小升初奥数培优讲义专题：归一归总问题（讲义）-2025-2026学年六年级数学下册人教版

小升初奥数培优讲义专题：归一归总问题 知识梳理 1. 归一问题 定义：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之改变，且变化的规律是相同的。解题时先求出"单一量"（即单位数量），再根据题目要求求出结果。 核心公式： 单一量 = 总量 ÷ 份数 新总量 = 单一量 × 新份数 新份数 = 新总量 ÷ 单一量 分类： 正归一：先求单一量，再求多个单一量的总和。例如：3小时行150千米，5小时行多少千米？ 反归一：先求单一量，再求包含多少个单一量。例如：3小时行150千米，行250千米需要几小时？ 解题步骤： 找对应：找出题目中已知的总量和对应的份数。 求单一：用除法求出"单位时间/单位人数/单位机器"的工作量或消耗量。 求结果：根据问题，用乘法或除法求出最终答案。 2. 归总问题 定义：已知单位数量和数量，可以求出总量。当单位数量发生变化时，数量也相应变化，但总量保持不变。 核心公式： 总量 = 单位数量 × 数量 新数量 = 总量 ÷ 新单位数量 新单位数量 = 总量 ÷ 新数量 关键特征： 题目中通常隐含一个"不变的总量"。 单位数量与新数量成反比例关系。 解题步骤： 求总量：利用已知条件，计算出固定的总量。 求新值：用总量除以新的单位数量（或新数量），得到所求结果。 例题讲解 【典型例题1】正归一问题 某工厂3台机器4小时可以生产零件240个。照这样计算，5台机器6小时可以生产零件多少个？ 【跟踪训练1】 修路队4人5天修路200米。照这样计算，增加3人后，再修7天，一共可以修路多少米？ 【典型例题2】归总问题 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达。如果要4小时到达，每小时需要行多少千米？ 【跟踪训练2】 一批苹果，如果每箱装15千克，需要装40箱。如果每箱多装5千克，需要装多少箱？ 【典型例题3】复杂归一（工程问题雏形） 一项工程，由12名工人工作10天可以完成。如果要在8天内完成，且每名工人的工作效率相同，需要增加多少名工人？ 【跟踪训练3】 一艘轮船所带的柴油最多可以用9小时。驶出时顺风，每小时行30千米；驶回时逆风，每小时行的路程是顺风时的4/5。这艘轮船最多驶出多远就必须往回返？ 提升练习 1. 基础单量归一 买5支钢笔需要45元，照这样计算，买8支同样的钢笔需要多少元？ 2. 时间效率归一 一台磨面机3小时磨面粉600千克。照这样计算，7小时可以磨面粉多少千克？ 3. 阅读速度归一 小明读一本故事书，4天读了60页。照这样的速度，10天可以读多少页？ 4. 包装归总 一批糖果，如果每袋装200克，可以装30袋。如果每袋装150克，可以装多少袋？ 5. 路程归总（速度变化） 一辆货车从甲地到乙地，每小时行40千米，6小时到达。返回时每小时行60千米，几小时可以回到甲地？ 6. 资金归总 妈妈带了一些钱去买苹果，如果买每千克8元的苹果，可以买5千克。如果改买每千克10元的苹果，可以买多少千克？ 7. 工人做工（双归一） 3名工人4小时加工零件120个。照这样计算，5名工人6小时可以加工多少个零件？ 8. 拖拉机耕地 2台拖拉机3天耕地18公顷。照这样计算，5台拖拉机4天可以耕地多少公顷？ 9. 运输问题 4辆卡车5次运煤200吨。照这样计算，6辆卡车8次可以运煤多少吨？ 10. 反归一（求时间） 织布机4小时织布80米。照这样计算，织200米布需要多少小时？ 11. 归总变式（求天数） 修一条水渠，计划每天修80米，15天完成。实际每天多修20米，实际多少天完成？ 12. 读书计划调整 一本书，每天看12页，20天看完。如果每天多看3页，可以提前几天看完？ 13. 人数变化陷阱（归一） 食堂3个厨师5小时包饺子1500个。照这样计算，增加2个厨师后，4小时可以包多少个饺子？ 14. 燃料消耗（归总） 某车油箱里有油，以每小时耗油2升的速度，可以行驶10小时（总油量20升）。如果每小时耗油变为2.5升，可以行驶多少小时？ 15. 工程问题（归总-工日） 一项工程，10个人做12天可以完成。如果要提前4天完成，需要增加多少人？ 16. 比例分配与归总结合 甲乙两地相距360千米。一辆汽车去时用了4小时，回来时用了5小时。这辆汽车往返的平均速度是多少？ 17. 复杂归一（多步骤） 5台织布机8小时织布1600米。照这样计算，3台织布机织布1200米需要多少小时？ 18. 综合应用（归总与归一结合） 一个农场有若干头牛，储备的草料够100头牛吃20天。后来增加了25头牛，这些草料够吃多少天？ 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 小升初奥数培优讲义专题：归一归总问题 知识梳理 1. 归一问题 定义：已知相互关联的两个量，其中一种量改变，另一种量也随之改变，且变化的规律是相同的。解题时先求出"单一量"（即单位数量），再根据题目要求求出结果。 核心公式： 单一量 = 总量 ÷ 份数 新总量 = 单一量 × 新份数 新份数 = 新总量 ÷ 单一量 分类： 正归一：先求单一量，再求多个单一量的总和。例如：3小时行150千米，5小时行多少千米？ 反归一：先求单一量，再求包含多少个单一量。例如：3小时行150千米，行250千米需要几小时？ 解题步骤： 找对应：找出题目中已知的总量和对应的份数。 求单一：用除法求出"单位时间/单位人数/单位机器"的工作量或消耗量。 求结果：根据问题，用乘法或除法求出最终答案。 2. 归总问题 定义：已知单位数量和数量，可以求出总量。当单位数量发生变化时，数量也相应变化，但总量保持不变。 核心公式： 总量 = 单位数量 × 数量 新数量 = 总量 ÷ 新单位数量 新单位数量 = 总量 ÷ 新数量 关键特征： 题目中通常隐含一个"不变的总量"。 单位数量与新数量成反比例关系。 解题步骤： 求总量：利用已知条件，计算出固定的总量。 求新值：用总量除以新的单位数量（或新数量），得到所求结果。 例题讲解 【典型例题1】正归一问题 某工厂3台机器4小时可以生产零件240个。照这样计算，5台机器6小时可以生产零件多少个？ 【答案】 5台机器6小时可以生产零件600个。 【分析】 这是一道稍复杂的归一问题（双归一）。我们需要先求出"1台机器1小时"生产的零件数（即单一量）。先求1台机器4小时生产多少，或者3台机器1小时生产多少，进而求出1台机器1小时生产多少，最后根据5台机器、6小时的条件，计算总产量。 【详解】 第一步：求1台机器1小时生产的零件数。 240 ÷ 3 ÷ 4 = 20（个） 第二步：求5台机器6小时生产的零件数。 20 × 5 × 6 = 600（个） 综合算式：240 ÷ 3 ÷ 4 × 5 × 6 = 600（个） 【跟踪训练1】 修路队4人5天修路200米。照这样计算，增加3人后，再修7天，一共可以修路多少米？ 【答案】 一共可以修路490米。 【分析】 注意题目中的陷阱："增加3人后"，意味着现在的人数是4+3=7人。先求1人1天修路多少米（单一量），确定新的人数和新的天数，再计算总路程。 【详解】 第一步：求1人1天修路的长度。 200 ÷ 4 ÷ 5 = 10（米） 第二步：确定现在的人数。 4 + 3 = 7（人） 第三步：求7人7天修路的长度。 10 × 7 × 7 = 490（米） 【典型例题2】归总问题 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时行60千米，5小时到达。如果要4小时到达，每小时需要行多少千米？ 【答案】 每小时需要行75千米。 【分析】 这是归总问题的基础型。路程是总量，保持不变。先求甲乙两地的总路程（总量），再用总路程除以新的时间，得到新的速度。 【详解】 第一步：求甲乙两地的总路程。 60 × 5 = 300（千米） 第二步：求4小时到达所需的速度。 300 ÷ 4 = 75（千米/小时） 【跟踪训练2】 一批苹果，如果每箱装15千克，需要装40箱。如果每箱多装5千克，需要装多少箱？ 【答案】 需要装30箱。 【分析】 这是标准的归总问题。"每箱装15千克，装40箱"可以求出苹果的总重量（总量不变）。"每箱多装5千克"，意味着新的每箱重量是15+5=20千克。用总重量除以新的每箱重量，得到新的箱数。 【详解】 第一步：求苹果的总重量。 15 × 40 = 600（千克） 第二步：求新的每箱重量。 15 + 5 = 20（千克） 第三步：求需要的箱数。 600 ÷ 20 = 30（箱） 【典型例题3】复杂归一（工程问题雏形） 一项工程，由12名工人工作10天可以完成。如果要在8天内完成，且每名工人的工作效率相同，需要增加多少名工人？ 【答案】 需要增加3名工人。 【分析】 这里可以将"1名工人1天的工作量"看作单位"1"，或者直接利用"工日"（工人数量×天数）作为总量概念。计算完成这项工程所需的总"工日"数（总量），用总工日数除以新的天数，得到需要的工人总数。注意问题问的是"增加"多少名，所以要减去原有的12名。 【详解】 第一步：求工程的总工作量（以"工日"为单位）。 12 × 10 = 120（工日） 第二步：求8天完成所需的工人总数。 120 ÷ 8 = 15（名） 第三步：求需要增加的工人数量。 15 - 12 = 3（名） 【跟踪训练3】 一艘轮船所带的柴油最多可以用9小时。驶出时顺风，每小时行30千米；驶回时逆风，每小时行的路程是顺风时的4/5。这艘轮船最多驶出多远就必须往回返？ 【答案】 这艘轮船最多驶出120千米就必须往回返。 【分析】 这是一道结合行程问题的归总/方程思想题目。总时间是9小时，分为"去程时间"和"回程时间"。去程速度和回程速度已知，且路程相等（总量相等）。可以先求出去程和回程的时间比，再分配总时间，最后求路程。顺风速度30km/h，逆风速度24km/h，因为路程一定，速度与时间成反比。 【详解】 第一步：计算逆风速度。 30 × 4/5 = 24（千米/小时） 第二步：利用反比关系分配时间。 速度比为 30:24 = 5:4，则时间比为 4:5。 总份数为 4 + 5 = 9 份。 总时间为9小时，所以每份为 9 ÷ 9 = 1 小时。 去程时间：4 × 1 = 4 小时。 回程时间：5 × 1 = 5 小时。 第三步：计算最远驶出距离。 30 × 4 = 120（千米） 验证回程：24 × 5 = 120 千米，符合。 提升练习 1. 基础单量归一 买5支钢笔需要45元，照这样计算，买8支同样的钢笔需要多少元？ 【答案】 需要72元。 【分析】 这是最基础的正归一问题。已知5支的总价，先求出1支钢笔的单价（单一量），再乘以8支即可。 【详解】 第一步：求1支钢笔的价格。 45 ÷ 5 = 9（元） 第二步：求8支钢笔的价格。 9 × 8 = 72（元） 2. 时间效率归一 一台磨面机3小时磨面粉600千克。照这样计算，7小时可以磨面粉多少千克？ 【答案】 可以磨面粉1400千克。 【分析】 已知3小时的产量，先求1小时的磨粉量（单一量），再乘7小时。 【详解】 第一步：求1小时磨面粉多少千克。 600 ÷ 3 = 200（千克） 第二步：求7小时磨面粉多少千克。 200 × 7 = 1400（千克） 3. 阅读速度归一 小明读一本故事书，4天读了60页。照这样的速度，10天可以读多少页？ 【答案】 可以读150页。 【分析】 先求每天读的页数（单一量），再求10天的总页数。 【详解】 第一步：求每天读的页数。 60 ÷ 4 = 15（页） 第二步：求10天读的页数。 15 × 10 = 150（页） 4. 包装归总 一批糖果，如果每袋装200克，可以装30袋。如果每袋装150克，可以装多少袋？ 【答案】 可以装40袋。 【分析】 糖果的总重量是不变的（总量）。先求总重量，再除以新的每袋重量。 【详解】 第一步：求糖果总重量。 200 × 30 = 6000（克） 第二步：求新袋数。 6000 ÷ 150 = 40（袋） 5. 路程归总（速度变化） 一辆货车从甲地到乙地，每小时行40千米，6小时到达。返回时每小时行60千米，几小时可以回到甲地？ 【答案】 4小时可以回到甲地。 【分析】 甲乙两地距离不变（总量）。先求距离，再除以返回速度。 【详解】 第一步：求甲乙两地距离。 40 × 6 = 240（千米） 第二步：求返回时间。 240 ÷ 60 = 4（小时） 6. 资金归总 妈妈带了一些钱去买苹果，如果买每千克8元的苹果，可以买5千克。如果改买每千克10元的苹果，可以买多少千克？ 【答案】 可以买4千克。 【分析】 妈妈带的总钱数不变。先求总钱数，再除以新单价。 【详解】 第一步：求总钱数。 8 × 5 = 40（元） 第二步：求新数量。 40 ÷ 10 = 4（千克） 7. 工人做工（双归一） 3名工人4小时加工零件120个。照这样计算，5名工人6小时可以加工多少个零件？ 【答案】 可以加工300个零件。 【分析】 先求1名工人1小时加工的零件数（单一量），再根据新的人数和时间求总量。 【详解】 第一步：求1名工人1小时加工多少个。 120 ÷ 3 ÷ 4 = 10（个） 第二步：求5名工人6小时加工多少个。 10 × 5 × 6 = 300（个） 8. 拖拉机耕地 2台拖拉机3天耕地18公顷。照这样计算，5台拖拉机4天可以耕地多少公顷？ 【答案】 可以耕地60公顷。 【分析】 先求1台拖拉机1天耕地的面积。 【详解】 第一步：求1台拖拉机1天耕地多少公顷。 18 ÷ 2 ÷ 3 = 3（公顷） 第二步：求5台拖拉机4天耕地多少公顷。 3 × 5 × 4 = 60（公顷） 9. 运输问题 4辆卡车5次运煤200吨。照这样计算，6辆卡车8次可以运煤多少吨？ 【答案】 可以运煤480吨。 【分析】 先求1辆卡车1次运煤的吨数。 【详解】 第一步：求1辆卡车1次运煤多少吨。 200 ÷ 4 ÷ 5 = 10（吨） 第二步：求6辆卡车8次运煤多少吨。 10 × 6 × 8 = 480（吨） 10. 反归一（求时间） 织布机4小时织布80米。照这样计算，织200米布需要多少小时？ 【答案】 需要10小时。 【分析】 先求每小时织布多少米（单一量），再用总米数除以效率。 【详解】 第一步：求每小时织布多少米。 80 ÷ 4 = 20（米） 第二步：求织200米需要的时间。 200 ÷ 20 = 10（小时） 11. 归总变式（求天数） 修一条水渠，计划每天修80米，15天完成。实际每天多修20米，实际多少天完成？ 【答案】 实际12天完成。 【分析】 水渠总长不变。先求总长，再求实际每天修的长度，最后求天数。注意"多修20米"。 【详解】 第一步：求水渠总长。 80 × 15 = 1200（米） 第二步：求实际每天修的长度。 80 + 20 = 100（米） 第三步：求实际天数。 1200 ÷ 100 = 12（天） 12. 读书计划调整 一本书，每天看12页，20天看完。如果每天多看3页，可以提前几天看完？ 【答案】 可以提前4天看完。 【分析】 书的总页数不变。先求总页数，再求新的每天阅读量，算出新天数，最后求差值。 【详解】 第一步：求书的总页数。 12 × 20 = 240（页） 第二步：求新的每天阅读页数。 12 + 3 = 15（页） 第三步：求新的天数。 240 ÷ 15 = 16（天） 第四步：求提前的天数。 20 - 16 = 4（天） 13. 人数变化陷阱（归一） 食堂3个厨师5小时包饺子1500个。照这样计算，增加2个厨师后，4小时可以包多少个饺子？ 【答案】 可以包2000个饺子。 【分析】 陷阱在于"增加2个厨师"，现有人数是3+2=5人。先求1人1小时的效率，再算新总量。 【详解】 第一步：求1个厨师1小时包多少个。 1500 ÷ 3 ÷ 5 = 100（个） 第二步：确定现在的厨师人数。 3 + 2 = 5（个） 第三步：求5个厨师4小时包多少个。 100 × 5 × 4 = 2000（个） 14. 燃料消耗（归总） 某车油箱里有油，以每小时耗油2升的速度，可以行驶10小时（总油量20升）。如果每小时耗油变为2.5升，可以行驶多少小时？ 【答案】 可以行驶8小时。 【分析】 总油量不变。先求总油量，再除以新耗油率。 【详解】 第一步：求总油量。 2 × 10 = 20（升） 第二步：求新时间。 20 ÷ 2.5 = 8（小时） 15. 工程问题（归总-工日） 一项工程，10个人做12天可以完成。如果要提前4天完成，需要增加多少人？ 【答案】 需要增加5人。 【分析】 总工作量（工日）不变。先求总工日，再求新天数对应的人数，最后求增加的人数。注意"提前4天"意味着新天数是12-4=8天。 【详解】 第一步：求总工作量（工日）。 10 × 12 = 120（工日） 第二步：求新的工作天数。 12 - 4 = 8（天） 第三步：求需要的人数。 120 ÷ 8 = 15（人） 第四步：求增加的人数。 15 - 10 = 5（人） 16. 比例分配与归总结合 甲乙两地相距360千米。一辆汽车去时用了4小时，回来时用了5小时。这辆汽车往返的平均速度是多少？ 【答案】 往返的平均速度是80千米/小时。 【分析】 此题考查平均速度定义：总路程 ÷ 总时间。不能简单将速度平均。 【详解】 第一步：求往返总路程。 360 × 2 = 720（千米） 第二步：求往返总时间。 4 + 5 = 9（小时） 第三步：求平均速度。 720 ÷ 9 = 80（千米/小时） 17. 复杂归一（多步骤） 5台织布机8小时织布1600米。照这样计算，3台织布机织布1200米需要多少小时？ 【答案】 需要10小时。 【分析】 先求1台1小时的效率（单一量），再用总任务量除以（新机器数×效率）。 【详解】 第一步：求1台织布机1小时织布多少米。 1600 ÷ 5 ÷ 8 = 40（米） 第二步：求3台织布机1小时织布多少米。 40 × 3 = 120（米） 第三步：求需要的时间。 1200 ÷ 120 = 10（小时） 18. 综合应用（归总与归一结合） 一个农场有若干头牛，储备的草料够100头牛吃20天。后来增加了25头牛，这些草料够吃多少天？ 【答案】 这些草料够吃16天。 【分析】 草料总量不变（归总）。先求草料总量（以"牛·天"为单位），再除以新的牛的数量。 【详解】 第一步：求草料总量。 100 × 20 = 2000（牛·天） 第二步：求现在牛的总数。 100 + 25 = 125（头） 第三步：求可以吃的天数。 2000 ÷ 125 = 16（天） 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $