精品解析：广东阳江市第三中学2025-2026学年高三下学期二模数学试卷

阳江三中2025-2026学年高三级二模试卷 数 学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ，所以 2. 已知复数是实数，则（ ） A. 0 B. －1 C. 2 D. －2 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法化简复数，根据是实数求出的值 【详解】因为是实数，所以. 故选：B 3. 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，得到等差数列通项，令即可求解． 【详解】解：设等差数列，公差为， ，， 又，解得， 故等差数列1，46，91，…，2026共有46项． 4. 函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】函数，定义域得. 化简得. 选项A：，故是偶函数，不是奇函数，A错误. 选项B：假设是周期函数，则存在非零常数，对任意，都有. 取，则，即，得，与矛盾. 故假设不成立，不是周期函数，B错误. 选项C：取，则，C错误. 选项D：，所以，D正确. 5. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式及三角形面积公式即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 6. 某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（ ） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用向量垂直和模长的坐标表示求出或，再结合题意求出向量，然后计算模长与表格对比可得. 【详解】设， 因为与向量垂直，所以， 又，即，所以或， 由可得， 当时，，则； 当时，，则； 由题意可得此次配送的效率等级为高效. 故选：B. 7. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件概率公式以及全概率公式，即可求解. 【详解】因为， 所以. 又. 所以.又， 所以. 故选：A. 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【详解】令，得， 在同一坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数的图象与直线交点的纵坐标， 观察图象得，当时，；当时，；当时，， 因此ABC都可能，D不可能. 故选：D 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30 D. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据相关系数的性质判断A；根据正态分布的对称性求解即可判断B；根据百分位数的概念求解第30百分位数即可判断C；利用频率分布直方图的性质可判断D. 【详解】对于A，具有相关关系的两个变量x，y的相关系数越大，则x，y之间的线性相关程度越强，故A不正确； 对于B，随机变量服从正态分布，又， 所以，则，故B正确； 对于C，因为，所以数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30，故C正确； 对于D，由对称性知若频率分布直方图左右对称，则平均数等于中位数， 而若频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则平均数大于中位数，故D正确. 故选：BCD. 10. 如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角为 【答案】BC 【解析】 【分析】由异面直线的判定判断A；补形为正方体判断B；利用等体积法求出体积判断C；求出异面直线夹角判断D. 【详解】对于A，直线平面，点平面，而直线， 点平面，因此直线与直线是异面直线，则四点不共面，A错误； 对于B，将三棱柱补形为正方体，为该正方体共点的三条棱， 矩形为该正方体对角面，则为三棱柱外接球直径，B正确； 对于C，点到平面的距离为， 则，C正确； 对于D，取中点，连接，由是中点，得， 则是异面直线与所成角或其补角， 由已知，，，平面， 所以平面，故平面， 又平面，于是，而， 因此，即，D错误. 11. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 当时， D. 【答案】AC 【解析】 【分析】写出圆的方程，利用给定点求出，设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理，即可逐个选项判断． 【详解】抛物线的焦点为，圆方程为， 对于A，由点在圆上，得，而，则，A正确； 抛物线的焦点为， 设直线方程为， 由对称性不妨令点在第一象限， 由，得，则， 对于B，由，得，解得，B错误； 对于C，由选项B得点，直线斜率，即， 则，而，因此，C正确； 对于D，， 又 ，且圆的弦， 因此不一定小于，D错误． 三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数，求导，再根据曲线在处的切线与直线平行，由求解. 【详解】因为函数， 所以， 又因为曲线在处的切线与直线平行， 所以， 解得， 故答案为： 【点睛】本题主要考查导数的几何意义，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列通项公式及求和公式进行求值. 【详解】由数列为等比数列，设其公比为， 又，则， 解得， 所以，即， 所以，， 所以，， 所以， 故答案为：. 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】首先根据向量的线性关系判断出的位置，设，根据双曲线的定义得到，在中，由余弦定理得到的一个关系式，根据的面积相等得到一个关于内切圆半径的方程，进而求解. 【详解】因为（），所以三点共线，且位于之间， 所以均在双曲线的右支上，如图： 所以, 设，则， 在中，由余弦定理得， 即， 展开并化简得. 因为，所以， 所以 . 设的内切圆半径为r，则 ， 由等面积法可得，解得. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数（常数）. （1）若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； （2）若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数解析式由，求出角A，再由，利用正弦定理求出，可得角B的大小； （2）由函数图象的变换，求出解析式，由时，求出的取值范围. 【小问1详解】 时，函数，，， 中，，所以， ，由正弦定理可得，， 由，所以. 【小问2详解】 函数（常数），的最小正周期为π， 所以，得，即， 所以， 时，，则有，此时， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为. 16. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： （1）用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； （2）若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 【答案】（1） （2）（i）；（ii）该款大模型更有可能是语言模型. 【解析】 【分析】(1)依据图示可以得到多模态模型的个数与总数作比值；(2) (i)根据线性回归模型的计算公式代入数据；(ii)分别计算两款模型的值，比较即可； 【小问1详解】 由2025年的数据可知，随机抽取了14款大模型，其中多模态模型有6款，用频率估计概率，多模态模型的频率为，所以该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率为. 【小问2详解】 (i) 因为，，， 表示2025年1月份，表示2025年6月份，所以 所以， 所以，根据， 所以y关于t的线性回归方程为： (ii) 已知2026年4月，则，计算多模态模型的预测值和残差，，残差为：， 所以.再计算语言模型的预测值和残差，，残差为：，，所以，所以根据值越小的大模型发生的可能性越大，所以该款大模型更有可能是语言模型. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明：因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 【点睛】 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若方程有两个不等实根，证明：． 【答案】（1） 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 由（1）知，时，在上单调递减，在上单调递增， 因为方程有两个不等实根，所以不妨设，且 设,令， 则， 所以当时，在单调递减，又， 所以，即 又，所以， 又由于，且在上单调递增， 所以即. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，，讨论与时导函数的正负，来确定函数单调区间． （2）有两个不等实根，设，且，构造,，再根据函数单调性证明即可． 【小问1详解】 函数的定义域为， 时，当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 时，令得， 当时，当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 当时，当时，，所以在上单调递增. 当时，当时，；当时，， 所以在上单调递增,在上单调递减. ,, 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】（1） （2）数列是等比数列，公比为 （3）直线恒过定点 【解析】 【分析】（1）根据的关系即可求出； （2）设，直线的方程为，联立得到，再求直线的斜率之积，设直线的斜率为，求出即可证明； （3）直线的方程为，根据（2）的结论求出即可证明. 【小问1详解】 由题意得，， 故E的方程为. 【小问2详解】 设，直线的方程为， 由，消去，整理得， ， 直线的斜率之积为 ， 设直线的斜率为，依题意可知均存在且不为零， 由经过E的右焦点，知①， 由经过E的左焦点，知②， ②①得，故数列是等比数列，公比为. 【小问3详解】 直线的方程为，由（2）知， 故，解得， 故直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 阳江三中2025-2026学年高三级二模试卷 数 学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数是实数，则（ ） A. 0 B. －1 C. 2 D. －2 3. 等差数列1，46，91，…，2026共有（ ） A. 44项 B. 45项 C. 46项 D. 47项 4. 函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 是周期函数 C. 的最大值为2 D. 5. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（   ） A. B. C. D. 6. 某智能物流车的“实际配送向量”“规划路线向量”“交通拥堵修正向量”满足关系式：.已知条件如下：实际配送向量，交通拥堵修正向量与向量垂直，.配送效率等级通过“规划路线向量的模（单位：）”判定，标准如下表（一般情况下，认定“停滞”属于无效配送）： 配送效率等级 超高效 高效 常规 低效 停滞 模的范围 若此次配送为有效配送，则此次配送的效率等级为（ ） A. 超高效 B. 高效 C. 常规 D. 低效 7. 已知随机事件满足，则（ ） A. B. C. D. 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的有（ ） A. 具有相关关系的两个变量x，y的相关系数r越大，则x，y之间的线性相关程度越强 B. 已知随机变量服从正态分布，且，则 C. 数据27，30，37，39，40，50的第30百分位数是30 D. 若一组样本数据的频率分布直方图为单峰不对称，且在右边“拖尾”，则样本数据的平均数大于中位数 10. 如图，在直三棱柱中，，，点，，，分别是，，，的中点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. 线段为直三棱柱外接球的直径 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线与所成角为 11. 已知抛物线的焦点为，以为圆心，为半径得到圆，圆上有一点．过点的直线与交于两点，与圆另交于点，则（ ） A. B. 当时，的横坐标为 C. 当时， D. 三、填空题: 本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数，若曲线在处的切线与直线平行，则______. 13. 已知等比数列的前项和为，若，，则_____________． 14. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，A，B两点均在双曲线H上，且满足（），，则的内切圆半径为______. 四、解答题：本题共6小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤. 15. 已知函数（常数）. （1）若，在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若，，求角B的大小； （2）若的最小正周期为π，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像.当时恒有，求的取值范围. 16. 近年我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对2025年某区域的企业发布的所有大模型中随机抽取了14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图： （1）用频率估计概率，根据2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域2026发布的大模型是多模态模型的概率； （2）若t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据（，2，3，4，5，6，表示2025年1月份，表示2025年6月份，…），计算得，，. （i）建立y关于t的线性回归方程； （ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为，该区域的某家企业在2026年4月发布了1款标准化测试得分为68分的大模型，定义统计量，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，，. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）当时，若方程有两个不等实根，证明：． 19. 椭圆的光学性质是：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点.已知椭圆（）的左顶点为，点在E上，且在x轴的上方，从E的左焦点发出的光线，经过E反射后，交E于点.按照如下方式依次构造点和（）：光线经过E反射后，交E于点；光线经过E反射后，交E于点. （1）求E的方程； （2）设直线的斜率为，求证：数列是等比数列，并求出其公比； （3）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $