暑假自学同步练——二次函数与一元二次方程专项训练（2026--2027学年人教版九年级数学上册）

**基本信息** 初中数学二次函数与一元二次方程同步练，以三级分层设计实现从基础概念到综合应用再到能力拓展的递进，强化运算能力与推理意识，适配暑假知识巩固与思维提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础概念|抛物线与坐标轴交点、对称轴等单一知识点|以选择题型为主，直接考查概念应用，如求y轴交点坐标| |综合应用|方程根的情况、函数值比较、截线长计算|结合图表数据分析，如利用函数值表判断方程近似根| |能力拓展|不等式解集、解的估算、图象综合判断|通过图象法解决不等关系，如根据抛物线与直线交点确定x取值范围|

2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数与一元二次方程专项训练 一、求抛物线与x轴的交点坐标 1．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 2．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程是解题的关键．根据二次函数图象与x轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解，直接得出答案． 【详解】解：∵ 二次函数的图象与轴的交点坐标是和， ∴ 一元二次方程的解为，． 故选：D． 3．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；通过求二次函数的对称轴，利用抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称的性质求解即可． 【详解】解：由二次函数可知：对称轴为直线， ∵图象与轴的两个交点关于对称轴对称，已知一个交点的横坐标为， 设另一个交点的横坐标为， 则， 即， ∴， 故另一个交点的横坐标为； 故选D． 4．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题．抛物线的对称轴可通过求其与x轴交点坐标，再求出这两个交点坐标的中点得到对称轴，即可作答． 【详解】解：∵， ∴令时，则， 解得， 即抛物线与x轴的交点坐标分别是， 则对称轴为直线， 故选：B． 5．已知二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，随的增大而减小 C．图象与x轴交于点， D．顶点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（与坐标轴交点、单调性、顶点坐标），解题关键是通过配方或公式分析二次函数的开口方向、对称轴等核心特征． 通过计算二次函数的性质，包括与坐标轴的交点、增减性和顶点坐标，判断各选项的正误． 【详解】∵ 二次函数 ， 对于A：当 时，，∴ 图象与轴交点为 ，正确； 对于B：对称轴 ，∵ ，∴ 当 时，随增大而减小，时，y随x的增大而减小，正确； 对于C：解方程 ，得 或 ，∴ 图象与轴交点为 和 ，正确； 对于D：顶点横坐标 ，，∴ 顶点坐标为 ，不是 ，错误． 故选D． 二、求抛物线与y轴的交点坐标 6．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴上所有点的横坐标为0，将代入二次函数解析式，计算得到的值，即可确定交点坐标． 【详解】解：令，代入得， ∴二次函数与轴的交点坐标为． 7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 【答案】C 【分析】根据二次函数的性质，由解析式直接判断开口方向，对称轴，顶点坐标，再求出与y轴交点坐标，逐一判断选项即可. 【详解】解：∵二次函数解析式为，其中二次项系数 ∴抛物线开口向上，A错误； 令，得，因此抛物线与y轴交于点，B错误； 对于形如的二次函数，对称轴为直线，因此C正确； 的顶点坐标为，因此D错误. 8．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数图象与y轴的交点，掌握相关知识是解决问题的关键．即令，代入函数解析式计算的值． 【详解】解：当时，， ∴ 交点坐标为． 故选：B． 9．已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，包括与坐标轴的交点、顶点坐标和单调性，通过直接计算可以判断各选项的正误，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：在中，当时，，即图象与轴的交点坐标是，故A正确； ∵， ∴图象的顶点坐标是，故B错误； 令，则，解得，， ∴图象与轴的交点坐标是，，故C正确； ∵抛物线的开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，故D正确； 故选：B． 10．二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，以及二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解决本题的关键 ． 根据二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴两侧的增减性以及与y轴的交点坐标判断选项即可 ． 【详解】解：二次函数为，其中，因此开口向下，选项A错误； 二次函数为，顶点坐标为，选项B错误； 开口向下时，对称轴直线的右侧，即时，函数值随增大而减小，选项C正确； 令，得，图象与轴的交点坐标为，选项D错误． 故选：C ． 三、已知二次函数的函数值求自变量的值 11．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求二次函数的值， 分别将x的值代入关系式求出对应的函数值，再比较可得答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． ∴ 故选：B． 12．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比较二次函数值的大小．正确计算是解题的关键． 将点坐标代入，求解对应的函数值，然后比大小即可． 【详解】解：由题意知，，，， ∵， ∴， 故选：D． 13．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 【答案】B 【分析】此题考查了抛物线与轴的交点，列出关于的方程是解本题的关键．令得到关于的一元二次方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】解：令，得到， 即， 解得：或6． 故选：B 14．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 【答案】A 【分析】本题中已知了二次函数经过原点，即，由此可求出m的值，结合二次项系数m不能为0，即可求解． 【详解】解：二次函数的图象经过原点， ， 或， 二次项系数不能为0， 所以． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数二次项系数不能为0是解题关键． 15．根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个近似解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据表格，得出当时，的值为，当时，的值为，再根据，即可得出方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于，再结合选项，即可得出结果． 【详解】解：∵由表格可知，当时，的值为，当时，的值为， 又∵， ∴方程（，，，为常数）的一个近似解应大于且小于， 又∵， ∴方程（，，，为常数）一个近似解为． 故选：D 【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的近似解，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的解相当于在二次函数的函数值为时，自变量的值． 四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 16．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 【答案】C 【分析】根据的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧可得出答案． 【详解】解：由函数图象可得：的图象与有两个交点，且交点的横坐标都在y轴右侧， ∴关于x的方程即有两个同号不等实数根， 17．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据二次函数开口方向、与轴交点，对称轴位置、与轴交点确定①②③，再根据顶点坐标确定④． 【详解】解：由二次函数图象可知，开口向上，与轴交于负半轴， ，， 二次函数的对称轴为， ，即， ，，结论①、③正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，结论②正确； 由图象可知，当时，， 即，结论④正确． 综上，结论正确的个数是个，选项符合题意． 18．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．根据抛物线开口方向，对称轴的位置以及与y轴的交点可以对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点情况可对②进行判断；时，，可对③进行判断；根据抛物线与直线无交点，可对④进行判断． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，即，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线，根据抛物线与x轴的一个交点是， ∴抛物线与x轴的另一个交点为． ∴时，，即， ∵， ∴，故③错误； ④∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点． ∴一元二次方程无实数根． 故④正确， 故选：C． 19．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表所示，则一元二次方程的根为（     ） x … 0 … y … 0 3 4 3 … A． B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的对称性及一元二次方程的根与二次函数图象的关系，解题的关键是利用二次函数的对称性确定其与x轴的另一个交点．思路是根据表格中和时y值相等得出对称轴，再结合时，利用对称性找到另一个使的x值，进而得到方程的根． 【详解】解：由表格知，当和时，，故二次函数的对称轴为． 又当时，，根据对称轴的对称性，与关于对称的点的横坐标为，此时，即方程的根为，． 故选：B． 20．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程根的关系，熟练掌握“二次函数图像与轴的交点个数对应一元二次方程实数根的个数”是解题的关键． 根据二次函数图像与轴的交点个数，判断对应的一元二次方程根的情况． 【详解】解：∵ 二次函数的图像与轴没有交点， ∴ 关于的一元二次方程没有实数根， 故选：C． 五、求x轴与抛物线的截线长 21．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 【答案】B 【分析】本题先利用轴上点的纵坐标为的性质，求出二次函数与轴的两个交点坐标，再计算两点间的距离即可得到结果． 【详解】解：二次函数图象与轴交点的纵坐标为 令，得方程 解得， ，两点的坐标为和 线段的长为 22．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，通过求解二次方程得到与轴的交点坐标，然后计算两点间的距离，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于A，B两点， ∴令，则， 解得：，， ∴线段的长度为， 故选：C． 23．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】待定系数法求得二次函数解析式，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴ ∴ ∴二次函数解析式为，对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，的值随值的增大而减小，故D选项不正确，不符合题意； 当时， 即 ∴， ∴，故C选项正确，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，待定系数法求二次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 24．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】令解析式，求解出抛物线与轴交点的横坐标，再作差即可． 【详解】由解得，， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了抛物线在轴上截得的线段长，熟记基本公式，灵活计算是解题关键． 25．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象的平移，抛物线与轴的交点坐标，根据平移规则，将二次函数的图象向下平移5个单位得，再求出与x轴的交点坐标即可得解． 【详解】解：把函数，向下平移5个单位得， 令，得， 解得：，， 图象与x轴的两个交点为， ∴两交点距离为2，满足要求． 故选：． 六、图象法确定一元二次方程的近似根 26．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数值的变化，当函数值由负变正时，方程在该区间内有一个解，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解此题的关键． 【详解】解：令， 由表格可得：当时，，当时，， 即在范围内，的值由负变正， ∴方程的一个解的范围是． 故选：C． 27．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，通过观察二次函数对应值表中值的符号变化，确定方程根的范围，再根据值接近的程度选择近似解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴的一个根在和之间， ∵ 时的值比时更接近， ∴方程的一个近似根为， 故选：． 28．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图象法求一元二次方程的近似值，根据自变量两个取值所对应的函数值是和，可得当函数值为时，的取值应在所给的自变量两个值之间，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵图象上有两点分别为，， ∴当时，；时，， ∴当时，，只有选项符合， 故选：． 29．观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解.的解是二次函数图象与x轴的交点的横坐标，再利用二次函数的增减性可估算解的范围． 【详解】解：观察表格可得： 当时，， 当时，， 从到的这个过程中图象一定会与x轴的相交， 所以的一个解的范围为． 故选：B． 30．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是图象法求一元二次方程的近似根，解题关键是正确理解二次函数图象和一元二次方程关系． 仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得解． 【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，， 即这个数是的一个根， 的一个解的取值范围为． 故选：． 七、图象法解一元二次不等式 31．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数与不等式的关系．根据题意，当函数值时，自变量x的取值范围，就是求当函数图象在x轴上方时，对应的x取值范围，由此得到答案． 【详解】观察图象知，当函数值时，自变量x的取值范围是或， 故选：D． 32．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用图象法解不等式，数形结合思想，根据函数图像可得出当时对应的x的值，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据函数图像可知，当时，，， 结合函数图像可知，当成立的的取值范围是或， 故选：D． 33．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 34．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的与x轴的交点问题，对称性．求出二次函数的图象与x轴的另一个交点，再结合图象，即可求解． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴的一个交点为，对称轴为直线． ∴二次函数的图象与x轴的另一个交点为， ∴当时，x的取值范围是． 故选：C 35．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查利用二次函数图象求不等式的解集，求出点关于对称轴的对称点，结合函数图象即可得出的解集． 【详解】解：由图可知二次函数的图象的对称轴为，与y轴的交点坐标为， 由二次函数图象的对称性可知，点也在函数的图象上， 由图可知，当或时，对应的y值小于3， 因此的解集为：或． 故选：D． 八、利用不等式求自变量或函数值的范围 36．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题考查二次函数性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系等知识点，根据二次函数的性质，对称轴，二次函数与一元二次方程的关系逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，， ∵是抛物线的对称轴， ， ， ，故①错误， ∵过点， ∴，故②错误， 由图象可得抛物线与x轴交于两点， ∴，故③错误， 根据对称轴可得A点横坐标为 ， 由图象可得， 当时，，故④正确， 综上所述有1个正确， 故选：A． 37．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】根此题考查了二次函数的图象，据，则函数图象在轴的下方，所以找出函数图象在轴下方的的取值范围即可，利用了数形结合的思想，准确识图是解题的关键． 【详解】由图象可知，当时，函数图象在轴的下方，， 故选：． 38．已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据表格确定二次函数图象的开口方向以及对称轴，结合表格数据即可对各个选项进行判断． 【详解】解：由表格可知：当越来越大，先减小后增大，即二次函数图象开口向上， 则，故①错误； 由表格可知：当，，当，，即抛物线的对称轴为，故②正确； 当，，当，，即在和0之间，函数值都大于0， 则方程的根不在之间，故③错误； 不等式，即，根据表格数据可知当时不等式，故④正确； 当时，，即，故⑤正确； 正确的选项有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质的知识，解答本题的关键是根据表格发现二次函数图象的对称轴以及开口方向，此题难度不大． 39．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】函数图象开口向下，则在对称轴处函数有最大值，结合对称轴为直线可判断①；根据点B的坐标可判断②；根据二次函数与x轴有两个交点可判断③；根据对称性求出点A的坐标，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴在对称轴处函数有最大值， ∵对称轴为直线， ∴把代入得， ∴函数的最大值为，故①正确； ∵二次函数与交于点， ∴当时，，故②错误； ∵二次函数与x轴交于点A、点， ∴关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，故③正确； 由对称性可知，点A的坐标为， ∴由函数图象可知，当时，，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共3个． 40．已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 【答案】D 【分析】根据抛物线开口方向和与x轴的交点坐标，先确定a的符号，求出对称轴得到a与b的关系，再判断c的符号，最后逐一分析各选项，得到错误结论． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线对称轴为直线， ∴，即，故选项B正确； ∴， ∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为， 当时，，即抛物线与轴的交点为， ∵， ∴， ∴，故选项A正确； ∵抛物线开口向上，直线为对称轴， ∴时，取得最小值，最小值为， ∴对任意实数，有，即，故选项C正确； 当时，， ∵抛物线开口向上，两个x轴交点之间的函数值小于0，且， ∴，故选项D错误． 九、根据交点确定不等式的解集 41．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，根据上方的图象对应的函数值较大，找出x的取值范围，即可求解． 【详解】解：由图象得当时，， 故选：D． 42．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一元二次不等式的关系，关键是根据抛物线的对称轴确定与轴的交点，从而确定不等式的解集．当抛物线开口向上时，一元二次不等式的解集是抛物线在轴下方部分对应的的取值范围，即两个交点之外的的范围． 【详解】解：由抛物线的图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴另一个交点的横坐标为，即， 结合函数图象，当或时抛物线位于轴下方，即， ∴不等式的解集为或． 故选：D． 43．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数和不等式、二次函数与一次函数的交点，根据二次函数和一次函数的图象和性质即可求解，解题的关键是利用图象解决问题． 【详解】解：等价于， 由图象可知，不等式的解集为或， 故选：． 44．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数与不等式：根据交点确定不等式的解集．观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是，结合二次函数的图象性质，进行分析，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出二次函数的开口方向向上，与x轴的交点坐标分别是， 对应的函数图象在轴下方，由图象可得范围为． ∴不等式的解集为 故选：A 45．如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与不等式（组）：利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解， 利用函数图象，写出抛物线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据函数图象，当或时，， 所以若，则x的取值范围为或． 故选：C． 十、一元二次方程的解的估算 46．根据下列表格的对应值可知，方程（，、、为常数）一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程近似解的估算，掌握一元二次方程估算方法是解决问题的关键． 根据二次函数图象与轴交点的横坐标就是方程的根，从而可知交点的横坐标左右所取的值代入得到的值异号即可． 【详解】解：根据题意，重新列表如下： 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 当时，存在一个使， 即方程（，、、为常数）一个解的范围是， 故选：D． 47．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先明确方程，通过表格找的值接近时对应的，利用函数的增减性确定近似解．本题主要考查利用表格数据估算一元二次方程的近似解，熟练掌握函数值与自变量的对应关系及通过数据趋势判断近似解是解题关键． 【详解】解：观察表格： 当时，；当时，；当时， ， 更接近， 时的值更接近，且在到 逐渐增大时，逐渐减小（由表格数据可知），介于（）和（）之间，更靠近， ∴近似解在附近， 对比选项，最接近 ， 故选：． 48．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，此类题要细心观察表格中的对应数据，即可找到x的取值范围． 【详解】解：当时，； 当时，， ∵更接近于0， ∴方程的一个解得整数部分是1， 故选：C． 49．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答． 【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，； 时，， 故一元二次方程的一个解x的范围是． 故选：B． 50．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解，将关于的方程化为，由表格可知，当或时，，由此可得关于的方程的实数根，掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：关于的方程可化为， 由表格可知，当或时，， ∴关于的方程的实数根是，， 故选：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学暑假自学提升基础巩固 夯实基础，巩固提升 二次函数与一元二次方程专项训练 一、求抛物线与x轴的交点坐标 1．在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 2．若关于x的二次函数的图象与x轴的交点坐标是和，则关于x的一元二次方程的解为（   ） A． B．， C．， D．， 3．二次函数的图象与轴的一个交点的横坐标为，则与轴的另一个交点的横坐标是（   ） A． B．1 C．2 D．0 4．抛物线的对称轴为（    ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．已知二次函数，下列说法错误的是（    ） A．图象与y轴交点坐标是 B．当时，随的增大而减小 C．图象与x轴交于点， D．顶点坐标为 二、求抛物线与y轴的交点坐标 6．二次函数与轴的交点坐标是（    ） A． B． C． D． 7．对于二次函数的图象，下列说法正确的是（    ） A．开口向下 B．与y轴交于点 C．对称轴是直线 D．顶点坐标为 8．二次函数的图象与y轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 9．已知二次函数，则下列说法错误的是（    ） A．图象与轴的交点坐标是 B．图象的顶点坐标是 C．图象与轴的交点坐标是， D．当时，随增大而减小 10．二次函数，下列说法正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是 C．当时，随的增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 三、已知二次函数的函数值求自变量的值 11．点均在抛物线上，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 12．若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 13．已知二次函数，当y＝0时，x的值是（　　） A．2或 B．或6 C．或1 D．或 14．若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A．2 B．1 C．0或2 D．1或2 15．根据下列表格的对应值： 判断方程（，，，为常数）一个近似解是（    ） A． B． C． D． 四、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 16．已知函数的图象如图，那么关于x的方程的根的情况是（    ） A．无实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个同号不等实数根 D．有两个异号实数根 17．二次函数的图象如图所示，对称轴为，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 18．二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④无实数根，其中正确的结论有（     ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 19．已知二次函数，函数值y与自变量x的部分对应值如表所示，则一元二次方程的根为（     ） x … 0 … y … 0 3 4 3 … A． B．， C．， D．， 20．二次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法准确判断 五、求x轴与抛物线的截线长 21．二次函数的图象与轴交于，两点，则线段的长是（    ） A．3 B．6 C．9 D．18 22．二次函数的图象与x轴交于A，B两点，则线段的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 23．如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，下列说法正确的是（    ）    A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．，两点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 24．抛物线在轴上截得的线段长度是（    ） A． B．2 C． D． 25．在平面直角坐标系中，平移二次函数的图象，使其与轴两交点之间的距离为2个单位长度，则下列平移方式中可实现上述要求的是（   ） A．向上平移5个单位 B．向左平移5个单位 C．向下平移5个单位 D．向右平移5个单位 六、图象法确定一元二次方程的近似根 26．根据下列表格的对应值，判定方程（a，b，c是常数，且）的一个解x的范围是（   ） x A． B． C． D． 27．如下表，是二次函数的自变量与函数值的几组对应值．那么方程的一个近似解是（   ） A． B． C． D． 28．二次函数的图象如图所示，，为图象上的两点，则方程的一个解可能是（    ） A． B． C． D． 29．观察下列表格，一元二次方程的其中一个解的取值范围是（    ） x 0 1 2 3 4 13 30 49 A． B． C． D． 30．已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表： 判断方程的一个解的取值范围是（　　） A． B． C． D． 七、图象法解一元二次不等式 31．二次函数的图象如图所示，则函数值时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D．或 32．如图是二次函数的图象，使成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 33．二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 34．如图为二次函数图象的一部分，与x轴的一个交点为，对称轴为直线．当时，x的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 35．如图是二次函数的图象，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 八、利用不等式求自变量或函数值的范围 36．如图，若二次函数图象的对称轴为，与y轴交于点C，与x轴交于点A、和点B，点，则①；②，③，④当时，，其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 37．二次函数的图象如图所示，则函数值时，的取值范围是（    ）    A． B． C． D．或 38．已知二次函数的、的部分对应值如下表： 0 1 2 3 5 1 1 下列结论中正确的个数有（    ） ①；②抛物线的对称轴是直线；③方程有一个根，且；④不等式的解集是；⑤是方程的根． A．4 B．3 C．2 D．1 39．如图，若二次函数的图象的对称轴为直线，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点，则：①二次函数的最大值为；②；③；④当时，；其中正确的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 40．已知抛物线开口向上，与x轴交于，两点，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．对任意实数m，均有 D． 九、根据交点确定不等式的解集 41．如图所示，二次函数的图象与一次函数．的图象交于，两点，当时，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 43．抛物线与直线相交于如图所示的，两点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D．或 44．抛物线的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 45．如图，抛物线与直线交于点，若，则x的取值范围为（　　） A． B． C．或 D．或 十、一元二次方程的解的估算 46．根据下列表格的对应值可知，方程（，、、为常数）一个解的范围是（   ） 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 47．观察下列表格，一元二次方程的一个近似解为（） A． B． C． D． 48．小颖在探索一元二次方程的近似解时做了下表的计算．观察表中对应的数据，可知该方程的其中一个解的整数部分是（   ） 0 1 2 5 A． B．0 C．1 D．2 49．在估算一元二次方程的解时，小明列表如下： x 请判断其中一个解x的大致范围是（　　） A． B． C． D． 50．如表是某同学求代数式（为常数）的值的情况．根据表格中数据，可知关于的方程的实数根是（  ） A．， B．， C．， D．， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $