第15章 轴对称【构造等边三角形解题】专项训练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦等边三角形性质应用，通过“性质-转移-全等”方法体系实现几何条件转化，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等边三角形综合应用|7题（含证明与计算）|平行线性质转移角度、等边三角形性质转移边/角辅助全等|以等边三角形性质（三边/三角相等）为核心，通过作平行线等辅助线实现边角条件转移，构建全等三角形解决线段关系问题，形成“性质应用-条件转化-逻辑推理”的完整链条|

出现30°或60°构造等边 如若已知条件涉及到角或角，构造等边三角形，转移角，转移边，这样会给解题带来方便． 常见图形如下： 已知角（或）构造等边实际上也是． 1. 如图，中， ，，． （ 1 ）求证： ． （ 2 ）作 关于 的轴对称图形 ，连接 ， ， ，请补全图形，并直接写出 的度数为 ． 2. 中， ，为内一点， ， ，求 的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 3. 在中， ，为形内一点， ， ，求的度数． 4. 在中， ，为三角形内一点，，求的度数． 5. 如图，，，，若，则 ． 6. 在中，平分．（） （ 1 ）如图，当点在边上时，若，，请直接写出，和之间的数量关系． 图 （ 2 ）如图，当点在内部，且时． 图 1 若 路． ，直接写出 ，和之间的数量关系，并写出结论成立的思 2 若示） ， ，请直接写出的度数．（用含的式子表 $ 出现30°或60°构造等边 如若已知条件涉及到角或角，构造等边三角形，转移角，转移边，这样会给解题带来方便． 常见图形如下： 已知角（或）构造等边实际上也是． 1. 如图，中， ，，． （ 1 ）求证： ． （ 2 ）作 关于 的轴对称图形 ，连接 ， ， ，请补全图形，并直接写出 的度数为 ． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）以 为边作等边三角形 ，连接 ． 在 和 中， ，∴ ≌ ． ∴ ．∴ ，∴ ． 又∵ ， ，∴ ． ∵ ，∴ ，∴ ． ∵ ， ，∴ ．在 和 中， ，∴ ≌ ． ∴ ， ，∴ ． （ 2 ）在 和 中， ，∴ ≌ ． ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】SAS 【知识点】全等三角形的性质 2. 中， ，为内一点， ， ，求 的度数． ． 以 连 ， ， 的角平分线为对称轴做对称，点 ， 对称到点 由题意， 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 为正三角形 ， ≌ ． 故答案为： ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 3. 在 中， ，为 形内一点， ， ， 求 的度数． ． 如图，设点 为点 关于 的对称点，连 、 、 、 ， 由 可知则 由 ， ， 为正三角形， ， ， 知， 由 可知有 由 故 故答案为： ， ， 为正三角形， ，可知点 ， 与点 关于 对称， ， ． 【知识点】等边三角形的构造 4. 在中， ，为三角形内一点，，求的度数．． 则 ， ∴易证： ≌ ， ∴ ， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 5. 如图，，，，若，则 ．延长 到 ，使 是正三角形，连接 ． ∵ ， 以 为边在 下方构造等边 ，连 、 ， 【知识点】等边三角形的构造 ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ， ∴ ， ∴ ． 6. 在中，平分．（）【知识点】等边三角形的构造 （ 1 ）如图，当点在边上时，若，，请直接写出，和之间的数量关系． 图 （ 2 ）如图，当点在内部，且时． 图 若，直接写出，和之间的数量关系，并写出结论成立的思路． 若，，请直接写出的度数．（用含的式子表示）1 2 （ 1 ） （ 2 ）1 2 ． ． ． （ 1 ） ． （ 2 ）1 延长 ∵ ∴ 到点 平分 ，使 ， ，连接 ， ， ， ∵ ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ． 2 ．理由如下： 同①，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ∵ ， ， ∴ ．∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形． ∵ ， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】截长补短 $ ①该模型运用了平行线的性质，转移了角度条件 ②利用等边三角形特有的性质：三边相等、三个角相等，转移边、转移角，辅助与全等 1. 如图，过边长为 的等边 的边上一点，作 于点，为 延长线上一点，当 时，连交 边于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 不能确定 2. 如图，过边长为的等边 的边 上一点，作 于，为 线上一点，当 时，连接 交边 于点 ，则的长为（ ）． A. B. C. D. 不能确定 3. 如图，在 中， ， ，点 为 中点，点 为 边上一动点， ，延长 交 的延长线于点． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求证：是等边三角形． （ 2 ）若，求的长． 4. 如图，在等边中，是上一点，是延长线上一点，，交于点． （ 1 ）求证：． （ 2 ）过点作于点，求 ． 5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目．由． ，如图．试确定线段 与 的大小关系，并说明理 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且 在等边三角形 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （ 1 ）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图①，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”，“ ”或“”）． 图 （ 2 ）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是：（填“”，“ ”或“”）．理由如下：如图②，过点作 ，交于点，（请你完成以下解答过程）． 图 （ 3 ）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）． 6. 已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，，点在直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． （ 1 ）如图，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． （ 2 ）如图，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． 7. 在等边三角形 中，为直线 上一点，连接 ，与直线 交于点， ． （ 1 ）如图 ， ，点是 的中点，求 的长． （ 2 ）点是边上任意一点（不与边的中点和端点重合），依题意，将图补全，判断与 的数量关系并证明． （ 3 ）点不在线段上，请在图中画出符合条件的一个图形，并直接写出与的数量关系． $ ①该模型运用了平行线的性质，转移了角度条件 ②利用等边三角形特有的性质：三边相等、三个角相等，转移边、转移角，辅助与全等 1. 如图，过边长为 的等边 的边上一点，作 于点 ， 为 延长线上一点，当 时，连交 边于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 不能确定 B ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵在 过 作 ， 交 于 ． 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ．和 ， 中， 10 学科网（北京）股份有限公司 ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ≌ ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】AAS 【知识点】全等三角形的对应边与角 【能力】推理论证能力 2. 如图，过边长为的等边的边上一点，作于，为线上一点，当 时，连接交边于点，则的长为（ ）． A. B. C. D. 不能确定 B 过 作 交 于 ， 故答案为 ． ， ， ， ， ， ， ， ≌ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ， 中 和 ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在 ， ， 是等边三角形， ， ， ， ∵ ∴ 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】AAS 3. 如图，在 中， ， ，点为 中点，点为 边上一动点， ，延长 交 的延长线于点 ． （ 1 ）求证：是等边三角形． （ 2 ）若，求的长． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ， ∴ ， ∴ ， 在 中， ∵ ， ∴ ， ∴ 为等边三角形． （ 2 ）过 点作 交 于 ， ∴ ， ∵ 为 的中点， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ． 【知识点】ASA 4. 如图，在等边中，是上一点，是延长线上一点，，交于点． （ 1 ）求证： ． （ 2 ）过点作 于点 ，求 ． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）作 交 于点 ，则 ． ∴ ∴ ∴在 为等边三角形， ， 和 中， ， ∴ ∴ （ 2 ）由（ ）知， ∵ ∴ ∴ ≌ （ ）， ． ， ． ， ， ． 【知识点】等边三角形与全等 5. 数学课上，李老师出示了如下框中的题目． 由． ，如图．试确定线段 与 的大小关系，并说明理 中，点 在 上，点 在 的延长线上，且 在等边三角形 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （ 1 ）特殊情况，探索结论 当点为的中点时，如图①，确定线段与的大小关系．请你直接写出结论： （填“”，“ ”或“”）． 图 （ 2 ）特例启发，解答题目 解：题目中，与的大小关系是：（填“”，“ ”或“”）．理由如下：如图②，过点作，交于点，（请你完成以下解答过程）． 图 （ 3 ）拓展结论，设计新题 在等边三角形中，点在直线上，点在直线上，且．若的边长为，，求的长（请你直接写出结果）． （ 1 ） （ 2 ） ． （ 3 ） 的长是 或 ． （ 1 ） （ 2 ）在等边 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ ． 中， ， ， ， ， ， ，即 ， ， ， ， ， ， ∴ ∴ ∴ ≌ ， （ 3 ） ， ． 的长是 或 ． 【知识点】等边三角形与全等 6. 已知直线，相交于点，点，分别为直线，上的点，，，点在直线上的一个动点，点是直线上的一个动点，运动过程中始终满足． （ 1 ）如图，当点运动到线段的中点，点在线段的延长线上时，求的长． （ 2 ）如图，当点在线段上运动，点在线段的延长线上时，试确定线段与的数量关系，并说明理由． （ 1 ） ． （ 2 ） ． （ 1 ）∵ ， ， ∴ ∴ ∵点 ∴ ∵ ∴ 是 为等边三角形， ， 的中点， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ， ， ． （ 2 ） 过点 ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ 作 ，理由如下： 交 ， 于点 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ≌ ， （ ） ， ， ． 【知识点】全等三角形的对应边与角 7. 在等边三角形中，为直线上一点，连接，与直线交于点，． （ 1 ）如图，，点是的中点，求的长． （ 2 ）点是边上任意一点（不与边的中点和端点重合），依题意，将图补全，判断与 的数量关系并证明． （ 3 ）点不在线段上，请在图中画出符合条件的一个图形，并直接写出与的数量关系． （ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ． ． ． （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 是等边三角形，点 ， 是 的中点， ， ， ， ， ． （ 2 ） ，理由如下： 如图，过点 则 作 ，交 于 ， ， ， ， ∵ ， ∴ ， ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， , ∵ , ∴ ， 在 和 中， ， （ 3 ） ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． ，理由如下： 过 作 ， ∵ 为等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ 为等腰三角形， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】等边三角形与全等 $ 利用截长补短构造等边 如若已知条件涉及到角或角，构造等边三角形，转移角，转移边，这样会给解题带来方便． 常见图形如下： 已知角（或）构造等边实际上也是． 1. 如图，，，，若，则 ． 2. 是等边三角形， 是三角形一动点，满足 ． （ 1 ）如图，当点在 的垂直平分线上时，求证： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 2 ）如图，当点不在的垂直平分线上时，（ ）中的结论是否仍然成立？ 3. 如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接、 、，其中、分别交射线于点、． （ 1 ）依题意补全图形． （ 2 ）若，求的大小（用含的式子表示）． （ 3 ）用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． 4. 是等边三角形，，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点，连接 ，作交射线于点 （ 1 ）若点在线段上（不与点，点重合）． 如图，若点是线段的中点，则的长为 ． 图 1 如图，点是线段上任意一点，求证：．图 2 （ 2 ）若点在线段的延长线上． 图 依题意补全图．1 直接写出线段，，之间的数量关系为： ．2 5. 在中，平分．（） （ 1 ）如图，当点在边上时，若，，请直接写出，和之间的数量关系． 图 （ 2 ）如图，当点在内部，且时． 图 1 若 路． ，直接写出 ， 和之间的数量关系，并写出结论成立的思 2 若示） ， ，请直接写出的度数．（用含的式子表 $ 利用截长补短构造等边 如若已知条件涉及到角或角，构造等边三角形，转移角，转移边，这样会给解题带来方便． 常见图形如下： 已知角（或）构造等边实际上也是． 1. 如图，，，，若，则 ．延长 到 ，使 是正三角形，连接 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 ∵ ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， ， ， ． 【知识点】等边三角形的构造 2. 是等边三角形，是三角形一动点，满足． （ 1 ）如图，当点在的垂直平分线上时，求证：． （ 2 ）如图，当点不在的垂直平分线上时，（ ）中的结论是否仍然成立？ （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）成立． （ 1 ）∵ 点在 的垂直平分线上， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 2 ）成立． 理由：在 上截取 ， ∵ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ． 【知识点】等边三角形与全等 3. 如图， 是等边 的外角 内部的一条射线，点 关于 的对称点为，连接 、 、 ，其中 、 分别交射线 于点、． （ 1 ）依题意补全图形． （ 2 ）若，求的大小（用含的式子表示）． （ 3 ）用等式表示线段、与之间的数量关系，并证明． （ 1 ）画图见解析． （ 2 ） ． （ 3 ）结论： ，证明见解析． （ 1 ）如图所示： （ 2 ）∵点 与点 关于 的对称， ∴ 是 的垂直平分线， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵等边 ， ∴ ， ． ． ∴ ． （ 3 ）结论： ． 本题解法不唯一，如： 在 上截取 使 ，连接． ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴在 ． ． ， 是等边三角形． ． ． 和 中， ． ∴ ∴ ∴ ≌ ． ． ． 【知识点】作轴对称变换 【知识点】轴对称的性质 【知识点】AAS 【知识点】30°特殊角的性质应用 【知识点】等边三角形的性质 【知识点】三角形内角和的应用 4. 是等边三角形，，点关于对称的点为，点是直线上的一个动点，连接 ，作交射线于点 （ 1 ）若点在线段上（不与点，点重合）． 如图，若点是线段的中点，则的长为 ． 图 1 2 如图，点是线段上任意一点，求证：． 图 （ 2 ）若点在线段的延长线上． 图 依题意补全图．1 直接写出线段，，之间的数量关系为： ．2 （ 1 ）1 2 （ 2 ）1 2 证明见解析．画图见解析． （ 1 ）1 ∵ 是关于 对称的点且 为等边三角形， ∴ ， 又∵ 为 中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2 作 交 于点 ，如图， ∵ 是等边三角形， ∴ ， ∵点 与点 关于 对称， ∴ ， ∴ ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和中， ， ∴ ∴ ≌ （ ）， ． （ 2 ）1 补全图形如图所示： 2 ， 如图，连接 ， 由（ ）中可知 ，且 ， ∴ 是等边三角形， ∴ ， 又∵ ， ， ， ∴ ∴ 又∵ ∴ ≌ ， ， ， ． 【知识点】等边三角形与全等 5. 在中，平分．（） （ 1 ）如图，当点在边上时，若，，请直接写出，和之间的数量关系． 图 （ 2 ）如图，当点在内部，且时． 图 若，直接写出，和之间的数量关系，并写出结论成立的思路． 若，，请直接写出的度数．（用含的式子表示）1 2 （ 1 ） ． （ 2 ）1 ． 2 ． （ 1 ） ． （ 2 ）1 2 延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形， ∵ ， ∴ ， ∴ 垂直平分 ， ∴ ， ∴ ． ．理由如下： 同①，延长 到点 ，使 ，连接 ， ， ∵ ， ， ∴ ． ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ∴ ， ∴ 为等边三角形． ∵ ， ∴ ， ∴ 垂直平分， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ， 【知识点】截长补短 $