1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第3课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册

### 基本信息 本同步练习以“分层设计”为核心，通过基础概念辨析、方法应用到综合几何问题的三级进阶，系统巩固空间向量研究位置关系的知识，培养空间观念与推理能力。 ### 分层设计 |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|空间位置关系的向量证明、垂直/平行的坐标表示、法向量概念|以选择、填空题为主，如判断线面关系的充分必要条件，强化概念理解| |提升层|平面法向量求解、空间向量平行垂直的综合应用|加入多选题和阅读材料题，如结合平面方程求交线方向向量，培养运算能力| |综合层|结合正方体、正四棱柱的位置关系证明与计算|以几何体为载体设计探究题，如动点问题中的线面垂直判定，发展逻辑推理与空间想象|

分层作业 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第3课时） 目 录 1 题型01 空间位置关系的向量证明 1 题型02空间向量垂直的坐标表示 2 题型03平面法向量的概念及辨析 3 题型04空间向量平行的坐标表示 4 题型05求平面的法向量 6 题型06空间位置关系的向量证明 7 10 17 20 题型01 空间位置关系的向量证明题型01 1.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 题型02空间向量垂直的坐标表示题型02 4.在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5.已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 6.若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 题型03平面法向量的概念及辨析题型03 7.若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 8.若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 9.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 题型04空间向量平行的坐标表示题型04 10.若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 11.已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 12.若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型05求平面的法向量题型05 13.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 14.（多选题）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 15.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 题型06空间位置关系的向量证明题型06 16.空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 17.已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 18.在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 1.如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 2.如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 3.直线a，b的方向向量为，平面，的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4.在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 5.已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 6.已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 1.已知，且，则实数值为（    ） A． B．2 C． D．4 2.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 3.已知，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．3 4.（多选题）如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（     ） A． B．面 C．到面的距离为定值 D．面积的最小值为 1.已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 2.若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第3课时） 目 录 1 题型01 空间位置关系的向量证明 1 题型02空间向量垂直的坐标表示 2 题型03平面法向量的概念及辨析 3 题型04空间向量平行的坐标表示 4 题型05求平面的法向量 6 题型06空间位置关系的向量证明 7 10 17 20 题型01 空间位置关系的向量证明题型01 1.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（    ） A．或 B． C． D．与斜交 【答案】A 【详解】由，得， 所以或. 2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】由直线方向向量和平面法向量的定义可知： 由“”可以推出“”，反之，由“”也可以推出“”， 所以“”是“”的充分必要条件，故C正确. 3.设是直线的方向向量，是平面的法向量，则（     ） A． B．或 C． D．与相交但不垂直 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以或. 题型02空间向量垂直的坐标表示题型02 4.在空间直角坐标系中，向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量，则“”是“”的（   ） A．充分条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由向量为平面的一个法向量，向量为直线l的一个方向向量， 若，则，所以，解得，所以充分性不成立； 反之：若，可得，此时， 可得与不垂直，所以与不平行，所以必要性不成立， 所以是的既不充分也不必要条件. 5.已知直线平面，且的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则实数的值为（   ） A． B．2 C．2或 D．或1 【答案】C 【详解】因为直线平面， 则， 即， 解得或. 6.若平面的一个法向量为，平面内的一个向量为，且，则的值是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】B 【详解】由，为平面的法向量，为平面内的一个向量，得， 则，所以. 题型03平面法向量的概念及辨析题型03 7.若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据两平面垂直，则其法向量垂直，进而其数量积为0，逐一验证即可. 【详解】设平面的法向量为，因为平面平面，所以， 因为， ， ， . 所以平面的法向量的坐标可以是. 8.若平面的一个法向量为，平面平面，则平面的法向量的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】平面的一个法向量为，平面平面， 设平面的法向量为， 平面的法向量， 选项A，，与不平行，故选项A错误； 选项B，，与不平行，故选项B错误； 选项C，，与平行，故选项C正确； 选项D，，与不平行，故选项D错误. 9.已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，若，则实数______． 【答案】 【详解】由题意可得：， 即， 解得：， 故答案为： 题型04空间向量平行的坐标表示题型04 10.若表示不同的平面，平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面与平面（    ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】由题设，且， 综上，法向量既不平行，也不垂直，则平面与平面相交. 11.已知向量是直线l的一个方向向量，向量是平面的一个法向量，若，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、空间向量平行的坐标表示 【分析】利用向量的数量积求解. 【详解】向量是直线l的一个方向向量， 向量是平面的一个法向量，， ， ，解得. 故选：D. 12.若为平面的法向量，为平面的法向量，为直线l的方向向量，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】由题意可知若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项A正确； 若，则，存在实数，使得， 所以，解得，选项B错误； 若，则，所以，选项C正确. 若，则，所以，所以或者，选项D错误. 题型05求平面的法向量题型05 13.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 14.（多选题）已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果，，.给出下列结论，其中错误的是（    ） A． B．AP⊥AD C．AP⊥AB D．是平面ABCD的一个法向量 【答案】ACD 【详解】由题意，因为，，， 所以，故选项A错误； 因为，所以AP⊥AD，故选项B正确； 因为，所以AP与AB不垂直，故选项C错误； 若是平面ABCD的一个法向量，则平面ABCD，因为AB平面ABCD，所以 ,矛盾，所以不是平面ABCD的一个法向量，故选项D错误. 15.阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：直线是两平面与的交线，则下列向量可以为直线的方向向量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由阅读材料可知：平面的法向量可取， 平面的法向量可取， 设直线的方向向量， 则，令，得，则，故B正确； 令，则，即不符合题意，故A错误； 令，则，即不符合题意，故C错误； 令，则，即不符合题意，故D错误. 故选：B． 题型06空间位置关系的向量证明题型06 16.空间中，两条直线、的方向向量分别为、，则“”是“”的（     ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】C 【详解】充分性：若两条直线的方向向量​​，说明方向向量夹角为， 因此两直线所成角为，可得，充分性成立， 必要性：若，说明两直线所成角为，即方向向量夹角为， 因此，必要性成立， 因此“​​”是“”的充分必要条件. 17.已知正方体的外接球表面积为，是棱的中点，将过点且以为法向量的平面记为平面，则平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设正方体的外接球半径为，则，解得， 设正方体的棱长为，则，解得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， ， 则，故， 即，因为，平面， 所以平面， 取的中点，的中点，连接， 由于是棱的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面， 同理可得平面， 又，平面，所以平面平面， 所以平面，即平面即为平面， 平面截该正方体所得截面的面积即为的面积， 其中，， 为等边三角形，面积为 18.在正方体中，是的中点，则下列说法中正确的是（   ）． A．直线与直线相交 B．直线与直线垂直 C．直线与直线平行 D．直线平面 【答案】B 【详解】A：连接，则，直线平面， 又平面，且平面，且， 所以直线与直线异面，不相交，故本选项说法不正确； B：连接；由正方体的性质可知， 又是的中点，所以直线与直线垂直，因此本选项说法正确； C：以为原点，建立如图空间直角坐标系， 设正方体棱长为1，则 所以，不存在实数使， 故直线与直线不平行，故本选项不正确； D：因为，， 所以，所以直线与平面内的直线不垂直， 所以直线与平面不垂直，因此本选项说法不正确. 1.如图，在正四棱柱中，底面边长为1，侧棱长为为线段（不包含端点）上一点.有以下两个结论：①对任意的，总存在点，使得；②对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角.下列判断正确的是（   ）.    A．①，②均正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①，②均错误 【答案】A 【知识点】面面角的向量求法、空间位置关系的向量证明 【分析】根据给定条件，以点为原点建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断①②即可. 【详解】在正四棱柱中，建立如图所示的空间直角坐标系，      则，由为线段上除端点外的点， 设，则点， 对于①，， 由 ，得，则， 因此对任意的，总存在点，使得，①正确； 对于②，， 设平面，平面的法向量分别为， 则，取，得， ，取，得， 由，得，即平面与平面不垂直， 因此对任意的，不存在点，使得二面角为直二面角，②正确. 故选：A 2.如图，在正方体中，为棱的中点，为侧面的中心，分别在棱和上运动，为的中点，以下正确命题的个数是（   ） ①使的线段有且只有一条； ②使的直线有且只有一条； ③使的直线有且只有一条； ④若点与点不重合，则平面平面. A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断图形中的面面关系、线面关系有关命题的判断 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法分别判断，对命题①转化为方程（）的解个数可得；对②则转化为（）的解的个数可得；对③则根据向量共线条件直接可得；对④只需判断三点的坐标都为即可判断正确. 【详解】设正方体棱长为，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图： 则，，设（），（）， 因为是中点，故. 命题①：，所以​​， ，所以， 令，得（） 该方程在平面内表示一段四分之一圆弧，因此方程有无数组解，即存在无数条线段满足条件，故①错误； 命题②：若，则，即（）， 该方程在平面内表示一条线段，因此方程有无数组解，即存在无数条直线满足条件，故②错误； 命题③：若，则，则，因为第三个方程无解， 所以方程组无解，因此不存在直线满足条件，故③错误； 命题④ ：三点的坐标都为，即三点都在平面上， 该平面与底面（）平行，故平面平面，④正确. 综上，正确命题只有1个. 3.直线a，b的方向向量为，平面，的法向量分别为，则下列选项正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【知识点】面面关系有关命题的判断、空间位置关系的向量证明、线面关系有关命题的判断 【详解】选项A，若，则共线，所以，A错误； 选项B，若，则垂直，则，B正确； 选项C，若，则共线，，C错误； 选项D，若，则共线，，D错误． 4.在空间直角坐标系中，，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量垂直的坐标表示 【分析】表示出，，后，利用空间向量坐标运算及垂直性质计算即可得. 【详解】，， ，， 由题意可得，解得. 5.已知向量，，且与互相垂直，则的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【知识点】向量垂直的坐标表示、空间向量垂直的坐标表示、空间向量的坐标运算、利用向量垂直求参数 【分析】利用空间向量数量积的运算律及数量积的坐标表示，列式计算即得. 【详解】已知向量，，则，， ， 由与互相垂直， 则， 解得，故D正确. 6.已知正四棱柱中，，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．平面 D．平面平面 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】建立空间直角坐标系，A选项，求平面的法向量，判断是否平行于平面； B选项，分别求平面和平面的法向量，判断两个平面是否平行；C选项，求平面的法向量，判断是否垂直于平面；D选项，求平面和平面的法向量，判断平面是否垂直于平面. 【详解】以为原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系. 已知，，则各点坐标为：，，， ，，，，. 对于A选项，则， ，. 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，不平行于平面，故选项A错误. 对于B选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. ，平面平面，故选项B正确. 对于C选项，，， . 设平面的法向量，则，即， 令，则，，即. 与不平行，不垂直于平面，故选项C错误. 对于D选项，，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，， 设平面的法向量，则，即， 令，则，即. ，平面不垂直于平面， 故选项D错误. 故选：B. 1.已知，且，则实数值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】应用空间向量垂直的坐标运算求解. 【详解】因为，且， 所以，即 则实数值为4. 2.如图，在正方体中，为底面的中心，为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点.则满足的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】空间位置关系的向量证明 【分析】利用空间向量法可解. 【详解】 不妨以为原点建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的棱长为2， 对于A，则， ， 则，所以不垂直，故A错误； 对于B，则， ，则，所以不垂直；故B错误； 对于C，则， ，则，所以垂直，故C正确； 对于D，则， ，则，所以不垂直，故D错误. 3.已知，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【详解】由已知 ， 解得. 4.（多选题）如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则正确的是（     ） A． B．面 C．到面的距离为定值 D．面积的最小值为 【答案】ABD 【知识点】判断线面平行、求点面距离、三角形面积公式及其应用、空间位置关系的向量证明 【分析】对于A，因为,所以；对于B，平面平面,故平面；对于C，因为平面，所以到面的距离为到面的距离；对于D，面积是,写出t的表达式，再求最小值. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系， 在上，过点作交于设，则, 则 选项 A：, 因为,所以，A正确; 选项 B：在正方体中，因为，∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面，同理可证∥平面， 因为，平面，所以平面平面 因为面，故平面，B正确; 选项 C：因为平面，所以到面的距离为到面的距离，设为 等边边长，， 因为，所以， 所以到面的距离为，C 错误； 选项 D： , 所以所以 所以面积是 当,D 正确. 1.已知正方体，点E，F，G分别是线段，和上的动点，正确的是（     ） A．对于任意给定的点，存在点，使得 B．对于任意给定的点，存在点，使得 C．对于任意给定的点G，存在点F，使得 D．对于任意给定的点F，存在点G，使得 【答案】B 【知识点】空间位置关系的向量证明、空间线段点的存在性问题 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，不妨设正方体的边长为1，设，，，再利用垂直与平行的空间坐标表示逐项判断即可． 【详解】对于AB，如图，以为原点建立空间直角坐标系， 不妨设正方体的边长为1，可得，，， 且点分别是线段和上的动点， 得到，，， 而，，则，设，可得， 则，解得，得到， 可得，，， 若，则，解得， 此时任意给定的点，存在点，使得，故A错误，B正确， 对于CD，若，则， ，方程组无解，故与不可能平行，CD错误． 2.若直线的方向向量分别为，则的位置关系是（ ） A．垂直 B．重合 C．平行 D．平行或重合 【答案】A 【知识点】空间向量垂直的坐标表示 【分析】利用向量的数量积得到，故，从而得到结论. 【详解】，， ， 是直线的方向向量， 的位置关系是垂直. 故选：A. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $