2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本练习通过基础巩固、中档综合、拔高创新三层设计，实现等腰三角形判定定理从单一应用到复杂情境的递进，培养推理能力与几何直观。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|等腰三角形判定、垂直平分线性质|选择1-5直接应用定理，填空9-11强化角度边长计算| |中档|等边三角形、角平分线综合|选择6-8结合四边形与三角形，填空12整合平行线与等腰性质| |拔高|对称、旋转动态几何|解答15-16涉及图形变换与多结论证明，发展空间观念|

2026-2027学年八年级数学上册 2.4 等腰三角形的判定定理 同步练习 浙教版 一、选择题 1．（2026八上·游仙期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于点E，下列结论错误的是（　　） ​​​​​​​ A．BD平分∠ABC B．点D是线段AC的中点 C．AD=BD=BC D．△BCD的周长等于AB+BC 2．（2026八上·关岭期末）如图，在中，根据尺规作图的痕迹，给出下列四个结论：①；②；③；④．其中一定正确的有（　　） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（2025八上·来宾期末）如图，在中， ，，，垂足为点，延长至点，取．若的周长为，，则的周长是（　　） A． B． C． D． 4．（2026八上·广州月考）如图，在中，，F为边的中点，边的垂直平分线分别交于点D，，E，连接．若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，若点D为的中点，过点D作，分别交、于点M、N，连接，则下列结论中：①是等腰直角三角形；②的周长有最小值；③四边形的面积为定值8；④的面积有最小值．正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．（2025八上·慈溪月考）如图，四边形ABCD中，∠A=90°，∠B=120°，∠D=30°，AB=2，BC=3，则CD=(　　) A．5 B．6 C．7 D．8 7．如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD是∠ABC的角平分线，若在边AB上截取BE=BC，连接DE，则图中的等腰三角形共有(　　). A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（2025八上·鄞州期中） 如图， 在等边△ABC中， BD 是△ABC的角平分线， BD=3， 点E为BD上一点， 将BE绕点B时针旋转60°得BF.当F，E，C三点恰好在同一直线时，连结CF与 DF， 则DF的长为(　　) A． B． C．3 D． 二、填空题 9．（2026八上·温州期末） 如图， AD 是△ABC的角平分线， 过点D作DE∥AB交AC于点E．若△ADC的周长为21，AD=7， 则△DEC的周长为　 　． 10．（2025八上·杭州期中）如图， 在等边△ABC中， 点D、E分别在边AB、AC上， DE∥BC， 点F在BC延长线上，且EB=EF， 若BD=4， BF=8， 则线段DE的长为 　 　 . 11．（2024八上·广州期中）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在上，且，动点在上，则的最小值为　 　． 12．（2026八上·慈溪期末） 如图， 在△ABC中， AB=AC， 点D在AB右下方， ∠ADB=∠ACB。过点C作AD的平行线交BD于点F， 过A作AE⊥BD， 垂足E在线段DF上。若DE=3， EF=1， 则CD的长为　 　， BF的长为　 　。 三、解答题 13．（2026八上·遵义期末）如图，是等边三角形，是中线，延长至，使，连接． （1）求的度数； （2）若的面积为，，求的长度． 14．（2026八上·潮南期末）如图，中，，的平分线交于，交的延长线于点，交于点． （1）若．求的度数； （2）若，，求的长． 15．把一张顶角为 的等腰三角形纸片剪两刀，分成三张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形。你能办到吗?请画示意图说明剪法。 16．（2025八上·香河期末）如图1，是等边三角形，点D为边上一点，连接，点C关于的对称点为点E，连接． （1）若是的平分线，求的度数； （2）如图2，连接并延长交的延长线于点F，，试探究，和三者之间满足的等量关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在中，，， ∴， ∵AB的垂直平分线是DE， ∴， ∴， ∴， ∴BD平分，故A正确； ∴的周长为：，故D正确； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故C正确； ∵， ∴， ∴点D不是线段AC的中点，故B错误． 故选：B． 【分析】根据等边对等角和三角形内角和定理得到∠ABC与∠C的度数，然后根据垂直平分线的性质得到AD=BD，求出∠ABD的度数，判断A选项正确；可得△BCD的周长等于AB+BC判断D选项正确，得到∠BDC的度数，即可得到AD=BD=BC判断C选项正确解答即可． 2．【答案】D 【解析】【解答】解：由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线． 垂直平分， ，，， ①、②、④正确， 平分， ， ， ， ． ③正确． 个结论全部正确． 故选：． 【分析】由图可知，是的垂直平分线，是的角平分线，根据垂直平分线性质可得，，，可判断①②④；根据角平分线定义可得，根据等边对等角可得，根据角之间的关系可判断③. 3．【答案】C 【解析】【解答】解： ，， 是等边三角形， 的周长为， ， ， 是高线也是边上的中线、的平分线， ，， ， ， ， ， 的周长为：， 故选：C． 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的三线合一。首先根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，判定为等边三角形，结合周长求出边长；再利用直角三角形三线合一的性质，求出的长度和的度数；由结合三角形外角性质求出的度数，判定为等腰三角形，得到，最后结合线段的和差关系计算的周长。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：连接，如图 ∵，点为的中点，， ∴平分，且， ∴，垂直平分， ∴， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 故答案为：D 【分析】本题首先根据等腰三角形的性质得出平分，且，继而推出，垂直平分；然后利用垂直平分线的性质得出，从而算出可知，再结合三角形内角和定理计算得出，最后利用三角形外角的性质计算得出。 5．【答案】B 【解析】【解答】解：是等腰直角三角形，D为的中点， ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰直角三角形，①结论正确； 当时，最小，则的周长、面积有最小值，②④结论正确； ， ， ， ， 的面积为， 的面积为4， 四边形的面积为定值4，③结论错误； 正确的有①②④，共3个， 故选：B． 【分析】征得，得，可知①正确；当时，最小，则的周长、面积有最小值，故②④正确；由，得到，计算的面积即可判断③错误，从而得出答案． 6．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，延长交于点E， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． 故答案为：C . 【分析】延长交于点E，证明是等边三角形，可得，从而得到，再由直角三角形的性质可得，即可求解． 7．【答案】D 【解析】【解答】解： ∵AB= AC， ∴△ABC是等腰三角形； ∵AB=AC， ∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵ BD是△ABC的角平分线， =36°， ∴∠A=∠ABD=36°， ∴BD= AD， ∴△ABD是等腰三角形； 在△BCD中， ∵∠BDC = 180°-∠DBC-∠C =180°-36°-72°= 72°， ∴∠C=∠BDC=72°， ∴BD=BC， ∴△BCD是等腰三角形； ∵BE= BC， ∴BD=BE， ∴△BDE是等腰三角形； ∴∠BED = (180°-36°)÷2 = 72°， ∴∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°， ∴∠A =∠ADE， ∴DE=AE， ∴△ADE是等腰三角形； ∴图中的等腰三角形有5个. 故选： D. 【分析】根据已知条件分别求出图中三角形的内角度数，再根据等腰三角形的判定即可找出图中的等腰三角形. 8．【答案】B 【解析】【解答】解：连接AF，如图所示， ∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC ∴BD⊥AC，AD=CD，∠ABD=∠ABC=30° 设AB=2m，则AD=m，则有，得m= ∵BE=BF，∠EBF=60° ∴△BEF为等边三角形 ∴∠ABD=∠ABF=30° ∴∠CBF=90° ∴EF⊥AB ∴CF⊥AB ∴∠BCE=∠ACF=30° ∴△CAF≌△CBF(SAS) ∴∠CAF=90° 设CF=2x，则AF=x，，解得x=2， DF= 故答案为： B. 【分析】连接AF，由等边三角形的性质知BD⊥AC，由勾股定理可得AD的长，同时△BEF为等边三角形，∠FAC=90°，由勾股定理得AF的长，由此可得DF的长. 9．【答案】14 【解析】【解答】解：∵ AD 是△ABC的角平分线 ∴ ∵ DE∥AB ∴ ∴ ∴EA=ED ∵AD+DC+CA=21，AD=7 ∴DC+CA=14 ∵△DEC的周长 =DC+CE+ED ∴△DEC的周长 =DC+CE+EA=DC+CA=14 故答案为：14 【分析】先利用角平分线与平行线的性质证明DE=AE，再结合△ADC的周长求出DC+EC的值，最后代入△DEC的周长公式计算。 10．【答案】2 【解析】【解答】解：过E点作EH⊥BF， 设DE=x， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠ABC=∠ACB=60° ∵DE//BC. ∴∠ADE=∠ABC=60°，∠AED=∠ACB=60° ∴△ADE是等边三角形 ∵BD=4. ∴EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60° 在Rt△CHE中， ∵∠ACB=60°，EC=BD=4， ∴∠HEC=180°-∠ACB-∠EHC=180°-60°-90°=30° ∴ ∴BH=BC-CH=4+x-2=2+x， ∵EB=EF. ∴△EBF是等腰三角形 ∵EH⊥BF，BF=8. ∴BH=FH=4， ∴2+x=4 ∴x=2 ∴DE=2 故答案为：2. 【分析】过E点作EH⊥BF，设DE=x，根据△ABC是等边三角形，DE//BC，得到△ADE是等边三角形，已知BD=4，得到EC=BD=4，AB=BC=AC=4+x，∠ACB=60°，在Rt△CHE中求得CH=2，表示出BH=2+x，根据△EBF是等腰三角形，BF=8，得到BH=FH=4，即可求得线段DE的长. 11．【答案】3 【解析】【解答】解：如图，作点关于的对称点，连接交于， 此时的值最小，最小值为：， ， ∴， 是等边三角形， ，， ∵是中线， ∴，，， ∵， ， ∴， ∴， 又∵， 是等边三角形， ， 的最小值是3， 故答案为：3． 【分析】作点关于的对称点，连接交于，根据轴对称的性质得到的最小值为：，然后结合等边三角形的性质求出，从而证明是等边三角形，进而得到. 12．【答案】4；6 【解析】【解答】解：在BD上取点G，使EG=ED=3，连接AG，如图所示， ∵GF=EG-EF ∴GF=3-1=2 ∵AE⊥DG，EG=ED ∴△ADG为等腰三角形且AG=AD ∴∠AGD=∠ADG=α ∴∠ADB=∠ACB， ∵AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=α ∴∠BAC=∠DAG=180°-2α ∵AB=AC，AG=AD ∴△ABG≌△ACD(SAS) ∴∠ADC=∠AGB=180°-α，BG=CD ∴∠CDF=∠ADC-∠ADE=180°-α-α=180°-2α ∵AD||CF ∴∠CFD=∠ADF=α ∴∠DCF=180°-∠CDF-∠CFD=180°-α-(180°-2α)=α ∴∠DCF=∠CFD ∴CD=DF ∵DF=DE+EF=3+1=4 ∴CD=4，BF=4 ∴BE=BF+EF=4+2=6 故答案：4，6. 【分析】在BD上取点G，使EG=ED，由角度关系知∠BAG=∠CAD，得△ABG≌△ACD，得BG=CD，∠AGB=∠ADC，由此得∠DCF=∠DFC，即有DC=DF，由此可得DC和BF的长. 13．【答案】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵是等边三角形，是中线， ∴，，， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，根据等边对等角可得，再根据三角形外角性质即可求出答案. （2）根据等边三角形性质可得，，，则，根据等角对等边可得，再根据三角形面积即可求出答案. 14．【答案】（1）解：如图， ，， ， 平分， ， ， ， ． ∴的度数为． （2）解：如图， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ∴的长为4． 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质，结合，，得，根据平分，得，再根据，得，即可得的度数为． （2）根据得，可证明，即可得，进一步可判断 为等边三角形，进而可知的长度． 15．【答案】解：能办到，理由如下： 如图： AB = AC， ∠A = 36°， 将BC沿BD折叠，点C落在点E处即可； ∵AB =AC， ∠A =36°， ∵将BC沿BD折叠，点C落在点E处， DEB=72°， ∴∠BDC =∠BDE=180°-72°-36°= 72°， ∴∠C=∠BDC =∠BDE =∠BED=72°， ∴BC=BD=BE， 即△BCD， △BDE均为等腰三角形， ∵∠BED =72°， ∠A =36°， ∴∠ADE =∠BED-∠A =36°， ∴∠A=∠ADE=36°， ∴AE=ED， ∴△AED为等腰三角形， ∴沿图中BD，DE剪两刀即可得出三个等腰三角形. 【解析】【分析】根据等腰三角形的性质与判定结合三角形内角和定理即可解答. 16．【答案】（1）解：设， ∵点与点关于对称， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 理由如下： 连接， 在上截取， 连接， ∵点与点关于对称， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ， ， ， ， ． 【解析】【分析】(1)本题考察轴对称的性质（对称点与对称轴的夹角相等）和等边三角形的性质（每个内角为60°）。设，因点C与E关于BD对称，故；又是等边三角形，，而，即；解方程求出的值，即为的度数。 (2)本题考察全等三角形的判定（AAS）、等边三角形的判定与性质，以及线段的和差关系。连接CF，在BF上截取，连接AG；因，，故是等边三角形，得出，；由轴对称性质得，，故；结合，推导得出，证明（AAS），得出；因，且，故，从而得出三者的等量关系。 学科网（北京）股份有限公司 $