专题5 一元二次方程的解法&2.3 一元二次方程的振与系数的关系-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

全程导练·九年级数学·北师版·上册 14.5或6[解析]①当m,n为腰时，m=n,m,n是关于x 的一元二次方程x2-8x+21-k=0的两个实数根，.方 程有两个相等的实数根，.4=（-8)2-4×1×(21-k) =0,解得k=5;②当m和3（或n和3）是腰时，m=3(或n =3),把x=3代入方程，得9-24+21-k=0,解得k=6. 综上可知，k=5或6. 15.1或2[解析]：直线y=-x+m不经过第一象限，∴.m ≤0，分情况求解如下：①当m=0时，关于x的方程mx2+ x+1=0是一元一次方程，只有一个实数根；②当m<0 时，关于x的方程mx2+x+1=0是一元二次方程，且△= 12-4m>0,.有两个不相等的实数根.综上所述，关于x 的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为1或2. 1解：125：6 4 (2)x1=2,x2=-1. 17.(1)证明：(x-1)(x-2k)+k(k-1)=0, 整理，得x2-(2k+1)x+2+k=0. a=1,b=-(2k+1),c=2+k, 4=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(2+k)=1>0, ·.该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：x2-(2k+1)x+k2+k=0, 六x=-6±Y62-4ae_2h+1±1 2a 2 .x1=k,2=k+1 ①当x=k为对角线的长时，易知2=(k+1)2+32, 解得k=-5(不符合题意，舍去)； ②当x=k+1为对角线时，易知(k+1)2=2+32, 解得k=4.综上所述，k的值为4. 【素养探究创新练】 18.解：(1).a=2,b=-6√3，c=13, .b2-4ac=(-65)2-4×2×13=4>0, x=二(-6B)±4-65±2 2×2 4 33 2 1k-1=351.35-1=1, 2 2 ∴.方程2x2-63x+13=0是“邻近根方程” (2).'a=3,b=m-2,c=-m-1, ∴.b2-4ac=(m-2)2-4×3×(-m-1)=(m+4)2≥0， x=2-m±YCm+4)Z_2-m±(m+42 2×3 6 名=1，两2=-m+ 31 关于x的方程3x2+(m-2)x-m-1=0是“邻近根方程”， 1+=1,1+”1或1+m=-1, 解得m=-1或m=-7, .m的值为-1或-7. 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 【知识要点分类练】 1.C2.D3.x1=2,x2=-14.x=-2 5.解：(1)4=0=8、(2)=方=3 ·10- (3)出=3，=9.(4)=号出=-2 6.D 7.解：(1)x1=4,x2=-6.(2)x1=2,2=4 1 (3)x=-5,为=-3.（4)41=3，为=-2 【能力提升综合练】 8.D9.D 10解：(1)：a=1,6=-月e=子 2-4ac=(-5)2-4x1×(-4）=4, 即26 2 (2)去括号，得3x2=x2+10x+25-13. 整理，得x2-5x-6=0. 分解因式，得(x+1)(x-6)=0, 则x+1=0或x-6=0, 解得x1=-1,2=6. 【素养探究创新练】 11.解：(1)设x2=y,.原方程可整理为y2-4y-12=0, 移项、配方，得y2-4y+4=16,即(y-2)2=16, ∴.y-2=±4，解得少1=6，y2=-2. y=x2≥0，x2=6,x1=6,2=-6. (2)设m=2x2+2y2, ∴.原方程可化为(m+3)(m-5)=-7, 整理，得m2-2m-8=0, 配方，得(m-1)2=9, 解得m1=4,m2=-2, 2x2+2y2≥0，.m=4,.2x2+2y2=4,.x2+y2=2. 微专题5运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)x=-1=-2.(2)%=-子=3. 专题5一元二次方程的解法 5 5 1.解：(1)%1=2=-2 1 7 (2)×=12为=-12 2.解：(1)x1=2+W6,x2=2-6. 33T-1 (2)x=-1+3 3 3.解：(1)x1=2,x2=-1. 23+3 2 (3)x1=5+3,2=5-3. 4.解：(1)x1=-1,x2=2 1 (2)x=4=-2 3一元二次方程的根与系数的关系 【知识要点分类练】 1.A2.D3.A4.-2 5解：(1)-2(2)受 (3)6. 6.D[解析]方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a, b,.a+b=7,ab=5,y=5x+7,∴.该一次函数的图象经过 第一、第二、第三象限，不经过第四象限 7.-3[解析]α，B是方程x2-2x+k=0的两个实数根， 4=（-2)2-4k≥0，解得k≤1.，B是方程x2-2x+k =0的两个实数根，.a2-2a+k=0,a+B=2,.a2-2a= -ka2-a+B=5,a2-2a+a+B=5,-k+2=5, .k=-3. 8.解：根据题意，得4=(2k+1)2-4(k2-2)≥0， 解得≥-是 名+2=-(2k+1),x132=2-2, 而x好+x好=11，.(x1+x2)2-2x1x2=11, 即(2k+1)2-2(2-2)=11. 整理，得2+2k-3=0,解得k1=-3,2=1. 又：≥-号…4=1 9.(1)解：：方程(x-1)(x-2)=m2, 即x2-3x+2-m2=0的两根为x1,x2, .名1+x2=3,x1x2=2-m2. 名1=-1，.x2=3-名1=4，.x1为2=-4， .m2=2-为12=6，∴.m=主6， .x2=4,m=±6. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. 4=9-4(2-m2)=4m2+1>0, ,方程有两个不相等的实数根. 方程x2-3x+2-m2=0的两根为x1,x2, 名1+为2=3，x1x2=2-m2, (x1-1)(x2-1)=1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1= -m2. …m2≥0，.-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 【能力提升综合练】 10.C[解析](x-1)(x+2)=p2,.x2+x-2-p2=0, .62-4ac=1+8+4p2=9+4p2>0,.方程有两个不相等 的实数根方程的两个根的积为-2-卫2<0，，该方程 有一个正根，一个负根故选C. 11.A[解析]由题易知n≠0，m≠1，.m≠上.将9n2+ n 2026m+5=0支形，得5（日+2025×日+9=0 又：5m2+2026m+9=0,m与1为方程5x2+2026x+ ，即=9 9=0的两个解，m·1=9, n=了.故选A 12.(-2,15) 13.解：x1,x2是方程(m-1)x2+2mx+2=0的两个根， 小名+名=-2m m1x1x2=m_1·m≤1 :+1+1+为=2， x对+x防 +x1+2=2, x1光2 X12 即西+)2-2x 十x1+x2=2, X1X2 20-2 2 2 立沿2 m-1 参考答案及解析 整理，得m2-3m+2=0, 解得m1=2,m2=1(舍去). a,b满足m2+a2m-8a=0,m2+b2m-8b=0, ,易知a,b为方程x2-4x+2=0的两根， ∴.a+b=4,ab=2, .a2+b2=(a+b)2-2ab=12=c2, ∴.△ABC为直角三角形，且∠C=90°， .Suc 【素养探究创新练】 14.解：(1)1-1 (2)实数a,b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1=0,且a≠b, .实数a,b是关于x的方程x2-5x+1=0的两个不相等 的实数根，∴.a+b=5,ab=1, ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×1=23. (3)当t=0时，2-7t+2=2≠0，.t≠0. 2-1+1=0. :2-7t+2=0,年-i ·1,s≠1 又22-75+1=0，，是关于x的方程2x2-7x+1= 0的两个不相等的实数根， 7 8+ 1-7.t+17 t=2… t =2t+1=2, 7 24+22+1)2×2.714 5t+36+1(t+1)+36=7 +3 -131 4一元二次方程的应用 第1课时一元二次方程的应用（一） 【知识要点分柒练】 1.C2.D 3.解：设小路的宽度为xm,则9块矩形地块可合成长为(20- 4x)m,宽为(14-4x)m的矩形. 根据题意，得(20-4x)(14-4x)=24×9， 整理，得2x2-17x+8=0, 1 解得为=2名=8（不符合题意，舍去）. 答：小路的宽度为7m 4.B[解析]如答图，设AC交A'B'于点H.由题意知∠CAD= 45°，∠D=90°，由平移可得∠AA'H=90°，.△A'HA是 等腰直角三角形.设AA'=xcm,则A'H=xcm,A'D=(2- x)cm.由平移可知阴影部分是平行四边形，.x(2-x)=1, 1=x2=1,即AA'=1cm故选B. A A' D H B' C C' 4题答图 5.3[解析]：∠B=90°，BC=3cm,AC=5cm,AB= √AC2-BC2=√52-32=4(cm).设运动时间为1s,则AP ·11·第二章 一元二次方程Y 专题5一元二次方程的解法 [答案P10] 类型1直接开平方法 类型3公式法 1.用直接开平方法解下列方程： 3.用公式法解下列方程： (1)4x2-25=0; (1)x2-x-2=0 (2)含-4-3=0： (2)(4x+1)2-16=0. (3)x2-25x-4=0. 类型2配方法 2.用配方法解下列方程： (1)x2-4x-2=0; 类型4因式分解法 4.用因式分解法解下列方程： (1)x(x-2)+x-2=0; (2)3(x-1)(x+2)=x+4. (2)9x2-(x-1)2=0. 见此图标骏微信打码进人初中智慧学国自 35 全程导练·九年级数学·北师版·上册 3 一元二次方程的根与系数的关系 [答案P10] 知识要点分类练单” ●知识点3利用根与系数的关系求方程的根及待 定字母的值 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与两 6.若一元二次方程x2-7x+5=0的两个实数根分 根之积 别是a,b,则一次函数y=abx+a+b的图象一定 1.若方程3x2+7x-9=0的两个实数根分别为x1, 不经过 () x2,则x1+x2等于 ( A.第一象限 B.第二象限 B.3 7 C.-3 D.3 C.第三象限 D.第四象限 7.（江苏南通期中)已知α，B是方程x2-2x+k=0 2.(湖北中考)一元二次方程x2-4x+3=0的两个 的两个实数根，且a2-a+B=5,则k的值 实数根为x1,x2,下列结论正确的是 ( 为 A.x1+x2=-4 B.x1+x2=3 8.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2-2=0的 C.x1x2=4 D.x1x2=3 两个实数根为x1,x2,且有x+x2=11,求k的值. 3.已知实数x1,x2满足x1+x2=9,x1x2=20,则以 x1,x2为根的一元二次方程可能是 () A.x2-9x+20=0 B.x2+9x+20=0 C.x2+9x-20=0 D.x2-9x-20=0 知识点2利用根与系数的关系求相关代数式 的值 4.(眉山中考)已知方程x2-2x-5=0的两根分别为 x1,x2,则(x1+1)(x2+1)的值为 5.已知a,B是方程2x2+6x+3=0的两个实数根， 求下列各式的值， 9.（南充中考)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x 2)=m2的两根。 (1)当x1=-1时，求x2及m的值； (2)求证：(x1-1)(x2-1)≤0. (2)(-2)(B-2); (3)a2+B2. 36 见此图标照微信扫码进人初中智慧学国自自 第二章一元二次方程？ 能力提升综合练心” 素养探究创新练学： 10.关于x的方程(x-1)(x+2)=p2(p为常数) 14.【阅读材料】已知实数m,n满足m2-m-1=0,n 的根的情况，下列结论正确的是 -n-1=0,且m≠n,则m,n是方程x2-x-1=0的 A.两个正根 两个不相等的实数根，由根与系数的关系就可以知 B.两个负根 道m与n的和，m与n的积 C.一个正根，一个负根 【材料理解】 D.无实数根 (1)m+n= ,mn 11.若mn≠1，且5m2+2026m+9=0,9n2+2026n+5 【类比应用】 =0,则m= ( (2)已知实数a,b满足a2-5a+1=0,b2-5b+1 n =0,且a≠b,求a2+b2的值； a号 B了 【思维拓展】 C.-2026 (3)已知实数s,t满足2s2-7s+1=0,2-7t+2 D.-2026 5 9 =0,且0≠1，求2的值 12.若关于x的方程x2+mx+n=0的两个实数根分 别为x1=-5,x2=3,则点P(m,n)关于原点对 称的点的坐标是 13.已知关于x的方程(m-1)x2+2mx+2=0的两 个根1，满足空+名+1+2=2.当△ABC的 1X2 三边a,b,c满足c=2√3，m2+a2m-8a=0,m2+ b2m-8b=0(a≠b)时，求m的值以及△ABC的 面积 见此图标骏微信打码进人初中智慧学园自 37