如图1，求证：平行四边形ABCD是菱形： (2)如图2，AB=AC,CF⊥AD于点F,延长BE交CF于点G,连接AG.在不添加任何辅助线的情 5 况下，直接写出图2中四条线段，每条线段的长度是线段BG长度的S倍. 【答案】I)证明：：点E为对角线AC的中点，BE⊥AC, ·BE是AC的垂直平分线， .BC=BA, :四边形ABCD是平行四边形， ∴.平行四边形ABCD是菱形： (2)AE,CE,AF,DF 【分析】(1)根据垂直平分线的性质得到BC=BA,从而得出结论： 22154 (2)根据菱形的性质易得到△ABC、△ACD是等边三角形，再求出∠ACF=30°，根据含30°角的直 角三角形的性质求出GC=2BG、4F-24C,再利用勾服定理求出EC=5EG,据此求解即可。 2 【详解】(1)略： (2)解：BE⊥AC、CF⊥AD .∴.∠CEG=∠AFG=90° 由(I)知，平行四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD=DA, AB=AC, .AB=BC=AC=CD=DA. △ABC、△ACD是等边三角形， ∴.∠ACB=∠DAC=60° 在Rt△ACF中，∠ACF=90°-∠DAC=90°-60°=30°， 在RtACEG中，∠ECG=30°， ∴.GC=2EG .EC=GC2-EG2=(2EG)-EG2=EG .EC=3EG :点E为对角线AC的中点， .AE=EC=3EG ∴.AC=2EC=2N3EG ∴.AD=2N3EG 在Rt△ACF中，∠ACF=30°， 4r-4c-x25c=5c, DF AD-AF =23EG-3EG=3EG 综上所述，1，CE。MF.DF四条线段，每条线段的长度是线段E6长度的5倍. 23154 19.(25-26八年级下·重庆渝中期末)学习了菱形的性质后，小巴进行了拓展性研究，他发现了对两组邻 边分别相等的四边形较长的对角线作垂直平分线得到的四边形是菱形.请根据他的想法与思路，完成 以下作图与填空： 如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,连接对角线AC, B (I)用尺规完成基本作图：作线段AC的垂直平分线EF分别交AB、ACAD于点E、G、F,连接 CE、CF 2)求证：四边形AECF是菱形. 证明：在△ABC和△ADC中， ① AB=AD CB=CD ∴△ABC≌△ADC(SSS) ∴.∠BAC=∠DAC :EF垂直平分线段AC, ∴CE=AE ∠EGA=∠FGA=90 在△AEG和△AFG中， ∠EGA=∠FGA AG=AG ③ .△AEG≌△AFG(ASA). ∴.CE=AE=AF=CF 四边形AECF是菱形. 【答案】(I)如图，直线EF即为所求： 24154 2)AC=AC;CF=AF:∠BAC=∠DAC:AE=AF 【分析】(1)根据作线段垂直平分线的步骤作图即可； ABC≌△ADC(SSS) △AEG≌△AFG(ASA (2)先证明 ,再证明 ,最后得到CE=AE=AF=CF, 即可证明为菱形. 【详解】(1)略 (2)略 20.(25-26八年级下·河北廊坊期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交 DC的延长线于点F,以CE、CF为邻边作平行四边形ECFG. D 图1 图2 图3 (I)求证：平行四边形ECFG是菱形： (2)若∠ABC=120°，连接BG、CG、DG, 求证：①∠ECG=60°； ②△DGB是等边三角形. B)若∠ABC=90°，AB=8,AD=14,M是EF中点，直接写出DM的长. 【答案】) 证明：，AF平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF, :四边形ABCD是平行四边形， 25154 .AD‖BC,AB∥DC, :LDAF=∠CEF,∠BAF=∠CFE ∴.∠CEF=∠CFE, ∴.CE=CF, ,四边形ECFG是平行四边形， .平行四边形ECFG是菱形. 2)证明：，四边形ABCD是平行四边形， AB∥DC,AB=DC,AD=BC, ∠ABC=120°， ∠BCD=60°，∠BCF=120°， 由(1)得，四边形ECFG是菱形， CE=GE' ∠BCG=∠BCF=60. 2 “.△ECG是等边三角形， .∠ECG=60°， ②，∠BCD=60°，∠ECG=60° ∴∠DCG=LBCD+∠ECG=l20°， :EG∥DF, ∴.∠BEG=120°， ∴.∠BEG=∠DCG, ,AE为∠BAD的角平分线， ∠DAE=∠BAE, AD‖BC, ∴.∠DAE=∠AEB, ∴∠BAF=∠AEB, .AB=BE, .DC=BE, :△DGC≌BGE(SAS) 26154 .BG=DG,∠BGE=∠DGC, .∠BGD=∠CGE, ,∠CGE=60° .∠DGB=60°， .△DGB是等边三角形. G)V130 【分析】(1)根据角平分线证明∠BAF=∠DAF,进而证明四边形ABCD平行四边形，进而即可求证： (2)①由(1)得，四边形ECFG是菱形，进而判定△ECG是等边三角形，即可解答：②根据题意 BG=DG,∠BGD=60°，进而判定△BGD是等边三角形： (3)连接BM,BD,MC,判定四边形ABCD是矩形，进而判定四边形ECFG是正方形，进而证明 △BME≌△DMC,证明△BMD是等腰直角三角形，从而求解； 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：连接BM,BD,MC, ∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是矩形， .∠BCD=90°， ∠ECF=90°， ,四边形ECFG是菱形， 四边形ECFG是正方形， :AF平分∠BAD, .∠BAF=∠DAF=45°， .'BE AB=DC, ,点M为EF的中点， 27154 ∴.∠CEM=∠ECM=45° .EM=CM,∠BEM=∠DCM=135°， 在△BME和△DMC中 BE=CD ∠BEM=∠DCM EM=CM △BME≌ADMC(SAS) ∴.MB=MD,∠DMC=∠BME, :.∠BMD=∠BME+∠EMD=∠DMC+∠EMD=90°， ,△BMD是等腰直角三角形， :AB=8,AD=14, .BD=2V65 DM-BD-30 知识点06：菱形判定与性质的逆向运用 性质是从“已知菱形”推出边、角、对角线的特征；判定是从“边、角、对角线的特征” 推出菱形。两者互为逆命题，解题时可双向使用： 已知菱形用性质（四边相等、对角线垂直平分等）求未知量； 己知四边相等或对角线垂直→用判定证明是菱形→再用性质求其他量。 例如：己知ABCD中，AB=BC=CD=DA,先由四边相等判定为菱形，再利用“对角线 互相垂直”求出对角线长度。 这种“判定→性质”的链式推理是综合题的常见思路。 21.(25-26八年级下湖北武汉期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3,分别以点A, C为圆心，大于2AC的长为半径作弧，两弧交于点H、F,画直线HF分别与AC、AB交于点M N.则MN的值为() 28154 M A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【分析】连接AH,AF,CH,CF,根据题意，得AH=AF=CH=CF,得四边形AHCF是菱形，连接 CN,根据菱形的对称轴性质，得CN=AW,根据三线合一，平行线的性质，证明BN=AW,利用三角 形中位线求解即可： 【详解】解：连接AH,AF,CH,CF,根据题意，得AH=AF=CH=CF, 故四边形AHCF是菱形， .AC⊥HF,AM=CM ∠ACB=90°，AB=5,AC=3 .MN I BC,BC=AB2-AC2=4 ∴.∠ANM=∠B,∠CNM=∠BCN 连接CN,根据菱形的对称轴性质，得CN=AW, 根据等腰三角形三线合一，得∠CNM=∠ANM, ..∠B=∠BCN ∴BN=CN, :BN =AN, :.MN=IBC-2: 2 22.(25-26八年级下·青海西宁·期末)如图，按以下步骤作四边形ABCD；①画∠MAN;②以点A为圆 心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长为 29154 半径画弧，两弧交于∠MAN内部点C;④连接AC,BC,CD,BD.若∠MAN=44°，则∠ABD= M B 【答案】68 【分析】结合作图证明四边形ABCD为菱形，然后根据菱形的性质求解即可. 【详解】解：由作图可知，AB=BC=CD=AD, “四边形ABCD为菱形， Bc∥4D,∠ABD=∠CD-ABc, :∠MAN=44°，即∠BAD=44°， .∠ABC=180°-∠BAD=136°， ∠18D-<aBc=6s 23.(25-26八年级下陕西渭南期末)如图，在口ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点F,点E是BC边 上一点，且BE=AF,连接EF. D H (I)求证：四边形ABEF是菱形： (2)连接AC交EF于点H,若∠CHE=90°，EF=5,CE=8,求AC的长. 【答案】Q)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .AD I BC. BE=AF, ,∴.四边形ABEF是平行四边形， 又：AD‖BC, .∠AFB=∠CBF, :BF是∠ABC的平分线， .∠ABF=∠CBF, 30154 .∠ABF=∠AFB, .AB=AF, ∴.四边形ABEF是菱形， (2)12 【分析】(I)先得出四边形ABEF是平行四边形，再得出AB=AF即可： (2)先得出AB,BE的长，进而可得BC的长，再得出∠BAC=∠CHE=90°，然后在Rt△ABC中，利 用勾股定理求解即可 【详解】(1)证明：略. (2)解：由(1)己证：四边形ABEF是菱形， ,AB∥EF,AB=BE=EF, .:EF=5,CE=8, .AB=5,BC=BE+CE=EF+CE=13. 又，AB∥EF,∠CHE=90°， .∠BAC=∠CHE=90°. 在Rt△ABC中，AC=VBC2-AB=V132-5=12 24.(2026贵州贵阳·二模)如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,点F在BC边 上，连接AF交BE于点O,连接EF,CE,有以下条件：①AF⊥BE,②∠BAO=∠BFO. E B (I)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形ABFE为菱形： 2)在(1)的结论下，若EC平分∠BED,AB=10,BC=16,求四边形ABFE的面积. 【答案】(I)证明：情况一：选条件①： 四边形ABCD是平行四边形， .ADI BC .∠AEB=∠EBC」 :BE平分∠ABC, ∴.∠ABE=∠EBC, ,∠ABE=∠AEB, 31154 .AB=AE, :AF⊥BE, .∠AOB=∠FOB=90° ∠ABO=∠FBO,BO=BO, △ABO≌△FBO(ASA) .AB=BF, .AE=BF, AE‖BF, ∴，四边形ABFE是平行四边形， :AF⊥BE, ∴，平行四边形ABFE为菱形： 情况二：选条件②： :四边形ABCD是平行四边形， .ADll BC, ∴.∠AEB=∠EBC, :BE平分∠ABC, .∠ABE=∠EBC, ,∠ABE=∠AEB, .AB=AE, :∠BAO=∠BFO,∠ABO=∠FBO,BO=BO, △ABO≌△FBO(AAS) .AB=BF, .AE=BF, AE‖BF, ∴四边形ABFE是平行四边形， .AB=BF, ∴.平行四边形ABFE为菱形： 32154 (2)96 【分析】(1)情况一：根据平行四边形的性质得到AD‖BC,可知∠AEB=∠EBC,根据角平分线的 定义得到∠ABE=∠EBC,即∠ABE=∠AEB,根据等角对等边得到AB=AE,证明 △ABO≌△FBO(ASA) 得到AB=BF,即AE=BF,证明四边形ABFE是平行四边形，根据AF⊥BE 即可证明平行四边形ABFE为菱形： 情况二：根据平行四边形的性质得到AD‖BC,可知∠AEB=∠EBC,根据角平分线的定义得到 ∠ABE=∠EBC,即∠ABE=∠AEB,根据等角对等边得到AB=AE，,证明 ABO≌△FBO(AAS) ,得 到AB=BF,即AE=BF,证明四边形ABFE是平行四边形，根据AB=BF即可证明平行四边形 ABFE为菱形： (2)根据菱形的性质得到AB=AE=10,根据平行四边形的性质得到AD=BC=16,根据平行线的性 质及角平分线的定义得到∠BEC=∠ECB,根据等角对等边得到BE=BC=16,根据菱形的性质得到 OB= -BE=8 AF⊥BE, ,AF=2A0,根据勾股定理求出A0=6,则AF=12,根据菱形的面积公 式计算即可. 【详解】(1)略： (2)解：，菱形ABFE, .AB=AE=10 平行四边形ABCD, ∴.AD=BC=16 ADl BC ∴.∠DEC=∠ECB, ,EC平分∠BED, .∠DEC=∠BEC, ,∠BEC=∠ECB. .BE=BC=16」 ,四边形ABFE为菱形， ÷AF⊥BE,OB=2BE=8,AF=2A0: 2 33154 在R1a10B中，由勾股定理得：A0=VB-OB=V0-8=6 .AF=2A0=12, 1 1 5SE=71F.BE=2X12×16=96. 知识点07：菱形判定在实际几何题中的综合应用 典型综合题型： 证明题：如图，在~ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E、交BC于F,连接 AF、CE,求证四边形AFCE是菱形。解题思路：先证·AFCE(一组对边平行且相等)， 再证EF⊥AC(已知垂直平分线)，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得证。 计算题：已知菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,求边长和面积。解题思路：先由对 角线垂直平分构造直角三角形，用勾股定理求边长=5，再用面积公式S=2×6×8=24。 动点问题：根据题目条件灵活选择判定方法，必要时通过计算排除。 25.(25-26八年级下湖南邵阳期末)如图，将边长为5的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y 轴的正半轴上，BC边与x轴重合，且AO:BO=4:3. (1)求D点的坐标： (2)求CD所在直线的函数表达式. 34/54 【答案】a)D5,4) 4.8 ②y=3x-3 【分析】(1)根据菱形性质和勾股定理计算即可求出D的坐标. (2)由(1)可知D的坐标，利用菱形边长求出C的坐标，再利用待定系数法求函数解析式即可. 【详解】(1)解：，AO:B0=4:3, ,设A0=4k,则B0=3k, ,OA⊥OB, ,AO2+B02=AB2, :菱形ABCD的边长为5， :(4+3x2=5 k=1, A0=4,B0=3, 四边形ABCD是菱形， .AD∥x轴，AD=5, .D(5,4) (2)解：由()可知点D(5,4).0C=BC-B0=5-3=2 C(2,0) 设直线CD的解析式为y=ax+b, 0=2a+b .4=5a+b, . a= 3 解得 8 b=- 3 4x-8 ÷直线CD的解析式为y=3-: 35154 26.(25-26八年级下福建泉州期末)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，E是BC中点. A D (1)求DE的长： (②)在直线AB上求作点F,使得∠AFE=∠AEF(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)， 3)在(2)的条件下求△AEF的面积. 【答案】0)3V7 (②)解：点、如图所示： F D B 27 3)4 【分】折山)连接4C,由菱形的性质可得。BC为等边三角，形则AE L BC,BE=5C=3,再 利用勾股定理求解即可； (以4为圆心，B长为半径作圆，与直线0交于点厂、5，测析=6=析，由等边可得等角： h=35 (3)设E到AB的距离为h,利用△ABE的面积求出”2，再根据三角形面积公式求解即可. 【详解】(1)解：如图，连接AC, 36154 A B ,四边形ABCD是菱形，AB=6, .BC=AD=AB=6,BC∥AD ∠B=60°， ,∴△ABC为等边三角形. :E是BC中点， AE⊥BC, “在Rt△MBE中，AE=6-3=35 :BC∥AD .∠EAD=∠AEB=90°， ∴在R△ADE中，DE=V6+(33)=3万 (2)略 AE=33 (3)解：由(2)可知， AF=AF=AE=33 设E到AB的距离为h, ∴Sae=)AB-BE=4B-h. 2 ..h=AE.BE33x3 33 AB 62, A-h=x35x3W5_27 1 1 2 24, A,-h=x35x35_27 2 24, 27 即。4EF的面积为4· 37154 27.(25-26八年级下·湖南长沙期末)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°，M为对角线AC 上一动点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN,线段MN与AD交于点G,连 接NC、ND、DM,O为线段NC的中点，连接DQ. B (I)求证：AD⊥MN: (2)四边形AMDN是否可以是菱形？如果可能，求出此时AM的长度；如不可能，请说明理由： 3)判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论. 【答案】(I)证明：，菱形ABCD中，∠BAD=60°， ∴.∠MAD=30° :△AMN为等边三角形， .∠MAW=60°，AM=AN, .∠NAD=∠MAN-∠MAD=30°， 又：AM=AN, .AD⊥MN 45 (2)可以是，3 DM=2DO 3) 证明如下：如图，延长CD至H,使DH=CD,连接NH、AH, H M B AD=CD .AD=DH, 38154 :CD‖AB ∠HDA=∠BAD=60°， ∴.△ADH是等边三角形， AH=AD,∠HAD=60° ∴.∠HAN=∠NAD=∠DAM=30°， 在△ANH和△AMD中， AH=AD ∠HAN=∠DAM AN=AM △ANH≌△AMD(SAS) :HN DM, D是CH的中点，O是NC的中点， ∴.Dg△CHN 是 的中位线， ∴.HN=2D0 :DM =2DO 【分析】(1)由菱形的性质可得∠MAD=30°，由等边三角形的性质可得∠MAN=60°，AM=AN, 求出∠NAD=30°，再结合等腰三角形的性质即可得证； (2)由(1)知MG=NG,AM=AW,当G为AD中点时，四边形AMDN是菱形，此时AG=2, 由等边三角形的性质可得GM=方4山，再结合勾股定理计算即可得出结果： (3)延长CD至H,使DH=CD,连接NH、AH,证明△ADH是等边三角形，得出AH=AD, ∠HAD=60 △ANH≌△AMD(SAS ,得出HN=DM,由三角形中位线定理可得 N=2DO ,再证 即可得出结果。 【详解】(1)略： (2)解：四边形AMDN可以是菱形， 由(I)知MG=NG,AM=AN, .当G为AD中点时，四边形AMDN是菱形 39/54 .AD=AB=4, AG=2, :△AMN为等边三角形， .AM=MN, .MG=NG. :.GM-JAM, 2 由勾股定理可得GM2+AG=AM2, :5w八+x-4r AM=4 3: (3)略. 28.(25-26八年级下·河北唐山期末)如图，点O为平面直角坐标系的原点，四边形ABCD为菱形，点 4A(-3,0),D0,),连接4C、BD交于点E,1C交'轴于点F. B (I)请直接写出线段AD的长及C点坐标： (2)求出直线AC的解析式： )若点P从4点出发沿若1C向终点C运动，速度为5个单位长度秒，连接P8,过点P作 PH⊥AB,垂足为H,设点P的运动时间为秒. ①用含t的式子表示PH; ②请直接写出当△PAB为等腰三角形时，t的最小值. 【答案】四1D=5,C点坐标为6点，4)， 40154 13 2)直线4C的解析式为y=2x+ 2; 5 B)0PH=:②的最小值为4： (5,4) 【分析】()过C作CG上轴于点G,通过勾股定理求得4B=5,则点 (2)通过待定系数法即可求解： (3)①过C作CGLx轴于点G,过P作PH1x轴于点H,由(1)得，OD=GC=4,AB=5,直 根指服虑可得-5，设心m+》 13 1 线4C的解析式为'=2+ 2,则AH=m+3,由勾股定 思4m4公.引-国，-号会小 3 PH=m+)-x(21-3)+21: 31 3 2 22 ②由题意得点 (-3,0),由0得P(2-3,1）,又4B=5,8(20),再分三种情况讨论，利用两点之间 的距离公式求解即可. 【详解】(1)解：如图，过C作CG1x轴于点G, 珠 E 0 B .∠BGC=∠AOD=90° :点1(3,0).D(0,4) .0A=3,OD=4, D=0f+0D=V3+4=5 41154 ,四边形ABCD是菱形， .AD//BC,AB=BC=CD=AD=5, ..GC=OD=4,OG=CD=5, :.C点坐标为 5,4) (-3,0)C(5,4) (2)解：点 设直线AC的解析式为y=x+b, 1 k= 2 .「5k+b=4，解得： b= 3, -3k+b=0 2 .3 ∴.直线4C的解析式为y=2x+2: (3)解：①如图，过C作CG⊥x轴于点G,过P作PH⊥x轴于点H, D E HO B 1.3 由(1)得，OD=GC=4,AB=5,直线4C的解析式为y=2x+ 2 :点P的速度为5个单位长度秒，运动时间为秒， 4P-V5 13 2,则AH=m+3, .AH2+PH2=AP2, 42154 整理得：P= ,t>0 1,3 .1=5m+ 2 2,则m=21-3: 1 31 m+22×(2-3)+=: .PH=m 3 2 @:点1-3,0)，由0得P2-30.又4B=5,B(2,0) 4P2=(2-3+3+r=5BP2=(2-2+3+2=5-2y+ 当D=B即时，即=p,=5-2+,解得=： 当P=8时，即4=5.5分=25，解得=5 (负值已舍)： 当BP=AB时，即BP2=52.(5-2)+=2 ,解得=0（舍去）或=4； <5<4, :4 “的最小值为4 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·山东滨州期末)如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随 意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为() A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.三角形 【答案】C 【分析】由矩形对折两次可得，折痕刚好为剪下的四边形的对角线，再根据菱形的判定解答即可。 43154 【详解】解：：折痕刚好为剪下的四边形的对角线，结合对折可得：两条对角线互相垂直平分， ,根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，可知得到的四边形是菱形 2.(25-26八年级下河北承德期末)如图，菱形ABCD,点A、B、C、D均在坐标轴上， ∠ABC=20°，点1(-40)，点E是CD的中点，点P是0C上的动点，则PD+PE的最小值是 () D A.4 B.5 C.22 【答案】A 【分析】由菱形对角线互相垂直平分得到B、D关于x轴对称，推得PD=PB,把PD+PE的最小值 转化为BE的长度；结合∠ABC=120°判定△BCD为等边三角形，E为CD中点则BE⊥CD,结合线段 长度利用勾股定理计算出BE的数值。 【详解】解：四边形ABCD是菱形，且四个顶点均在坐标轴上，∠ABC=120°， :0A=0C,0B=0D,∠BCD=180°-∠ABC=60,∠CBD=)∠ABC=60°， 21 .△BCD是等边三角形，∠ODC=60°， :4-40) ∴.OC=OA=4」 :AC平分∠BCD, .∠OCD=30° 在R.OCD中，0D-CD.cD2=0D+0C, cw-gc0j+4 44154 解彩C0-子6 如图，连接PB, D D :AC垂直平分BD, .PB=PD, .PD+PE的最小值即PB+PE的最小值， 当点B、P、E位于同一直线上，即PB+PE=BE时，PD+PE的值最小. :点E是CD的中点， DE=CD=4 1 2 3 BD=CD=83 3 BE=V√BD2-DE2 8V3 4v3 4 BE⊥CD 3 即PD+PE的最小值是4 3.(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，菱形ABCD的对角线交于点O,点M为AB的中点，连接 OM.若AC=6,∠BAC=60°，则OM的长为() A M 0 B A.1.5 B.3 c.35 D.6 【答案】B 【分析】根据菱形的性质，证明△BAC是等边三角形，再利用三角形中位线求解即可： 【详解】解：菱形ABCD的对角线交于点O, ∴.AB=BC,OA=OC ∠BAC=60° 45154 ∴△BAC是等边三角形， .AB=BC=AC=6, 点M为AB的中点， ∴.OM=。BC=3 4.(25-26八年级下·吉林期末)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点， 且BE=DF,则下列结论不一定成立的是() A.AF=CE B.AE=CF C.∠BAE=∠DCFD.AC⊥BD 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质逐项判断即可， 【详解】解：平行四边形中，BE=DF, .AD=BC,ADI‖IBC,∠BAD=∠BCD, .AD-DF=BC-BE, ∴.AF=CE,则A选项正确： 又AF CE, “.四边形AECF为平行四边形 ∴.AE=CF,∠EAF=∠ECF,故B选项正确： 则∠BAD-LEAF=∠BCD-∠ECF, .∠BAE=∠DCF: AC⊥BD仅菱形才一定成立，故D选项错误。 二、填空题 5.(25-26八年级下·辽宁大连期末)在菱形ABCD中，AC,BD是对角线，若AC=8,BD=6,则边 AB的长度为 【答案】5 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分的性质，构造直角三角形，再用勾股定理计算边长 【详解】解：设AC,BD交于点O, 46154 ~四边形ABCD是菱形，AC=8,BD=6, 0-4C=4,B0-号8D=3,∠A08=90: 六在Ra10B中，由勾股定理得4B=V40+B0=V军+3=V25=5 D 6.(25-26八年级下-山东聊城期末)如图，在菱形8CD中，4C=6,BD=65,B是8C边的中点， P,M分别是AC,AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是 B 【答案】 3V5 【分析】作点E关于AC的对称点E',过点E'作E'M⊥AB于点M,交AC于点P,由 PE+PM=PE'+PM=EM知最小值为E'M的长，利用菱形的面积列式求解可得答案. 【详解】解：如图，作点E关于AC的对称点E',过点E'作E'M⊥AB于点M,交AC于点P, 此时PE+PM取得最小值，最小值为EM的长， ~四边形ABCD是菱形， 点E'在CD上， 47154 :AC=6, ∴AB=AC=6, .BD=63 由S菱形BCD=ABEM= 2AC-BD 得6BM=J 6x6B3 解得EM=3V5 即PE+PM的最小值是35 7.(25-26八年级下·重庆合川期末)如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=135°，E为BC边上一点， 连接AE,将△ABE沿直线AE翻折至菱形ABCD所在平面内.若点B的对应点F落在EC的延长线上， 则CF的长度为. 【答案】 3V2-3 【分析】首先根据菱形的性质和平行线的性质求出∠B的度数，再根据折叠的性质得到AF=AB, ∠AFB=∠B,从而判定△ABF为等腰直角三角形，利用勾股定理求出BF的长，最后根据线段的和差 关系求出CF的长. 【详解】解：，四边形ABCD是菱形， .AB=BC=3,AD//BC, .∠B+∠BAD=180°， .∠BAD=135°， .∠B=45°， 由折叠的性质可知，AF=AB=3,∠AFE=∠B=45°， ,点F落在EC的延长线上， ∴点B,C,F在同一条直线上， 48154 .∠AFB=∠AFE=45°， .∠B=∠AFB=45° .∠BAF=180°-∠B-∠AFB=90° ,∴，△ABF是等腰直角三角形， 在Rt△ABF中，由勾股定理得： BF=AB2+AF2=32+3=32 CF=BF-BC=3-3 8.(25-26七年级下·四川成都期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,分别以点A,D 为圆心，以大于2AD的长度为半径画弧，两弧相交于点M,N:连接MN,分别交AB'AC于点B, F,连接DE,DF.若AC=5,CF=2,则四边形AEDF的周长是 【答案】12 【分析】根据作图痕迹可知MN是线段AD的垂直平分线，利用垂直平分线的性质和角平分线的定义 证明四边形AEDF是菱形，再根据线段的和差关系求出菱形的边长，进而求出周长。 【详解】由作图可知，MN是线段AD的垂直平分线， AF=DF,AE=DE,AD⊥EF, :AD平分∠BAC, ∴∠FAD=∠EAD, AF DF, .∠FAD=∠FDA, ∴.∠EAD=∠FDA, .AE I DF. 同理可得AFDE, ∴.四边形AEDF是平行四边形， 又：AF=DF, 49154 ∴四边形AEDF是菱形. AC=5,CF=2, AF=AC-CF=5-2=3, ∴四边形AEDF的周长=4AF=4×3=12 三、解答题 9.(2026山东泰安三模)如图，在口ABCD中(AB<BC). B 实践与操作： (1)利用尺规按下列要求作图，注意保留作图痕迹，不写作法，但标明字母.步骤如下： ①在边AD上作一点P,使得点P到直线AB和直线BC的距离相等； ②在BC上作一点O,使得B0=AP: ③连接Pp. 猜想与证明： (②)在所作的图中，试猜想四边形ABQP的形状，并加以证明. D 【答案】(I) B 2)四边形ABQP为菱形： 理由：在oABCD中，AD∥CB, ∠APB=∠PBQ, 又：BQ=AP, :四边形ABQP为平行四边形， ∠ABP=∠PBQ 由作图得： 50154 .∠ABP=∠APB, .AB=AP, .口ABQP为菱形. 【分析】(1)根据题意作出图形即可： (2)先证明四边形ABQP为平行四边形，再结合己知即可得. 【详解】(1)略 (2)略 10,(25:26八年级下广东肇庆期末)直线y=-4 r+4与x轴交于点4，与y轴交于点B,菱形ABCD如 图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C,交x轴于点E. N D O (I)请直接写出点B,点C,点D的坐标，并求出m的值： ②点P(0,)是线段OB上的一个动点《点P不与0、B重合)，经过点P且平行于x轴的直线交AB于 M,交CE于N.当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标； ®)点P0)是'轴正半轴上的一个动点，是平面内任意一点，'为何值时，以点C、D、P、为 顶点的四边形是菱形？ 【答案14B(0,4),C-5,4.D(-20)m=9 9) 7 6)t=N2i或4或8 【分析】(1)首先求出点A、B的坐标，再利用勾股定理求出AB的长，再根据菱形的性质可得答案； 51154 3 M (2)先根据点P的坐标得到 4+3 N(-9,),进而表示出MN,根据MN=DE,可得答 案 (3)若以点C、D、P、为顶点的四边形是菱形，则△CDP是等腰三角形，分CD=CP或 CD=DP或DP=PC三种情形，分别求出t的值. 4 【详解】()解：“y=3x+4与x轴交于点A,与y轴交于点B B(0,4) “当=0时，y=4,则B 4 当y=0时，即3x+4=0,解得x=3,则A3,0), .OB=4,OA=3 由勾股定理得， AB=VOA2+OB2=V32+42=5 :四边形ABCD是菱形， .BC=AD=AB=5. ..OD=AD-OA=2, .D(-2,0)C(-5,4) 将C(-5,4刊代入=x+m得，-5+m=4, m=9: (2)解：m=9, y=x+9 当=0时，即x+9=0,解得x=-9,则E(-9,0) ∴.ED=-2-(-9)=7 P(0,1) “点 经过点P且平行于x轴的直线交AB于M,交CE于N, 52154 令3+4s1 4 ,解得 、3 令x+9=1,解得x=t-9,则 N(t-9,t) 3 7 ∴.MN=-2t+3-(t-9)=-21+12 4 ~四边形NEDM是平行四边形， ∴.MN=ED 1 -2t+12=7. 4 20 解得=7， (3)解：以点C、D、P、O为顶点的四边形是菱形， ACDP是等腰三角形， D(-2,0)C(-5,4) CD=[-2-(-5订+(0-4=5,0D=2, 当CD=DP时，CD2=DP2, .25=22+t2 解得 =V21 (负值已舍去)， 当CD=CP时，BC=CD=5, 点P与 B(0,4) 重合， .t=4: 当DP=PC时，DP2=CD2, 6+225+0-4,解得= 53154 37 综上：t=√21或4或8时，以点C、DP、Q为顶点的四边形是菱形. 541542026-2027学年度北师大数学九年级上册课时同步训川练 第一章特殊平行四边形 2菱形的性质与判定 第2课时菱形的判定 课时目标 理解并掌握菱形的三种判定方法（定义判定、四边相等判定、对角线互相垂直的平行 四边形判定)，能根据已知条件灵活选用恰当的判定定理。 2. 能运用菱形的判定定理进行逻辑推理和几何证明，规范书写证明过程，体会“性质” 与“判定”的互逆关系。 能综合运用菱形的判定和性质解决几何计算与证明问题，提高分析问题、构造辅助条 件和逻辑推理的能力。 课时目录 知识点01：菱形的判定定理一：定义判定 知识点02：菱形的判定定理二：四条边都相等 知识点03：菱形的判定定理三：对角线互相垂直的平行四边形 知识点04：三种判定方法的适用条件对比 1/17 知识点05：菱形判定的证明过程 知识点06：菱形判定与性质的逆向运用 知识点07：菱形判定在实际几何题中的综合应用 知识点01：菱形的判定定理一：定义判定 菱形的定义本身就是一种判定方法：有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若·ABCD且AB=AD,则四边形ABCD是菱形。 使用条件：必须先证明四边形是平行四边形，再证明其一组邻边相等。 这是最基础的判定方法，也是后续判定定理证明的依据。 1.(25-26八年级下·河北唐山期末)根据图中所标数据，不足以判定四边形为菱形的是( 5 5 A 70° B Q70° 70> C D 110° 110° 2.(2025安徽宿州一模)已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB川CD.添加下列选项中 的条件，仍不能判定四边形ABCD是菱形的是() A.AD=BC且AC⊥BD B.AB=CD且AB=AD C.AD|BC日OA+OB2=AB2 D.AB=CD且AC⊥BD 3.(23-24八年级下·山西朔州期中)如图，将两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分的形状一定为 2/17 () A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.无法确定 4.(2425八年级下辽宁沈阳期末)下列条件中，能判定平行四边形ABCD是菱形的是() A.∠A=90 B.∠B=∠C C.AC=BD D.AC⊥BD 知识点02：菱形的判定定理二：四条边都相篷 四条边都相等的四边形是菱形。 几何语言：在四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA,则四边形ABCD是菱形。 证明思路：由四边相等可先证两组对边分别相等(AB=CD,BC=DA),根据“两组对边 分别相等的四边形是平行四边形”得平行四边形，再由AB=BC得一组邻边相等，由定义 判定为菱形。 注意：该判定不需要预先证明平行四边形，直接由四边相等即可得出结论，适用范围更 广。 5.(25-26八年级下·河北沧州期末)数学活动课上，在平行四边形ABCD中，对角线相交于点O,小颖 同学利用尺规按如下步骤操作：①如图，以C为圆心，以OC长为半径画弧；②以D为圆心，以OD长 为半径画弧；两弧交于点E,分别连接CE,DE.小颖认为：若AC=BD,则四边形OCED是菱形， 她最直接的判定依据是() 3/17 A.四条边相等的四边形是菱形 B.一组邻边相等的平行四边形是菱形 C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形D.菱形的四条边相等 6(25-26八年级下陕西西安期末)如图，在四边形ABCD中，AB⊥BC,AD∥BC,E为BC上一点且 AE=AD,连接AC,DE交于点O,AC平分∠DAE. D ◇ (I)求证：四边形AECD为菱形： (2)若AB=5,BC=10,求四边形AECD的面积. 7.(25-26八年级下·云南昭通期末)如图，矩形ABCD中，点E,，F分别在边AB,CD上， AB=2AD=8,BE=DF=3. E B (I)求证：四边形AECF是菱形： (2)连接EF,求线段EF的长. 8.(25-26八年级下·安徽芜湖期末)如图，在△ABC中，BC=2AB,D,E分别为BC,AC的中点， 过点A作AF‖BC交DE的延长线于点F. D (I)求证：四边形ABDF是菱形： (2)若AB=6,∠B=60°，求AE的长 知识点03：菱形的判定定理三：对鱼线互相垂直的平行四边形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 4/17 几何语言：在~ABCD中，若AC⊥BD,则~ABCD是菱形。 证明思路：设对角线交于点O,由平行四边形性质知OA=OC,OB=OD;又AC⊥BD, 故∠AOB=∠COB=90°；在Rt△AOB和Rt△COB中，OA=OC,OB=OB,可证 Rt△AOB≌Rt△COB(HL),得AB=BC,即一组邻边相等，由定义判定为菱形。 该判定利用了平行四边形对角线互相平分的性质，再加上垂直条件即可推出菱形。 9.(25-26八年级下·湖南邵阳·期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD OB=OD,请你补充一个条件：-，求证：四边形ABCD是菱形. oh 6 10.(25-26八年级下·甘肃兰州期末)如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC和AD上，AC和EF相 交于点O,AE=CF,AC⊥EF (I)求证：四边形AECF是菱形： (2②)若AD=4,AB=2,求DF的长. 11.(25-26八年级下·甘肃张掖期末)如图，口ABCD的对角线AC与BD相交于点O,点E是OC上一点， 连接BE,DE,且BE=DE. 0 (I)求证：四边形ABCD是菱形： 5/17 2)若AB=20,∠BAC=60°，求BD的长. 12.(25-26八年级下四川成都期末)如图，四边形ABCD为平行四边形，O为对角线AC的中点，过点 O作EF⊥AC分别交边AD,BC于点E,F,垂足为O B (I)求证：四边形AFCE为菱形： Q在BC的延长线上取一点G,使CG=0C,连接OG.若F为BC的中点，且∠G=15°，48=45 求线段OC的长度，并求出△FOG的面积. 知识点04：三种判定方法的适用条件对世 判定方法 前提条件 需证条件 适用题型特点 题目已给出平行四边形 定义判定 已知或易证平行四边形 一组邻边相等 背景，只需补充边相等 条件 题目未说明平行四边 四边相等判定 无平行四边形前提 四条边都相等 形，直接给出各边长度 或边长相等关系 题目涉及对角线交点， 对角线垂直判定 己知或易证平行四边形 对角线互相垂直 给出垂直条件或角度为 90° 选择判定方法的原则：优先利用题目中已有的条件（如已证平行四边形则用定义或对角线 法，己给各边相等则用四边相等法)，避免重复证明。 13.(25-26八年级下辽宁大连期末)如图，在平行四边形ABCD中，E是边AD上一点，连接BE,作 ∠EBC的角平分线交AD的延长线于点F,连接CF,若∠ABE=∠DCF,求证：四边形EBCF是菱形. D 14.(25-26八年级下山东临沂期末)如图，在四边形ABCD中，AD‖BC,BC=2AD,点E是BC的 6/17 中点，且AC平分∠DAE. (I)求证：四边形ADCE是菱形： (2)已知AB=4,AE=3,求线段AC的长 15.(25-26八年级下·上海松江期末)如图，在平行四边形ABCD中，P是边BC上的一点（点P不与 B、C重合)，连接AP,交对角线BD于点B,连接CE,且AE=CE. D (I)求证：四边形ABCD是菱形： 2)连接AC,若AB=5,AC=6,设BP长度为x,△ABP的面积为y,求y关于x的函数表达式，并 写出函数的定义域。 16.(25-26九年级下·山东淄博期末)如图1，P为ABCD的AB边上一点，连接DP,CP,使DP=DC, 过点A作AE∥DP,交CP延长线于点E,连接BE, D 图1 图2 (I)求证：△ABE≌△PDA: (2)如图2，连接AC,交DP于点F,再连接EF.若DF=AE,求证：四边形BCFE是菱形. 知识点05：菱形判定的证明过程 教材中三种判定定理的证明均需规范书写。以"对角线互相垂直的平行四边形是菱形"为 例，规范证明过程： 7/17 己知：在~ABCD中，对角线AC、BD交于点O,AC⊥BD。 求证：ABCD是菱形。 证明：，四边形ABCD是平行四边形， ∴.OA=OC,OB=OD(平行四边形对角线互相平分)。 又，AC⊥BD, .∠AOB=∠COB=90°。 在Rt△AOB和Rt△COB中， ∠AOB=∠COB=90° OA=OC OB=OB ∴.RtAAOB≌Rt△COB(L), ∴AB=BC, ∴.·ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 17.(25-26八年级下·贵州遵义期末)如图，点E,F分别在口ABCD的边AB,BC上，AE=CF,连接 DE,DF,且∠ADE=∠CDF. D (I)求证：四边形ABCD是菱形： (2)连接BD,若AD=5,BD=6,求菱形ABCD的面积. 18.(25-26八年级下·黑龙江哈尔滨期末)已知：在平行四边形ABCD中，点E为对角线AC的中点，连 接BE,且BE⊥AC. 8/17 G (图1) (图2) (I)如图1，求证：平行四边形ABCD是菱形： ②)如图2，AB=AC,CF⊥AD于点F,延长BE交CF于点G,连接AG.在不添加任何辅助线的情 况下，直接写出图2中四条线段，每条线段的长度是线段BGK度的5倍。 19.(25-26八年级下·重庆渝中·期末)学习了菱形的性质后，小巴进行了拓展性研究，他发现了对两组邻 边分别相等的四边形较长的对角线作垂直平分线得到的四边形是菱形.请根据他的想法与思路，完成 以下作图与填空： 如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,连接对角线AC B D (I)用尺规完成基本作图：作线段AC的垂直平分线EF分别交AB、ACAD于点E、G、F,连接 CE、CF」 (②)求证：四边形AECF是菱形. 证明：在△ABC和△ADC中， ① AB=AD CB=CD .△ABC≌△ADC(SSS) ∴.∠BAC=∠DAC “EF垂直平分线段AC, ..CE=AE ∠EGA=∠FGA=90° 9/17 在△AEG和△AFG中， ∠EGA=∠FGA AG=AG ③ :△AEG≌△AFG(ASA). ..CE=AE=AF=CF 四边形AECF是菱形. 20.(25-26八年级下·河北廊坊期末)如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E,交 DC的延长线于点F,以CE、CF为邻边作平行四边形ECFG D D D E G 图1 图2 图3 (I)求证：平行四边形ECFG是菱形： (2)若∠ABC=120°，连接BG、CG、DG, 求证：①∠ECG=60°： ②△DGB是等边三角形. 3)若∠ABC=90°，AB=8,AD=14,M是EF中点，直接写出DM的长 知识点06：菱形判定与性质的逆向运里 性质是从“已知菱形”推出边、角、对角线的特征；判定是从“边、角、对角线的特征” 推出菱形。两者互为逆命题，解题时可双向使用： 已知菱形→用性质（四边相等、对角线垂直平分等）求未知量： 已知四边相等或对角线垂直用判定证明是菱形→再用性质求其他量。 例如：己知ABCD中，AB=BC=CD=DA,先由四边相等判定为菱形，再利用“对角线 互相垂直”求出对角线长度。 这种“判定→性质”的链式推理是综合题的常见思路。 21.(25-26八年级下·湖北武汉期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5,AC=3,分别以点A, 10117 C为圆心，大于2AC的长为半径作弧，两弧交于点H、F,画直线HF分别与AC、AB交于点M、 N.则MN的值为() A M A.2 B.3 C.4 D.5 22.(25-26八年级下·青海西宁·期末)如图，按以下步骤作四边形ABCD;①画∠MAN;②以点A为圆 心，1个单位长为半径画弧，分别交AM,AN于点B,D;③分别以点B,D为圆心，1个单位长为 半径画弧，两弧交于∠MAN内部点C;④连接AC,BC,CD,BD.若∠MAN=44°，则∠ABD= M 23.(25-26八年级下陕西渭南期末)如图，在ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点F,点E是BC边 上一点，且BE=AF,连接EF. D H E (I)求证：四边形ABEF是菱形： (2)连接AC交EF于点H,若∠CHE=90°，EF=5,CE=8,求AC的长. 24.(2026贵州贵阳二模)如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E,点F在BC边 上，连接AF交BE于点O,连接EF,CE.有以下条件：①AF⊥BE,②LBAO=∠BFO. E B (I)请从以上①，②中任选一个作为条件，求证：四边形ABFE为菱形： 2)在(1)的结论下，若EC平分∠BED,AB=10,BC=16,求四边形ABFE的面积. 11/17 知识点07：菱形判定在实际几何题中的综合应里 典型综合题型： 证明题：如图，在~ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD于E、交BC于F,连接 AF、CE,求证四边形AFCE是菱形。解题思路：先证·AFCE(一组对边平行且相等)， 再证EF⊥AC(已知垂直平分线)，由“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”得证。 计算题：已知菱形ABCD中，对角线AC=6,BD=8,求边长和面积。解题思路：先由对 角线垂直平分构造直角三角形，用勾股定理求边长=5，再用面积公式S=2×6×8=24。 动点问题：根据题目条件灵活选择判定方法，必要时通过计算排除。 25.(25-26八年级下·湖南邵阳期末)如图，将边长为5的菱形ABCD放在平面直角坐标系中，点A在y 轴的正半轴上，BC边与x轴重合，且AO:BO=4:3, (I)求D点的坐标； (2)求CD所在直线的函数表达式， 26.(25-26八年级下·福建泉州期末)如图，在菱形ABCD中，AB=6,∠B=60°，E是BC中点. 12117 B (I)求DE的长： (②)在直线AB上求作点F,使得∠AFE=∠AEF(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)· (3)在(2)的条件下求△AEF的面积. 27.(25-26八年级下湖南长沙期末)如图，在菱形ABCD中，AB=4,∠BAD=60°，M为对角线AC 上一动点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN,线段MN与AD交于点G,连 接NC、ND、DM,O为线段NC的中点，连接DO, M I)求证：AD⊥MN; (2)四边形AMDN是否可以是菱形？如果可能，求出此时AM的长度；如不可能，请说明理由： 3)判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论. 28.(25-26八年级下河北唐山期末)如图，点O为平面直角坐标系的原点，四边形ABCD为菱形，点 A(-3,0),D0,),连接4C、BD交于点E,AC交'轴于点F HO (1)请直接写出线段AD的长及C点坐标： (2)求出直线AC的解析式： 13/17 5 6)诺点P从4点出发沿者1C向终点C运动，速度为5个单位长度秒，连接PB,过点P作 PH⊥AB,垂足为H,设点P的运动时间为秒. ①用含t的式子表示PH; ②请直接写出当△PAB为等腰三角形时，t的最小值. 课时训练 一、选择题 1.(25-26八年级下·山东滨州期末)如图，若把一个长方形纸片对折两次，然后沿对折的中心虚线处随 意剪下一个三角形，则把剪下的三角形彻底展开后得到的平面图形一定为() A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.三角形 2.(25-26八年级下·河北承德期末)如图，菱形ABCD,点A、B、C、D均在坐标轴上， ∠ABC=120°，点4(40 ,点E是CD的中点，点P是OC上的一动点，则PD+PE的最小值是 () 0 E P C B A.4 B.5 C.22 b 3.(25-26八年级下·福建厦门期末)如图，菱形ABCD的对角线交于点O,点M为AB的中点，连接 OM.若AC=6,∠BAC=60°，则OM的长为() 14117 D B A.1.5 B.3 c.35 D.6 4.(25-26八年级下·吉林·期末)如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为AD边上一点， 且BE=DF,则下列结论不一定成立的是() D B4 A.AF=CE B.AE=CF C.∠BAE=∠DCFD.AC⊥BD 二、填空题 5.(25-26八年级下·辽宁大连期末)在菱形ABCD中，AC,BD是对角线，若AC=8,BD=6,则边 AB的长度为 6.(2526八年级下山东聊坡期末)如图，在菱形1BCD中，4C=6,BD=65,B是B0 是BC边的中点， P,M分别是AC,AB上的动点，连接PE,PM,则PE+PM的最小值是 D 7.(25-26八年级下·重庆合川期末)如图，菱形ABCD的边长为3，∠BAD=135°，E为BC边上一点， 连接AE,将△ABE沿直线AE翻折至菱形ABCD所在平面内.若点B的对应点F落在EC的延长线上， 则CF的长度为 15117 8.(25-26七年级下·四川成都期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D,分别以点A,D 为圆心，以大于2AD的长度为半径画弧，两弧相交于点M,N:连接MN,分别交AB'AC于点B, F,连接DE,DF.若AC=5,CF=2,则四边形AEDF的周长是 三、解答题 9.(2026山东泰安·三模)如图，在口ABCD中(AB<BC). B 实践与操作： ()利用尺规按下列要求作图，注意保留作图痕迹，不写作法，但标明字母.步骤如下： ①在边AD上作一点P,使得点P到直线AB和直线BC的距离相等： ②在BC上作一点Q,使得BQ=AP: ③连接Pg. 猜想与证明： (2)在所作的图中，试猜想四边形ABQP的形状，并加以证明. 4 10.(25-26八年级下广东肇庆期末)直线y=一3x+4与x轴交于点A,与y轴交于点g,菱形ABCD如 图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线y=x+m经过点C,交x轴于点E. B M P E 16117 (I)请直接写出点B,点C,点D的坐标，并求出m的值： ②点P0,是线段OB上的一个动点《点P不与0、B重合)，经过点P且平行于X轴的直线交AB于 M,交CE于N,当四边形NEDM是平行四边形时，求点P的坐标： 6)点P(0,)是'轴正半轴上的一个动点，P是平面内任意一点，‘为何值时，以点C、D、P、9为 顶点的四边形是菱形？ 17117