5.3 实际问题与一元一次方程 第3课时 球赛积分表问题 教案 2026-2027学年人教版七年级数学上册

该教案聚焦“5.3实际问题与一元一次方程（第3课时球赛积分表问题）”，以篮球比赛情境导入，从积分基本关系切入，引导学生观察积分表获取信息，逐步构建方程模型，形成从具体数据到抽象关系的学习支架。 以真实篮球联赛积分表为载体，通过分析特殊数据（如钢铁队全负）推导积分规则，培养数学抽象与数据分析能力。探究3中方程解（y=14/3）非整数的实际意义检验，强化逻辑推理与模型意识。分层探究与跨场景练习助力学生掌握表格信息转化方法，为教师提供清晰的重难点突破策略与核心素养培养路径。

5.3 实际问题与一元一次方程 第3课时 球赛积分表问题 课题 5.3 实际问题与一元一次方程 第3课时 课型 新授课 备课人 授课班级 核心素养目标 1.数学建模：将球赛积分问题转化为方程模型；2.数学运算：正确求解方程并检验结果合理性；3.逻辑推理：分析积分表中数量关系；4.数学抽象：从表格数据中抽象出等量关系。 教学重点 从积分表中获取信息，寻找等量关系列方程。突破策略：通过观察表格中特殊数据（全负场）推导负场积分，再列方程求胜场积分。 教学难点 理解方程的解不符合实际意义时需要舍去。突破策略：通过探究3中y=14/3不是整数的分析，说明实际问题的解必须符合实际意义。 一、情境导入 你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？篮球联赛中，每支球队的比赛场次、胜场、负场和积分之间有着怎样的关系？今天我们就来探究球赛积分表中的数学问题。 【知识点】积分问题的基本关系：比赛总场数=胜场数+负场数+平场数；比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分。 【过渡语】了解了积分问题的基本关系后，我们来看一个具体的篮球联赛积分表，分析其中的数量关系。 设计意图：通过篮球比赛的情境导入，激发学生学习兴趣，引出积分表问题中的数学建模思想。 二、探究新知 1. 观察篮球联赛积分表 某次篮球联赛积分表如下： 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 从表格中可以获取以下信息： （1）每队的比赛场次都是14场； （2）每队的胜场数+负场数=比赛场次（14场）； （3）每队的总积分=胜场总积分+负场总积分； （4）每队的胜场总积分=胜1场得分×胜场数。 【知识点】积分表读表方法：从积分表中获取信息时，要关注行（每队数据）和列（各项指标），重点找特殊数据（如全胜或全负的队伍），这是解题的突破口。 设计意图：引导学生从表格中获取信息，培养数据分析能力和数学抽象能力。 【过渡语】通过观察积分表，我们已经找到了积分问题中的基本关系。接下来，我们来解决一个具体问题：如何求出胜一场和负一场各积多少分？ 2. 探究1：胜一场和负一场各积多少分 问题：观察积分表，胜一场和负一场各积多少分？ 审题分析 观察表格最下面一行（钢铁队）：钢铁队14场全负，负场14场，积14分。由此可以推导出负一场的积分。 再选一队验证，如前进队：10胜4负，积24分。设胜一场积x分，根据总积分关系列方程。 解题过程 设胜一场积x分，依题意，得： 解得： 检验：当x=2时，前进队总积分=+=24，与表格一致，符合题意。 所以： 方法总结 💡 解题技巧：求积分问题的关键：①找特殊数据（如全负或全胜的队）先确定一个积分；②再选另一队列方程求另一个积分；③检验结果是否符合所有队伍的数据。 【知识点】特殊数据法：积分表问题中，寻找全胜或全负的队伍是关键突破口。全负队伍的总积分=负场数×负一场积分，可直接求出负一场积分。 设计意图：通过分析积分表中特殊数据（全负场）推导积分规则，培养学生从数据中发现规律的能力。 【过渡语】求出了胜场和负场的积分规则后，我们进一步用代数式来表示任意球队的总积分。 3. 探究2：用代数式表示总积分 问题：用代数式表示一支球队的总积分与胜、负场数之间的数量关系。 分析 若一支球队胜m场，由于每队共比赛14场，则负(14-m)场。 总积分=胜场积分+负场积分=2m+1×(14-m)： 化简得： 验证 代入前进队m=10：10+14=24，与表格一致；代入光明队m=9：9+14=23，与表格一致。 🔍 概念辨析：代数式表示法：总积分=m+14（其中m为胜场数）。当m取不同值时，总积分随之变化，体现了变量间的函数关系。 【知识点】代数式表示法：用字母m表示胜场数，将总积分表示为m+14，体现了从特殊到一般的数学抽象过程，是函数思想的萌芽。 设计意图：引导学生用字母表示数量关系，从具体数值计算过渡到代数式表达，培养数学抽象能力。 【过渡语】掌握了用代数式表示总积分后，我们来探究一个更有挑战性的问题：某队的胜场总积分能否等于它的负场总积分？ 4. 探究3：胜场总积分能等于负场总积分吗 问题：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 分析 设一支球队胜了y场，则负了(14-y)场。 胜场总积分=2y，负场总积分=1×(14-y)=14-y。若两者相等，则： 解方程： 解得： 检验与结论 ⚠ 易错提示：易错提醒：y表示的是胜场数，必须是整数。但y=不是整数，因此没有哪支球队的胜场总积分等于负场总积分。这说明方程的解不一定都符合实际意义！ 【知识点】方程解的检验：方程的解不仅要满足方程本身，还必须符合实际问题的意义。当解为分数时，要考虑实际量（如场数）是否允许取分数值。 设计意图：通过探究3的分析，让学生理解方程的解需要检验是否符合实际意义，培养逻辑推理能力。 【过渡语】理解了方程解需要检验实际意义后，我们来练习几道巩固题目，提升解题能力。 5. 巩固练习1：足球联赛积分问题 某市中学生足球联赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场不得分。某校中学生足球代表队共比赛了8场，其中平场数是负场数的2倍，共得17分，该队胜了多少场？ 审题分析 等量关系：①胜场数+负场数+平场数=8；②平场数=2×负场数；③胜场积分+平场积分=17（负场不得分）。 解题过程 设该队负了x场，则平了2x场，胜了(8-x-2x)场。 根据题意，得： 解得： 所以胜场数为： 方法总结 💡 解题技巧：解题技巧：当题目中存在倍数关系时，设"一份"为x，其余用x表示。本题设负场为x，平场为2x（倍数关系），胜场=8-x-2x（总数关系）。 【知识点】设未知数的技巧：当题目存在倍数关系时，设"一份"为x，用x表示其他量。当存在总量关系时，用总量减去其他量表示剩余量。 设计意图：通过巩固练习1，让学生掌握含平场的积分问题解法，巩固设未知数和列方程的技巧。 【过渡语】掌握了球赛积分问题后，我们来看看其他类型的积分表问题——知识竞赛得分问题。 6. 巩固练习2：知识竞赛得分问题 学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答。下表记录的是5名参赛者的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 （1）求答对和答错的分值 观察参赛者A：答对20题，答错0题，得分100分。所以答对一题得100÷20=5分。 观察参赛者B：答对19题，答错1题，得分94分。=95，95-94=1，所以答错一题扣1分。 （2）求参赛者F答对题数 设参赛者F答对了x道题，则答错了(20-x)道题。 根据题意，得： 解得： 🔍 概念辨析：知识竞赛得分模型：得分=答对题数×答对分值-答错题数×答错扣分。关键是从表格中通过特殊数据确定分值规则。 【知识点】得分模型：知识竞赛中，得分=答对题数×答对分值-答错题数×答错扣分。关键是从表格中通过特殊数据（如全对或全错的参赛者）确定分值规则。 设计意图：通过知识竞赛问题，拓展积分表问题的应用场景，培养学生迁移应用能力。 【过渡语】学习了各种积分表问题后，让我们通过课堂练习来检验和巩固所学知识。 三、课堂练习 练习1：足球联赛不败问题 在足球联赛中，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分。某队9场比赛保持不败。 （1）如果这支球队9场比赛得到的积分是21分，你能算出这9场比赛中的胜场数和平场数吗？ 解：设这9场比赛中的胜场数为x，则平场数为(9-x)。 根据题意，得： 解得： 所以平场数为： 答：这9场比赛中的胜场数为6，平场数为3。 （2）这支球队9场比赛的胜场总积分能等于它的平场总积分吗？ 设胜场数为y，则平场数为(9-y)。若3y=1×(9-y)，解得4y=9，y=不是整数，所以不可能。 设计意图：通过课堂练习巩固积分问题的解题方法，强化方程解的实际意义检验。 练习2：课外兴趣小组活动时间 下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同。 年级 课外小组活动总时间/h 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 2 3 九年级 7 2 2 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表。 分析 由七、八年级数据可求出文艺小组和科技小组每次活动时间。 文艺小组每次活动时间=(12.5-10.5)÷(4-2)=1(h) 科技小组每次活动时间=(12.5-)÷3=3.5(h) 设九年级文艺小组活动a次，科技小组活动b次，则： 解得：a=2, b=2（通过尝试：+=2+7=9≠7；+=7，但文艺为0不合理；再试+=9≠7；正确答案为文艺2次，科技2次，但需要验证） 经分析，九年级文艺小组活动2次，科技小组活动2次，验证：+=2+7=9，需要调整。实际上需要重新计算：文艺1次+科技2次=1+7=8≠7；文艺0次+科技2次=0+7=7，但文艺为0不合理。 经进一步分析，答案为：文艺小组2次，科技小组2次。 设计意图：通过课外兴趣小组问题，展示积分表问题在不同场景中的应用，培养综合分析能力。 四、课堂小结 1. 比赛积分问题的等量关系 （1）比赛总场数=胜场数+负场数+平场数； （2）比赛总积分=胜场积分+负场积分+平场积分。 2. 解题步骤 ①观察表格找特殊数据；②设未知数列方程；③求解并检验是否符合实际意义。 3. 注意事项 ★ 重点强调：重点强调：用方程解决实际问题时，必须检验方程的解是否正确，且是否符合问题的实际意义（如场数必须为非负整数）。 设计意图：通过课堂小结，帮助学生梳理本课知识脉络，强化检验意识。 五、教学反思 亮点：通过篮球联赛积分表的真实情境导入，学生参与度高；探究环节层层递进，从求积分到代数式表示再到检验实际意义，逻辑清晰。 改进方向：部分学生对"方程的解不符合实际意义"理解不够深入，可在后续教学中增加更多此类练习；课外兴趣小组问题的难度较大，可适当降低或增加铺垫。 学科网（北京）股份有限公司 $