第一章 集合与常用逻辑用语（单元分层自测·能力提升卷）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高一年级数学必修一第一章集合与常用逻辑用语单元卷，精选多地期末/阶段检测真题，通过梯度化题型设计覆盖集合运算、逻辑用语等核心知识，适配单元复习，提升数学抽象与逻辑推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|韦恩图表示集合（第1题）、充分必要条件（第4题）、集合新定义“闭集合”（第11题）|基础题与创新题结合，如第11题以“闭集合”定义考查数学思维| |填空题|3题15分|孤立元素（第12题）、商品销售统计（第13题）|联系生活情境，第13题通过实际问题培养应用意识| |解答题|5题77分|含参集合关系（第16题）、充要条件应用（第19题）|分层设问，如第19题4问逐步深入，综合考查数学表达与逻辑推理|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 2. 若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 7．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为，不等式的解集为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 10．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 11．（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 13．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 14.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设集合，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 17．（易错易混01集合与常用逻辑用语（复习讲义）（全国通用）-2）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； 18．（25-26高一上·河北承德·期末）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 2. 若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 7．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为，不等式的解集为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 10．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 11．（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 13．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 14.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设集合，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 16．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 17．（易错易混01集合与常用逻辑用语（复习讲义）（全国通用）-2）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； 18．（25-26高一上·河北承德·期末）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围． 19．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 1、 选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C C C C B B C 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ABD AC ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12． 13． 14. 8 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【详解】（1）把代入集合，得 ，（2分） ， （4分） 或.（6分） （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B，（8分） 那么，（10分） 解得 ,（12分） 所以的取值范围为.（13分） 16．（15分） 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则；（2分） ②若或，则 解得：，（4分） 将代入方程得：得：， 即符合要求；（5分） ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则.（7分） 综上所述，实数的取值范围是或.（8分） （2），，（10分） 则，即 ， 即0和是方程的两根，（12分） ，， 解得：或（舍去），（14分） 故.（15分） 17． （15分） 【答案】(1)（7分） (2)4（15分） 18.（17分） 18． 【详解】（1）由题意．（2分） “”是“”的必要而不充分条件，是的真子集．（4分） ，解得，（7分） 即实数的取值范围为；（8分） （2）若“，使得”是假命题，则．（9分） 由（1）得，或．（11分） ①当时，，解得，此时满足题意；（13分） ②当时，则，无解；（15分） 即当命题为假命题时，实数的取值范围为，（16分） ∴当命题为真命题时，实数的取值范围为．（17分） 19．（17分） 【详解】（1）由，可得，（1分） 解得，（2分） 即实数m的取值范围是；（3分） （2）由题意知，，（4分） 可得：，（6分） 得. 所以实数的取值范围为.（7分） （3）由是的充分不必要条件，所以，（8分） 即且等号不同时成立，得，（10分） ∴实数的取值范围为.（11分） （4）由“，使得”是真命题， 可得：,（12分） 先求， ， 当时，由（1）知，（13分） 当时，则或，解集为：，（15分） 综上可知时，，（16分） 所以时，， 即“，使得”是真命题时实数m的取值范围是.（17分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高一年级数学必修一单元自测 第一章 集合与常用逻辑用语·能力提升 建议用时：120分钟，满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（25-26高二下·安徽芜湖·期末）已知集合，，且都是全集的子集，则下图所示的韦恩图中阴影部分表示的集合为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，阴影部分由属于不属于的元素构成， 因为，， 所以阴影部分表示的集合为 2. 若且集合中的元素均为整数， 则的值为（    ） A． B．0 C．2 D．3 【答案】C 【详解】若，，此时，集合元素不重合，符合条件. 若，，此时不是整数，不符合题意，综上，. 3．（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知集合，，则中的元素个数为（   ） A．0 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解不等式，得， 所以. 解不等式得，所以. 所以，所以中的元素个数为3. 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 5．（25-26高二下·河南·期末）定义集合，已知集合，则集合的真子集合的个数为（    ） A．7 B．14 C．15 D．31 【答案】C 【详解】由集合，且， 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得； 当时，可得， 所以集合， 所以的真子集的个数为个. 6．（25-26高一上·江西赣州·期末）集合的元素个数是（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．无数个 【答案】B 【详解】因为，所以是自然数且是6的正约数，而6的正约数有 当分别取时，对应的的值分别为，所以只能是. 故集合的元素个数是4. 故选：B 7．（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集为，不等式的解集为．若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，所以. 所以. 因为恒成立，所以不等式等价于，即. 所以． 若，则. 所以的值范围是. 8．（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）设、是实数，集合，，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为、是实数，集合，，且， 因为且，若，则，解得， 此时，集合中的元素不满足互异性，不符合题意； 若，即，解得或， 因为，故应舍去，所以，则， 于是有，可得，符合题意. 综上所述，，，故. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）下列集合是无限集的是（    ） A．是能被3整除的数 B． C． D．是面积为1的菱形 【答案】ABD 【详解】对于A，能被3整除的数有无数个，所以为无限集； 对于B，满足的实数有无数个，所以集合为无限集； 对于C，该集合可表示为，为有限集； 对于D，面积为1的菱形有无数个，所以为无限集． 故选：ABD． 10．（25-26高一上·广东潮州·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．由组成的集合可表示为或 B．与是同一个集合 C． D．集合与集合是同一个集合 【答案】AC 【详解】对于A，集合中的元素具有无序性，则，均可表示由组成的集合，A正确； 对于B，是不含任何元素的集合，是含有一个元素的集合；与不是同一个集合，B错误； 对于C，是任意集合的子集，则，C正确； 对于D，，，集合与集合不是同一个集合，D错误. 故选：AC. 11．（25-26高二下·安徽·期末）设集合是非空数集，若对任意x，，都有，则称集合为“闭集合”．则下列说法正确的是（     ） A．集合不是“闭集合” B．正整数集是“闭集合” C．若集合是“闭集合”，且，则集合中的元素个数一定是无数个 D．若集合，都是“闭集合”，且，则一定是“闭集合” 【答案】ABD 【详解】选项 A，集合，取，则，不满足闭集合的定义，故A 正确； 选项 B，正整数集中任意两个正整数相乘，结果仍为正整数，因此正整数集是闭集合，故B 正确； 选项 C，若取集合， ，，， 满足闭集合定义，但只有 2 个元素，是有限集, 故C 错误； 选项 D，任取，则且，因集合，都是“闭集合”， 则，，因此，满足闭集合定义，故D 正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（25-26高二·全国·暑假作业）当时，若且，则称为的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为_________． 【答案】 【详解】由“孤立元素”的定义知，对任意，要成为的孤立元素， 必须是集合中既没有，也没有． 因此只需逐一排查中的元素即可． 而0有1“相伴”，1，2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”， 从而集合中“孤立元素”组成的“孤星集”为． 13．（25-26高一上·山东青岛·期中）某商店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出18种商品，第二天售出12种商品，第三天售出16种商品，前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该商店第一天售出但第二天未售出的商品有________种；这三天售出的商品至少有________种. 【答案】 【详解】因为前两天都售出的商品有种， 因此第一天售出且第二天没有售出的商品有种； 同理由后两天都售出的商品有种， 则第三天售出的商品中有种第二天未售出； 所以三天售出商品种数最少时， 即第三天中这种第二天未售出的商品恰都是第一天售出过的，且第二天未售出的那些即可， 所以这三天售出的商品至少有种. 故答案为：；. 14.（25-26高一上·河北唐山·阶段检测）设集合，，则__________. 【答案】8 【详解】集合A是满足的整数点的集合，共有13个元素，分别是： ，，，，，，，，，，，，. 集合B是满足的整数点的集合，所以，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知集合，． (1)当时，求，； (2)设，，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) 【详解】（1）把代入集合，得 ，， 或. （2）设，，若是的必要不充分条件，则真包含B， 那么，解得 , 所以的取值范围为. 16．（2026高一·全国·专题练习）设集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若 ，求实数a的取值范围 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）集合，， 由题意， ①若，则，则； ②若或，则 解得：，将代入方程得：得：， 即符合要求； ③若，则，即 即的两根分别为、0， 则有且，则. 综上所述，实数的取值范围是或. （2），， 则，即 ， 即0和是方程的两根， ，， 解得：或（舍去）， 故. 17．（易错易混01集合与常用逻辑用语（复习讲义）（全国通用）-2）对集合，定义集合，记为有限集合的元素个数． (1)若，求； (2)给定集合的子集，求集合的元素个数； 【答案】(1) (2)4 【详解】（1）因为， 故； （2）因为，， 设，则，因为， 故符合条件的的个数为． 18．（25-26高一上·河北承德·期末）设全集，集合，，其中． (1)若“”是“”的必要而不充分条件，求实数的取值范围； (2)若命题“，使得”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意． “”是“”的必要而不充分条件，是的真子集． ，解得， 即实数的取值范围为； （2）若“，使得”是假命题，则． 由（1）得，或． ①当时，，解得，此时满足题意； ②当时，则，无解； 即当命题为假命题时，实数的取值范围为， ∴当命题为真命题时，实数的取值范围为． 19．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若集合B为非空集合且，求实数m的取值范围； (3)已知命题p：，命题q：，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围. (4)命题：“，使得”是真命题，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）由，可得， 解得， 即实数m的取值范围是； （2）由题意知，， 可得：，得. 所以实数的取值范围为. （3）由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得， ∴实数的取值范围为. （4）由“，使得”是真命题， 可得：, 先求， ， 当时，由（1）知， 当时，则或， 解集为：， 综上可知时，， 所以时，， 即“，使得”是真命题时实数m的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $