专练5 与旋转有关的探究题-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（人教版·新教材）黑龙江专版

同步练测·九年级数学（上册） (3)解：24 4解：：点41,2)在反比刷函数n=兰的图象上， ..k=1×2=2, ·反比例函数的解析式为2=子 :点B(-2,m)在反比例函数2=2的图象上， m=2=-1(-2,-0. 把A(1,2),B(-2,-1)的坐标代人y1=ax+b,得 2三a+0,,解得6=1’ 1-1=-2a+b, .一次函数的解析式为y1=x+1. (2)当y1<y2时，x的取值范围为x<-2或0<x<1. (3)0P的最小值为W2. 5.解：(1)点B,C的坐标分别为(3,0)，(0,3). 设直线BC的函数解析式为y=kx+3(k≠0)， 将点B的坐标代人上式，得0=3k+3,解得k=-1, ∴.直线BC的函数解析式为y=-x+3. (2)设⊙P的半径为T,过点P作PH∥y轴交BC于点H,作 PN⊥BC于点N,∴.∠BCO=∠PHN. B(3,0),C(0,3),.0B=0C=3. 又，∠B0C=90°，∴.∠BC0=45°，.∠PHN=45°， 易得PH=√2PN=√2r,故当PH最大时，r最大 易知P(m,-m2+2m+3),则H(m,-m+3), ∴.PH=-m2+2m+3-(-m+3)=-m2+3m= -(m-2+ “-1<0,当m=弓时，P阳取得最大值，此时⊙P的半径 最大，当⊙P的半径最大时，m的值为子 专练五与旋转有关的探究题 1.(1)证明：由旋转的性质，得CD=CE,∠DCE=∠ACE+ ∠ACD=90°. 又：∠ACB=90°，即∠BCD+∠ACD=90°， ∴.∠BCD=∠ACE. 又：AC=BC,CE=CD,∴.△ACE≌△BCD, (2)证明：，△ACE≌△BCD,.∠CBD=∠CAE. .·∠ACB=90°，.∠CBD+∠BAC=90°， ∴.∠CME+∠BAC=90°，∴.∠DME=90°. (3)解：AD2+BD2=2CD2 2.(1)证明：如答图①，过点D作DH⊥BC于点H, .∴.∠DHB=∠DHF=90° .·AB=AC,∠BAC=90°， ÷LABC=LC=2(180°-LBMC)=45, .∠ADH=360°-∠BAC-∠DHB-∠ABC=360°-90°- 90°-45°=135. :∠MDN=135°，∴.∠ADH=∠MDN, ∴.∠ADH-∠EDH=∠MDN-∠EDH,即∠ADE=∠HDF. ·62· ·BD平分∠ABC,DA⊥AB,DH⊥BC,.DA=DH 又.：∠DAE=∠DHF,.△DAE≌△DHF,.AE=HF ∠HDC=180°-∠ADH=45°，.∠C=∠HDC, ∴，DH=CH=AD,∴，AE+CF=HF+CF=CH=AD. E B N 2题答图① 2题答图② (2)解：不成立，正确的结论为CF-AE=AD.理由如下： 如答图②，过点D作DG⊥BC于点G, ∴.∠DGB=∠DGC=90°. ·BD平分∠ABC,DA⊥AB,DG⊥BC,∴.DA=DG AB=AC,∠BAC=90°， ∴.∠ABC=∠C=45°，∠DAE=90°， .∴.∠ADG=360°-∠BAC-∠DGB-∠ABC=360°-90°- 90°-45°=135°. ∠MDN=135°，∴.∠ADE=∠GDF=135°-∠ADF. 又，·∠DAE=∠DGF=90°，∴.△DAE≌△DGF,.AE=GF .·∠C=45°，∠DGC=90°， ∴.∠GDC=45°，.∠C=∠GDC,GC=DG=AD. CF-GF GC,..CF-AE AD. (3)解：线段cF的长度为1-号或后-1 3.解：(1)FD=FC且FC⊥FD 证明：.DE⊥AB,..∠ADE=90 F是AE的中点，.AF=FE. 又.·∠ACB=90°，.DF=AF=EF=CF,∴.∠FAD=∠FDA, ∠FAC=∠FCA,∴，∠DFE=∠FDA+∠FAD=2∠FAD ∴.∠EFC=∠FAC+∠FCA=2∠FAC .·CA=CB, .∠BAC=45°，∴.∠DFC=∠EFD+∠EFC=2(∠FAD+ ∠FAC)=90°，.DF⊥FC. 综上，FD=FC且FC⊥FD. (2)结论不变. H 证明：如答图，延长AC到点M, 使得CM=CA,延长ED到点N, 使得DN=DE,连接BN,BM, EM,AN,延长ME交AN于点H, 交AB于点O. B .·BC⊥AM,AC=CM,∴.BA= BM.同理可得BE=BN. 易知∠ABM=∠EBN=90°， ∴.∠NBA=LEBM,·.△ABN≌ △MBE,∴.AN=EM, M ∠BAN=∠BME. 3题答图 AF-FE.AC-CM.CF-EM.FC//EM. 同理，FD=之AN,FD∥AN,FD=FC ∠BME+∠BOM=90°，∠BOM=∠AOH, .∴.∠BAN+∠AOH=90°，∴.∠AH0=90°， .AN⊥MH,∴.FD⊥FC (3)2≤BF≤32. 4.解：(1)，将△ADE绕点A顺时针旋转90得到△ABG, ∴.GB=DE=2..·△GAF≌△EAF,∴.GF=EF CD=6,DE=2,.CE=4. EF2=CF2+CE2,.EF2=(8-EF)2+16,.EF=5. (2)EF=DE BF. 证明：如答图，将△ADE绕点A 0 顺时针旋转角度为∠BAD的度 数，得到△ABH. 由旋转可得AH=AE,BH=DE, H ∠1=∠2，∠D=∠ABH. ∠EMF=子∠DAB, 4题答图 :∠ImF=∠1+∠3=∠2+∠3=7∠BA .∠HAF=∠EAF ·∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=180°， H,B,F三点共线. AH=AE. 在△AHF和△AEF中， ∠HAF=∠EAF, LAF=AF, ∴.△AHF≌△AEF(SAS),∴.EF=HF .·HF=BH+BF,∴.EF=DE+BF (3EF=BE-FD. 专练六二次函数中的存在性问题 3 1.解：(1)对于y=4*-3,当x=0时，y=-3, ∴.C(0,-3). 当y=0时，子-3=0x=4,B(4,0). “抛物线的对称轴为直线x=子易得4(-1,0)。 ∴.可设抛物线的函数解析式为y=a(x+1)(x-4), 将(0，-3)代入，得-4a=-3,解得a=3 抛物线的函数解析式为=子(x+1)(x-4)=子2 *-3. 9 (2):∠ABD=∠ABC,.易得直线BD和直线BC关于x轴 对称，易得直线BD的函数解析式为y=- 4+3， 联立直线BD和抛物线的函数解析式，得子- 4x-3 -子+3 解得x=4或x=-2,∴.易知点D的横坐标为-2. 将x=-2代入y=-子+3，得y=-子x(-2)+3 号n(-2,2) 2.解：(1)：直线y=3x-3分别交x轴、y轴于A,B两点， 点A,B的坐标分别为(1,0)，(0，-3)， 把A,B两点的坐标分别代人y=x2+x+c,得 [+6=0,解得6=2： c=-3, lc=-3, 参考答案及解析 ∴.抛物线的函数解析式为y=x2+2x-3, (2)存在.假设存在这样的点M,则MA=AB,即MA2=AB2. 抛物线的对称轴为直线x=-1, ∴.可设点M的坐标为(-1，m),过点M作MN⊥x轴于点N, .MN=1ml,AN=1+1=2. 在Rt△AMN中，MA2=MN2+AN2=m2+22=m2+4. 在Rt△A0B中，AB2=0A2+0B2=12+32=10. ∴.m2+4=10,解得m1=6,m2=-√6， .存在这样的点M,且点M的坐标为(-1，w6)或(-1，-6). 3.解：以A,D,P,Q为顶点的四边形能成为矩形. 令ax2-2ax-3a=ax+a,即ax2-3ax-4a=0, 解得x1=-1,x2=4,∴.D(4,5a). y=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1,设P(1,m). ①若AD是矩形ADPQ的一条边，则Q(-4,21a),m=21a+ 5a=26a,则P(1,26a) :四边形ADPQ是矩形，∴.∠ADP=90°， .AD2+PD2 =AP2 5+(5a2+32+(260-5a)2=2+(26a)2,即2=7 a<0,a=- …,2） ②若AD是矩形APDQ的对角线，则Q(2,-3a),m=5a- (-3a)=8a,则P(1,8a). ,四边形APDQ是矩形， ·∠APD=90°，.AP2+PD2=AD2 .(-1-1)2+(8a)2+(1-4)2+(8a-5a)2=52+ (5a),即d2= 1 a<0,a=-2P(1,-4). 综上所述，以A,D,P,Q为顶点的四边形能成为矩形，点P 的坐标为(1,26）戌(1，-4. 4.解：(1)将A(-1,0),B(4,5)代人y=x2+mx+n, 和60得子 n=-3, ∴.抛物线的函数解析式为y=x2-2x-3. (2)(1,2) (3)点N的坐标为N1(1,1),N2(-1,2),N3(1,4), (分) 5.解：(1)：抛物线经过点A(3,0),且关于直线x=1对称， ∴.抛物线与x轴的另一个交点坐标为(-1,0)，∴.可设抛物 线的函数解析式为y=a(x+1)(x-3), 则a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a=ax2+bx+3, .-3a=3,解得a=-1, ∴.抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3. (2)存在.当x=0时，y=3,∴.B(0,3). 当BC是对角线时，有BD=CD. 由点A,B的坐标易得直线AB的函数解析式为y=-x+3, 设点C(x,-x2+2x+3),则点D(x,-x+3), .CD=-x2+2x+3-（-x+3)=-x2+3x,BD= √x2+(-x+3-3)2=√2x, .-x2+3x=2x,解得x=0(不符合题意，舍去)或x=3- ·63…专练五 与旋转有关的探究题 1.【问题提出】如图①，在Rt△ABC中，AC=BC, 2.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,作∠ABC ∠ACB=90°，D为AB上一点，连接CD,为探 的平分线交AC于点D,∠MDN=135°，将 究AD2,BD2,CD之间的数量关系，小星同学 ∠MDN绕点D旋转，使∠MDN的两边交直线 思考后，提出以下解决方法。 BA于点E,交直线BC于点F. 【探究解决】将图①中CD绕着点C顺时针旋 (1)当∠MDW绕点D旋转到如图①的位置 转90°，得到CE,连接DE,AE,如图②，请解决 时，求证：AE+CF=AD; 以下问题： (2)当∠MDN绕点D旋转到如图②的位置 (1)求证：△ACE≌△BCD; 时，(1)中结论是否成立？若成立，请证 (2)求证：∠DAE=90°； 明；若不成立，请写出正确的结论，并说明 (3)直接写出AD2,BD2,CD2之间的数量关系 理由； 为 (3)若BC=2+√2，∠CDF=15°，请直接写出 线段CF的长度 1题图① 1题图② 2题图① 2题图② 2题备用图 33 同步练测·九年级数学（上册） 3.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=AC,点4.【方法感悟】 D在边AB上，DE⊥AB交BC于点E,F是AE (1)如图①，在正方形ABCD中，E,F分别为 的中点 DC,BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连 (1)写出线段FD与线段FC的关系并证明； 接EF.将△ADE绕点A顺时针旋转90°得 (2)如图②，将△BDE绕点B逆时针旋转a 到△ABG,易证△GAF兰△EAF,从而得到 (0°<a<90),其他条件不变，线段FD 结论：DE+BF=EF.根据这个结论，若CD 与线段FC的关系是否变化？写出你的结 =6,DE=2,求EF的长； 论并证明； 【方法迁移】 (3)将△BDE绕点B逆时针旋转一周，如果 (2)如图②，若在四边形ABCD中，AB=AD, BC=4,BE=22,直接写出线段BF长度 ∠B+∠D=180°，E,F分别是CD,BC上 的范围。 的点，且∠E1P=号∠BAD,试猜想DB, BF,EF之间有何数量关系，证明你的 结论； 【问题拓展】 (3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD, 3题图① 3题图② ∠B+∠ADC=180°，E,F分别是边BC CD延长线上的点，且LEMF=2LBAD, 试探究线段EF,BE,FD之间的数量关系， 请直接写出你的猜想（不必说明理由） 4题图① 4题图② 4题图③ 34