3.1 代数式（暑假预科讲义）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 3.1代数式 知识归纳与题型总结 考点01 代数式 1. 定义：像，，，，，，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，这样的式子叫作代数式．单独一个数或一个字母也是代数式． 注意：代数式中不含“=”“＞”“＜”“≠”等符号． 2. 代数式的书写格式 （1）在代数式中，数与字母、字母与字母相乘，乘号“×”通常用“”表示或省略不写，并且把数写在字母的前面．例如：4×b应写成4b或4b；a×b应写成ab或ab．数与数相乘时，为避免误会，一般仍用“×”，如3×2 不能省略乘号写成32． （2）代数式中出现除法运算的，通常写成分数的形式，即被除数作分子，除数作分母．如应写成． （3）当代数式后面要注明单位时，若代数式是积或商的形式，直接在后面写单位；若代数式是和或差的形式，先把式子用括号括起来，再在后面写单位． （4）系数是带分数时，带分数要化成假分数．如：x的倍，不能写成，而应写成；如果字母前面的数是1，1通常省略不写． 考向01 用字母表示数 【例1】中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 … (1)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是 ； (2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？ 考向02 列代数式 【例2】某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 考向03 用代数式表示数，图形的规律 【例3】观察下列数列，用含的式子表示第个数： (1) (2)（提示：观察与 的幂的关系） 考向04 代数式的概念 【例4】下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 考向05 代数式书写方法 【例5】下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 考向06 代数式表示的实际意义 【例6】单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. 考向07 已知字母的值，求代数式的值 【例7】工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 考向08 已知式子的值，求代数式的值 【例8】若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 考向09 程序流程图与代数式求值 【例9】观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【对点1】某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【对点2】如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【对点3】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【对点4】下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【对点5】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点6】根据你的经验，请赋予分式实际意义． 【对点7】小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：）．经过实验，发现与的关系满足（）．若小球从离地面的高处自由下落，则小球落地所用的时间为（     ） A． B． C． D． 【对点8】已知，那么代数式的值是 ___________． 【对点9】任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 考点02 单项式 1. 定义：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，如5a，4rt等．单独一个数或一个字母也是单项式． 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数．如3mn，的系数分别为3和． 3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数．如，6xyz的次数分别为3和3．如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0． 考向01 单项式的判断 【例1】下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 考向02 单项式的系数，次数 【例2】下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 考向03 写出满足某些特征的单项式 【例3】请写出一个只含字母的三次单项式：________． 考向04 单项式规律题 【例4】观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【对点1】下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【对点2】单项式的系数是 ___________． 【对点3】请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【对点4】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 考点03 多项式 1. 定义：几个单项式的和的叫作多项式． 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项． 3. 多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数． 4. 多项式的常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项． 考向01 多项式的判断 【例1】已知a是倒数等于它本身的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则多项式的值为___． 考向02 多项式的项，项数与次数 【例2】已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 考向03 多项式系数，指数中字母求值 【例3】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 考向04 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例4】整式按a降幂排列的结果是________________________． 【对点1】在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【对点2】中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【对点3】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【对点4】将多项式按字母降幂排列得_____________． 考点04 整式 1.定义：单项式与多项式统称整式． 2.单项式、多项式与整式的关系如图所示． 3. 判断整式、单项式及多项式的方法 （1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； （2）多项式是几个单项式的和，多项式包含组成它的单项式； （3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式． 考向01 整式的判断 【例1】代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【对点1】已知整式，其中n为自然数，，，…，均为绝对值小于2的整数，且，满足．下列结论： ①不存在任何一个n，使得满足条件的整式有且只有6个； ②满足条件的二次二项式有且只有8个； ③满足条件的整式M中只有8个单项式； ④满足条件的整式一共有22个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 1、 选择题 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 2．如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 3．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 4．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 5．设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 6．已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 7．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 8．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 9．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 10．若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（     ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 12．为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是___________；__________加密后是． 13．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 14．某市出租车收费标准：3公里以内（含3公里）收费8元，超过3公里的部分每公里收费1.5元．若行驶路程为x公里（，x为正整数），则收费金额为________元（用含x的代数式表示）． 15．若在一条笔直的路边等距离地排列着若干个蚂蚁窝，其中第1个蚂蚁窝里面有101只蚂蚁，第2个蚂蚁窝里面有103只蚂蚁，第3个蚂蚁窝里面有105只蚂蚁…….以此类推，最后一个蚂蚁窝里面有201只蚂蚁，如果现在要让所有的蚂蚁都集中到一个窝里去，又使所有蚂蚁爬行的总路程最短，则这些蚂蚁应集中到第_____个蚂蚁窝． 3、 解答题 16．如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 17．【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 18．已知，满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，求，的值． 19．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 20．有一个填数游戏，将，，，，，这个数填入图的各个圆圈内使得每条边上的三个数的和都相等，图是小颖的一次尝试． (1)通过计算判断小颖的尝试是否正确； (2)若填入的上述个数符合游戏条件，已知这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为，直接写出，之间的关系式； (3)求出所有填法中每条边上三个数之和的最大值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $暑季研思・七年级上册数学暑期培优专项讲义 3.1代数式 知识归纳与题型总结 考点01 代数式 1. 定义：像，，，，，，，等式子，它们都是用运算符号把数和字母连接而成的，这样的式子叫作代数式．单独一个数或一个字母也是代数式． 注意：代数式中不含“=”“＞”“＜”“≠”等符号． 2. 代数式的书写格式 （1）在代数式中，数与字母、字母与字母相乘，乘号“×”通常用“”表示或省略不写，并且把数写在字母的前面．例如：4×b应写成4b或4b；a×b应写成ab或ab．数与数相乘时，为避免误会，一般仍用“×”，如3×2 不能省略乘号写成32． （2）代数式中出现除法运算的，通常写成分数的形式，即被除数作分子，除数作分母．如应写成． （3）当代数式后面要注明单位时，若代数式是积或商的形式，直接在后面写单位；若代数式是和或差的形式，先把式子用括号括起来，再在后面写单位． （4）系数是带分数时，带分数要化成假分数．如：x的倍，不能写成，而应写成；如果字母前面的数是1，1通常省略不写． 考向01 用字母表示数 【例1】中国联通在某地的资费标准为包月 186 元时，超出部分国内拨打 0.36 元/ 分，由于业务多，小明的爸爸打电话已超出了包月费． 下表是超出部分国内拨打的收费标准： 时间/分 1 2 3 4 5 … 电话费/元 0.36 0.72 1.08 1.44 1.8 … (1)如果用x表示超出时间，y表示超出部分的电话费，那么y与x的表达式是 ； (2)如果打电话超出 25 分钟，需付总电话费多少？ 【答案】(1) (2)需付 195 元电话费 【分析】（1）根据超出部分国内拨打元/分即可得； （2）求出当时，超出部分的电话费的值，再加上包月费186元即可得总电话费． 【详解】（1）解：因为超出部分国内拨打元/分， 所以． （2）解：当时，， 则需付的电话费为 （元）， 答：需付195元电话费． 考向02 列代数式 【例2】某文具店销售一种水彩笔，每支元，小明买了2支，则小明一共花了（） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【分析】本题利用“总价=单价×数量”的基本数量关系计算总花费，即可得到结果． 【详解】解：∵水彩笔每支单价为元，小明购买数量为2支， ∴总花费为元． 考向03 用代数式表示数，图形的规律 【例3】观察下列数列，用含的式子表示第个数： (1) (2)（提示：观察与 的幂的关系） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：；；；；， ∴第个数为； （2）解：；；；；，…… ∴第个数为． 考向04 代数式的概念 【例4】下列式子：①、②、③、④、⑤0、⑥，其中代数式的个数是（     ）． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据代数式的定义，先排除含等号、不等号的，再判断剩余式子是否符合要求，统计个数． 【详解】解：①是代数式； ②不是代数式； ③不是代数式； ④是代数式； ⑤是单独的数，是代数式； ⑥是代数式； 综上，符合条件的代数式共4个． 考向05 代数式书写方法 【例5】下列代数式书写规范的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵选项A、 不符合规范，应写为； 选项B、 不符合规范，应写为 ； 选项D、 不符合规范，带分数应化为假分数 ； 选项C、 符合所有书写规范， 故选C． 考向06 代数式表示的实际意义 【例6】单项式可以解释为：正方形的边长为，则正方形的周长为，请你再给单项式赋一个实际意义：_____. 【答案】一本笔记本元，买了4本，共需元（答案不唯一） 【分析】根据单项式的意义解析即可． 【详解】略 考向07 已知字母的值，求代数式的值 【例7】工地上有水泥，如果每天用，用了天，还剩______t水泥，已知，，还剩______t水泥． 【答案】 65 【分析】根据题意列出代数式，代入求值即可． 【详解】解：根据题意可知还剩水泥， 当，时，原式． 考向08 已知式子的值，求代数式的值 【例8】若、互为相反数，、互为倒数，则 =___________． 【答案】 【分析】由、互为相反数，、互为倒数，得，整体代入求值即可． 【详解】解：、互为相反数，、互为倒数， ， 原式． 考向09 程序流程图与代数式求值 【例9】观察如图所示的程序，若输入x为2，则输出的结果为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】按照程序图代入左边代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 【对点1】某一出租车一天下午以鼓楼为出发地在东西方向营运，向东为正，向西为负，行车里程(单位：)依先后次序记录如下：，，，，，，，． (1)将最后一名乘客送到目的地，出租车离鼓楼出发点多远？在鼓楼的什么方向？ (2)如果汽车行驶平均耗油升，那么这天下午汽车共耗油多少升？ 【答案】(1)出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边 (2)升 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数的加减和列代数式． （1）根据有理数的加减求出结果进行判断即可； （2）利用绝对值求出走过的路程，再利用乘以，即可求解． 【详解】（1）解：． 答：出租车离鼓楼出发点，出租车在鼓楼西边； （2）解： (升) 答：这天下午汽车共耗油升． 【对点2】如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长（）35米、宽20米的矩形，为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x米，则种植面积（单位：平方米）为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设小道的宽为x米， 根据题意得，种植面积为． 【对点3】“数缺形时少直观，形少数时难入微．”观察每幅图中点数的变化规律，依次排列下去，第m幅图的点数是________个． 【答案】/ 【详解】解：第一个图形有个黑点； 第二个图形有个黑点； 第三个图形有个黑点； 第四个图形有个黑点， ∴第m幅图的点数是个． 【对点4】下列各式中，是代数式的有（     ） ，0，，， ， A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【详解】解：根据定义，用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子是代数式，单独的一个数或字母也是代数式，含等号，含不等号的都不是代数式． 逐个判断： ∵ 是等式， 是不等式，二者都不属于代数式， ∴ 符合代数式定义的式子为，，， ，共个． 【对点5】下列用字母表示数的式子中，符合书写要求的有（     ） ， ，， ， ， A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据代数式的书写规范，逐一判断每个式子，统计符合要求的个数即可．代数式书写规则为：乘号通常省略不写或写为 ，数字需写在字母前方；除法运算写成分数形式；系数为 时省略不写；带分数需化为假分数． 【详解】解：逐个判断式子：∵ 保留乘号 ，不符合书写要求； 中系数的未省略，不符合书写要求； 未将除法写为分数形式，不符合书写要求； 中数字未写在字母前方，不符合书写要求； 未将带分数化为假分数，不符合书写要求； 只有符合所有书写要求，共个符合要求． 【对点6】根据你的经验，请赋予分式实际意义． 【答案】 买斤同款苹果，总花费为元，则该款苹果每斤的价格为元．(答案不唯一，合理即可) 【详解】略 【对点7】小球从离地面为（单位：）的高处自由下落，落到地面所用的时间为（单位：）．经过实验，发现与的关系满足（）．若小球从离地面的高处自由下落，则小球落地所用的时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将，代入求解即可． 【详解】解：将，代入，得， 整理得 ， ． 【对点8】已知，那么代数式的值是 ___________． 【答案】5 【详解】解：∵， ∴． 【对点9】任意给一个非零数x，若输入x的值为5，则输出的结果为_________ ． 【答案】 【分析】根据流程图可知，运算顺序为：输入后先减去，再将结果平方，最后乘以． 【详解】解：根据流程图，输出结果的代数式为 当时， 原式 ． 考点02 单项式 1. 定义：由数与字母的积组成的代数式叫作单项式，如5a，4rt等．单独一个数或一个字母也是单项式． 2. 单项式的系数：单项式中的数字因数叫作单项式的系数．如3mn，的系数分别为3和． 3. 单项式的次数：单项式中所有字母的指数的和叫作单项式的次数．如，6xyz的次数分别为3和3．如果一个单项式不含字母，就称它的次数是0． 考向01 单项式的判断 【例1】下列判断中，错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是单项式 C．是多项式 D．的次数是5 【答案】D 【详解】解：A．的最高次项是，次数为，共有个项，是二次三项式，判断正确，不符合题意； B．单独的一个数是单项式，因此是单项式，判断正确，不符合题意； C．，是两个单项式的和，属于多项式，判断正确，不符合题意； D．中是常数，单项式的次数是所有字母的指数和，即，因此次数是不是，判断错误，符合题意． 考向02 单项式的系数，次数 【例2】下列说法正确的是（     ） A．单项式的次数是2 B．多项式是一次二项式 C．单项式的系数是 D．多项式的次数是3 【答案】B 【详解】解：A、单项式的次数为，不是，故A错误； B、多项式包含和两个单项式，两项的次数都为，是一次二项式，故B正确； C、单项式的系数为，故C错误； D、多项式中最高次项为，次数为，不是，故D错误． 考向03 写出满足某些特征的单项式 【例3】请写出一个只含字母的三次单项式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只要写出的单项式只含有字母，并且所有字母的指数和为即可． 【详解】解：∵只含的三次单项式， ∴只需满足和的指数和为，且系数不为即可， 例如中，指数为，指数为，指数和，符合要求． 考向04 单项式规律题 【例4】观察2，，，，，…，根据这些式子的变化规律，可得第10个式子为________． 【答案】/ 【分析】观察发现，奇数项为正，偶数项为负，分母为连续奇数，分子为连续偶数，x的指数为连续自然数，则式子规律可表示为（n为正整数），即可解答． 【详解】解：， ， ， ， ， …， 第n个式子为， ∴第10个式子为，即． 【对点1】下列说法中，正确的是（     ） A．不是单项式 B．的系数是，次数是 C．不是整式 D．的系数是，次数是 【答案】B 【分析】本题根据单项式、整式的定义，以及单项式系数、次数的计算方法，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵单独的一个数是单项式，∴是单项式，A选项错误； ∵的数字因数为，所有字母的指数和为，∴它的系数是，次数是，B选项正确； ∵是单项式，单项式属于整式，∴是整式，C选项错误； ∵的数字因数是，∴它的系数是，不是，D选项错误． 【对点2】单项式的系数是 ___________． 【答案】 【分析】根据单项式系数的定义求解，注意是常数不是字母，需计入系数，不要遗漏原式的负号. 【详解】解：∵ 单项式的系数是单项式中的数字因数， ∵ 是常数，不属于字母， ∴ 单项式的数字因数为，因此该单项式的系数是. 【对点3】请写出一个含有字母m，n，且次数是3，系数为的单项式：______． 【答案】或（答案不唯一） 【详解】解：符合题意的单项式可以是或． 【对点4】按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别归纳系数和的指数与项数的关系，得到第个代数式的通式，再代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 第1个系数为， 第2个系数为， 第3个系数为， ∴第个代数式的系数为， 又∵第1个中的指数为， 第2个中的指数为， 第3个中的指数为， ∴可得第个代数式中的指数为， ∴第个代数式为， 将代入得：系数为，的指数为， 因此第2026个代数式为． 考点03 多项式 1. 定义：几个单项式的和的叫作多项式． 2. 多项式的项：多项式中，每个单项式叫作多项式的项． 3. 多项式的次数：多项式中，次数最高的项的次数叫作这个多项式的次数． 4. 多项式的常数项：多项式中，不含字母的项叫作常数项． 考向01 多项式的判断 【例1】已知a是倒数等于它本身的自然数，b是最大的负整数，c是绝对值最小的数，则多项式的值为___． 【答案】2 【详解】解：由题意，， ∴. 考向02 多项式的项，项数与次数 【例2】已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数，即可列关于a、b的方程，求解即可； （2）将题（1）求得的a、b的值代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵，两个多项式的次数相同，且最高次数项的系数互为相反数， ∴当时，， ∵两个多项式最高次项的系数互为相反数， ∴这种情况不存在； 当时，，， 综上，，； （2）解：当，时， ． 考向03 多项式系数，指数中字母求值 【例3】如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 考向04 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 【例4】整式按a降幂排列的结果是________________________． 【答案】 【分析】本题考查多项式的降幂排列，解题思路是先确定多项式中每一项的指数，再按照的指数从高到低排列各项，排列时保留各项原有的符号，不要遗漏项． 【详解】解：确定多项式中各项的指数分别为，按照的降幂排列，即按的指数从大到小排列各项， 可得 【对点1】在式子①，②，③，④，⑤中下列结论正确的是（     ） A．①、③是单项式 B．②、⑤是多项式 C．②④⑤都是多项式 D．都是整式 【答案】B 【分析】根据定义逐个判断各代数式的类型，再对比选项得到正确结论． 【详解】①是数与字母的积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的差，是多项式，属于整式； ③分母含有字母a，是分式，不是单项式； ④分母含有字母，是分式，不是多项式； ⑤中分母是常数，属于单项式，因此原式是三个单项式的和，是多项式， ∴A选项中③不是单项式，错误； B选项中②⑤都是多项式，正确； C选项中④不是多项式，错误； D选项中③④是分式，不是整式，错误． 【对点2】中国古代数学家李冶的《测圆海镜》是现存使用天元术的最早著作，天元术是设未知数列方程的方法，开创了中国的半符号代数学．其中天元式可以用来表示多项式，如在未知数的一次项旁标注“元”字，未知数的其他幂次由与“元”的相对位置确定，《测圆海镜》是高次幂在上，低次幂在下，如图1中的天元式表示多项式，则图2表示的多项式的二次项系数为________． 【答案】3780 【分析】根据图1示例可知，天元式从上到下依次为高次幂到低次幂，标有“元”的为一次项，故图2中最上方一行表示二次项系数，结合算筹记数规则（个位纵、十位横、百位纵、千位横）解读数值即可． 【详解】解：根据题意，天元式中高次幂在上，低次幂在下， 图1中第一行表示二次项系数，第二行（标有“元”）表示一次项系数，第三行表示常数项， 图2中第一行表示二次项系数，观察图2第一行算筹，从左到右依次为千位、百位、十位、个位， 千位为横式，表示，百位为纵式，表示，十位为横式（参考图1中千位的表示），表示，个位为，表示，该多项式的二次项系数为． 【对点3】已知多项式是六次三项式，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先根据多项式是六次三项式确定的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是六次三项式， ∴，且， 即 ，且， 当时，； 当时，； 综上，代数式的值为． 【对点4】将多项式按字母降幂排列得_____________． 【答案】 【详解】解：将多项式按字母降幂排列得． 考点04 整式 1.定义：单项式与多项式统称整式． 2.单项式、多项式与整式的关系如图所示． 3. 判断整式、单项式及多项式的方法 （1）单项式不含加减运算，多项式必含加减运算； （2）多项式是几个单项式的和，多项式包含组成它的单项式； （3）单项式和多项式都是整式，分母中含有字母的都不是整式． 考向01 整式的判断 【例1】代数式，，，，，，中，整式的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】根据整式的定义，判断各代数式分母是否含字母，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：的分母含字母，不是整式，，，，，是单项式，属于整式， 是多项式，属于整式， 综上所述，整式的个数共6个． 【对点1】已知整式，其中n为自然数，，，…，均为绝对值小于2的整数，且，满足．下列结论： ①不存在任何一个n，使得满足条件的整式有且只有6个； ②满足条件的二次二项式有且只有8个； ③满足条件的整式M中只有8个单项式； ④满足条件的整式一共有22个． 其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据条件确定n的可能取值，按n分类枚举所有情况，逐一判断四个结论即可． 【详解】解：∵，所有系数绝对值小于2， ∴ ，又， ∴ ，即，分类讨论： 1． 当时，，，共2个整式，或均为单项式，单项式共2个； 2．当时，，，由条件 ，得 ，且为整数，则可取，共个整式， 即或或或或或， 其中单项式共2个. ∴时满足条件的整式有且只有6个，结论①错误； 3． 当时，，，由条件 ，得 . 二次二项式仅一个额外非零系数：若 ，共个；若，共个，合计8个， 即或或或或或或或， 单项式为或 结论②正确； 当的所有整式共个，其中单项式共2个； 4．当时， 由条件可知，剩余系数均为0，共2个整式，均为单项式，单项式共2个． 时， ，无符合条件的整式． 综上：单项式总个数为，结论③正确； 所有整式总个数为 ，结论④错误． 正确的结论共2个． 1、 选择题 1．按如图所示的程序计算，若开始输入的值为，我们发现第次输出结果为，第次输出结果为，…请你探索第次输出的结果为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出前十次的输出结果，可得从第七次开始，依次以4，2，1循环出现，由此求解即可． 【详解】解：由题意可得，当开始输入的值为22，第一次输出的结果为， 第二次输出的结果为， 第三次输出的结果为， 第四次输出的结果为， 第五次输出的结果为， 第六次输出的结果为， 第七次输出的结果为， 第八次输出的结果为， 第九次输出的结果为， 第十次输出的结果为， ， 由上可得，从第七次开始，依次以4，2，1循环出现， ， ， ， 第2020次输出的结果为4． 2．如图，用长的木料（木料宽度不计）做成一个如图所示的窗框，假设窗框横档的长度为．那么窗框的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：观察窗框可知，共有3根横档，每根横档长为，因此所有横档总长度为， 剩余木料是2根竖直边框，总长度为， 因此单根竖直边框长度为， ∴窗框的面积是． 3．已知a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数，则的值为（     ） A．0 B．0或 C．1或 D．0或2 【答案】A 【分析】先根据相关定义确定各未知量对应的值，再代入原式计算即可． 【详解】解：∵a，b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为1，x是数轴上到原点的距离为1的点所表示的数， ∴，，，， ∴，， 因此，且， ∴． 4．将长为、宽为的长方形白纸，按如图所示的方法粘合起来，粘合部分的宽为，50张白纸按如图方式粘合在一起，总长度为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：50张白纸会有49个间隔，故粘合后长度会减少，则总长度为． 5．设A种糖果的单价为每千克a元，B种糖果的单价为每千克6元，则2千克A种糖果和b千克B种糖果混合而成的什锦糖果的单价为每千克（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式的实际应用，先求出混合什锦糖果的总价和总重量，再根据单价=总价÷总重量列出代数式即可得到答案． 【详解】解：∵ 2千克A种糖果的总价为元，千克B种糖果的总价为元， ∴ 混合后什锦糖果的总价格为元，总重量为千克， ∴ 什锦糖果的单价为每千克元． 6．已知，则的结果是（ 　   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】利用已知得出，，，进而代入求出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴ ． 7．已知，，且，则（） A． B．6 C．2或 D．或 【答案】D 【分析】先根据绝对值的定义求出、的所有可能值，结合的条件筛选符合的取值，再计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 当时，且，均不满足条件， ∴舍去，即， 当时，； 当时，； ∴的值为或． 8．下列说法错误的是（     ） A．是二次三项式 B．是多项式 C．的系数是 D．的次数是6 【答案】D 【分析】本题考查多项式与单项式的基本概念，包括多项式的次数，项数定义，单项式的系数，次数定义，根据概念逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、多项式的最高次项次数为2，共3项，是二次三项式，说法正确，故此选项不符合题意； B、是单项式与的和，是多项式，说法正确，故此选项不符合题意； C、单项式的数字因数为，因此系数是，说法正确，故此选项不符合题意； D、∵单项式中，只有字母的指数计入单项式次数，所有字母的指数和为，∴该单项式的次数是4，不是6，原说法错误，符合题意． 9．将全体正整数排成一个三角形数阵，根据上述排列规律，数阵中第行从左至右的第个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先找到数的排列规律，求出第行结束的时候一共出现的数的个数，再求第行从左向右的第个数，即可解答． 【详解】解：由排列的规律可得，第行结束的时候排了个数， 第行从左向右的第个数为， 第行从左向右的第个数为． 10．若（其中可取任意实数），则下列选项中不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用赋值法，给代入不同特殊值，结合等式变形计算各选项的结果，然后再判断正误即可． 【详解】解：A．令，代入原式得，即，故A正确． B．令，得； 令，得，即； 得，整理得，故B正确． C．由的等式，移项得，故C正确； D．令，代入原式得 即，整理得，故D错误． 2、 填空题 11．观察下列单项式的排列规律：，，照这样排列第个单项式应是______． 【答案】 【分析】分别从符号、系数绝对值、的指数三个部分分析变化规律，整合得到第个单项式． 【详解】解：将单项式拆分为符号、系数、的指数三部分分别找规律： （1）符号规律：第奇数个单项式符号为正，第偶数个单项式符号为负，因此符号可表示为； （2）系数绝对值规律：给出的系数绝对值依次为，相邻两数差为，可得第个系数的绝对值为； （3）的指数规律：给出的指数依次为，可得第个单项式中的指数为； 整合三部分可得，第个单项式为． 12．为了确保通讯安全，信息需要加密传输．现规定加密规则如下：加密变成，加密后是___________；__________加密后是． 【答案】 或 【分析】根据规定的加密规则进行计算即可． 【详解】解：∵加密变成， ∴加密后是，即， 由加密后为，则 解得或 ∴或加密变成． 13．某校为进一步落实中小学每天不少于两小时的综合体育活动，更好地开展篮球课，计划购买一批篮球，体育用品商店里每个篮球的标价为120元，商家推出了如下优惠方案：若购买篮球的数量不超过15个，不享受优惠方案；购买15个以上时，超过部分按标价的八折出售．该校购买个篮球的总费用为元，则与的关系式为______． 【答案】，其中为正整数 【分析】总费用分为两部分，不超过15个的部分按原价计算，超过15个的部分按标价八折计算，分别计算两部分费用后求和整理即可得到关系式； 【详解】解：∵购买个篮球，满足， ∴总费用由两部分组成，分别是前15个的费用和超过15个部分的费用， 计算前15个的费用：元， 超过15个的数量为个，超过部分每个的价格为元， 因此超过部分的总费用为元， ∴总费用， 展开整理得： ， 即与的关系式为； 14．某市出租车收费标准：3公里以内（含3公里）收费8元，超过3公里的部分每公里收费1.5元．若行驶路程为x公里（，x为正整数），则收费金额为________元（用含x的代数式表示）． 【答案】 【分析】收费分为两部分，3公里以内固定收费8元，超过3公里的部分按每公里1.5元计算，总收费为两部分的和． 【详解】解：∵， ∴总收费由两部分组成：3公里以内收费为8元， 超过3公里的路程为公里，这部分收费为元， 总收费：元． 15．若在一条笔直的路边等距离地排列着若干个蚂蚁窝，其中第1个蚂蚁窝里面有101只蚂蚁，第2个蚂蚁窝里面有103只蚂蚁，第3个蚂蚁窝里面有105只蚂蚁…….以此类推，最后一个蚂蚁窝里面有201只蚂蚁，如果现在要让所有的蚂蚁都集中到一个窝里去，又使所有蚂蚁爬行的总路程最短，则这些蚂蚁应集中到第_____个蚂蚁窝． 【答案】30 【分析】根据题意可知，第个蚂蚁窝里面有只蚂蚁，进而可得最后一个蚂蚁窝为第51个蚂蚁窝；设相邻两个蚂蚁窝的距离都为1，所有的蚂蚁都集中到第个窝里去，则所有蚂蚁爬行的总路程为，最后利用绝对值的几何意义即可求解． 【详解】解：第1个蚂蚁窝里面蚂蚁的只数为， 第2个蚂蚁窝里面蚂蚁的只数为， 第3个蚂蚁窝里面蚂蚁的只数为， ……. 以此类推，第个蚂蚁窝里面蚂蚁的只数为， 令，解得， ∴最后一个蚂蚁窝为第51个蚂蚁窝； 设相邻两个蚂蚁窝的距离都为1，所有的蚂蚁都集中到第个窝里去， 则所有蚂蚁爬行的总路程为； 表示在数轴上表示的点到表示1，……，1（101个1），2，……，2（103个2），3，……，3（105个3），……，51，……，51（201个51）的点的距离之和， 共有个点， ∴处于中间的数为第个点表示的数， ∵前29个蚂蚁窝中蚂蚁的总数为， 前30个蚂蚁窝中蚂蚁的总数为， ∴第3741个点表示的数是29，第3900个点表示的数是30， ∵， ∴第3851个点表示的数为30， ∴当时，有最小值， ∴这些蚂蚁应集中到第30个蚂蚁窝． 3、 解答题 16．如图，在一个边长为的正方形的四个角处都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． (1)如果小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为，请用含的代数式表示． (2)当小正方形的边长为时，求出此时阴影部分的面积． (3)当小正方形的边长由变化到时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 【答案】(1) (2) (3)阴影部分的面积减小了 【分析】（1）根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积解答即可； （2）将代入计算即可； （3）分别求出和时，的值，由此即可得． 【详解】（1）解：图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小正方形的面积， ∵大正方形的边长为，小正方形的边长为，图中阴影部分的面积为， ∴． （2）解：当时，， 答：此时阴影部分的面积为． （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴阴影部分的面积减小了． 17．【问题背景】 某超市员工现需利用扶梯将辆购物车从一层转运到负一层． 【相关素材】 素材：如图，假设购物车在整齐叠放的状态下，购物车数量每增加辆，购物车列的车身总长变化情况相同．如表中探究了整齐叠放的购物车列的车身总长与购物车数量的关系： 购物车数量/辆 车身总长/米 素材：如图，该超市的扶梯竖直高度米，水平宽度米．斜面米．为了安全起见，该超市员工在利用扶梯运输购物车时，一次只能转运一列购物车，且购物车列的车头与车尾需同时处于扶梯承载区域内． 【问题解决】 (1)根据表格可知，购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式为________； (2)在不考虑其他因素的影响下，判断该超市员工能否通过一次转运就将全部的购物车转运完毕，并通过计算说明理由． 【答案】(1)， (2)该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 理由如下： 当时，， ， ∴该超市员工不能通过一次转运就将全部的购物车转运完毕． 【分析】（1）直接根据素材1，列出购物车列的车身总长与购物车数量之间的关系式即可； （2）将代入（1）所得的解析式，求得购物车列的车身总长，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：根据表格，增加1辆购物车，车身总长增加米， 则， ∴车身总长与购物车数量之间的关系式为． （2）略 18．已知，满足，；其中表示不大于的最大整数，表示的小数部分，即，求，的值． 【答案】的值为，的值为 【分析】根据得出为整数，进而得出为整数，可得，即可求出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为整数， ∴为整数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的值为，的值为． 19．某电信公司手机收费有两种方案． 方案一：月租费30元，本地通话费0.4元/分钟； 方案二：不收月租费，本地通话费0.6元/分钟； (1)某用户某月打电话时间为分钟，则方案一收费方式下应支付的费用为________元；方案二收费方式下应支付的费用为________元； (2)若某用户估计一个月打电话的时间为5小时，你认为哪种收费方式比较合算，为什么？ 【答案】(1)； (2)方案一收费方式比较合算．通话5小时时，方案一费用为150元，方案二费用为180元． 【分析】（1）根据两种方案，列出代数式即可； （2）求出两种方案所需费用，比较大小即可. 【详解】（1）解：方案一收费方式下应支付的费用为元，方案二收费方式下应支付的费用为元； （2）解：方案一收费方式比较合算，理由如下： 5小时300分钟， 当时， 方案一应支付的费用：（元）， 方案二应支付的费用：（元）， ， 方案一收费方式比较合算， 答：当一个月打电话的时间为5小时，方案一收费方式比较合算． 20．有一个填数游戏，将，，，，，这个数填入图的各个圆圈内使得每条边上的三个数的和都相等，图是小颖的一次尝试． (1)通过计算判断小颖的尝试是否正确； (2)若填入的上述个数符合游戏条件，已知这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为，直接写出，之间的关系式； (3)求出所有填法中每条边上三个数之和的最大值． 【答案】(1)小颖的尝试不正确，见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别计算三条边上的数字之和，进行判断即可； （2）根据三条边上数字之和与顶点处数字之和的关系列式即可； （3）根据，之间的关系可得最大时，最大，进而确定已知个数中三个数的和最大值即可． 【详解】（1）解：，，，每条边上的三个数的和不相等， 小颖的尝试不正确； （2）解：由题意可知，三角形有条边，每条边上的三个数之和为， 三条边的总和为， 在计算三条边的总和时，三个顶点处的数各被计算了两次，其余各数各被计算了一次， 三条边的总和等于个数的总和加上三个顶点处的数之和， 这个数之和为，设每条边上的三个数之和为，三个顶点处的三个数之和为， ； （3）解：每条边上三个数之和为，最大，即最大， 即最大时，最大， 为三个顶点处三个数之和，，，，，，中三个数的和最大为， 最大为，此时， 每条边上三个数之和的最大值为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $