精品解析：湖南省长沙市长郡中学2025-2026学年高一上学期综合能力检测（入学考试）数学试卷

2025 级高一综合能力检测试卷 数学 时量:90分钟 满分:120分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.) 1. “致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、标志等作品的设计上.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可. 【详解】观察可知，只有A对应的图案是轴对称图形. 故选：A 2. 下列命题错误的个数有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂径定理、圆周角性质、确定圆的条件、反比例函数图象性质、三角形的内心性质和外心定义逐一分析即可得出结果. 【详解】因为平分弦(弦不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧 ，所以①错误； 因为在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所以②正确； 因为经过不在同一直线上的三点可以确定一个圆，所以③错误； 因为，所以反比例函数的图象在一、三象限， 当时，，当时，，，与y随x 的增大而减小矛盾，所以④错误； 因为三角形的内心到三角形三条边距离相等，三角形三边的垂直平分线的交点叫做外心，所以 ⑤正确. 综上，①③④错误. 故选：C. 3. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45 座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每位学生和老师都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】B 【解析】 【分析】设租用45 座客车辆、租用60座客车辆，再列出方程并求出正整数解的个数即可. 【详解】设租用45 座客车辆、租用60座客车辆，都是正整数， 则，即，因此， 由都是正整数，得是小于20的4的正整数倍， 则有或或或， 所以租车方案有4种. 故选：B 4. 两个二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用排除法，根据抛物线对称轴和抛物线与轴的交点坐标进行判断. 【详解】由二次函数与知， 这两个抛物线与轴的交点坐标相同，故排除选项C， 这两个抛物线的对称轴分别为和，对称轴的符号相同， 即这两条对称轴在轴的同侧，故排除选项A和B. 故选：D 5. 如图，反比例函数图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ） A. -12 B. -9 C. -6 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数中的几何意义及图形面积的割补法求解. 【详解】反向延长交于点，设，则， ∵轴，轴，∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵反比例函数的图象经过两点，∴， ，， 则 ，解得. 故选：. 6. 如图，为半圆上的一条弦，将沿着弦对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称的性质，结合圆的切线的性质，构造直角三角形，利用勾股定理列式求值即可. 【详解】如图： 设为点关于直线的对称点，连接交于. 不妨设，，则，， 因为，为中点，所以. 在直角中，. 又，关于对称，所以. 又与直线相切，所以. 在直角中，， 所以. 又，所以. 所以，. 所以. 故选：C 二、填空题(本题共6小题，每小题6分，共36分.) 7. 分解因式：_______. 【答案】 【解析】 分析】利用提取公因式法结合完全平方公式以及平方差公式即可求得答案. 【详解】 , 故答案为： 8. 已知，则锐角的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值和余弦的单调性求解即可. 【详解】因为角是锐角，且， 所以由余弦函数的单调性可得， 故答案为： 9. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先列出m、n的所有可能的值，进而得到不经过第四象限的概率． 【详解】二次函数的图象不经过第四象限， 则对称轴且或顶点纵坐标， 即或， 由题意，两次摸球的数字组合可能有： ，共9种， 其中符合条件的组合有，共5种， 所以二次函数的图象不经过第四象限的概率为. 故答案为：. 10. 对于定义了一种新运算，规定.若关于的不等式组恰好有 3个整数解，则实数的取值范围是__________ . 【答案】 【解析】 【分析】根据题中定义将不等式转化为，解不等式组，再由不等式组恰好有 3个整数解得，解不等式组即可求解. 【详解】由题意，将不等式组转化为， 解得且，则不等式组的 3个整数解为，所以， 解得，所以实数的取值范围是. 故答案为：. 11. 我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数，令表示不超过的最大整数，例如，，，令 那么_______. 【答案】2007 【解析】 【分析】采用分离常数的方法，将化成的形式，再探究随着的变化，的值的变化情况，即可求解. 【详解】因为， 当时，，所以； 当时，，所以； 当时，，所以，所以. 所以. 故答案为：2007 12. 已知函数现有下列五个结论：①图象过点 ；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段；④若 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)在图象上，且 则 ；⑤若在图象上， 且 则 其中正确的结论有________.(填写序号) 【答案】①②③⑤ 【解析】 【分析】通过代入点的坐标和解析式的特点可判断①②③，利用特例可判断④，利用换元法结合变量间关系可判断⑤. 【详解】对于①，当时，，即图象过点；①正确， 对于②，，当且仅当时，取到最小值，所以图象的最低点坐标为；②正确， 对于③，由于，所以图象分为两段，无限趋近于0时，无限趋近于，所以图象无最高点；③正确， 对于④，当时，，④不正确； 对于⑤，因为，所以，令，则， 且，，⑤正确. 故答案为：①②③⑤ 三、解答题(本题共5 小题，14、15 小题每小题9分，其余每小题12 分，共54分.) 13. （1）计算: ； （2）先化简，再求值:其中. 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】（1）根据绝对值含义以及幂的运算，化简求值，即得答案； （2）结合分式运算先化简，再代入求值，即得答案. 【详解】（1） ； （2） ， 当时，，即. 14. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客15人；用型客车载客600人与用型客车载客450人的车辆数相同. 材料二 型客车租车费用为 3200 元/辆；型客车租车费用为 3000元/辆.优惠方案：租用型客车辆，租车费用元/辆；租用型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用两种型号客车共10辆. （1）两种型号的客车每辆载客量分别是多少? （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 【答案】（1）型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人. （2）本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 【解析】 【分析】（1）设型号的客车每辆载客量是人，根据题意列出方程，即可求解； （2）设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆，租车费用是元， 根据材料三先求出的取值范围，再列出关于的函数关系式，结合二次函数的性质，即可求解. 【小问1详解】 由已知设型号的客车每辆载客量是人，则型号的客车每辆载客量是人. 根据题意有，解得， 经检验，是方程的解，且符合题意， 所以（人）. 答：型号的客车每辆载客量是60人，型号的客车每辆载客量是45人. 【小问2详解】 设租用型号的客车辆，则租用型号的客车辆. 根据题意有，解得. 设本次研学活动学校的租车费用是元. 则有 因为抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 所以当时，随着的增大而增大， 又因为取正整数，且， 所以当时，取得最小值， 且最小值为（元）. 答：本次研学活动学校的最少租车费用是27000元. 15. 已知方程 (k为常数). （1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实根为 ，求 的最小值. 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式的符号判断一元二次方程根的情况. （2）利用韦达定理，结合，可求的最小值. 【小问1详解】 因 . 所以方程恒有两个不相等的实数根. 【小问2详解】 设该方程的两个实根为 ， 则，， 所以. 所以的最小值为1，当且仅当时取等号. 16. 如图1，已知内接于⊙O，，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC 的延长线于点M，连接CD. （1）求证:； （2）若，求CD的长； （3）如图2，连接BD分别交线段AF和线段AC于点G和点H，若且，请用含n的值表示的值. 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质及圆内接四边形性质推理得证. （2）利用等腰三角形及圆的对称性可得，再利用勾股定理及相似三角形性质求出. （3）连接，过点作于，利用等腰三角形及圆的性质可得平分，平分，再借助三角形面积公式导出比例式，进而求出目标值. 【小问1详解】 在中，由，得， 由四边形内接于⊙O，得， 而，则，所以. 【小问2详解】 在中，，又是外接圆的直径，则，， 由，得，，， 由勾股定理得：， 由，得，又， 因此，， 即， 所以. 【小问3详解】 连接，过点作于，设， 由，得，， 则，则， 于是，则,平分， 在中，设边上的高为， 由平分，得， 则，因此， 又，则平分， 同理得： ，而，则，即， 而，则，即，又， 所以. 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围； （3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，坐标为 【解析】 【分析】（1）根据抛物线过点和对称轴公式列方程组求出即可； （2）根据题意解出直线方程，讨论左右平移时与线段的交点即可求解； （3）解法一：先求出点坐标，进而求出直线的解析式，联立抛物线与直线，根据根与系数的关系结合中点坐标公式求出点坐标，同理求出点坐标，作根据平分，得到，设，根据正切的定义，列出比例式进行求解即可；解法二：分别将直线与抛物线联立，利用韦达定理求出点坐标，由轴可知平分时，代入斜率公式求解即可. 【小问1详解】 因为抛物线过点，且对称轴为直线， 所以，解得， 所以抛物线的解析式为. 【小问2详解】 当时，直线为， 令解得，令解得，所以，， 所以，将代入解得，所以直线方程为， 因为抛物线可由平移得到， 当点在抛物线上，由解得或， 结合图象可知至多向右平移个单位， 当的图象向左平移至与有一个交点时， 联立得， 令解得， 此时由解得，即交点坐标为，在线段上， 结合图象可知至多向左平移个单位， 综上的取值范围为. 【小问3详解】 解法一：因为直线，所以当时，，即， （根据对称性在这里不妨只考虑的情况） 因为所以抛物线的对称轴为直线，所以点在抛物线的对称轴上， 因为过点，且与直线垂直，所以， 设直线的解析式为，将代入得，故， 在直线上取点，,在上取点，使，作轴，轴， 则，， ，,所以 所以， 所以，则，， 所以，解得， 所以直线解析式为，即：， 联立整理，得， 所以，， 由为中点，得， 联立，同理可得， 假设存在点，设，使得总是平分， 如图，作， 因为平分，所以，故， 所以，则， 由于要在的同一侧，故 同正或者同负，解得 所以抛物线的对称轴上存在，使得总是平分． 解法二：对于直线令解得，所以，则在抛物线对称轴上， 联立得，设，， 由韦达定理可得， 因为是中点，所以点横坐标，则，即， 因为，且，所以， 又直线过点，所以直线方程为， 联立得，设，， 由韦达定理可得， 因为是中点，所以点横坐标，则，即， 因为轴，所以平分时,， 设，则， 所以对任意恒成立时，解得， 所以存在定点使得总是平分，其坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 级高一综合能力检测试卷 数学 时量:90分钟 满分:120分 一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.) 1. “致中和，天地位焉，万物育焉.”对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、标志等作品的设计上.下列学校的校徽图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题错误的个数有（ ） ①平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；②在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；③三个点确定一个圆；④反比例函数 的图象在一、三象限，y随x 的增大而减小；⑤三角形的内心到各边的距离相等，三角形的外心是三条边垂直平分线的交点. A. 1个 B. 2个 C 3个 D. 4个 3. 神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”.为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45 座和60座两种客车(两种客车都要租)，若每位学生和老师都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ） A. 3种 B. 4种 C 5种 D. 6种 4. 两个二次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，反比例函数的图象经过两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接，.若，，则的值是（ ） A. -12 B. -9 C. -6 D. -3 6. 如图，为半圆上的一条弦，将沿着弦对折，折叠后的弧恰好与半圆的直径相切于点，若，则 的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本题共6小题，每小题6分，共36分.) 7 分解因式：_______. 8. 已知，则锐角的取值范围是____________. 9. 在一个不透明的布袋中装有三个球，球上分别标有数字 这些球除了数字以外完全相同.现随机摸出一个小球，记下数字m，放回后搅匀再摸出一个球，记下数字n，则使得二次函数的图象不经过第四象限的概率为__________. 10. 对于定义了一种新运算，规定.若关于的不等式组恰好有 3个整数解，则实数的取值范围是__________ . 11. 我们把自变量为的函数记作，表示自变量时函数的值，对于实数，令表示不超过的最大整数，例如，，，令 那么_______. 12. 已知函数现有下列五个结论：①图象过点 ；②图象的最低点坐标为；③图象无最高点且分为两段；④若 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)在图象上，且 则 ；⑤若在图象上， 且 则 其中正确的结论有________.(填写序号) 三、解答题(本题共5 小题，14、15 小题每小题9分，其余每小题12 分，共54分.) 13. （1）计算: ； （2）先化简，再求值:其中. 14. 学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题. 材料一 租车公司有两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆型客车比每辆型客车多载客15人；用型客车载客600人与用型客车载客450人的车辆数相同. 材料二 型客车租车费用 3200 元/辆；型客车租车费用为 3000元/辆.优惠方案：租用型客车辆，租车费用元/辆；租用型客车，租车费用打八折. 材料三 租车公司最多提供8辆型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用两种型号客车共10辆. （1）两种型号的客车每辆载客量分别是多少? （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少? 15. 已知方程 (k为常数). （1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实根为 ，求 的最小值. 16. 如图1，已知内接于⊙O，，延长AO交BC于E点，交⊙O于点F，D是劣弧上一点，连接AD并延长交BC 的延长线于点M，连接CD. （1）求证:； （2）若，求CD长； （3）如图2，连接BD分别交线段AF和线段AC于点G和点H，若且，请用含n的值表示的值. 17. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且对称轴为直线，直线与抛物线交于两点，与轴交于点. （1）求抛物线的解析式； （2）时，直线与轴交于点，与直线交于若抛物线与线段有公共点，求的取值范围； （3）过点与垂直的直线交抛物线于两点，分别是的中点.试探究：当变化时，抛物线的对称轴上是否存在定点，使得总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $