第2讲 自由落体与竖直上抛模型（模型与方法）（人教版）物理人教版必修第一册

本高中物理讲义聚焦自由落体与竖直上抛模型，系统梳理自由落体基本公式、推论及比例关系，进阶至竖直上抛运动的对称性分析与处理方法，最终构建相遇问题场景，形成递进式学习支架。 资料以模型建构为核心，通过模型剖析（如自由落体比例关系推导）、真题演练（如雨滴运动、扣篮高度等实例）及分层练测，培养科学思维与科学探究能力，课中辅助教师规范教学逻辑，课后助力学生实战提升、精准查漏。

第2讲 自由落体与竖直上抛模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.自由落体基本公式 模型02.竖直上抛运动的处理方法 模型03.自由落体与竖直上抛相遇问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.自由落体基本公式 模型构建 只受重力、初速度 、加速度 a=g（重力加速度，一般取，粗略计算取 属于初速度为 0 的匀加速直线运动，所有匀变速推论、比例式全部适用。 模型剖析 1.基本公式 2.基本推论 a.vt/2= b. =gT2 > 3.比例关系： ①物体在1T末、2T末、3T末……nT末的速度之比为 v1：v2：v3：……：vn=1：2：3:……：n ②物体在1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比为 h1：h2：h3：……：hn=1：4：9:……：n ③物体在第1T内、第2T内、第3T内……第nT内的位移之比为 H1：H2：H3：……：Hn =1：3：5……(2n-1) ④通过相邻的相等的位移所用时间之比为 t1:t2:t3……:tn＝1: :……: ⑤通过前n个相等的位移所用时间之比为 t1: t2-t1∶t3-t2…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－) 【例1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）雨后，屋檐还在不断滴着水滴。如图所示，小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为H=3.2m，窗户的高度为h=1.4m。不计空气阻力的影响。则下列结论正确的是（     ） A．每隔0.15s滴下一水滴 B．水滴经过窗户的时间0.8s C．水滴经过窗户的平均速度为7m/s D．水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小6m/s 【答案】C 【详解】水滴做自由落体运动，设水滴从屋檐到窗台下边沿所用时间为，根据自由落体位移公式 代入，可得，总时间 解得 A．计算得滴水间隔为，不是，故A错误； B．屋檐到窗户上沿的距离为，由 解得水滴从屋檐下落到窗户上沿的时间 因此水滴经过窗户的时间为，不是，故B错误； C．根据平均速度定义，水滴经过窗户的平均速度，故C正确； D．水滴到达窗台下边沿的速度，故D错误。 故选 C。 【变式1-1】（25-26高二下·新疆阿克苏·期末）新疆的冬枣广受人们喜爱。一个冬枣从距离地面高的树上由静止下落，冬枣可视为质点且落地后不反弹，不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（     ） A．冬枣下落的时间是2.1s B．冬枣在第内下落的高度是2.5m C．冬枣在落地前时的瞬时速度大小是 D．冬枣在整个下落过程中的平均速度大小是 【答案】C 【详解】A．冬枣下落的时间是，A错误； B．冬枣在第内下落的高度是，B错误； C．冬枣在落地前时已经下落了0.7s，则此时的瞬时速度大小是，C正确； D．冬枣在整个下落过程中的平均速度大小是，D错误。 故选C。 【变式1-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为、、时，下列判断正确的是（不计空气阻力）（     ） A．所用时间之比为 B．速度变化量大小之比为 C．末速度大小之比为 D．平均速度大小之比为 【答案】C 【详解】A．根据自由落体运动规律 解得 即 因此，故A错误； B．根据 得速度变化量大小之比为，故B错误； C．根据 末速度大小之比为，故C正确； D．根据 得平均速度大小之比为，故D错误。 故选C。 模型02.竖直上抛运动的处理方法 模型构建 只受重力，加速度恒为 a=-g（取向上为正方向） 上升过程：匀减速直线运动；下落过程：自由落体 对称性：上升、下落经过同一位置速度等大反向；往返同一段位移时间相等 模型剖析 1.基本规律 2.运动特征（对称性） a.时间对称：上升和下落时间通过同一段大小相等，方向相反的位移所用时间相同。 b.速率对称：上升和下落时间通过同一位置的速度大小相同，方向相反。 c. 位移对称：上升和下落时间通过同一位置的位移大小相同，方向相同。 【例2】（25-26高二下·安徽六安·期末）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳完成扣篮后，离地后重心上升的最大高度为H。把上升高度H从低到高均匀分成四份，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在上升的每一个中的速度变化量相等 B．上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为 C．上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为 D．上升完第三个的速度与整个上升过程中的平均速度相等 【答案】D 【详解】A．运动员向上做匀减速直线运动，上升的每一个位移相等，由于速度逐渐减小，所用时间不相等，根据速度变化公式有 可知运动员在上升的每一个中的速度变化量不相等，故A错误； B．设从最高点向下经过四个相等位移的时间依次为、、、，根据逆向思维，运动员向下做初速度为零的匀加速直线运动，由运动学规律可知连续相等位移内的时间之比为 可知上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为，故B错误； C．设起跳时的速率为，根据匀变速直线运动速度与位移的关系式有 解得 设上升完第三个时的速率为，此时距离最高点的高度为，根据逆向思维有 解得 可知上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为，故C错误； D．整个上升过程为匀减速直线运动，根据匀变速直线运动平均速度推论有 解得 结合C选项分析可知，上升完第三个的速率与整个上升过程中的平均速度相等，故D正确。 故选D。 【变式2-1】（25-26高二下·山东青岛·期末）某同学在操场进行抛球实验。第一次，他将小球以某一初速度竖直向上抛出，测得从抛出到返回出发点的总时间为；第二次、他在小球第一次上升所能达到最大高度的中点处水平放置一块弹性极好的挡板，在同一位置以相同的初速度将小球竖直向上抛出，小球撞击挡板后速度大小不变、方向相反，碰撞时间极短。不计空气阻力，则小球第二次从抛出到最终落回出发点的总时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】第一次竖直上抛过程，上升、下落过程对称，上升到最高点的时间为 设初速度为，则 最大高度为 第二次挡板高度为 设与挡板碰撞前的速度大小为，根据运动学公式可得 联立解得 则第二次上升时间为 根据对称性可知，第二次下落时间为 则小球第二次从抛出到最终落回出发点的总时间为 故选A。 【变式2-2】（25-26高一下·广东韶关·期末）某课外活动小组自制了一枚水火箭，将其视为质点，从水平地面由静止竖直向上发射．发射阶段，水火箭可视为以加速度a=10m/s2匀加速直线运动，经过t=2s后，火箭体内的水耗尽．运动全程忽略空气作用力，重力加速度g=10m/s2，求： (1)火箭体内的水耗尽时，水火箭的速度大小； (2)水火箭能达到的最大高度。 【答案】(1)20m/s (2)40m 【详解】（1）根据匀变速运动公式，火箭体内水耗尽时v1=at 解得v1=20m/s （2）火箭匀加速过程上升的高度为 火箭体内水耗尽时，h1=20m 耗尽火箭体内的水之后火箭向上做竖直上抛，由    上升的高度 上升的最大高度为H=h1+h2=40m 模型03.自由落体与竖直上抛相遇问题 模型构建 场景：同一竖直线上两点，同时释放 · 高处 A 点：高度H，物体甲做自由落体，初速度，向下为正 / 向上为正均可，统一正方向即可； · 低处 B 点（地面）：物体乙竖直上抛，初速度向上； 加速度统一 a=-g（规定向上为正）。 模型剖析 竖直上抛与自由落体的相遇问题 【例3】（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）如图所示，A球离地5 m，B球在A球正上方某处。同时静止释放A、B两球，小球自由下落，其中A球为弹性球，落地立刻原速率反弹，忽略空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2。求： (1)若释放时B球在A球正上方2.2 m处，两小球落地的时间差； (2)第（1）问中，A球反弹后经过多长时间与B球相碰； 【答案】(1)Δt = 0.2 s (2)t=0.11 s 【详解】（1）由自由落体运动的公式 得A球落地时间为 B球落地时间为 两小球落地的时间差Δt = tB-tA = 0.2s （2）A球落地瞬间，两小球运动时间相同，此时运动速度相同，距离为h=2.2m 根据自由落体运动的速度公式 A球原速率反弹做竖直上抛运动。设在上升过程中经过时间t与B球相碰，有 代入数据解得t=0.11s 【变式3-1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）如图所示，将小球A从地面以初速度竖直上抛，同时将小球B从距地面处由静止释放，两球在距地面处相遇，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　 ） A．初速度的大小为 B．两球从释放到相遇所用时间为 C．A球能上升的最大高度大于 D．相遇时AB两球的速度大小相等 【答案】AD 【详解】B．根据题意对小球B，由 可得两球从释放到相遇所用时间为，故B错误； A．对小球A，根据 可得初速度的大小为，故A正确； C．A球能上升的最大高度为，故C错误； D．相遇时A球的速度 B球的速度，故D正确。 故选AD。 【变式3-2】（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）广州塔观景台高度约450m，图为两个小球的运动场景：①从观景台t=0时刻由静止释放小球；②t=4s时从地面以40m/s初速度竖直上抛另一小球。忽略空气阻力，g取10m/s2，下列分析正确的是（     ） A．自由下落的小球第1s内的位移为5m B．竖直上抛的小球从抛出至上升到最高点的时间为8s C．两小球第一次相遇时刻为t=8.625s D．竖直上抛的小球上升的最大高度为40m 【答案】AC 【详解】A． 自由落体位移公式可知，自由下落的小球第1s内的位移为，故A正确； B．竖直上抛小球上升到最高点时速度减为0，则有 解得，故B错误； C．从第一个球下落开始计时，设t时刻两球相遇，则有 将代入解得 自由下落小球落地时间为 说明相遇时小球均未落地，故C正确； D．竖直上抛最大高度，故D错误； 故选AC。 1．（2026·四川·高考真题）小车在水平地面上做匀速直线运动。零时刻、站在小车上的甲沿与小车运动方向平行的方向抛出一个小球，乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地。忽略空气阻力。则（     ） A．乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直 B．乙观测到小球的加速度为零 C．甲抛球方向与小车前进方向相同 D．小球相对地面的初速度不为零 【答案】A 【详解】B．根据题意可知，小球抛出后受重力作用，加速度为重力加速度，方向竖直向下，故B错误； ACD．由于乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地，可知，小球相对地面做自由落体运动，乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直，则小球相对地面的初速度为零，即甲抛球方向与小车前进方向相反，相对小车的速度大小与小车运动的速度大小相等，故A正确，CD错误。 故选A。 2．（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】重物自由下落做自由落体运动，与质量无关，则下落1s后速度为 故选B。 【基础夯实】 1. （25-26高二下·陕西汉中·期末）我国规定摩托车、电动自行车骑乘人员必须依法佩戴具有缓冲作用的安全头盔。测试中将头盔由静止下落后撞击地面，忽略空气阻力，取，则头盔撞击地面时的速度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】忽略空气阻力，头盔由静止下落做自由落体运动，下落高度，加速度为。根据匀变速直线运动速度-位移公式得 代入数值计算 故选B。 2. （25-26高一下·浙江绍兴·期末）如图所示，牛顿管中玻璃管的长度为1.25 m，用抽气机抽去牛顿管内的空气后，将管竖直放置，从管顶同时静止释放一枚硬币和一片羽毛，下落过程中均不与管壁接触。若将管内环境视为真空，下列判断正确的是（     ） A．硬币先落至管底 B．硬币落至管底的速度更大 C．羽毛在管中运动的时间约为0.5 s D．下落过程中，硬币的加速度大于羽毛的加速度 【答案】C 【详解】A．用抽气机抽去牛顿管内的空气后，管内环境视为真空，硬币和羽毛均做自由落体运动，下落高度相同，根据可知，两者同时落至管底，故A错误； B．根据可知两者下落高度相同，速度大小相等，故B错误； C．根据解得，故C正确； D．下落过程中硬币和羽毛均做自由落体运动，加速度均为重力加速度，两者的加速度大小相等，故D错误。 故选C。 3. （25-26高二下·吉林·期末）2026年国际足联世界杯的比赛用球内置有惯性测量单元芯片，能记录下足球的各项运动数据。某次测试时，将足球竖直向上抛出，足球运动的位置—时间（x-t）图像如图所示，时刻对应图线的最高点。不计空气阻力，对于内足球的运动情况，下列说法正确的是（     ） A．时刻足球的速度最大 B．内足球的加速度方向发生了改变 C．内足球的平均速度为0 D．内足球的速度逐渐减小 【答案】C 【详解】A．位移—时间图像的斜率表示速度，时刻图线斜率为零，足球的瞬时速度为零，不是速度最大，故A错误； B．不计空气阻力，足球运动过程中只受重力，加速度方向始终竖直向下，内没有发生改变，故B错误； C．由图可知内足球从位置回到位置，位移为零，平均速度=，故C正确； D．内足球下落，速度方向竖直向下且速度大小逐渐增大，故D错误。 故选C。 4. （25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）物体以初速度竖直上抛，经3s到达最高点，空气阻力不计，g取，则下列正确的是（     ） A．物体的初速度为60m/s B．物体上升的最大高度为45m C．物体在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为5∶3∶1 D．物体在1s内、2s内、3s内的平均速度之比为9∶4∶1 【答案】BC 【详解】A．竖直上抛运动的上升过程用逆向思维可看成自由落体运动，由速度时间关系可得，故A错误； B．物体上升的最大高度为，故B正确； C．初速度为零的匀加速直线运动相同时间内的位移比为，可知竖直上抛运动中，物体在第内、第内、第内的位移之比为，由可知，平均速度之比为，故C正确； D．物体在内、内、内的位移之比为，由可知，平均速度之比为，故D错误。 5. （25-26高二下·重庆九龙坡·阶段检测）跳水运动员训练时从跳台双脚朝下自由落下，摄影师利用手机的连拍功能，连拍了多张照片，其中两张连续的照片中运动员双脚离水面的高度分别为和，不考虑空气阻力，重力加速度取，则（     ） A．运动员从下落到双脚入水的时间为 B．运动员双脚入水时的速度大小为 C．手机连续拍摄两张照片的时间间隔为 D．运动员在空中下落的过程中，手机连拍照片的张数为10张 【答案】C 【详解】A．运动员做自由落体运动，初速度为0，总下落高度，重力加速度。 根据 解得，故A错误； B．根据 解得运动员双脚入水时速度，故B错误； C．拍摄两张连续的照片中前一张照片时运动员下落高度 对应下落时间 拍摄两张连续的照片中后一张照片时运动员下落高度 对应下落时间 拍摄时间间隔，故C正确； D．由C项可知，手机连拍时间间隔为，若要拍10张，至少需要9个时间间隔，所需时间至少为。 由于运动员总下落时间为，故运动员在空中下落的过程中，手机连拍照片的张数不可能为10张。故D错误。 故选C。 6. （25-26高一上·四川巴中·阶段检测）（多选）关于自由落体运动，下列说法中正确的是（     ） A．篮球在空中静止释放越落越快，是自由落体运动 B．在开始连续的三个1s内通过的位移之比是 C．在开始连续的三个1s末的速度之比是 D．从开始运动到下落4.9m、9.8m、14.7m所经历的时间之比为 【答案】BC 【详解】A．篮球静止下落时，空气阻力相对重力不可忽略，不满足自由落体的条件，不是自由落体运动，故A错误； B．根据自由落体运动公式，可知前1s内、前2s内、前3s内的位移之比是，则在开始连续的三个1s内通过的位移之比是，故B正确； C．根据自由落体运动公式，可知在开始连续的三个1s末的速度之比是，故C正确； D．根据自由落体运动公式，可得 可知从开始运动到下落4.9m、9.8m、14.7m所经历的时间之比为，故D错误。 故选BC。 7. （2026·湖南长沙·二模）时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定相机每隔时间拍一张照片（不计曝光时间），、、、时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】小球竖直上抛，以抛出点为原点，向上为正，位移公式 由上式，竖直上抛运动存在对称性，上升和下降阶段中，同一高度对应的两个时刻关于最高点时刻对称。因此和的中点即为到达最高点的时刻，即 到达最高点时速度为零，故 故选B。 8. （25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）一个从地面竖直上抛的小球，到达最高点前1 s上升的高度是它上升的最大高度的，不计空气阻力，g取10 m/s2.则（     ） A．小球上升的最大高度是20 m B．小球上抛的初速度是20 m/s C．2.5 s时物体正在上升 D．1 s末、3 s末物体处于同一位置 【答案】ABD 【详解】A．逆过程中自由下落第1s的位移，等于原过程最高点前1s上升的高度 由题意，得最大高度，故A正确； B．竖直上抛最大高度满足 代入得 ，故B正确； C．小球上升的总时间，则时物体正在下降，故C错误； D．根据竖直上抛位移公式 1s末位移 3s末位移 位移相等，说明两时刻小球处于同一位置，故D正确。 故选ABD。 9. 在研究自由落体运动时，伽利略让一个铜球从阻力很小（可忽略不计）的斜面上由静止开始滚下，他在斜面上任取三个位置A、B、C，让小球分别由A、B、C滚下，如图所示。并且重复了上百次。设A、B、C与斜面底端的距离分别为x1、x2、x3，小球由A、B、C运动到斜面底端的时间分别为t1、t2、t3，小球由A、B、C运动到斜面底端时的速度分别为v1、v2、v3，下列关系式是伽利略证明小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直线运动的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．由匀变速直线运动的位移公式，， 解得 如果上式成立，则小球做匀变速直线运动。在伽利略那个年代，能够比较准确测量小球沿斜面下滑时的位移和运动时间，故A正确； B．由平均速度公式 可得，故B错误； C．表达式可以证明小球沿斜面下滑是匀变速直线运动，但是在伽利略那个年代，比较准确测量小球的速度是做不到的，故C错误； D．表达式， 并不能证明小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直线运动，故D错误。 故选A。 【培优拔高】 10. （河北衡水中学2025届高三年级上学期检测二（物理））如图所示，A点为空中一点，一长为L的竖直木棒静止于A点正上方，木棒下端与A点的距离为L。将木棒由静止释放，它通过A点的时间间隔为t1。若将木棒的释放位置竖直上移L，由静止释放后，它通过A点的时间间隔为t2。t1 ：t2为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】从木棒第一次下落到其下端经过A点的过程中，有 从木棒第一次下落到其上端经过A点的过程中和从木棒第二次下落到其下端经过A点的过程中，有2L = 从木棒第二次下落到其上端经过A点的过程中，有3L = ， 解得 ，A正确。 11. （2026·河南·三模）杂技团进行高空抛接表演，演员将一只长为0.4m的空心竖直圆筒、以6m/s的初速度竖直向上抛出。经过0.4s后，演员在同一位置以相同的初速度竖直向上抛出一小球，忽略空气阻力，重力加速度g取10。则小球抛出后，经过多长时间能从圆筒上端穿出（　　） A．0.1s B．0.25s C．0.35s D．0.5s 【答案】D 【详解】设小球抛出后经过时间从圆筒上端穿出，此时圆筒的总运动时间为，取竖直向上为正方向，抛出点为位移原点，竖直上抛位移公式为 小球的位移 圆筒底部的位移： 圆筒上端位移为（为圆筒长度） 穿出时小球位移等于圆筒上端位移，联立得 展开消去同类项后解得 即 故选D。 12. （25-26高二下·重庆沙坪坝·期中）2025年11月28日，华为Mate80系列正式发售，其配置第二代昆仑玻璃，耐摔程度比普通玻璃提升20倍。如图所示，某数码博主对该款手机进行防摔测试，将手机屏朝下，从距离水平木地板1.25 m高处由静止释放，撞击后竖直向上弹起的高度为．手机完好无损。已知该手机质量为，从开始下落至第一次反弹到最大高度所用时间共，全程手机屏始终与木地板平行，不计空气阻力，重力加速度取，取竖直向下为正方向。从开始下落至第一次反弹到最大高度的过程中，下列说法正确的是（    ） A．手机从释放到落地前的平均速度大小为 B．手机与木地板撞击过程所用时间为 C．手机前内和后内的位移大小之比为 D．手机全过程的路程为 【答案】C 【详解】BD．由题意可知，下落高度，反弹高度，总时间 全过程路程 取竖直向下为正方向，自由下落过程，由 解得 故落地速度 反弹上升过程，可看成逆过程为自由下落的过程，由 解得 撞击过程时间，BD错误； A．手机从释放到落地前的平均速度大小，A错误； C．前正好是整个下落过程，位移大小 后的起始时刻为 时手机仍在下落，以释放点为原点，向下为正，则此时的位置 时，手机在反弹最高点，位置 所以后位移大小 因此位移比，C正确； 故选C。 13. （25-26高二下·辽宁·期末）在距水平地面高1.25m处先后依次由静止释放A、B、C三个小球，三小球释放位置接近但不重合，运动过程中小球之间不会发生碰撞。小球可视为质点，相邻两小球释放的时间间隔相同，且。所有小球每次与地面碰撞后均以原速率反弹，忽略碰撞时间。已知A、B两球第一次出现在同一高度时离地面的高度为0.80m，重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)A球第一次落地的时间和速度； (2)相邻两球释放的时间间隔； (3)A、B两球第5次出现在同一高度时，C球与A、B两球之间的距离。 【答案】(1)，，方向竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）根据题意可知，下落高度为，由自由落体运动规律可知 解得 此时A球速度为 方向竖直向下。 （2）A、B两球第一次出现在同一高度时，对B球有 解得 A球做竖直上抛运动至与B球等高时，有 解得 相邻两球释放的时间间隔为 （3）根据分析可知A、B第二次出现在同一高度时，A球向下运动，B球向上运动，设第一次相遇后再经过时间再次相遇，则根据对称性可知 解得 离地高度 设第二次相遇后再经过时间再次相遇，根据对称性，第三次相遇时 解得 离地高度 则根据运动的周期性，可知A、B球在奇数次相遇时距离地面高度为处，A、B球第3次出现在同一高度时，C球运动的时间为 此时C球距地面的高度为 则A、B两球第5次出现在同一高度时，C球距地面的高度为 C球与A、B两球之间的距离为 14. （25-26高二下·重庆渝中·期末）如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，设其长度为，它的下端距水平地面的高度为（已知量），筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，小球碰地后的反弹速率为落地速率的，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小球同时到达地面（在此之前小球未碰过地），此时立即锁住圆筒让它停止运动，小球则继续多次弹跳，重力加速度为，不计空气阻力，下列选项正确的是（     ） A．小球从释放到第一次落地所经历的时间为 B．圆筒的长度为 C．在筒壁上距筒底处装有一个光电计数器来记录小球通过光电计数器的次数，光电计数器的示数最终为5次 D．无论光电计数器放在筒壁哪里，光电计数器的示数最终至少为3次 【答案】C 【详解】A．小球和圆筒同时自由下落，圆筒下端下落高度到达地面，由 解得下落时间 落地速度 由题意可知，圆筒碰撞地面后反弹，反弹速度 从反弹到再次落回地面的时间 小球从释放到第一次落地的总时间，故A错误； B．小球初始离地高度为，全程做匀加速运动，则 代入解得 因此，故B错误； C．小球第一次落地速度 反弹速度 第次反弹后的最大上升高度 即，， 光电计数器距筒底 则小球第一次下落过程（从初始位置到地面，锁定前），向下经过计数器，第1次；第一次反弹上升经过第2次，下落返回经过第3次；第二次反弹上升经过第4次，下落返回经过第5次；第三次反弹最大高度 此时无法到达计数器位置，不再经过，因此总次数为5次，故C正确； D．小球第一次反弹的最大上升高度为 若计数器放在筒壁上距筒底区间内，则仅第一次下落经过1次，反弹后不再经过光电计数器，光电计数器的示数为1次，故D错误。 故选C。 15. （25-26高二下·山东淄博·期末）脉冲爆震发动机通过周期性爆震波产生推力，适用于短程高速飞行器动力系统。小齐同学利用火箭模型模拟爆震发动机工作和火箭的回收。火箭的发动机工作时可使火箭产生竖直向上的大小为 的加速度。火箭 时刻静止于地面上， 第 1 次打开发动机火箭竖直向上运动，0.2 s ~1.0s 关闭发动机，1.0 s ~1.2s 第 2 次打开发动机，1.2s ~2.0s 关闭发动机， 如此循环， 当发动机工作 5 次后， 彻底关闭不再打开， 火箭竖直上抛达到最高点。在火箭正上方，有一无人机对火箭在空中的飞行状态进行拍摄， 时刻，无人机从距地面高度为 处，以初速度大小为 竖直向上做加速度大小为 的匀加速直线运动。在火箭到达最高点后，无人机飞离。火箭和无人机均可视为质点，不计火箭上升过程中的空气阻力，取重力加速度的大小 。 (1)求时火箭距地面的高度； (2)求第1秒内无人机与火箭间的最小距离； (3)求火箭上升过程中距地面的最大高度； (4)火箭达到最高点后，先自由下落 1 秒（不计空气阻力），然后打开减速系统，减速系统工作的最初一段距离（未知）内，火箭速度大小与其距地面高度 满足关系式 （其中为常数且未知），下降距离后，火箭以大小为 的速度匀速下降直到落地。求火箭从最高点到落地过程中运动的时间 。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）令，， 第 1 次打开发动机火箭竖直向上运动，时的速度为 0.2~1.0s 关闭发动机，加速度为重力加速度，时的速度为 的位移为 0.2~1.0s的位移为 可得时火箭距地面的高度 （2）如图所示，时二者距离最小，此时速度相等，有 解得， 火箭的位移为 无人机的位移为 无人机与火箭间的最小距离 （3）1.0s ~1.2s 第 2 次打开发动机，时的速度为 1.2s ~2.0s 关闭发动机，加速度为重力加速度，时的速度为 1.0s ~1.2s的位移为 1.2s ~2.0s的位移为 同理可得时的速度为，时的速度为 的位移为 的位移为 时的速度为，时的速度为 的位移为 的位移为 时的速度为 ，之后做竖直上抛运动，的位移为 火箭上升过程中距地面的最大高度 （4）自由下落 1 秒的速度为 下落高度为 此时离地高度为 有 可得 下降距离后，火箭速度大小为 ，有 可得 根据的面积表示运动时间，可得从离地高度为到的时间为 匀速时间为 可得火箭从最高点到落地过程中运动的时间 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲 自由落体与竖直上抛模型 模型破解 规范思维路径，强化科学逻辑 模型01.自由落体基本公式 模型02.竖直上抛运动的处理方法 模型03.自由落体与竖直上抛相遇问题 真题演练 熟悉考试形式，提升实战能力 分层练测 实现精准提效，最终整体达标 模型01.自由落体基本公式 模型构建 只受重力、初速度 、加速度 a=g（重力加速度，一般取，粗略计算取 属于初速度为 0 的匀加速直线运动，所有匀变速推论、比例式全部适用。 模型剖析 1.基本公式 2.基本推论 a.vt/2= b. =gT2 > 3.比例关系： ①物体在1T末、2T末、3T末……nT末的速度之比为 v1：v2：v3：……：vn=1：2：3:……：n ②物体在1T内、2T内、3T内……nT内的位移之比为 h1：h2：h3：……：hn=1：4：9:……：n ③物体在第1T内、第2T内、第3T内……第nT内的位移之比为 H1：H2：H3：……：Hn =1：3：5……(2n-1) ④通过相邻的相等的位移所用时间之比为 t1:t2:t3……:tn＝1: :……: ⑤通过前n个相等的位移所用时间之比为 t1: t2-t1∶t3-t2…∶tn＝1∶(－1)∶(－)∶…∶(－) 【例1】（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）雨后，屋檐还在不断滴着水滴。如图所示，小红同学认真观察后发现，这些水滴都是在质量积累到足够大时才由静止开始下落，每隔相等时间滴下一水滴，水滴在空中的运动情况都相同，某时刻起，第一颗水滴刚运动到窗台下边沿时，第5颗水滴恰欲滴下。她测得，屋檐到窗台下边沿的距离为H=3.2m，窗户的高度为h=1.4m。不计空气阻力的影响。则下列结论正确的是（     ） A．每隔0.15s滴下一水滴 B．水滴经过窗户的时间0.8s C．水滴经过窗户的平均速度为7m/s D．水滴下落到达窗台下边沿时的速度大小6m/s 【变式1-1】（25-26高二下·新疆阿克苏·期末）新疆的冬枣广受人们喜爱。一个冬枣从距离地面高的树上由静止下落，冬枣可视为质点且落地后不反弹，不计空气阻力，重力加速度取，下列说法正确的是（     ） A．冬枣下落的时间是2.1s B．冬枣在第内下落的高度是2.5m C．冬枣在落地前时的瞬时速度大小是 D．冬枣在整个下落过程中的平均速度大小是 【变式1-2】（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）如图所示，悬停在空中的无人机释放一重物，当重物下落的距离分别为、、时，下列判断正确的是（不计空气阻力）（     ） A．所用时间之比为 B．速度变化量大小之比为 C．末速度大小之比为 D．平均速度大小之比为 模型02.竖直上抛运动的处理方法 模型构建 只受重力，加速度恒为 a=-g（取向上为正方向） 上升过程：匀减速直线运动；下落过程：自由落体 对称性：上升、下落经过同一位置速度等大反向；往返同一段位移时间相等 模型剖析 1.基本规律 2.运动特征（对称性） a.时间对称：上升和下落时间通过同一段大小相等，方向相反的位移所用时间相同。 b.速率对称：上升和下落时间通过同一位置的速度大小相同，方向相反。 c. 位移对称：上升和下落时间通过同一位置的位移大小相同，方向相同。 【例2】（25-26高二下·安徽六安·期末）如图，篮球架下的运动员原地垂直起跳完成扣篮后，离地后重心上升的最大高度为H。把上升高度H从低到高均匀分成四份，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．运动员在上升的每一个中的速度变化量相等 B．上升第一个所用的时间与第四个所用的时间之比为 C．上升完第三个的速率与起跳时的速率之比为 D．上升完第三个的速度与整个上升过程中的平均速度相等 【变式2-1】（25-26高二下·山东青岛·期末）某同学在操场进行抛球实验。第一次，他将小球以某一初速度竖直向上抛出，测得从抛出到返回出发点的总时间为；第二次、他在小球第一次上升所能达到最大高度的中点处水平放置一块弹性极好的挡板，在同一位置以相同的初速度将小球竖直向上抛出，小球撞击挡板后速度大小不变、方向相反，碰撞时间极短。不计空气阻力，则小球第二次从抛出到最终落回出发点的总时间为（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高一下·广东韶关·期末）某课外活动小组自制了一枚水火箭，将其视为质点，从水平地面由静止竖直向上发射．发射阶段，水火箭可视为以加速度a=10m/s2匀加速直线运动，经过t=2s后，火箭体内的水耗尽．运动全程忽略空气作用力，重力加速度g=10m/s2，求： (1)火箭体内的水耗尽时，水火箭的速度大小； (2)水火箭能达到的最大高度。 模型03.自由落体与竖直上抛相遇问题 模型构建 场景：同一竖直线上两点，同时释放 · 高处 A 点：高度H，物体甲做自由落体，初速度，向下为正 / 向上为正均可，统一正方向即可； · 低处 B 点（地面）：物体乙竖直上抛，初速度向上； 加速度统一 a=-g（规定向上为正）。 模型剖析 竖直上抛与自由落体的相遇问题 【例3】（25-26高二下·黑龙江绥化·期末）如图所示，A球离地5 m，B球在A球正上方某处。同时静止释放A、B两球，小球自由下落，其中A球为弹性球，落地立刻原速率反弹，忽略空气阻力，重力加速度大小g取10 m/s2。求： (1)若释放时B球在A球正上方2.2 m处，两小球落地的时间差； (2)第（1）问中，A球反弹后经过多长时间与B球相碰； 【变式3-1】（25-26高二下·湖南长沙·期末）（多选）如图所示，将小球A从地面以初速度竖直上抛，同时将小球B从距地面处由静止释放，两球在距地面处相遇，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　 ） A．初速度的大小为 B．两球从释放到相遇所用时间为 C．A球能上升的最大高度大于 D．相遇时AB两球的速度大小相等 【变式3-2】（25-26高一上·广东广州·期中）（多选）广州塔观景台高度约450m，图为两个小球的运动场景：①从观景台t=0时刻由静止释放小球；②t=4s时从地面以40m/s初速度竖直上抛另一小球。忽略空气阻力，g取10m/s2，下列分析正确的是（     ） A．自由下落的小球第1s内的位移为5m B．竖直上抛的小球从抛出至上升到最高点的时间为8s C．两小球第一次相遇时刻为t=8.625s D．竖直上抛的小球上升的最大高度为40m 1．（2026·四川·高考真题）小车在水平地面上做匀速直线运动。零时刻、站在小车上的甲沿与小车运动方向平行的方向抛出一个小球，乙站在小车侧方水平地面上观测到小球做直线运动直至落地。忽略空气阻力。则（     ） A．乙观测到小球的运动轨迹与地面垂直 B．乙观测到小球的加速度为零 C．甲抛球方向与小车前进方向相同 D．小球相对地面的初速度不为零 2．（2024·广西·高考真题）让质量为的石块从足够高处自由下落，在下落的第末速度大小为，再将和质量为的石块绑为一个整体，使从原高度自由下落，在下落的第末速度大小为，g取，则（　　） A． B． C． D． 【基础夯实】 1. （25-26高二下·陕西汉中·期末）我国规定摩托车、电动自行车骑乘人员必须依法佩戴具有缓冲作用的安全头盔。测试中将头盔由静止下落后撞击地面，忽略空气阻力，取，则头盔撞击地面时的速度为（     ） A． B． C． D． 2. （25-26高一下·浙江绍兴·期末）如图所示，牛顿管中玻璃管的长度为1.25 m，用抽气机抽去牛顿管内的空气后，将管竖直放置，从管顶同时静止释放一枚硬币和一片羽毛，下落过程中均不与管壁接触。若将管内环境视为真空，下列判断正确的是（     ） A．硬币先落至管底 B．硬币落至管底的速度更大 C．羽毛在管中运动的时间约为0.5 s D．下落过程中，硬币的加速度大于羽毛的加速度 3. （25-26高二下·吉林·期末）2026年国际足联世界杯的比赛用球内置有惯性测量单元芯片，能记录下足球的各项运动数据。某次测试时，将足球竖直向上抛出，足球运动的位置—时间（x-t）图像如图所示，时刻对应图线的最高点。不计空气阻力，对于内足球的运动情况，下列说法正确的是（     ） A．时刻足球的速度最大 B．内足球的加速度方向发生了改变 C．内足球的平均速度为0 D．内足球的速度逐渐减小 4. （25-26高一上·河北石家庄·阶段检测）（多选）物体以初速度竖直上抛，经3s到达最高点，空气阻力不计，g取，则下列正确的是（     ） A．物体的初速度为60m/s B．物体上升的最大高度为45m C．物体在第1s内、第2s内、第3s内的平均速度之比为5∶3∶1 D．物体在1s内、2s内、3s内的平均速度之比为9∶4∶1 5. （25-26高二下·重庆九龙坡·阶段检测）跳水运动员训练时从跳台双脚朝下自由落下，摄影师利用手机的连拍功能，连拍了多张照片，其中两张连续的照片中运动员双脚离水面的高度分别为和，不考虑空气阻力，重力加速度取，则（     ） A．运动员从下落到双脚入水的时间为 B．运动员双脚入水时的速度大小为 C．手机连续拍摄两张照片的时间间隔为 D．运动员在空中下落的过程中，手机连拍照片的张数为10张 6. （25-26高一上·四川巴中·阶段检测）（多选）关于自由落体运动，下列说法中正确的是（     ） A．篮球在空中静止释放越落越快，是自由落体运动 B．在开始连续的三个1s内通过的位移之比是 C．在开始连续的三个1s末的速度之比是 D．从开始运动到下落4.9m、9.8m、14.7m所经历的时间之比为 7. （2026·湖南长沙·二模）时刻从某点竖直上抛一个小球，用一台固定相机每隔时间拍一张照片（不计曝光时间），、、、时刻的照片从左向右排列如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，则小球的初速度为（　　） A． B． C． D． 8. （25-26高一上·广东江门·阶段检测）（多选）一个从地面竖直上抛的小球，到达最高点前1 s上升的高度是它上升的最大高度的，不计空气阻力，g取10 m/s2.则（     ） A．小球上升的最大高度是20 m B．小球上抛的初速度是20 m/s C．2.5 s时物体正在上升 D．1 s末、3 s末物体处于同一位置 9. 在研究自由落体运动时，伽利略让一个铜球从阻力很小（可忽略不计）的斜面上由静止开始滚下，他在斜面上任取三个位置A、B、C，让小球分别由A、B、C滚下，如图所示。并且重复了上百次。设A、B、C与斜面底端的距离分别为x1、x2、x3，小球由A、B、C运动到斜面底端的时间分别为t1、t2、t3，小球由A、B、C运动到斜面底端时的速度分别为v1、v2、v3，下列关系式是伽利略证明小球沿光滑斜面向下的运动是匀变速直线运动的是（     ） A． B． C． D． 【培优拔高】 10. （河北衡水中学2025届高三年级上学期检测二（物理））如图所示，A点为空中一点，一长为L的竖直木棒静止于A点正上方，木棒下端与A点的距离为L。将木棒由静止释放，它通过A点的时间间隔为t1。若将木棒的释放位置竖直上移L，由静止释放后，它通过A点的时间间隔为t2。t1 ：t2为（　　） A． B． C． D． 11. （2026·河南·三模）杂技团进行高空抛接表演，演员将一只长为0.4m的空心竖直圆筒、以6m/s的初速度竖直向上抛出。经过0.4s后，演员在同一位置以相同的初速度竖直向上抛出一小球，忽略空气阻力，重力加速度g取10。则小球抛出后，经过多长时间能从圆筒上端穿出（　　） A．0.1s B．0.25s C．0.35s D．0.5s 12. （25-26高二下·重庆沙坪坝·期中）2025年11月28日，华为Mate80系列正式发售，其配置第二代昆仑玻璃，耐摔程度比普通玻璃提升20倍。如图所示，某数码博主对该款手机进行防摔测试，将手机屏朝下，从距离水平木地板1.25 m高处由静止释放，撞击后竖直向上弹起的高度为．手机完好无损。已知该手机质量为，从开始下落至第一次反弹到最大高度所用时间共，全程手机屏始终与木地板平行，不计空气阻力，重力加速度取，取竖直向下为正方向。从开始下落至第一次反弹到最大高度的过程中，下列说法正确的是（    ） A．手机从释放到落地前的平均速度大小为 B．手机与木地板撞击过程所用时间为 C．手机前内和后内的位移大小之比为 D．手机全过程的路程为 13. （25-26高二下·辽宁·期末）在距水平地面高1.25m处先后依次由静止释放A、B、C三个小球，三小球释放位置接近但不重合，运动过程中小球之间不会发生碰撞。小球可视为质点，相邻两小球释放的时间间隔相同，且。所有小球每次与地面碰撞后均以原速率反弹，忽略碰撞时间。已知A、B两球第一次出现在同一高度时离地面的高度为0.80m，重力加速度，忽略空气阻力。求： (1)A球第一次落地的时间和速度； (2)相邻两球释放的时间间隔； (3)A、B两球第5次出现在同一高度时，C球与A、B两球之间的距离。 14. （25-26高二下·重庆渝中·期末）如图所示，有一空心上下无底的弹性圆筒，设其长度为，它的下端距水平地面的高度为（已知量），筒的轴线竖直。圆筒轴线上与筒顶端等高处有一弹性小球，现让小球和圆筒同时由静止自由落下，圆筒碰地后的反弹速率为落地速率的，小球碰地后的反弹速率为落地速率的，它们与地面的碰撞时间都极短，可看作瞬间反弹，运动过程中圆筒的轴线始终位于竖直方向。已知圆筒第一次反弹后再次落下，它的底端与小球同时到达地面（在此之前小球未碰过地），此时立即锁住圆筒让它停止运动，小球则继续多次弹跳，重力加速度为，不计空气阻力，下列选项正确的是（     ） A．小球从释放到第一次落地所经历的时间为 B．圆筒的长度为 C．在筒壁上距筒底处装有一个光电计数器来记录小球通过光电计数器的次数，光电计数器的示数最终为5次 D．无论光电计数器放在筒壁哪里，光电计数器的示数最终至少为3次 15. （25-26高二下·山东淄博·期末）脉冲爆震发动机通过周期性爆震波产生推力，适用于短程高速飞行器动力系统。小齐同学利用火箭模型模拟爆震发动机工作和火箭的回收。火箭的发动机工作时可使火箭产生竖直向上的大小为 的加速度。火箭 时刻静止于地面上， 第 1 次打开发动机火箭竖直向上运动，0.2 s ~1.0s 关闭发动机，1.0 s ~1.2s 第 2 次打开发动机，1.2s ~2.0s 关闭发动机， 如此循环， 当发动机工作 5 次后， 彻底关闭不再打开， 火箭竖直上抛达到最高点。在火箭正上方，有一无人机对火箭在空中的飞行状态进行拍摄， 时刻，无人机从距地面高度为 处，以初速度大小为 竖直向上做加速度大小为 的匀加速直线运动。在火箭到达最高点后，无人机飞离。火箭和无人机均可视为质点，不计火箭上升过程中的空气阻力，取重力加速度的大小 。 (1)求时火箭距地面的高度； (2)求第1秒内无人机与火箭间的最小距离； (3)求火箭上升过程中距地面的最大高度； (4)火箭达到最高点后，先自由下落 1 秒（不计空气阻力），然后打开减速系统，减速系统工作的最初一段距离（未知）内，火箭速度大小与其距地面高度 满足关系式 （其中为常数且未知），下降距离后，火箭以大小为 的速度匀速下降直到落地。求火箭从最高点到落地过程中运动的时间 。 1/2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $