1.1 探索勾股定理 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦勾股定理的探索、验证与应用，课堂导入先回顾三角形及直角三角形边的性质，通过2002年世界数学家大会会标赵爽弦图创设情境，引导观察图形中正方形面积关系，逐步猜想定理，搭建从旧知到新知的学习支架。 其亮点是以“观察-探索-猜想-验证-归纳-应用”为主线，用赵爽弦图面积推导培养数学思维（推理能力），分层练习题（如古代芦苇问题、梯子滑动问题）强化数学语言（模型意识），融入数学文化激发数学眼光（创新意识）。学生能提升运算与应用能力，教师可借助详细解析和分层设计高效教学。

授课教师： . 班 级： 八年级（ ）班 . 时 间： . 北师大版（2024）数学八年级上册教学课件 第一章 勾股定理 1.1 探索勾股定理 2026年7月30日 新北师大版八年级上册1.1探索勾股定理练习题 本次练习题紧扣本节核心知识点，聚焦直角三角形勾股定理的理解、基础计算、简单应用，分为基础过关、能力提升、拓展应用三个板块，题型涵盖选择、填空、解答，适配八年级同步学习巩固需求，所有题目均配套详细解析。勾股定理核心公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，则$$a^2+b^2=c^2$$（a、b为直角边，c为斜边）。 一、基础过关（选择题、填空题） 1. 已知Rt△ABC中，∠C=90°，直角边AC=6，BC=8，则斜边AB的长为（） A.10 B.12 C.14 D.16 2. 直角三角形两直角边长分别为5和12，则斜边长的平方为（） A.17 B.25 C.144 D.169 3. 在Rt△ABC中，∠B=90°，斜边AC=13，一条直角边AB=5，则另一条直角边BC=______。 4. 若直角三角形斜边为25，一条直角边为7，则另一条直角边长为______。 二、能力提升（计算题） 5. 已知Rt△ABC中，∠C=90°。（1）若a=9，b=12，求c；（2）若c=20，a=12，求b。 6. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AC=3，BC=4，求斜边AB的长度和高CD的长度。 三、拓展应用（解答题） 7. 古代数学问题：池塘中有一根直立芦苇，芦苇高出水面1尺，将芦苇顶端拉向岸边，顶端恰好触及岸边水面。已知池塘水深5尺，求芦苇的总长度。 8. 一架梯子长25米，斜靠在竖直的墙上，梯子底端距离墙根7米。（1）求梯子顶端距离地面的高度；（2）若梯子顶端下滑4米，求梯子底端水平滑动的距离。 四、参考答案与详细解析 1. 答案：A 解析：根据勾股定理，$$AB^2=AC^2+BC^2=6^2+8^2=36+64=100$$，故AB=10。 2. 答案：D 解析：斜边长的平方$$=5^2+12^2=25+144=169$$。 3. 答案：12 解析：$$BC^2=AC^2-AB^2=13^2-5^2=169-25=144$$，BC=12。 4. 答案：24 解析：设直角边为x，$$x^2=25^2-7^2=625-49=576$$，x=24。 5. 解析：（1）$$c=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{81+144}=\sqrt{225}=15$$；（2）$$b=\sqrt{20^2-12^2}=\sqrt{400-144}=\sqrt{256}=16$$。 6. 解析：由勾股定理得$$AB=\sqrt{3^2+4^2}=5$$。利用直角三角形面积两种算法：$$\frac{1}{2}×AC×BC=\frac{1}{2}×AB×CD$$，代入数据得$$3×4=5×CD$$，解得CD=2.4。 7. 解析：设芦苇总长x尺，则水深（x-1）尺。由勾股定理得$$5^2+(x-1)^2=x^2$$，展开得$$25+x^2-2x+1=x^2$$，解得x=13。答：芦苇总长13尺。 8. 解析：（1）设顶端高度为h，$$h=\sqrt{25^2-7^2}=24$$米；（2）顶端下滑4米后高度为20米，此时底端距墙$$\sqrt{25^2-20^2}=15$$米，滑动距离=15-7=8米。 学习小结：本节解题核心是找准直角三角形的直角边与斜边，灵活运用勾股定理及其变形公式，同时可结合面积法、方程法解决综合问题，掌握实际场景中直角三角形模型的构建技巧。 韦东奕介绍：韦东奕，1991 年生，北大长聘副教授，人称 “韦神”。曾连续两届国际数学奥林匹克满分夺金，保送北大本博连读。主攻偏微分方程，深耕流体数学研究，多篇论文刊发国际顶刊。生活简朴淡泊名利，潜心治学，是国内极具天赋的青年数学研究者... 通过对勾股定理的学习，理解勾股定理反映的直角三角形三边之间的数量关系，提高推理能力． 通过小组讨论，学会运用勾股定理进行简单的计算，提高计算能力和数形结合能力． 通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，激发学习热情，让学生在探索勾股定理的过程中，感受数学之美，探究之趣． 知识回顾 三角形 定义 角 边 直角 三角形 定义 角 边 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的平面图形。 三角形的内角和是 180°。 两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。 有一个角是 90°的三角形是直角三角形。 直角三角形的两个锐角互余；两个锐角互余的三角形是直角三角形。 ？ 03 情景引入 2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标。 会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号. 04 新知探究 探究一 探索勾股定理 （1）观察图1-2-1, 正方形A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 9 9 18 发现： 04 新知探究 探究一 探索勾股定理 （2）观察图1-2-2, 正方形A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 4 4 8 发现： 04 新知探究 探究一 探索勾股定理 （3）观察图1-3-1, 正方形A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 16 9 25 发现： 04 新知探究 探究一 探索勾股定理 （4）观察图1-3-2, 正方形A的面积是 个单位面积. 正方形B的面积是 个单位面积. 正方形C的面积是 个单位面积. 1 9 10 发现： 04 新知探究 猜想 猜想:两直角边a,b与斜边c 之间的关系？ B A C a c b a2+b2=c2 04 新知探究 验证 大正方形面积=小正方形面积+4个三角形面积 a2+b2=c2 知识点1 勾股定理 1.在中， ，下列结论正确的是( ) D A. B. C. D. 返回 举一反三 11 2.在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则 斜边长的平方是( ) D A.5 B.9 C.16 D.25 返回 举一反三 12 3.如图，在中， 。 （第3题） （1）若，，则 ____； （2）若，，则 ___； （3）若，，则 ___。 17 8 7 返回 举一反三 13 04 新知探究 验证 大正方形面积=小正方形面积+4个三角形面积 a2+b2=c2 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示三角形的两直角边和斜边，那么a2 +b2 =c2 04 探究小结 表示为：Rt△ABC中，∠C=90°， 则 a b c 1.成立条件： 在直角三角形中； 3.作用：已知直角三角形任意两边长，求第三边长. 2.公式变形: a b c 如果直角三角形两直角边长分别为a、b,斜边长为c，那么 勾 股 定 理 （注意：哪条边是斜边） 04 探究小结 （第4题） 4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形 栅栏，它的高为，宽为 ，现需要在相对的顶点间 用一块木板加固，则木板的长为_______。 返回 举一反三 17 5.［2025渭南期中］如图，在中，，垂足为，是 边上的中线，，，则的长是____ 。 13 （第5题） 返回 举一反三 18 我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理） 04 新知探究 6.［教材习题变式］ 如图，在中，，是 边上 的高。已知，，则 的长为___。 8 （第6题） 返回 举一反三 20 05 典例精析 一个长方形零件（如图）,根据所给的尺寸(单位mm),求两孔中心A、B之间的距离. A B 90 160 40 40 05 典例精析 解：过A作铅垂线，过B作水平线，两线交于点C，则 ∠ACB=90°， AC=90-40=50（mm） BC=160-40=120（mm) 由勾股定理有： AB2=AC2+BC2=502+1202 =16900（mm2) ∵AB＞0, ∴AB=130(mm) 答：两孔中心A，B的距离 为130mm. A B 90 160 40 40 C 7.如图，在中，,垂足为， , , 。求： （1） 的长； 解：因为,所以 。在 中，因为 ，所以 。所以 。 所以 。 举一反三 23 （2） 的长。 解：在中,因为 ,所以 。所以 。所以 。所以 。 返回 举一反三 24 知识点2 勾股定理与图形的面积 （第8题） 8.［教材P随堂练习T 变式］ 如图，已知两个正方 形的面积分别为64,289，则字母 所代表的正方形的 面积为( ) C A.15 B.353 C.225 D.17 返回 举一反三 25 （第9题） 9.［2025宝鸡陈仓区期中］如图，所有四边形都是 正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形 ，，的面积依次为6，10，24，则正方形 的面 积为( ) C A.4 B.6 C.8 D.12 返回 举一反三 26 10.如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，其中阴影部分 的面积是____。 25 返回 举一反三 27 11.如图， ,，，。若 ， 则 的长为( ) B （第11题） A.10 B.13 C.8 D.11 返回 举一反三 28 12.在中， ，,,分别是，， 的对边，若 ，则 的值为( ) D A.10 B.15 C.25 D.50 返回 举一反三 29 （第13题） 13.［2025西安西咸新区期中］如图，在 中， ，于点， ， ，则 的长为( ) A A. B.6 C. D.4 返回 举一反三 30 14. 如果一个直角三角形的三边长分别为9,12， ，那么 以 为边长的正方形的面积为( ) C A.225 B.63 C.225或63 D.15 返回 举一反三 31 15.［教材习题 变式］ 如图是一株美丽的“勾股树”，其中所有的四 边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形。若正方形,,， 的边长分别是3,5,2,3,则最大正方形 的面积是____。 47 返回 举一反三 32 16.如图，在四边形草坪中， 。 若，， ，求这块草 坪 的面积。 解：连接 。由题意得 ,所以 ,所以,所以这块草坪 的面积为 。 返回 举一反三 33 07 课堂小结 知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 . 方法：观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； 思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想. 谢谢观看 THANKS $