精品解析：湖南省长沙市雅礼教育集团2025-2026学年高一上学期入学考试数学试卷

雅礼教育集团2025级新高一年级入学考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：100分 一、填空题（共18题，每小题3分，共54分.请将答案直接填在答题卡的相应位置） 1. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角即平行于的光线与的切线所成的锐角的大小为__________ 2. 某地区七年级共有2000名男生，为了解这些男生的体重指（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是__________． 3. 现有六张分别标有数字，，，，，的卡片，其中标有数字，，的卡片在甲手中，标有数字，，的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________ 4. 如图，矩形内接于，是上一点，连接，分别交于点，若，，则的直径为__________． 5. 如图，在中，，，是的中点，是上的点，连接，的平分线交于点，连接若，，则的长为______． 6. 若点和点在一次函数的图象上，则______用“”“”或“”连接 7. 若式子有意义，则的取值范围是______． 8. 如果，那么代数式的值为______． 9. 关于的不等式的解集为，则的值是______． 10. 计算的结果是______． 11. 亿用科学记数法表示为______． 12. 抛物线的图象与轴交于，其中，下列五个结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的有______． 13. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点位置不可能在第______象限． 14. 若，则的值为______． 15. 如图，直线，相交于点，，，则的度数是______. 16. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的值可以是______.（写一个符合条件的的值即可） 17. 已知抛物线：，下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线必过点和点；③当时，的值随值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数，不等式恒成立.其中结论正确的有______（填序号）. 18. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为圆心，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______． 二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置） 19. 如图，中，，是的角平分线． （1）若，求的度数； （2）若是的中点，的面积为，，求的长． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若，满足求的值． 21. 如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米参考数据： （1）求的距离结果保留根号； （2）小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米小时观光车的速度为千米小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，说明理由结果精确到 22. 如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）若与相似，求的值； （2）连接，，若，求的值； （3）试证明：的中点在的一条中位线上． 23. 问题背景】如图，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，连接． （1）【初步感知】若，，三点在同一条直线上时，求的度数； （2）【研究感悟】若正方形的边长为，求的最小值； （3）【深度探索】如图，延长交于点，若，求证：是线段的黄金分割点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 雅礼教育集团2025级新高一年级入学考试试卷 数 学 时量：120分钟 满分：100分 一、填空题（共18题，每小题3分，共54分.请将答案直接填在答题卡的相应位置） 1. 如图，是地球的示意图，其中表示赤道，，分别表示北回归线和南回归线，夏至日正午时，太阳光线所在直线经过地心，此时点处的太阳高度角即平行于的光线与的切线所成的锐角的大小为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质求出，根据切线的性质得到，进而求出． 【详解】，， ，， 是的切线， ，则， 则. 2. 某地区七年级共有2000名男生，为了解这些男生的体重指（BMI）分布情况，从中随机抽取了100名男生，测得他们的BMI数据（单位：），并根据七年级男生体质健康标准整理如下： 等级 低体重 正常 超重 肥胖 BMI 人数 6 75 15 4 根据以上信息，估计该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数是__________． 【答案】1500 【解析】 【分析】用2000乘以样本中BMI等级为正常的人数所占的比例即可得解. 【详解】由题意可得，该地区七年级2000名男生中BMI等级为正常的人数为， 人. 故答案为： 3. 现有六张分别标有数字，，，，，的卡片，其中标有数字，，的卡片在甲手中，标有数字，，的卡片在乙手中两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是________ 【答案】 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及甲出的卡片数字比乙大的结果数，再利用概率公式可得出答案. 【详解】列表如下： 共有种等可能的结果， 其中甲出的卡片数字比乙大的结果有：，，，，共种， 甲出的卡片数字比乙大的概率为. 故答案为：. 4. 如图，矩形内接于，是上一点，连接，分别交于点，若，，则的直径为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质得，由，得，推导出，则，而，，，得，则，可证明∽，得，则，求得，，即可求的直径． 【详解】连接，且与交于点， 四边形是矩形，且矩形内接于， ， 是的直径， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∽， ， ， ，， ， 的直径为． 故答案为：． 5. 如图，在中，，，是的中点，是上的点，连接，的平分线交于点，连接若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过作，由中位线定理可得，再根据易证，进而得到，易求得，再根据勾股求出，线段和差得到，，延长交于点，由平行线分线段成比例可得，求出，，再由角平分线性质定理可得，求得，最后过作于点，易得，，所以，再利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，延长交延长线于点，过作，交于点， 因为是的中点，所以， 又，所以， 又，所以，所以， 所以，即， 解得或舍去， 所以，所以，，， 在中，， 在中，， 所以， 又，所以，即， 解得，， 又平分， 所以，即，解得， 过作于点，则，， 所以， 在中，. 故答案为：. 6. 若点和点在一次函数的图象上，则______用“”“”或“”连接 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性，比较函数值的大小. 【详解】因为，所以一次函数的函数值随的增大而减小， ， ． 故答案为： 7. 若式子有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负的和分式的分母不等于求解即可得． 【详解】若式子有意义， 则， 解得. 故答案为：． 8. 如果，那么代数式的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把变形为，然后直接代入所求式子求解即可． 【详解】， ， ． 故答案为：． 9. 关于的不等式的解集为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】解不等式得出，结合题意得出关于的方程，解之可得． 【详解】因为，， 则， 又关于的不等式的解集为，， 则，解得， 故答案为：． 10. 计算的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】将异分母分式通分后，即可进行计算． 【详解】原式． 故答案为：． 11. 亿用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用科学记数法的表示形式表示即可. 【详解】亿． 故答案为：． 12. 抛物线的图象与轴交于，其中，下列五个结论：①；②；③；④；⑤关于的一元二次方程有两个不相等的实数根.其中正确的有______． 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系以及抛物线的性质求解. 【详解】∵，，∴ ∵图象与轴交于，，∴， ，∴， ∵抛物线与轴的交点为，，其中，且抛物线开口向下， ∴当时，，∴，故错误； ∵，∴当时，，∴，故错误； ∵抛物线过点，∴，即 当时，，即，将代入上式得， 整理得，故正确； 当时，，即，故正确； ∵抛物线的图象与轴交于，， ∴， ∴函数向上平移一个单位得到 ∴函数与轴有两个交点， ∴关于的一元二次方程两个不相等的实数根，故正确． 故答案为：． 13. 在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点位置不可能在第______象限． 【答案】四 【解析】 【分析】依据题意，根据一次函数的性质即可判断． 【详解】由已知，中，， 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 又在直线中， 所以中随的增大而减小，其图象一定经过第二、第四象限. 所以直线与直线的交点不可能在第四象限， 故答案为：四． 14. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用多项式乘法化简，再利用各项系数对应相等得出答案． 【详解】由于， 故，，， 故答案为：． 15. 如图，直线，相交于点，，，则的度数是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设求出的度数，然后再根据对顶角相等即可求解. 【详解】，. ，∴. 由对顶角相等可知：. 故答案为：. 16. 已知反比例函数，当时，随增大而减小，则的值可以是______.（写一个符合条件的的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象和性质即可得解. 【详解】由时，反比例函数位于一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 可知，当时，在第一象限内，函数中的随的增大而减小． 所以是一个大于的数即可． 故答案为：（答案不唯一）． 17. 已知抛物线：，下列结论：①抛物线的对称轴为直线；②抛物线必过点和点；③当时，的值随值的增大而增大；④当时，已知，是抛物线上的两点，则；⑤当时，对于任意的实数，不等式恒成立.其中结论正确的有______（填序号）. 【答案】①②④ 【解析】 【分析】依据题意，由抛物线：可得对称轴是直线，然后结合二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，逐个判断即可得解. 【详解】由题意，抛物线：方程可得：的对称轴是直线，故①正确； ，当时，，即当或时，，∴抛物线必过点和点，故②正确； ∵抛物线的对称轴是直线，∴由抛物线的性质可知： 当时，抛物线的图象开口向上，当时，的值随值的增大而增大； 当时，抛物线的图象开口向下，当时，的值随值的增大而减小，故③错误； 由题意，当时，抛物线的图象开口向下，由图像可知：抛物线上的点离对称轴越近时，函数值越大. ∵抛物线的对称轴是直线，且，是抛物线上的两点，，∴，故④正确； ∵当时，抛物线的图象开口向上，抛物线的对称轴是直线， ∴当时，取最小值为，∴对于任意的实数，恒成立，故⑤错误. 综上，正确的是①②④. 故答案为：①②④. 18. 如图，面积为的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为，若以为圆心，为半径画弧交数轴于点，点在点的右边，则数轴上点所表示的数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可. 【详解】由题可知：，又点在点的右边， 点所表示的数为. 故答案为：. 二、解答题（共5小题，请将答案及必要的解题过程直接写在答题卡的相应位置） 19. 如图，中，，是的角平分线． （1）若，求的度数； （2）若是的中点，的面积为，，求的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）先利用互余关系计算出，再利用角平分线的定义得到的度数； （2）先利用是的中点得到，再根据三角形面积公式得到，然后解关于的方程即可． 【小问1详解】 中，， ，， 是的角平分线． ； 【小问2详解】 是的中点，， ， ，的面积为， ， ． 20. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有实数根，求实数的取值范围； （2）若，满足求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到不等式，求出实数的取值范围； （2）由根与系数的关系得出和的值，再代入得到关于的方程计算即可. 【小问1详解】 由题意得， ． 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 依题意有，， ， ，由（1）知，， 解得，舍去． 故的值是． 21. 如图，某景区为游客精心设计了两条游览路线，路线一：在点登船，沿水路游览沿途风光；路线二：先坐观光车从至，沿途游览，再在点登船，沿水路游览沿途美景已知点在点的东北方向，点在点的北偏东方向，点在点的南偏西方向，点在点的南偏东方向，相距千米参考数据： （1）求的距离结果保留根号； （2）小聪和小明同时从点出发，分别选择路线一和路线二游览，若游船和观光车均保持匀速行驶，游船的速度为千米小时观光车的速度为千米小时，上下车和上下船的时间忽略不计，请问小聪和小明谁先到达点，说明理由结果精确到 【答案】（1）千米； （2）小明先到达点，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过作于，解直角三角形即可得到结论； （2）过作于，由题意得，，解直角三角形即可得到结论． 【小问1详解】 过作于， 在中，，，千米， 千米，千米， 在中，， 千米， 千米， 答：的距离为千米； 【小问2详解】 小明先到达点， 理由：过作于， 由题意得，， 在中，，， 千米， 在中，，， 千米，千米， 千米， 路线一：千米， 路线二：千米， ， 小明先到达点． 22. 如图，中，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点匀速运动，运动时间为秒，连接． （1）若与相似，求的值； （2）连接，，若，求的值； （3）试证明：的中点在的一条中位线上． 【答案】（1）或； （2）； （3） 如图，作于点，的中点设为点，再作于点，于点， ，，且为中点， 为直角梯形的中位线， ， ，， ， 过点作线段平行于，分别交于点， ，且， 四边形是矩形， ， 是的中点，线段是的中位线， 的中点在的一条中位线上． 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用相似三角形性质列式计算得解； （2）过作于点，设，交于点，根据∽，可得，再根据∽，得出，代入计算即可； （3）作于点，于点，先得出，再把，代入求出，过点作线段平行于，分别交于点，根据四边形是矩形得出，从而证出是的一条中位线，即可得证． 【小问1详解】 在中，，，， 当∽时， ，，，，， ，解得； 当∽时， ， ，解得. 或时，与相似. 【小问2详解】 如图所示，过作于点，设，交于点， ， ∽， ，即，得， 又， ，， 且， ∽， ，即， 解得：. 【小问3详解】 略 23. 问题背景】如图，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转得到，使得点的对应点恰好在边上，连接． （1）【初步感知】若，，三点在同一条直线上时，求的度数； （2）【研究感悟】若正方形的边长为，求的最小值； （3）【深度探索】如图，延长交于点，若，求证：是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2）4 （3） 设正方形的边长为，， ，； 四边形为矩形， ，则， ，则∽， ，即，即得，解得 ，，则， 则 又， 故得，故点是线段的黄金分割点. 【解析】 【分析】（1）利用题设中图形旋转的性质，结合三点共线，可得，利用正方形的性质即可求得答案； （2）利用三角形三边关系定理可得，结合图形，可见当三点共线时，取得最小值，即的长； （3）设正方形的边长为，，证明∽，则可得，再根据线段的黄金分割点的定义计算证明，即得证． 【小问1详解】 如图，是直角三角形，， 依题意，把绕点逆时针旋转得到，点恰好在边上，且三点共线， 则，，则是的角平分线， 故.四边形为正方形，， 故. 【小问2详解】 在三角形中，由三角形三边关系定理得：， 当三点共线时，取得最小值，因，故的最小值为的长. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $