25.3.3 单双循环问题、教字问题与其他问题-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（人教版·新教材）

第3课时 单双循环问 知识要点分类练单 知识点1单双循环问题 1.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学 各送一张表示留念，全班共送2035张照片，如果全 班有x名同学，根据题意，列出方程为（) A.x(x-1)=2035 B.x(x-1)=2035×2 C.x(x+1)=2035 D.2x(x+1)=2035 2.一次座谈会上，每两个参加会议的人都互相握手 一次，经统计，一共握手36次，则这次会议与会人 数是 人 3.中国足球协会超级联赛举办期间，某市以此为契 机举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间 比赛一场. (1)如果有4支球队参加比赛，那么共需进行 场比赛； (2)如果全市共需进行36场比赛，那么有多少支 球队参加比赛？ 知识点2数字问题 4.两个连续奇数的积为323，设其中较小的奇数为 x,可列方程为 A.x(x-2)=323 B.x(x+2)=323 C.x(x-1)=323 D.(2x-1)(2x+1)=323 5.[传统文化]小明同学是一位古诗文的爱好者，在 学习了一元二次方程这一章后，改编了苏轼诗词 《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风 第二十五章一元二次方程Y 题、数字问题与其他问题 [答案P6] 流人物.而立之年督东吴，早逝英年两位数.十位 恰小个位三，个位平方与寿同哪位学子算得快， 多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位 数字是x,则可列方程为 A.10x+(x-3)=(x-3)2 B.10(x+3)+x=x2 C.10x+(x+3)=(x+3)2 D.10(x+3)+x=(x+3)2 6.游行队伍有8行12列，后又增加了69人，要使得 队伍增加的行数和列数相同，需要增加 行 色知识点3其他问题 7.（广东深圳期中)以初速度，竖直上抛的物体的 1 高度h和时间t满足关系式h=ot-2(g为 重力加速度，g≈10m/s2),一个小石子在地面以 初速度vo=25/s被向上抛出，则小石子离地20 米的时间是 () A.1s B.1s或4s C.4s D.不能确定 8.（广东清远期中)如图，在△ABC中，∠ABC=90°， AB=8cm,BC=7cm,动点P,Q分别从点A,B同 时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为 1cm/s,点Q的速度为2cm/s,点Q移动到点C后 停止，点P也随之停止运动，当四边形APQC的面 积为13cm2时，点P运动的时间是 A.3s C B.5s C.3s或5s A PB D.6s 8题图 能力提升综合练单： 9.日历中含有丰富的数学知识，在如图①所示的日 历中用阴影圈出9个数，这9个数的大小之间存 在着某种规律.小慧在2026年某月的日历中也按 图①所示方式圈出9个数（如图②），发现这9个 见此图标器微信扫码进人初中智慧学园自 23 全程导练·九年级数学（上册） 数中最大的数与最小的数乘积是297，则这9个 数中，中间的数e是 日 三四五六 12345 6789101112 13141516171819 20212223242526 e 2728293031 8h i 9题图① 9题图② A.17 B.18 C.19 D.20 10.某年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群 规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群 内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包， 若此次抢红包活动，群内所有人共收到90个红 包，则该群一共有 人 11.阅读下面的内容： 我们知道，计算n边形(n≥3)的对角线条 数的公式为)n(n-3).如果一个n边形共有20 条对角线，那么可以得到方程2n(n-3)=20, 整理，得n2-3n-40=0,解得n=8或n=-5. n≥3，n=-5不符合题意，舍去，∴.n=8,即 该多边形是八边形. 根据以上内容，回答下面的问题： (1)若一个多边形共有14条对角线，求这个多 边形的边数n; (2)某同学说：“我求得一个多边形共有10条对 角线.”你认为该同学的说法正确吗？请说 明理由. 24 见此图标跟微信扫码进人初中智慧学园自 素养探究创新练中” 2.【问题提出】科技改变生活，某中学响应教育局 “打造数字化教学”的号召，鼓励学生进行周末 劳动实践经验线上交流，九年级一班的全体同学 在家务劳动的同时，全班每两个同学都通过一次 视频电话，互相交流，共同提高，若每两名同学之 间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学 共通过多少次电话呢？ 【模型构建】用点M1,M2,M3,…,Mso分别表示第 1,2,3,…,50名同学，把该班级人数n与视频通 话次数$之间的关系用如图模型表示： 14 M3 MM.MM.M M2 M M2 MM, n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 S=1 S=3 S=6 S=10 S=7 12题图 【问题解决】 (1)如图中第5个图中S的值为 (2)通过探索发现，视频通话次数S与该班级人 数n之间的关系式为，则当n=50 时，对应的S= (3)若该班全体女生相互之间共通话190次，求 该班共有多少名女生； 【问题拓展】 (4)若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之 间互发一条微信，小明统计全组共发送微信 110条，求该班数学兴趣小组有多少人.全程导练·九年级数学（上册） 则有BP=BQ,8-t=2,解得1= 3 出发弩s后△PQB能形成等腰三角形， (3)6.68或68或5.5. 第2课时传播问题、平均变化率问题与销售问题 【知识要点分裘练】 1.B2.B 3.解：(1)设每轮传播中平均一台电脑会感染x台电脑， 依题意，得1+x+(1+x)x=81, 整理，得(1+x)2=81, 则x+1=9或x+1=-9, 解得x1=8,x2=-10(舍去). 答：每轮传播中平均一台电脑会感染8台电脑， (2)当x=8时，由题意，得 (1+x)2+x(1+x)2=(1+x)3=(1+8)3=729>700. 答：经过3轮传播后，被感染的电脑会超过700台. 4.B 5.解：(1)设4,5两月平均每月降价的百分率是x, 5000(1-x)2=4050, 解得4=0=10%，=吕（会去）， 1 故4,5两月平均每月降价的百分率是10%。 2)不会理由如下：4050×(1-0=3280.5（元， 3280.5>3000,∴.预测到7月份该市的商品房成交均价不 会跌破3000元/m2. 6.A 7.解：(1)500-10×(55-50)=450（千克） 答：每月销售水果450千克. (2)设每千克水果售价为x元，月利润为y元，由题意可得y =(x-40)[500-10(x-50)]=-10(x-70)2+9000. :-10<0,.当x=70时，y取得最大值为9000. 答：当每千克水果售价为70元时，月利润最大为9000元 【能力提升综合练】 8.A9.A10.512 11.0.3或0.2[解析]设应将每千克小型西瓜的售价降低x 元，根搭题意，得[(3-2)-(200+0) -24=200,整 理，得50x2-25x+3=0,解得x1=0.2,x2=0.3,故应将每 千克小型西瓜的售价降低0.3元或0.2元 12.解：依题意，得1+n+n2=111, 解得n1=10,n2=-11(不符合题意，舍去)， .n的值为10. 【素养探究创新练】 13.解：(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的 产量为(2x-100)吨. 依题意，得x+2x-100=800,解得x=300, 所以2x-100=2×300-100=500. 答：4月份再生纸的产量为500吨. (2)依题意，得100(1+受%）×50(1+m%)= 660000,整理，得m2+300m-6400=0, 解得m1=20,m2=-320(不符合题意，舍去)， 所以m=20, .6… 答：m的值为20. (3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y,5月 份再生纸的产量为a吨，则6月份每吨再生纸的利润是 1200(1+y)2元. 依题意，得1200(1+y)2·a(1+y)=(1+25%)× 1200(1+y)·a,所以1200(1+y)2=1500. 答：6月份每吨再生纸的利润是1500元. 第3课时单双循环问题、数字问题与其他问题 【知识要点分类练】 1.A2.9 3.解：(1)6 (2)设有x支球队参加比赛， 根据题意，得乃(x-1)=36, 解得x1=9,2=-8(不符合题意，舍去)》 答：有9支球队参加比赛 4.B5.C 6.3[解析]设游行队伍增加的行数和列数均为x,根据题 意，得(8+x)(12+x)=8×12+69,解得x=3或x=-23 (舍)，需增加3行，3列. 7.B8.A 【能力提升综合练】 9。C[解析]根据日历的特点，同一列上下两个数相差7，前 后两个数相差1，则h=e+7,i=h+1=e+8,b=e-7,a= b-1=e-8..·最大的数与最小的数乘积是297，.ai= (e-8)(e+8)=297,解得e=±19，取正数，e=19.故选C. 10.10[解析]设该群一共有x人，则每人收到(x-1)个红 包.依题意，得x(x-1)=90,解得x1=10,2=-9 (舍去). 11.解：(1)这个多边形的边数n为7. (2)该同学的说法不正确.理由如下： 设这个多边形的边数为n, 当2a(n-3)=10时，整理，得2-3n-20=0,解得n 3±8，.符合方程n2-3n-20=0的正整数n不存在， 2 ,一个多边形不可能有10条对角线， “.该同学的说法不正确. 【素养探究创新练】 12.解：(1)15 (2)s=nn2-11225 2 (3)设该班共有女生x名，根据题意，得(x,1=190, 2 解得x1=20,2=-19(不符合题意，舍去). 答：该班共有20名女生. (4)设该班数学兴趣小组有m人， 根据题意，得m(m-1)=110, 解得m1=11,m2=-10(不符合题意，舍去) 答：该班数学兴趣小组有11人 数学活动（一）探究方程有公共解的条件 1.2或-1[解析]关于x的一元二次方程4ax2+4bx+c =0,4bx2+4cx+a=0,4cx2+4ax+b=0有公共解，.可设 公共解为，则a2+L+年=0，b+L+=0,2+a+