2.2.4 用因式分解法求解一元二-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

全程导练·九年级数学·北师版·上册 14.5或6[解析]①当m,n为腰时，m=n,m,n是关于x 的一元二次方程x2-8x+21-k=0的两个实数根，.方 程有两个相等的实数根，.4=（-8)2-4×1×(21-k) =0,解得k=5;②当m和3（或n和3）是腰时，m=3(或n =3),把x=3代入方程，得9-24+21-k=0,解得k=6. 综上可知，k=5或6. 15.1或2[解析]：直线y=-x+m不经过第一象限，∴.m ≤0，分情况求解如下：①当m=0时，关于x的方程mx2+ x+1=0是一元一次方程，只有一个实数根；②当m<0 时，关于x的方程mx2+x+1=0是一元二次方程，且△= 12-4m>0,.有两个不相等的实数根.综上所述，关于x 的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为1或2. 1解：125：6 4 (2)x1=2,x2=-1. 17.(1)证明：(x-1)(x-2k)+k(k-1)=0, 整理，得x2-(2k+1)x+2+k=0. a=1,b=-(2k+1),c=2+k, 4=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(2+k)=1>0, ·.该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：x2-(2k+1)x+k2+k=0, 六x=-6±Y62-4ae_2h+1±1 2a 2 .x1=k,2=k+1 ①当x=k为对角线的长时，易知2=(k+1)2+32, 解得k=-5(不符合题意，舍去)； ②当x=k+1为对角线时，易知(k+1)2=2+32, 解得k=4.综上所述，k的值为4. 【素养探究创新练】 18.解：(1).a=2,b=-6√3，c=13, .b2-4ac=(-65)2-4×2×13=4>0, x=二(-6B)±4-65±2 2×2 4 33 2 1k-1=351.35-1=1, 2 2 ∴.方程2x2-63x+13=0是“邻近根方程” (2).'a=3,b=m-2,c=-m-1, ∴.b2-4ac=(m-2)2-4×3×(-m-1)=(m+4)2≥0， x=2-m±YCm+4)Z_2-m±(m+42 2×3 6 名=1，两2=-m+ 31 关于x的方程3x2+(m-2)x-m-1=0是“邻近根方程”， 1+=1,1+”1或1+m=-1, 解得m=-1或m=-7, .m的值为-1或-7. 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 【知识要点分类练】 1.C2.D3.x1=2,x2=-14.x=-2 5.解：(1)4=0=8、(2)=方=3 ·10- (3)出=3，=9.(4)=号出=-2 6.D 7.解：(1)x1=4,x2=-6.(2)x1=2,2=4 1 (3)x=-5,为=-3.（4)41=3，为=-2 【能力提升综合练】 8.D9.D 10解：(1)：a=1,6=-月e=子 2-4ac=(-5)2-4x1×(-4）=4, 即26 2 (2)去括号，得3x2=x2+10x+25-13. 整理，得x2-5x-6=0. 分解因式，得(x+1)(x-6)=0, 则x+1=0或x-6=0, 解得x1=-1,2=6. 【素养探究创新练】 11.解：(1)设x2=y,.原方程可整理为y2-4y-12=0, 移项、配方，得y2-4y+4=16,即(y-2)2=16, ∴.y-2=±4，解得少1=6，y2=-2. y=x2≥0，x2=6,x1=6,2=-6. (2)设m=2x2+2y2, ∴.原方程可化为(m+3)(m-5)=-7, 整理，得m2-2m-8=0, 配方，得(m-1)2=9, 解得m1=4,m2=-2, 2x2+2y2≥0，.m=4,.2x2+2y2=4,.x2+y2=2. 微专题5运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)x=-1=-2.(2)%=-子=3. 专题5一元二次方程的解法 5 5 1.解：(1)%1=2=-2 1 7 (2)×=12为=-12 2.解：(1)x1=2+W6,x2=2-6. 33T-1 (2)x=-1+3 3 3.解：(1)x1=2,x2=-1. 23+3 2 (3)x1=5+3,2=5-3. 4.解：(1)x1=-1,x2=2 1 (2)x=4=-2 3一元二次方程的根与系数的关系 【知识要点分类练】 1.A2.D3.A4.-2 5解：(1)-2(2)受 (3)6. 6.D[解析]方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,第二章一元二次方程又 第4课时 用因式分解法求解一元二次方程[答案0 知识要点分类练” C.①直接开平方法，②③公式法，④因式分解法 D.①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 色知识点1用因式分解法解一元二次方程 7.用适当的方法解下列方程： 1.（教材母题变式)一元二次方程x(x-4)=0的根 (1)(x+1)2-25=0; 是 A.x1=1,x2=4 B.x1=1,x2=-4 C.x1=0,x2=4 D.x1=0,x2=-4 2.用因式分解法解下列方程，正确的是（ A.x(x+5)=0,∴.x+5=0 (2)x2-6x+8=0; B.(x+1)(x-2)=1,∴.x+1=1或x-2=1 C.(x-1)(x-2)=2×3,∴.x-1=2或x-2=3 D.(x-2)(3x-4)=0,∴.x-2=0或3x-4=0 3.方程(x-2)2=3x(x-2)的根是 4.已知x=0是关于x的一元二次方程ax2+2ax+a (3)(x+5)2=2x+10; -1=0的一个解，则此方程的另一个解为 5.用因式分解法解下列方程： (1)x2-8x=0; (4)3x2+7x+3=2x+5. (2)2x(x-3)=x-3; 能力提升综合练单” (3)2(x-3)2=x2-9; 8.已知关于x的方程x(x-1)=3(x-1),则下列解 题过程中，完全正确的是 甲 乙 移项，得x(x-1)+3(x- (4)(2x-1)2=(x-3)2. 1)=0, 方程的两边都除以(x- .(x-1)(x+3)=0, 1),得x=3 .x-1=0或x+3=0, x2=1,x2=-3 知识点2用适当的方法解一元二次方程 丙 人 6.解下列方程：①3x2-27=0;②x2-3x-1=0; 整理，得x2-4x=-3. 整理，得x2-4x=-3. ③(x+2)(x+4)=x+2;④2(3x-1)2=3x-1. .a=1,b=-4,c=-3, 配方，得x2-4x+4=1, 最适当的解法是 .b2-4ac=28, (x-2)2=1, A.①直接开平方法，②配方法，③公式法，④因式 x=4±2s=2±万， x-2=±1， 2 分解法 .x1=1,2=3 x1=2+万，x2=2-√万 B.①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接开 平方法 A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 见此图标跟微信打码进人初中智慧学国自 33 全程导练·九年级数学·北师版·上册 9.对于实数a,b,定义运算“※”如下：a※b=a2- y=x2≥0，y=3,即x2=3, ab,例如：5※3=52-5×3=10.若(x+1)※(3x- 解得x=±√3， 2)=3,则x的值为 “原方程的解为x1=√3，x2=-√3 A.0 B.-0.5 利用以上学习到的方法解决下列问题： C.0或-0.5 D.0或0.5 (1)解方程：x4-4x2-12=0; 10.选用合适的方法解下列方程： (2)已知实数x,y满足(2x2+2y2+3)(2x2+2y2 (1)2-月x-4=0: -5)=-7,求x2+y2的值. (2)3x2=(x+5)2-13. 素养探究创新练单： 11.换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在 结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部 分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则 能使复杂的问题简单化.如： 解方程x-x2-6=0 可将方程变形为(x2)2-x2-6=0, 设x2=y,则原方程可化为y2-y-6=0, 解得y1=-2,y2=3. 微专题5运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 【例】阅读下列材料： (2)根据乘法原理：若ab=0,则a=0或b=0. (1)将x2+2x-35分解因式，我们可以按下面的1.试用上述方法和原理解下列方程： 方法解答： (1)x2+3x+2=0; ①竖分二次项与常数项：x2=x·x,-35= (2)3x2-8x-3=0. (-5)×(+7). 5 ②交又相乘，验中项：入)7x-5x=2x ③横向写出两因式：x2+2x-35=(x+7)(x -5). 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫作 十字相乘法。 见此图标照微信扫码进人初中智芯学国自自