1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时）（分层作业）数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量的法向量与方向向量，通过概念辨析-坐标运算-综合应用的分层设计，强化空间观念与运算能力，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|法向量/方向向量概念辨析|选择/多选题辨析概念，培养抽象能力| |提升层|法向量/方向向量求解及坐标表示|结合坐标运算，提升推理意识| |综合层|空间向量平行与夹角的综合应用|正方体等情境题，发展空间观念|

函学科网·上好课 www.zxxk.com 分层作业 1.4.1用空间向量研究空间直线、 (第1课时) 目录 A组 巩固过关 题型01平面法向量的概念及辨析. 题型02求平面的法向量… 题型03直线方向向量的慨念及辨析（空间中） 题型04求直线的方向向量… 题型05空间向量平行的坐标表示 题型06空间向量夹角余弦的坐标表示. B组 能力进阶 C组 思维拔高 拓展 链接高考 1/10 上好每一堂课 平面的位置关系 .1 .3 .4 6 .7 .9 .12 16 18 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A组 巩固过关 颗型01 题型01平面法向量的概念及辨析 1.(24-25高二上陕西渭南期末)己知向 ā=1+m4m.6=(4,4分别是平面“与平面”的一个法向量， 若C1P,则实数m=() A.4 B.2 C.-4 D.-5 2(25-26高二上北京西城期末)已知空间向呈”和三个不同的点A、B、C,且：AB=0,则“点C在 直线4B上”是n1C=0的《) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3(25.26高二上四川皮都期中)平面“及其法向量”，直线“、力及其方向向量0、6，下面推理错误的 a b 是() A.若a1a,hca,则a1B B.若ala.a川bamb∥n ,则 ⊥bb⊥a a⊥n ∥b C.若 ,则 若∥“，hc0,则 D. 颗型02 题型02求平面的法向量 ABCD-ABC D 4.(25-26高二上重庆·期末)已知正方体 中，以A为坐标原点，分别 AB,AD,AA为 ABD 轴，'轴和2轴，则平面 的法向量可以是() 2/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.(0,1,) B.（ c.,) D.(01,0) 5.(24-25高二上辽宁阶段检测）若4BC为平面“内相异三点，且4B=(2-1-1)C=(01-2),则 平面的一个法向量可以是() A.(33,2) B.(3,4,2) C.(33,3) D.(3,2) 6(24-25高一下河北期末)在空间直角坐标系0-02中， A(-1,1,0),B(2,1,-2),C(0,2,-1 ,则平面ABC 的一个法向量为() A.(2,13) B.(-2,13) c.(2,-13) D.(21,-3) 题型03 题型03直线方向向量的概念及辨析（空间中） 7.(24-25高二上内蒙古通辽期末)己知向量 =(4,-2,6),b=（-4,2x2,6x 都是直线I的方向向量，则x的 值是() A.-1或1 B.-1 C.-3 D.1 8.(25-26高二上河北阶段检测)（多选题）下列结论错误的是() A.任意一个向量均可以作为直线的方向向量 a(2∈R) B.若a是平面“的法向量，则 也是平面的法向量 C.设点A(a,0,0),B(0,b0),C(0,0,c(abc≠0)，则平面ABC的一个法向量为 8 AB·CD<0AB,CD D.若向量 ,则” ”与的夹角为钝角 9(25-26高二上福建福州期中)（多选题）已知”，片分别为直线，的方向向量人，不重合)， ,分别为平面，B的法向量(“，B不重合)，则下列说法中，正确的是() 3/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.91g台1∥4 B.1,台4LB c.%/n台a∥B D.当1乃台4∥B 题型04 题型04求直线的方向向量 10.(25-26高二下湖南衡阳开学考试)己知直线经过点A(2,3,2),B(-1,0,5),下列向量不是该直线的方 向向量的为() A.=(1,l,1)B.a=(-l,-1,0 C.a=(-3,-3,3)D.a=1,l-10 11.(25-26高二上四川成都阶段检测)（多选题）下列命题是假命题的是() A.零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量： (2∈R) B.若'是直线的方向向量，则 也是直线的方向向量： C.在空间直角坐标系中， i=(01,0)是坐标平面的一个法向量： D.a=(2,-3,,.6=(2,03)c=(0,0,2),则i-(6-=9 12.(25-26高二上·四川成都阶段检测)（多选题）下列命题是假命题的是() A.零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； B.若'是直线的方向向量，则 (∈R)也是直线的方向向量： Q.在空间直角坐标系中，厅=(01,0)是坐标平面0的一个法向量： D.i=(2,-3,1.6=20,3),c=(00,2).则a-(6-c=9 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 题型05 题型05空间向量平行的坐标表示 13.(24-25高二上天津期中)己知空间中三点A(01,0),B(2,2,0),C(-13,1),则() 25.50 A.AB与AC是共线向量 B.5的单位向量是5’50 C.平面ABC的一个法向量是L,-2,5) D.5与5C夹角的余弦值是5图 11 14（2425高二上宁夏吴忠期中)已知P为平行四边形48CD外的一点，且=(2,13)，D=(6,25) P1=(-2,-2,2),则下列结论正确的是（） A. PA与BD是共线向量 B.与PD同向的单位向量为100,10 C.AC与BD夹角的正弦值为7 D.平面PBD的一个法向量为(7，-5，) 15(2425高二上：宁复吴忠期中)已知P为平行四边形BCD外的一点，且B=(2,13)D=(3,25), PA=(-2,-2,2 ,则下列结论正确的是() A.PA与BD是共线向量 B与D同向的单位向量为10,010打 C.AC与BD夹角的正弦值为7 D.平面PBD的一个法向量为(7，-5,1) 颗型06 题型06空间向量夹角余弦的坐标表示 16.(24-25商二上四川南充阶段检测)（多选题)已知空间三点40,1.0)、B(22,0)、C-13,0,则下 列结论正确的是() 5/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.服在4C方向上的投影向量为 0 25√5。 B.与孤同向的单位向量是5了，0 V55 C,B和BC夹角的余弦值为1n D.面1BC的一个法向量是 ,-2,5) 17.(23-24高二上辽宁·阶段检测)（多选题)已知空间中三点A(01,0),B(2,2,0),C(-1,3,),则 () A.ABLAC B.与BC夹角的余弦值是图 11 C,直线1B的一个方向向量是-2，-1,0) D.平面ABC的一个法向量是L,-2,5) 18.(2425高二上·四川南充阶段检测)（多选题）已知空间三 A0,10)B2,20）、C(-13,0),则下 列结论正确的是() A.B东AC 0 ”在方向上的投影向量为 /255.0 B.与B同向的单位向量是55,0 v55 C,5和BC夹角的余弦值为11 D.面ABC的一个法向量是 1,-2,5) 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B组 能力进阶 1（2025江西新余模拟预测)在空间直角坐标系中，0为坐标原点，P为其内一点，4(L2以B(-21,0), 平面PAB⊥平面OAB,则平面PAB的一个法向量可以为：()· A.（-524,2 ）B.（-6,10,9) c.（-7,1,13) D.（8,13,12) 2.(24-25高二上四川眉山阶段检测)已知'为直线1的方向向量，”，：分别为平面“，P的法向量( a B ,不重合)，有下列说法： D4m9a明，@1元a1B,③m-a:01瓜分a ；③ 其中正确的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.(25-26高二上北京西城期中)空间直角坐标系中，已知 4L0,0)B(0,1o）C00,a).则a=1 是wi=,la 为平面4BC的法向量”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(24-25高二下上海期中)在空间直角坐标系0-2中，已知点A(-1,0,0),B(0,0,1),C1,),则下列向 量可以作为平面ABC的一个法向量的是()· A.(-1,1,-1)B.（-1,1,1) C.(1,1,-1) D.(-1,-1,1) 5.(24-25高二上吉林长春阶段检测)已知平面a的一个法向量i=（(-2,-2,),点A-1,-3,0)在平面a内； 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若点B(m,0,2-m)在平面a内，则m的值为() A.-2 B.0 C.1 D.2 6.(24-25高二下·上海期中)在空间直角坐标系0-2中，已知点4(-1,0,0，B(0,0,),C1,1,),则下列向 量可以作为平面ABC的一个法向量的是()· A.(-1,1,-1)B.（-1,1,1) C.(1,1,-1) D.(-1,-1,1) C组 思维拔高 1.(24-25高二上海南省直辖县级单位·期末)已知点 A0,0,0）B(0,0,1)C(11,0) 在平面内，则下列 向量为平面的法向量的是(). A.n=(0,10) B.n=(1-1,0) c.n=(么1,0) D.n=(1,1) 2(24-25高二上全国课后作业)在空间直角坐标系中，若平面“经过点4亿-3,2），且7=(，16 是平面 “的一个法向量若 点P心a,6-为平面“内的一点，且a+b=23,则点P的坐标为（) A.(9,14-5) B.(815-5) c.(7,16,-5) D.(617,-5) 3(25-26高二上云南文山阶段检测)已知向量亚=L2,1),4C=(0,1-2)则平面4BC的个法向量可 以是() A.5-2,-B.（-6,22 c.(31,-2) D.(4,-3 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 4.(24-25高二上浙江杭州期末)已知A(0,4,0),B3,0,0),C(0,0,2),则平面ABC的一个法向量可以为 () A.(4,3,6) B.（-4,3,6) C.(4,-3,6) D.(4,3,-6) 拓展 链接高考 1.(24-25高二上·福建泉州期末)我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐 标系中，过点4(-3,4)的直线I的一个法向量为，-3)，则直线的点法式方程为： 1×(x+3)+(-3)×(y-4)=0 x-3y+15=0 M(1,2,3) ,化简得 类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 m=(1,2,4) 的平面的一个法向量为 则该平面的方程为() A.x-2y-4z+17=0 B.x+2y+4z-17=0 C.x+2y+4z+17=0 D.x+2y-4z-17=0 ABCD-AB,CD中，点，分别是棱 E,F 2.(24-25高二上广东韶关·阶段检测)在棱长为2的正方 BCCB C的中点，P是制面8C8内点，若4P平行于平面4EF,则线段4P长度的最小值是() BC,CC AP 9/10 函学科网·上好课 D C B D E B 3v5 32 A. 4 B .4 www.zxxk com 35 C.2 10/10 上好每一堂课 3√2 D.2 分层作业 1.4.1 用空间向量研究空间直线、平面的位置关系（第1课时） 目 录 1 题型01 平面法向量的概念及辨析 1 题型02求平面的法向量 3 题型03直线方向向量的概念及辨析（空间中） 4 题型04求直线的方向向量 6 题型05空间向量平行的坐标表示 7 题型06空间向量夹角余弦的坐标表示 9 12 16 18 题型01 平面法向量的概念及辨析题型01 1.（24-25高二上·陕西渭南·期末）已知向量分别是平面与平面的一个法向量，若，则实数（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【详解】由于，则，解得， 故选：C 2.（25-26高二上·北京西城·期末）已知空间向量和三个不同的点、、，且，则“点在直线上”是“”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为空间向量和三个不同的点、、，且， 若点在直线上，则，故存在实数使得. 由题设可得，， 即“点在直线上”“”， 若，不妨假设点不在直线上，则为平面的一个法向量，符合题意， 所以“点在直线上”“”， 故“点在直线上”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 3.（25-26高二上·四川成都·期中）平面及其法向量，直线、及其方向向量、，下面推理错误的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】选项A：，又，故，则A选项正确； 选项B：，又，故，则B选项正确； 选项C：，又，故，则C选项正确； 选项D：、时，直线与可能为平行、相交或异面关系，因此它们的方向向量与不一定平行，故D选项错误. 故选：D 题型02求平面的法向量题型02 4.（25-26高二上·重庆·期末）已知正方体中，以为坐标原点，分别以为轴，轴和轴，则平面的法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，设正方体的棱长为，则， ， 设平面的法向量为， ， 令，则，故平面的法向量为. 故选：C.    5.（24-25高二上·辽宁·阶段检测）若为平面内相异三点，且，则平面的一个法向量可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由法向量的性质得平面法向量与平面内向量垂直， 即且，设， 则，， 由第二个方程得，代入第一个方程有， 令，则，即． 故选：B． 6.（24-25高一下·河北·期末）在空间直角坐标系中，，则平面的一个法向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知，设平面的一个法向量为， ，取，得， 选项A符合，另外选项BCD中的向量与选项A中的向量不共线. 故选：A. 题型03直线方向向量的概念及辨析（空间中）题型03 7.（24-25高二上·内蒙古通辽·期末）已知向量都是直线l的方向向量，则x的值是（   ） A．或1 B． C． D．1 【答案】B 【详解】依题意，向量共线，则， 所以. 故选：B 8.（25-26高二上·河北·阶段检测）（多选题）下列结论错误的是（    ） A．任意一个向量均可以作为直线的方向向量 B．若是平面的法向量，则也是平面的法向量 C．设点，则平面的一个法向量为 D．若向量，则与的夹角为钝角 【答案】ABD 【详解】对于A，由直线方向向量的定义知，不能作为直线的方向向量，所以选项A结论错误， 对于B，若，则，此时不是平面的法向量，所以选项B结论错误， 对于C，因为，则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 所以平面的一个法向量为，故选项C结论正确， 对于D，若，则有， 但与的夹角不为钝角，所以选项D结论错误， 故选：ABD. 9.（25-26高二上·福建福州·期中）（多选题）已知，分别为直线，的方向向量（，不重合），，分别为平面，的法向量（，不重合），则下列说法中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】对于A：直线的方向向量，说明两条不重合的直线的“方向”相同或相反，因此可以推出； 反之，若，它们的方向向量也必然平行，因此，所以A正确； 对于B：平面的法向量垂直于平面内的所有直线，若，说明直线的方向向量与 平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内，而非“”，所以B错误； 对于C：平面的法向量，说明两个不重合的平面垂直于平面的方向相同或相反， 因此可以推出；反之，若，它们的法向量也必然平行，因此，所以C正确； 对于D：若，说明直线的方向向量与平面的法向量垂直，此时平行于平面或在平面内， 不能直接推出“”因为可能在平面内，所以D错误. 故选：AC. 题型04求直线的方向向量题型04 10.（25-26高二下·湖南衡阳·开学考试）已知直线经过点，，下列向量不是该直线的方向向量的为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线经过点，，， 与向量共线的非零向量均为该直线的方向向量， 选项A：假设向量与共线，则， 由得，得，故不存在唯一的，使得成立， 故向量不是该直线的方向向量； 选项B：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项C：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量； 选项D：假设向量与共线，则，解得， 故向量是该直线的方向向量． 故选：A． 11.（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选题）下列命题是假命题的是（    ） A．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； B．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； C．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； D．，则． 【答案】BCD 【详解】对于A, 直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故A正确； 对于B, 当时,,不能作为直线l的方向向量,故B错误； 对于C, 在轴所在直线上且垂直于坐标平面,故C不正确； 对于D，由于，则，故D错误； 故选：BCD 12.（25-26高二上·四川成都·阶段检测）（多选题）下列命题是假命题的是（    ） A．零向量不能作为直线的方向向量和平面的法向量； B．若是直线的方向向量，则也是直线的方向向量； C．在空间直角坐标系中，是坐标平面的一个法向量； D．，则． 【答案】BCD 【详解】对于A, 直线的方向向量和平面的法向量都是非零向量,故A正确； 对于B, 当时,,不能作为直线l的方向向量,故B错误； 对于C, 在轴所在直线上且垂直于坐标平面,故C不正确； 对于D，由于，则，故D错误； 故选：BCD 题型05空间向量平行的坐标表示题型05 13.（24-25高二上·天津·期中）已知空间中三点，，，则（   ） A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．平面ABC的一个法向量是 D．与夹角的余弦值是 【答案】C 【详解】A选项，，设， 则，无解，故与不是共线向量，A错误； B选项，的单位向量为，B错误； C选项，由于， ， 与均垂直，又由A知，与不共线， 故平面ABC的一个法向量是，C正确； D选项，， 设与夹角为，则，D错误. 故选：C 14.（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【详解】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 15.（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知为平行四边形外的一点，且，，，则下列结论正确的是（    ） A．与是共线向量 B．与同向的单位向量为 C．与夹角的正弦值为 D．平面的一个法向量为 【答案】C 【详解】对于A，因为，，所以， 因为，所以与不是共线向量，A不正确； 对于B，，所以与同向的单位向量为，B不正确； 对于C，，,所以， 所以与夹角的正弦值为，C正确； 对于D，，因为，所以平面的一个法向量一定不是，D不正确. 故选：C 题型06空间向量夹角余弦的坐标表示题型06 16.（24-25高二上·四川南充·阶段检测）（多选题）已知空间三点、、，则下列结论正确的是（   ） A．在方向上的投影向量为 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值为 D．面的一个法向量是 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，，则，所以， 所以在方向上的投影向量为，A对； 对于B选项，，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，，，则， 所以和夹角的余弦值是，C错； 对于D选项，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得，， 所以平面的一个法向量是，D对. 故选：ABD. 17.（23-24高二上·辽宁·阶段检测）（多选题）已知空间中三点，，，则（ ） A． B．与夹角的余弦值是 C．直线的一个方向向量是 D．平面的一个法向量是 【答案】ACD 【详解】由，，， 得， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，因为， 所以向量与平行， 所以直线的一个方向向量是，故C正确； 对于D，因为，所以不共线， 设， 则， 所以， 所以是平面的一个法向量，故D正确. 故选：ACD. 18.（24-25高二上·四川南充·阶段检测）（多选题）已知空间三点、、，则下列结论正确的是（   ） A．在方向上的投影向量为 B．与同向的单位向量是 C．和夹角的余弦值为 D．面的一个法向量是 【答案】ABD 【详解】对于A选项，，，则，所以， 所以在方向上的投影向量为，A对； 对于B选项，，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，，，则， 所以和夹角的余弦值是，C错； 对于D选项，，， 设为平面的一个法向量， 则，令，可得，， 所以平面的一个法向量是，D对. 故选：ABD. 1.（2025·江西新余·模拟预测）在空间直角坐标系中，为坐标原点，为其内一点，，平面平面，则平面的一个法向量可以为：（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】面面垂直证线面垂直、求平面的法向量 【分析】设，为平面的法向量，由面面垂直的性质定理得，列式求出得解. 【详解】设为空间内一点，且， 由于平面平面，所以平面的法向量垂直且平行平面（或在平面内部）， 故不妨取为其法向量，则，， 所以，取代入得到，故D正确. 故选：D. 2.（24-25高二上·四川眉山·阶段检测）已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），有下列说法： ①；②；③；④. 其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】直线方向向量的概念及辨析（空间中）、平面法向量的概念及辨析 【分析】利用法向量的特征可得平面间的关系，利用直线方向向量和法向量的关系可得直线与平面的位置关系，进而可判断正误. 【详解】因为法向量与平面垂直，所以成立，①正确； 因为法向量与平面垂直，所以，②正确； 因为，所以，③不正确； 因为，所以或者，④不正确. 故选：B 3.（25-26高二上·北京西城·期中）空间直角坐标系中，已知，，，则“”是“为平面的法向量”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求平面的法向量 【分析】根据平面的法向量定义，利用充分条件和必要条件的判断方法即可推得． 【详解】因为，，， 所以. 当时，， ，， 所以是平面的一个法向量； 当是平面的一个法向量时， ，解得. 所以“”是“为平面的法向量”的充分不必要条件. 故选：A. 4.（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 5.（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）已知平面的一个法向量，点在平面内；若点在平面内，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】利用向量垂直列方程，化简求得. 【详解】由题意，， 因为平面的一个法向量， 所以， 所以， 解得. 故选：A 6.（24-25高二下·上海·期中）在空间直角坐标系中，已知点，则下列向量可以作为平面的一个法向量的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】先求出和，然后求出平面的法向量，再逐个分析各个向量是否与法向量共线即可. 【详解】因为， 所以，， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于A，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以A错误， 对于B，因为，所以此向量与共线，所以此向量是平面的法向量，所以B正确， 对于C，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以C错误， 对于D，因为，所以此向量与不共线，所以此向量不是平面的法向量，所以D错误. 故选：B 1.（24-25高二上·海南省直辖县级单位·期末）已知点、、在平面内，则下列向量为平面的法向量的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求平面的法向量 【分析】设平面的法向量为，根据法向量的定义可得出，利用赋值法可得出平面的一个法向量的坐标. 【详解】设平面的法向量为，由题意可得，， 则，取，可得， 故选：B. 2.（24-25高二上·全国·课后作业）在空间直角坐标系中，若平面经过点，且是平面的一个法向量.若点为平面内的一点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】空间向量垂直的坐标表示、平面法向量的概念及辨析 【分析】根据法向量定义以及向量垂直的坐标表示可得，联立解方程组即可得结果. 【详解】易知， 依题意，即， 联立，解得， 所以点. 故选：B 3.（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知向量，则平面的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】空间向量的坐标运算、求平面的法向量 【分析】首先设平面的法向量为，然后根据进行求解即可. 【详解】设平面的法向量为，由可得：， 令得：，解得：，. 由此可得：平面的一个法向量为. 又B，C，D三个选项的向量均不共线. 故选：A 4.（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知，则平面ABC的一个法向量可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求平面的法向量 【分析】由题设，，根据平面的法向量性质及空间向量数量积的坐标运算求法向量即可. 【详解】由题设，， 若是平面ABC的一个法向量，则， 取，则. 故选：A 1.（24-25高二上·福建泉州·期末）我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得.类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点法向式方程、求平面的法向量 【分析】由题意类比可得答案. 【详解】根据题意进行类比，在空间任取一点，则， 平面的法向量为，， 所以该平面的方程为. 故选：B 2.．（24-25高二上·广东韶关·阶段检测）在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内一点，若平行于平面，则线段长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求空间中两点间的距离、求平面的法向量、空间向量垂直的坐标表示 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由已知条件求出点坐标间的关系，进而求出线段长度的最小值. 【详解】在棱长为2的正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， ，， 设平面的法向量，则，取，得， 设，，，则， 由平行于平面，得，整理得， 所以线段长度， 当且仅当时，线段长度取最小值． 故选：D 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $