2.2.3 用公式法求解一元二次方-【中考123】2026-2027学年九年级上册数学全程导练（北师大版·新教材）

第二章一元二次方程 第3课时」 用公式法求解一元二次方程 [答案P9] 知识要点分类练单” (2)3x2+2x+1=0; 知识点刀一元二次方程的求根公式 1.（广东揭阳期中)用公式法解方程3x2-2x-1=0 时，正确代入求根公式的是 A.x=-(-2)±/-2)2-4x3×1 (3)3x(x-3)=2(x-1)(x+1). 2×3 B.x=-(-2)±(-2)2-4x3×(-1) C.x=-2±-2)-4x3×(-1) 2×3 餐知识点3一元二次方程根的判别式 D.x=-=(-2)±(-2)2-4x3×(-1) 7.(广州中考)关于x的方程x2-x+2+2=0根的 2×3 情况为 2.解一元二次方程ax2+bx+c=0,其中一个根为x A.有两个相等的实数根 --b士+4，则c等于 ( 2 B.有两个不相等的实数根 A.1 B.-1C.0 D.2 C.没有实数根 3.如果关于x的一元二次方程-2x2+px+q=0能用 D.只有一个实数根 公式法求解，那么必须满足的条件是 8.（遂宁中考)已知关于x的一元二次方程x2- 知识点2用公式法解一元二次方程 3x+m+1=0有实数根，则实数m的取值范围是 () 4利用求根公式求5+ =6x的根时，a,b,c的值 A.m<5 B.m≥ C.m>1 D.m≤ 5 分别是 ( A5,76 B.5,6,2 1 9.(上海中考)一元二次方程2x2+x+m=0没有实 数根，那么m的取值范围是 c5,-6 D5,-6,号 10.(河南郑州期中)已知关于x的一元二次方程 (m-2)x2-(m+2)x+4=0. 5.用公式法解方程x2-6x+1=0,所得的根正确的 (1)求证：方程总有两个实数根； 是 ( (2)如果m为正整数，且方程的两个根为不相等 A.x=-3±√10 B.x=3±√10 的正整数，求m的值. C.x=-3±22 D.x=3±22 6.用公式法解下列方程： (1)3y2+1=2√3y; 见此图标贸微信打码进人初中智慧学园自 31 全程导练·九年级数学·北师版·上册 能力提升综合练单” 素养探究创新练学： 11.若关于x的方程x2+bx+c=0的较小的根为m 18.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠ (m≠0)，则b+√62-4c的值为 0)有两个实数根x1,x2,且|x1-x2|=1,那么称 A.m B.-m C.2m D.-2m 这样的方程为“邻近根方程”，例如：一元二次方 12.(北京中考)若关于x的一元二次方程ax2+ 程x2-x=0的两个根是1=0，x2=1,10-11= 2x+1=0有两个相等的实数根，则实数a的值 1,则方程x2-x=0是“邻近根方程” 为 (1)判断方程2x2-63x+13=0是不是“邻近 A.-4B.-1C.1 D.4 根方程”； 13.若关于x的方程mx2-4x+3=0有实数根，则m (2)若关于x的方程3x2+(m-2)x-m-1=0 的取值范围是 是“邻近根方程”，求m的值. 14.已知m,n,3分别是等腰三角形三边的长，且m, n是关于x的一元二次方程x2-8x+21-k=0 的两个实数根，则k的值为 15.在平面直角坐标系中，若直线y=-x+m不经 过第一象限，则关于x的方程mx2+x+1=0的 实数根的个数为 16.用公式法解下列方程： (1)(2x+1)(2x-1)=2√2x; (2)3x2-(x+2)2+2x=0. 17.已知关于x的一元二次方程(x-1)(x-2k)+ k(k-1)=0. (1)求证：该一元二次方程总有两个不相等的实 数根； (2)若该方程的两个根x1,x2是一个矩形的一边 长和对角线的长，且矩形的另一边长为3，试 求k的值. 32 见此图标照微信打码进人初中智芯学国自自(2)(x+3)(x-1)=5, [(x+1)+2][(x+1)-2]=5, ∴(x+1)2-4=5, (x+1)2=9, ∴.x+1=3或x+1=-3. 解得x1=2,x2=-4. (3)(50-x)(40-2x)=702, ∴.(x-50)(x-20)=351, ∴[(x-35)-15][(x-35)+15]=351, .(x-35)2-152=351, (x-35)2=576, ,x-35=24或x-35=-24, 解得x1=59,x2=11. 第2课时用配方法解较复杂的一元二次方程 【知识要点分类练】 1.C2.B3.A 41=分53或7 1 6.解：(1)m1=1+ 2,-1、6 2 1 3 (2)=2为=-2 7.解：(1)等式两边都除以同一个不为0的数，所得的等式仍 然成立. (2)不正确，从第③步开始出现错误，正确的解答过程如下： 移项，得2x2-4x=p, 二次项系数化为1，得2-2x=号， 配方，得2-2x+1=号+1，即(x-1)2=分+1 p>0x-1=±√径+1， =1+g平=1-2 2 【能力提升综合练】 8.B9.1+6 2 10.2021 1.解：1)2+2x=3,2+x+(日=3+( (+-=-2 3 (2)3(x2+x-2)=x-7,3x2+2x=-1, 2+号=子2+子+（兮号+（兮 号<0原方程没有实数根 12.解：(1)方程(a-1)xa(3-a）+(2a+1)x+5=0是关于x 的一元二次方程， ∴.a-1≠0，且a(3-a)=2,.a≠1，a2-3a=-2, 2-3+是=-2+吴， 4 3121 3 即(a-2)=4a-2=±2， 参考答案及解析 解得a1=1(舍去)，a2=2, ∴.a的值为2. (2)由(1)知a=2,∴.方程为2+5x+5=0, 移项，得x2+5x=-5. 配方，得++空-5+空，即(+3广=子 两边开平方，得+号=±受， .5 “名s5+⑤ 微专题4利用配方法判断代数式的正负或求最值 1.A2.最大值-4 3.证明：原式=4x2-8x+4+5=4(x2-2x+1)+5=4(x- 1)2+5. 4(x-1)2≥0， .4(x-1)2+5≥5， .代数式4x2-8x+9的值恒为正数. 4.解：a2+b2-4a-2b+6=a2-4a+4+b2-2b+1+1=(a- 2)2+(b-1)2+1. (a-2)2≥0，(b-1)2≥0， .(a-2)2+(b-1)2+1的最小值为1， 即代数式a2+b2-4a-2b+6的最小值为1. 第3课时用公式法求解一元二次方程 【知识要点分类练】 1.D2.B3.p2+8g≥04.C5.D 6.解：(1)将方程化为一般形式，得3y2-2√3y+1=0. a=3,b=-25,c=1, .b2-4ac=(-25)2-4×3×1=0, y20,即%%9 6 (2),a=3,b=2,c=1, .b2-4ac=22-4×3×1=-8<0, ·.原方程没有实数根 (3)将方程化为一般形式，得x2-9x+2=0. a=1,b=-9,c=2, .b2-4ac=(-9)2-4×1×2=81-8=73, x=9±3 21 即x1=1 9+739-73 2 ,x2= 2 7.C8.D9.m>8 10.(1)证明：4=[-(m+2)]2-16(m-2) =m2-12m+36=(m-6)2≥0， ∴方程总有两个实数根 (2)解：解方程(m-2)x2-(m+2)x+4=0, 4 解得m-2=1 ·m为正整数，方程的两个根为不相等的正整数， ..m=3或m=4. 【能力提升综合练】 11.D12.C13.m≤3 4 ·9… 全程导练·九年级数学·北师版·上册 14.5或6[解析]①当m,n为腰时，m=n,m,n是关于x 的一元二次方程x2-8x+21-k=0的两个实数根，.方 程有两个相等的实数根，.4=（-8)2-4×1×(21-k) =0,解得k=5;②当m和3（或n和3）是腰时，m=3(或n =3),把x=3代入方程，得9-24+21-k=0,解得k=6. 综上可知，k=5或6. 15.1或2[解析]：直线y=-x+m不经过第一象限，∴.m ≤0，分情况求解如下：①当m=0时，关于x的方程mx2+ x+1=0是一元一次方程，只有一个实数根；②当m<0 时，关于x的方程mx2+x+1=0是一元二次方程，且△= 12-4m>0,.有两个不相等的实数根.综上所述，关于x 的方程mx2+x+1=0的实数根的个数为1或2. 1解：125：6 4 (2)x1=2,x2=-1. 17.(1)证明：(x-1)(x-2k)+k(k-1)=0, 整理，得x2-(2k+1)x+2+k=0. a=1,b=-(2k+1),c=2+k, 4=b2-4ac=[-(2k+1)]2-4×1×(2+k)=1>0, ·.该一元二次方程总有两个不相等的实数根 (2)解：x2-(2k+1)x+k2+k=0, 六x=-6±Y62-4ae_2h+1±1 2a 2 .x1=k,2=k+1 ①当x=k为对角线的长时，易知2=(k+1)2+32, 解得k=-5(不符合题意，舍去)； ②当x=k+1为对角线时，易知(k+1)2=2+32, 解得k=4.综上所述，k的值为4. 【素养探究创新练】 18.解：(1).a=2,b=-6√3，c=13, .b2-4ac=(-65)2-4×2×13=4>0, x=二(-6B)±4-65±2 2×2 4 33 2 1k-1=351.35-1=1, 2 2 ∴.方程2x2-63x+13=0是“邻近根方程” (2).'a=3,b=m-2,c=-m-1, ∴.b2-4ac=(m-2)2-4×3×(-m-1)=(m+4)2≥0， x=2-m±YCm+4)Z_2-m±(m+42 2×3 6 名=1，两2=-m+ 31 关于x的方程3x2+(m-2)x-m-1=0是“邻近根方程”， 1+=1,1+”1或1+m=-1, 解得m=-1或m=-7, .m的值为-1或-7. 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 【知识要点分类练】 1.C2.D3.x1=2,x2=-14.x=-2 5.解：(1)4=0=8、(2)=方=3 ·10- (3)出=3，=9.(4)=号出=-2 6.D 7.解：(1)x1=4,x2=-6.(2)x1=2,2=4 1 (3)x=-5,为=-3.（4)41=3，为=-2 【能力提升综合练】 8.D9.D 10解：(1)：a=1,6=-月e=子 2-4ac=(-5)2-4x1×(-4）=4, 即26 2 (2)去括号，得3x2=x2+10x+25-13. 整理，得x2-5x-6=0. 分解因式，得(x+1)(x-6)=0, 则x+1=0或x-6=0, 解得x1=-1,2=6. 【素养探究创新练】 11.解：(1)设x2=y,.原方程可整理为y2-4y-12=0, 移项、配方，得y2-4y+4=16,即(y-2)2=16, ∴.y-2=±4，解得少1=6，y2=-2. y=x2≥0，x2=6,x1=6,2=-6. (2)设m=2x2+2y2, ∴.原方程可化为(m+3)(m-5)=-7, 整理，得m2-2m-8=0, 配方，得(m-1)2=9, 解得m1=4,m2=-2, 2x2+2y2≥0，.m=4,.2x2+2y2=4,.x2+y2=2. 微专题5运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)x=-1=-2.(2)%=-子=3. 专题5一元二次方程的解法 5 5 1.解：(1)%1=2=-2 1 7 (2)×=12为=-12 2.解：(1)x1=2+W6,x2=2-6. 33T-1 (2)x=-1+3 3 3.解：(1)x1=2,x2=-1. 23+3 2 (3)x1=5+3,2=5-3. 4.解：(1)x1=-1,x2=2 1 (2)x=4=-2 3一元二次方程的根与系数的关系 【知识要点分类练】 1.A2.D3.A4.-2 5解：(1)-2(2)受 (3)6. 6.D[解析]方程x2-7x+5=0的两个实数根分别是a,