第三章 图形的相似 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版九年级数学上册第三章“图形的相似”单元测试卷，通过选择、填空、解答题（30+24+66分）覆盖相似三角形判定与性质、位似变换等核心知识，融入《九章算术》古题、黄金分割等文化与实际情境，适配单元复习，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|比例性质、相似判定、位似变换|第7题以《九章算术》“井深几何”考查相似应用，体现文化传承| |填空题|6/24|相似条件补充、黄金分割、面积比|第14题结合汉字结构考黄金分割，关联数学审美| |解答题|7/66|作图、相似证明、动点问题、综合探究|第23题融合高、相似与面积关系，考查逻辑推理与模型应用|

第三章 图形的相似 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（　　） A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D． 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则的值是（　　） A． B． C． D． 3．能判定△ABC∽△DEF的条件是（　　） A． B．，∠A＝∠F C．，∠B＝∠E D．，∠A＝∠D 4．如图中内、外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 5．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：2，若A′B′＝10cm，则AB等于（　　） A．cm B．15cm C．30cm D．20cm 6．如图所示：∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝（　　） A． B． C．3 D．6 7．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺 8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．若△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′：S△OEF＝1：4，则点E′的坐标为（　　） A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4） 9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　） A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2 10．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC＝1，AE＝2，则BG的长是（　　） A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件就能使结论“△ADE∽△ABC”成立，则这个条件可以是　　 ． 12．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚C　　 m． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝　　 ． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形田字格书写的汉字“蓉”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在田字格的边MN，PQ上，且AB∥NQ，“蓉”字笔画的第八笔“、”经过AB的黄金分割点C，且AC＞CB．若NQ＝4cm，则AC的长为　　 cm．（结果保留根号） 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AGES四边形EBCG，则　　 ． 16．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②；③AC•BE＝12；④3BF＝4AC．其中结论正确的有 　　 ． 三、简答题（共7小题，共66分） 17．作图：将图缩小，使缩小前后的相似比为2：1，并保持图形原来的方向． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝2，CD＝4．求BD的长． 19．如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？ 20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，直线ED交AB的延长线于点F，求证：AB•AF＝AC•DF． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2 （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 22．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM． （1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝　　 °，此时OM和BD′之间的位置关系为 　　 ； （2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明． 23．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N． （1）求证：△BFM∽△NFA； （2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长． 参考答案 第三章 图形的相似 单元测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．对于线段a，b，如果a：b＝2：3，那么下列四个选项一定正确的是（　　） A．2a＝3b B．b﹣a＝1 C． D． 【解答】解：∵a：b＝2：3， ∴3a＝2b，， ∴，， ∴2， 无法得到b﹣a＝1． 故选：D． 2．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，则的值是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴， ∵DE＝2，BC＝5， ∴， 故选：A． 3．能判定△ABC∽△DEF的条件是（　　） A． B．，∠A＝∠F C．，∠B＝∠E D．，∠A＝∠D 【解答】解：A、当时，不能判定△ABC∽△DEF，故A不符合题意； B、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故B不符合题意； C、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故C不符合题意； D、当，∠A＝∠D时，可判定△ABC∽△DEF，故D符合题意； 故选：D． 4．如图中内、外边缘（每个图形边缘等宽）所围成的图形不一定相似的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、两个不等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故A选项不符合要求； B、两个等边三角形形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求； C、两个正方形形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求； D、两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求； 故选：D． 5．已知△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：2，若A′B′＝10cm，则AB等于（　　） A．cm B．15cm C．30cm D．20cm 【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且相似比为3：2 ∴AB：A′B′＝3：2 ∵A′B′＝10cm ∴AB＝15cm 故选：B． 6．如图所示：∠CAB＝∠BCD，AD＝2，BD＝4，则BC＝（　　） A． B． C．3 D．6 【解答】解：∵∠B＝∠B，∠CAB＝∠BCD ∴△ABC∽△CBD ∴BC：BD＝AB：BC ∴BC：BD＝（AD+BD）：BC 即BC：4＝（2+4）：BC ∴BC＝2， 故选：B． 7．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为（　　） A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺 【解答】解：依题意有△ABF∽△ADE， ∴AB：AD＝BF：DE， 即5：AD＝0.4：5， 解得AD＝62.5， BD＝AD﹣AB＝62.5﹣5＝57.5尺． 故选：B． 8．在平面直角坐标系中，已知点E（﹣4，2），F（﹣2，﹣2）．若△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′：S△OEF＝1：4，则点E′的坐标为（　　） A．（2，﹣1）或（﹣2，1） B．（8，﹣4）或（﹣8，4） C．（2，﹣1） D．（8，﹣4） 【解答】解：∵△OE′F′与△OEF关于点O位似，且S△OE′F′：S△OEF＝1：4， ∴△OE′F′与△OEF的相似比为1：2， ∵点E的坐标为（﹣4，2）， ∴点E′的坐标为（﹣4，2）或（﹣4×（），2×（））， 即（﹣2，1）或（2，﹣1）， 故选：A． 9．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△DAF的面积之比为（　　） A．9：16 B．3：4 C．9：4 D．3：2 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵DE：EC＝3：1， ∴DE：AB＝DE：DC＝3：4， ∵DE∥AB， ∴△DEF∽△BAF， ∴， ∴△DEF的面积与△DAF的面积之比＝EF：AF＝3：4． 故选：B． 10．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE＝EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC＝1，AE＝2，则BG的长是（　　） A．2.6 B．2.5 C．2.4 D．2.3 【解答】解：如图， ∵BE⊥EF， ∴∠BEF＝90°， ∵∠AEB+∠ABE＝90°，∠AEB+∠DEF＝90°， ∵∠ABE＝∠DEF， 在△BAE与△EDF中， ， △BAE≌△EDF， ∴DF＝AE＝2， ∴AB＝CD＝DF+CF＝3， 在Rt△BAE中，BE， ∴BF， ∵EG⊥BF， ∴∠EHB＝∠BHG＝90°，BHBF， 在Rt△BCF中，BC5， ∵∠HBG＝∠CBF，∠BHG＝∠C＝90°， ∴△BHG∽△BCF， ∴，即， 解得BG2.6． 故选：A． 二、填空题（共6小题，每小题4分，共24分） 11．如图，已知∠1＝∠2，若再增加一个条件就能使结论“△ADE∽△ABC”成立，则这个条件可以是　∠D＝∠B，或∠AED＝∠C，或　 ． 【解答】解：这个条件为：∠B＝∠D ∵∠1＝∠2， ∴∠BAC＝∠DAE ∵∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE， ∵∠1＝∠2，． ∴∠BAC＝∠DAE． 故答案为：∠D＝∠B，或∠AED＝∠C，或． 12．如图，阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4m宽的区域DE，已知点E到窗口下的墙脚C的距离为5m，窗口AB高2m，那么窗口底端B距离墙脚C　2.5　 m． 【解答】解：∵AD∥BE， ∴△BCE∽△ACD， ∴，CD＝CE+ED＝4+5＝9，AC＝BC+AB＝BC+2， ∴． 解得BC＝2.5． 故答案为：2.5． 13．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，E是AD的中点，CF⊥BE于点F，则CF＝　2.4　 ． 【解答】解：∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBF， ∵∠A＝90°，∠CFB＝90°， ∴△ABE∽△FCB， ∴， ∵AB＝2，BC＝3，E是AD的中点， ∴BE＝2.5， ∴， 解得：FC＝2.4． 故答案为：2.4． 14．黄金分割是汉字结构最基本的规律，借助如图的正方形田字格书写的汉字“蓉”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在田字格的边MN，PQ上，且AB∥NQ，“蓉”字笔画的第八笔“、”经过AB的黄金分割点C，且AC＞CB．若NQ＝4cm，则AC的长为　（22）　 cm．（结果保留根号） 【解答】解：由题意得：AB＝NQ＝4cm， ∵点C是AB的黄金分割点，且AC＞CB， ∴ACAB4＝（22）cm， 故答案为：（22）． 15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线EF∥BD交AB于点E，交AC于点G，交AD于点F，若S△AGES四边形EBCG，则　　 ． 【解答】解：∵S△AEGS四边形EBCG， ∴， ∵EF∥BD， ∴△AEG∽△ABC， ∴（）2， ∴AE：AB＝1：2，即E为AB的中点， ∴EF是△ABD的中位线， ∴F为AD的中点， ∴CF为直角三角形ACD斜边上的中线， ∴CFAD， ∴； 故答案为：． 16．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AD交AB于点E，M为AE的中点，BF⊥BC交CM的延长线于点F，BD＝4，CD＝3．下列结论：①∠AED＝∠ADC；②；③AC•BE＝12；④3BF＝4AC．其中结论正确的有 　①③④　 ． 【解答】解：①∠AED＝90°﹣∠EAD，∠ADC＝90°﹣∠DAC， ∵AD平分∠BAC， ∴∠EAD＝∠DAC， ∴∠AED＝∠ADC． 故本选项正确； ②∵∠EAD＝∠DAC，∠ADE＝∠ACD＝90°， ∴△ADE∽△ACD，得DE：DA＝DC：AC＝3：AC，但AC的值未知， 故不一定正确； ③由①知∠AED＝∠ADC， ∴∠BED＝∠BDA， 又∵∠DBE＝∠ABD， ∴△BED∽△BDA， ∴DE：DA＝BE：BD， 由②知DE：DA＝DC：AC， ∴BE：BD＝DC：AC， ∴AC•BE＝BD•DC＝12． 故本选项正确； ④连接DM，则DM＝MA． ∴∠MDA＝∠MAD＝∠DAC， ∴DM∥BF∥AC， 由DM∥BF得FM：MC＝BD：DC＝4：3； 由BF∥AC得△FMB∽△CMA，有BF：AC＝FM：MC＝4：3， ∴3BF＝4AC． 故本选项正确． 综上所述，①③④正确，共有3个． 故答案为①③④． 三、简答题（共7小题，共66分） 17．作图：将图缩小，使缩小前后的相似比为2：1，并保持图形原来的方向． 【解答】解：如图，四边形A′B′C′D′即为所求． 18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，AD＝2，CD＝4．求BD的长． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠BCD＝90°，∠BCD+∠B＝90°， ∴∠ACD＝∠B， ∴△ACD∽△CBD， ∴， ∵AD＝2，CD＝4， ∴， ∴BD＝8． 19．如图所示，已知AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，AB＝4，CD＝6，BC＝14，P为BC上一点，试问BP为何值时，△ABP与△PCD相似？ 【解答】解：（1）当△ABP∽△PCD时，，，得BP＝2或BP＝12； （2）当△ABP∽△DCP时，，，BP＝5.6． 综合以上可知，当BP的值为2，12或5.6时，两三角形相似． 20．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E是AC的中点，直线ED交AB的延长线于点F，求证：AB•AF＝AC•DF． 【解答】证明：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D， ∴△ABD∽△CBA， ∴， ∵E是AC中点， ∴ED＝EC＝AE， ∴∠C＝∠3＝∠4， ∵∠C＝∠1（同角的余角相等）， ∴∠1＝∠4， 又∠F为△FDB和△FAD的公共角， ∴△FDB∽△FAD， ∴， ∴， ∴AB•AF＝AC•DF． 21．如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿AC向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发．沿CB向点B移动，设P、Q两点移动ts（0＜t＜5）后，△CQP的面积为Scm2 （1）在P、Q两点移动的过程中，△CQP的面积能否等于3.6cm2？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由； （2）当运动时间为多少秒时，△CPQ与△CAB相似． 【解答】解：（1）在矩形ABCD中， ∵AB＝6cm，BC＝8cm， ∴AC＝10cm，AP＝2tcm，PC＝（10﹣2t）cm， CQ＝tcm， 过点P作PH⊥BC于点H， 则PH（10﹣2t）cm， 根据题意，得 t•（10﹣2t）＝3.6， 解得：t1＝2，t2＝3． 答：△CQP的面积等于3.6cm2时，t的值为2或3． （2）如答图1，当∠PQC＝90°时，PQ⊥BC， ∵AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，QC＝t，PC＝10﹣2t， ∴△PQC∽△ABC， ∴，即，解得t（秒）； 如答图2，当∠CPQ＝90°时，PQ⊥AC， ∵∠ACB＝∠QCP，∠B＝∠QPC， ∴△CPQ∽△CBA， ∴，即，解得t（秒）． 综上所述，t为秒与秒时，△CPQ与△CAB相似． 22．如图1，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，点C在线段OB上，OC＝2BC，AO边上的一点D满足∠OCD＝30°．将△OCD绕点O逆时针旋转α度（90°＜α＜180°）得到△OC′D′，C，D两点的对应点分别为点C′，D′，连接AC′，BD′，取AC′的中点M，连接OM． （1）如图2，当C′D′∥AB时，α＝　150　 °，此时OM和BD′之间的位置关系为 　垂直　 ； （2）画图探究线段OM和BD′之间的位置关系和数量关系，并加以证明． 【解答】解：（1）∵C′D′∥AB， ∴∠ABD′+∠C′D′B＝180°， ∵∠ABO＝∠C′D′O＝60°， ∴∠OBD′+∠BD′O＝60°， ∴∠BOD′＝120°， ∴∠BOC′＝360°﹣90°﹣120°＝150°， ∴α＝150°， 此时OM⊥BD′， 故答案为：150，垂直； （2）OM⊥BD′，OMBD′， 证明：取AO的中点E，连接ME，延长MO交BD′于N， ∵AC′的中点M， ∴EM∥OC′，EMOC′， ∴∠OEM+∠AOC′＝180°，∵∠AOB＝∠C′OD′＝90°， ∴∠BOD′+′AOC′＝180°， ∴∠OEM＝∠BOD′， ∵∠OAB＝∠OC′D′＝30°， ∴， ∴， ∴△EOM∽△OBD′， ∴∠AOM＝∠2，， 即OMBD′， ∵∠AOB＝90°， ∴∠AOM+∠3＝180°﹣∠AOB＝90°，∴∠2+∠3＝90°， ∴OM⊥BD′． 23．如图，AD、BE是△ABC的两条高，过点D作DF⊥AB，垂足为F，FD交BE于M，FD、AC的延长线交于点N． （1）求证：△BFM∽△NFA； （2）试探究线段FM、DF、FN之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若AC＝BC，DN＝12，ME：EN＝1：2，求线段AC的长． 【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，AD、BE是△ABC的高， ∴∠BFD＝∠AFD＝∠AEB＝∠ADB＝90°， ∴∠FBM＝90°﹣∠BAC，∠N＝90°﹣∠BAC， ∴∠FBM＝∠N， ∵∠FBM＝∠N，∠BFD＝∠AFD， ∴△BFM∽△NFA； （2）解：DF2＝FM•FN，理由为： 证明：∵△BFM∽△NFA， ∴， ∴FM•FN＝FB•FA， ∵∠FBD+∠FDB＝90°，∠FBD+∠FAD＝90°， ∴∠FDB＝∠FAD， ∵∠BFD＝∠AFD，∠FDB＝∠FAD， ∴△BFD∽△DFA， ∴，即DF2＝FB•FA， ∴DF2＝FM•FN； （3）解：∵AC＝BC， ∴∠BAC＝∠ABC， ∵∠ABC+∠FDB＝∠BAC+∠N＝90°， ∴∠FDB＝∠N＝∠FBM，易证△ENM∽△FBM∽△FDB， ∴， ∴FB＝2FM，FD＝2FB＝4FM， ∵DF2＝FM•FN， ∴（4FM）2＝FM•（4FM+12）， 解得：FM＝1或FM＝0（舍去）， ∴FB＝2，FD＝4，FN＝FD+DN＝16， ∵， ∴AF＝8，AB＝AF+BF＝10， 在Rt△BFD中，BD2， 在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD2＝AB2﹣BD2＝AC2﹣CD2， ∴AC2﹣（AC﹣2）2＝102﹣（2）2， 解得：AC＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $