13.3 三角形的内角与外角 讲义 2026-2027学年人教版数学八年级上册

本初中数学讲义聚焦三角形内角与外角核心内容，以“内角和定理证明—直角三角形锐角关系—外角性质及和”为学习支架，系统构建从内角和180°证明（作平行线转化角），到直角三角形两锐角互余及逆定理，再到外角定义、性质（等于不相邻两内角和）与外角和360°的知识体系。 资料突出几何直观与推理能力培养，通过“观察—操作—猜想—证明”流程（如内角和定理作辅助线转化平角），搭配经典例题（角平分线求角、外角直接应用）与即时检测。课中助力教师落实推理教学，课后辅助学生通过规范步骤与易错提示查漏补缺，强化转化思想与符号表达。

人教版数学八年级上册（2025秋版）｜13.3 三角形的内角与外角 第13.3课《三角形的内角与外角》讲义 2026—2027学年｜新授课讲义｜建议课时：3课时 内容结构　第1课时证明三角形内角和定理；第2课时研究直角三角形的两个锐角；第3课时研究三角形外角及外角和。 一、学习目标与素养指向 1. 经历观察、操作、猜想和证明的过程，掌握三角形内角和定理。 1. 掌握直角三角形两个锐角互余及其逆向结论，并能进行简单推理和计算。 1. 理解三角形外角的概念，掌握外角性质和三角形外角和。 素养指向　几何直观、推理能力、转化思想、符号表达和应用意识。 二、第1课时：三角形的内角 测量、剪拼和折叠可以帮助我们形成猜想：三角形三个内角的和等于180°。但测量存在误差，剪拼依赖操作精度，因此还需要证明。 三角形内角和定理　三角形三个内角的和等于180°。在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°。 图1　过顶点A作直线l∥BC，把三个内角转化到一个平角上 证明示范 已知：△ABC。 求证：∠A+∠B+∠C=180°。 证明：过点A作直线l∥BC。由两直线平行，内错角相等，得∠1=∠B，∠2=∠C。因为∠1、∠A、∠2组成一个平角，所以∠1+∠A+∠2=180°。因此∠A+∠B+∠C=180°。 方法提炼　辅助线的作用是“转化”：把分散在三个顶点处的角转化到同一点，借助平行线的性质和平角完成证明。 三、第2课时：直角三角形的两个锐角 性质 直角三角形的两个锐角互余。符号语言：在Rt△ABC中，若∠C=90°，则∠A+∠B=90°。 逆向结论 有两个角互余的三角形是直角三角形。若∠A+∠B=90°，则∠C=90°。 依据 两条结论都直接由三角形内角和定理得到。 四、第3课时：三角形的外角 图2　∠ACD是△ABC在顶点C处的一个外角 规范定义　三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。 相邻关系 一个外角与它相邻的内角互补。图中∠ACD+∠ACB=180°。 外角性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。图中∠ACD=∠A+∠B。 大小关系 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 外角和 在三角形的每个顶点各取一个外角，并且取法方向一致，这三个外角的和等于360°。 外角性质的推导：由∠ACD+∠ACB=180°，又由∠A+∠B+∠ACB=180°，可得∠ACD=∠A+∠B。 严谨表述　三角形每个顶点处可以画出两个相等的外角。说“外角和为360°”时，指每个顶点各取一个外角，并保持取法方向一致。 五、重点与高频考点 ★ 重点1 掌握内角和定理的证明思路：作平行线，把三个角转化为平角。 ★ 高频1 利用∠A+∠B+∠C=180°求角或列方程，注意角度必须为正。 ★ 高频2 优先识别外角：一个外角可以直接等于两个不相邻内角之和，常比先求相邻内角更简洁。 ★ 高频3 直角三角形中，已知一个锐角可直接用90°减去它求另一个锐角。 ★ 易错 外角不是“任意两个内角之和”，而是与它不相邻的两个内角之和；也不是大于三角形的每一个内角。 经典例题｜角平分线与内角和 题目　在△ABC中，∠A=48°，∠B=72°，CD平分∠ACB。求∠ACD的度数。 分析　先用三角形内角和求∠C，再利用角平分线的定义。 解　∠ACB=180°-48°-72°=60°。因为CD平分∠ACB，所以∠ACD=30°。 经典例题｜外角的直接应用 题目　△ABC的一边BC延长到点D，∠ACD=125°，∠A=47°。求∠B。 分析　∠ACD是△ABC的外角，等于与它不相邻的∠A和∠B之和。 解　由∠ACD=∠A+∠B，得∠B=125°-47°=78°。 课堂效果检测（3—5分钟） 1. △ABC中，∠A=35°，∠B=65°，则∠C=________。 1. 一个直角三角形的一个锐角是28°，另一个锐角是________。 1. 若一个三角形的两个角之和为90°，则这个三角形是________三角形。 1. △ABC中，∠ACD是顶点C处的外角，∠A=40°，∠B=55°，则∠ACD=________。 1. 三角形每个顶点各取一个同方向的外角，这三个外角的和是________。 检测答案　1. 80°；2. 62°；3. 直角；4. 95°；5. 360°。 本课小结 三角形内角和定理把三个角联系起来，是本章角度计算和推理的核心。 直角三角形两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形。 外角等于与它不相邻的两个内角之和；同方向选取的三个外角之和为360°。 编写依据与使用说明 依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》及人教版义务教育教科书《数学》八年级上册（2025秋版）第十三章的内容范围编写。讲义用于课堂学习、活动记录与即时评价；概念、定理和推论均采用本学段规范性表达，不替代教材。 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $