第22章 图形的相似 综合测试-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

(m-50)元，每天可售出20+5(70-m)=(370-5m)袋 △CBF,.DM=BC=AD,∴.AM=2AD=2BC..'E是BC的中 根据题意，得(m-50)(370-5m)=220, 点，.BC=2BE,.AM=4BE.AD∥BC,.△BEG△MAG, 解得m1=52,m2=72(不符合题意，舍去). .'GE:AG=BE:AM =1:4,.'.SABEG:SAABE EG:AE =1:5. 答：当蛋黄粽子每袋的销售价为52元时，每天售出蛋黄粽子 形ABCD的面积为24，.易得△ABE的面积为6，.△BEG的 所获得的利润为220元. 22.解：(1)售价每提高2元，每周的销售量减少10件售价提 面积为 51 高了x元 0 二M (2)设商品售价定为x元， 由题意可得(x-30)200-x,50×10=450, 2 整理，得x2-120x+3600=0, E 解得x1=x2=60. 7题答图 答：商品售价应定为每件60元 8.B[解析].四边形ADEF为正方形，∴.∠ADE=∠FAD= 23.解：(1)(8-t)0<t≤6 90°，AD=AF=EF,.∠CAD+∠FAG=90°.FG⊥CM,.∠G (2)分两种情况： =90°=∠ACB,∴.∠AFG+∠FAG=90°，∴.∠CAD=∠AFG. ①当点Q在MB上时，此时0<1≤9，A0=3:em ∠G=∠C 在△FGA和△ACD中，{∠AFG=∠DAC,.△FGA≌△ACD 根据题意，得30=之AP·4Q即7(8-)·3=6， LAF=DA, （AAS),∴.AC=FG,故①正确；BC=AC,∴.FG=BC. 解得61=4-25,42=4+25（不符合题意，舍去）； ∠ACB=90°，FG⊥CA,.FG∥BC,四边形CBFG是矩形， ②当点Q在BC上时，此时号<1≤6， ∠CBf=90,SB=2FB·FG=分S3a,即S6am 根据题意，得50=号4P.AB,即2（(8-)·10=6， S四边形cBFe=1:2,故②正确；CA=CB,∠C=∠CBF=90°， .∠ABC=∠ABF=45°，故③正确；∠FQE=∠DQB= 解得1=6.8（不符合题意，舍去） ∠ADC=90°-∠BDQ,∠E=∠C=90°，∴.△ACD△FEQ, 综上所述，t的值为4-25. AC:FE=AD:FQ,.AD·FE=AD2=FQ·AC,故④正确， 24.解：(1)花圃的面积为(100-2a)(60-2a)=(4a2-320a+ ∴.正确的有①②③④. 6000)m2 9.410.∠ADE=∠C(答案不唯-)11.号 1 (2)根据题意，得100×60-(4a2-320a+600)=4×100 125 cm[解析]如答图，作BE⊥DE于点E,则LBED= ×60, 解得a1=5,a2=75(舍去)，∴.通道的宽为5m. 90°.由题意知BD=17cm,BC=6cm,BE=8cm,∠C=90°， (3):方程2-a+25a-150=0有两个相等的实数根， AB∥DE,AC∥BD,∴.∠CAB=∠DBA=∠BDE.又.∠C= ∴.4=a2-25a+150=0,解得a1=10,a2=15. ∠BD=0△CB△BD8,品-能*号=g,解 .5≤a≤12，∴.a=10. 得AB= 4 cm. 设y=kS(k≠0)，则55625=1000k, 解得k=55.625,y=55.625S. B液面高度 当a=10时，S花m=80×40=3200(m2),y花m=3200× 55.625=178000(元)； 8 cm 一桌面 S通道=100×60-80×40=2800(m2),y通道=2800×50= 12题答图 140000(元)， 13.y= 80 x+8 [解析].四边形ABCD为矩形，∴.BC=AD=8, ∴.总造价为178000+140000=318000（元）. 第22章综合测试 ∠A=90°，AD∥BC.在Rt△ABD中，BD=√AB+AD2= 1.A2.D3.A √6+82=10.BF=y,∴.DF=10-yDE∥BC,.△DEF 4.D[解析]画出平面直角坐标系如答图所示，点C的对应点 C的坐标为(-1,4)或(-5,0). △scF,-*管-0，-之y=80≤≤8》 y 14(-10,贸)[解析]设直线AP的函数表达式为y=“+6 2’解得 (B) (k0),则6k+6= B 4k+b=3, =一会则直线A的面故 【b=6, (C) 表达y=-+6，加=√6-4+(-= 4题答图 5.B6.A 由题意，得AP1=2AP=5,AP2=2AP1=10,AP3=2AP2=20 7.A[解析]如答图，延长BF交AD的延长线于点M.F是 设4的坐标为(m,-子m+6列，则(m-6)户+ 边CD的中点，.DF=CF.四边形ABCD是菱形，.AD∥ BC,AD=BC,∴.∠M=∠FBC,∠FDM=∠C,.△DMF≌ m+6-多)=20，解得m=-10,m=2(含去).当 (- m=-10时，-子m+6-孕点4的坐标为(-10，】 ∴.EP=P0+0E=10.5+(4.7-3.2)=12(m). 答：河面的宽度EP为12m. 15.证明：△ABC∽△A'B'C,它们的相似比为k, 19.(1)证明：由作图，得∠CAD=∠B. 拾瓷∠B=∠R .∠C=∠C, ∴.△ACD∽△BCA AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C的中线， (2)解：AB=AC -BC.BD'-38C. .BD= ∴.∠B=∠C. .·∠B+∠C+∠BAC=180°，且∠BAC=108°， AB ∴.2∠C+108°=180°」 BD ·B'D=1 ,A'B, .∠B=∠C=36°， ∴.∠CAD=∠B=36° ∴.△ABD∽△A'B'D' ∴.∠BAD=∠BAC-∠CAD=72°， AD AB ∠BDA=∠C+∠CAD=72°， A'D-AB' =h. ∴.∠BAD=∠BDA, 1解：1%%…怒= ∴.DB=AB=AC=4, ∴DC=BC-4. .·AB=3,BC=6,DE=4, :△ACD∽△BCA, 34 ·6F,解得EF=8. ·能 a:4%%…品器 ∴.BC·DC=AC2=42=16, ∴.BC(BC-4)=16, .DE:EF=2:3,AC=25, 解得BC=2+25或BC=2-25(不符合题意，舍去)， AB 2 25-AB=3, .BC的长是2+2√5. 解得AB=10. 20.解：(1)：DE∥AC,B=BC AE CD 17.解：(1)如答图，点D即为所求 由答图可得，点D的坐标为(-2，-1). A8=8,BC=6,6D=2警=合 (2)如答图，△A1B1C1即为所求。 4B=等 (2)由(1)得4=号， BE=AB-AE=8-号-9 0p/cE能-CBr 9 BF=B驱-EF-95-号 21.证明：(1)如答图，当DA=DC时， .BE⊥CD,.∠CEB=90° 17题答图 ∴.∠2+∠3=90 18.解：如答图，延长AB交EP的反向延长线于点H, 又∠1+∠3=90°，.∠1=∠2， M .∠DAC=∠2. 又.·∠ACB=∠BEC 21题答图 777777 ∴△MG△BcE8-8C ∠1=∠2，∠EFC=∠CFB, ∴.△FCE∽△FBC, 18题答图 CECF.BECF.BE_AC 则四边形BDEH是矩形，.BH=DE=0.75m,BD∥EH, BCBF·AC=BFCF-BF .∴.AH=AB+BH=AB+DE=1.6+0.75=2.35(m). (2)如答图，：△FCE∽△FBC, BD∥OH,∴.△ABD∽△AHO, .FC:FB =FE:FC. 小0铝品总m=47m F为AC中点，.FC=FA,.FA:FB=FE:FA. .'∠AFE=∠BFA,∴.△FAE∽△FBA,∴.AE:BA=EF:AF, .'PM=PN,MF=4.5m,FP=0.75m, ∴.AE·AF=EF·AB,∴.AE·FC=EF·AB. .∴.PN=MF+FP=5.25m. 22.【问题初探】解：设AB=1,AC=x,则BC=1-x. AH⊥EP,PN⊥EP,∴.AH∥PN, :点C是线段AB的黄金分割点(AC>BC). △40△m0得0 AC BC ·AB-AC .2.35_4.7 六5.25-P0P0=10.5m, x 解得：5（负值已会去）， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，点C的位置无 即黄金比为5 法正确定位，使得CD的长存在误差，影响计算结果 24.(1)证明：.∠ACD=∠B,∠A=∠A, 【问题再探】解：如答图，点E即为AC的黄金分割点. △hDcn△4CBAC6 AC2=AD·AB. （2)解：四边形ABCD是平行四边形， .AD=BC,∠A=∠C. 又.∠BFE=∠A,.∠BFE=∠C. 22题答图 又.'∠FBE=∠CBF,∴.△BEF△BFC 【知识迁移】证明：：四边形ACDE是正方形，四边形CBFD 是矩形， 能-8器Br=服·C ∴.∠EAB=∠BCD=90°，AC=CD=AE=DE=BF,BC=DF. 点C为线段AB的黄金分割点， BC=BF=5225 BE3=3…A0= 品器器器 (3)解：菱形ABCD的边长为42-1. [解析]如答图，延长EF、DC交于 ∴.△EAB∽△BCD. 点G. 【延伸拓展】证明：，五边形ABCDE是正五边形， .·四边形ABCD是菱形， .∴.∠BAE=∠AED=(5-2)×180°÷5=108°，AB=AE=DE, ∴.AB∥CD,∠BAD=2LACD, .∴.∠ABE=∠AEM=∠DAE=∠ADE=(180°-108)÷2=36° ∠DAE=∠DAE,∠ADE=∠AEM=36°， EF∥AC,.四边形AECC是平行四 边形，∠ACD=∠G,AE=CG. ..△AME∽△AED, .AE:AD=AM:AE、 ∠BAD=2LEDF,∴.∠EDF=∠G 24题答图 .·∠DEF=∠GED, .AE2=AD·AM. .△EDF△EGD, .∠BED=∠AED-∠AEM=72°， .DE2=EF·EG. ∠DME=180°-72°-36°=72°， 又.'EG=AC=2EF, ∴.∠DME=∠DEM,∴.AE=DE=DM, DM2=AD·AM, DE2=2EF2,..DE =2EF. ..点M是AD的黄金分割点. 又：8s-80c=EDF=4, 23.解：(1)太阳光下，其顶端A的影子落在点D处，同一时 刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影子落在点F处， .DC=DG-CG=42-1, 品器 .菱形ABCD的边长为42-1. 期中综合测试 :标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等， 1.D2.A3.A4.A5.B6.A 即DE=DF 7.C[解析]如答图所示，过点D作DF∥BC交AC于点F. ∴.CD=CA. (2)如答图，令BN与DE的交点为H,则四边形BCDH和 AD=2DB,. AD MNHD是矩形. DF∥BC,.△AFD△ACB, AF AC AB=3六SAcB 7题答图 SAAFD=4S,SAACB=9S.沿DE将 9 FMD △ABC剪成面积相等的两部分，S△e=之S, 23题答图 S△AD=4S=8=AF DE=2.1m,DF=2.1m,DM=1m,MW=1.2m, SAADE 9 ,9-AE .'CD=BH,BC=DH=MN=1.2 m,NH=DM=1 m, ∴.EH=DE-DH=0.9m. 设AB=xm,则AC=AB+BC=(1.2+x)m, ∴.BH=CD=(1.2+x)m, 8.C .NB BH+NH=(2.2+x)m. 9.3 .EH∥AB,∴.△NEH△NAB, 10.3或号【解折]当器=号时，∠A=A△hD 0-0”2+ 1 △4BCA证=iC062=3当把-把时，∠A 解得x=19.8. AC 4 答：纪念碑AB的高度为19.8m ∠A△SADEAAIG,.hE=4C0-42-告袋上， AB 6 (3)纪念碑的实际高度为19.64m,小红求出纪念碑AB的 高度约为18.5m,(2)中纪念碑AB的高度为19.8m, G=3或号 11.±212.1：3 21.解：(1)如答图所示. 13.-4048[解析]方程x2-2024x-2025=0的两个根分 (2)△ABC∽△BDC.证明如下： 别是m、n,.m2-2024m-2025=0,n2-2024n-2025=0, .·AB=AC,∠BAC=36°， m+n=2024,mn=-2025,.m2=2024m+2025,n2= ∴.∠ABC=∠ACB=72 2024n+2025,.(m2-2023m-2026)(n2-2023n- BD平分∠ABC,.∠ABD=∠CBD=36° 2026)=(2024m+2025-2023m-2026)(2024n+2025- ∴.∠CBD=∠A. 2023n-2026)=(m-1)(n-1)=mn-(m+n)+1= 又.·∠C=∠C,∴.△ABC∽△BDC. -2025-2024+1=-4048. (3)1 21题答图 14.(0,3).(4,0)或.0） 2 22.(1)证明：AC平分∠DAB,.∠DAC=∠CAB. 15架1)原式2后5-V写×g1-10 /1 又.'AC2=AB·AD,∴.AD:AC=AC:AB. .△ADC△ACB. (2)原式=49-48-(5-25+1)=1-5+25-1 (2)解：CE∥AD. =25-5. 理由：：△ADC∽△ACB,∴.∠ACB=∠ADC=90° 16.解：(1)x1=3.5,x2=-2.5.(2)x1=5,x2=-1. 又：B为AB的中点CB=之AB=AB, 17.解：(1)任务一：①移项②二去括号时，符号出错 ∴.∠EAC=∠ECA,.∠DAC=∠ECA,.CE∥AD 任务二：x1=4,x2=7 (2).a=3,b=2,c=-3, （3)解AB=6,CE=74B=3. .4=b2-4ac=22-4×3×(-3)=40>0, CE∥AD,.△CEF∽△ADF, x==2±Y40--1±10 CF CE3.AC7 2×3 3 AF=AD=4·CF=3 -1+10 -1-10 .x1= 23.解：(1)√(8-x)2+25+√1+x2 3 ,x2= 3 (2)连结AE交BD于点F,∴.当点C运动到点F处时，AC+ 18.解：(1)根据根与系数的关系，得x1+x2=6,x1x2=2m-1. CE的值最小. x1=1, .·AB⊥BD,ED⊥BD,∠AFB=∠EFD,∴.△AFB∽△EFD, ∴.1+x2=6,x2=2m-1, BF AB .x2=5,m=3. DF ED (2)根据根与系数的关系，得x1+x2=6. x1-x2=0, AB=5,DE=1BF=5DF,即BF=名Bm x1=x2=3. x1x2=2m-1, 6*8=20 BD=8,..BF= 3 ..2m-1=9. ∴.m=5. 当线段BC的长为时，线段AC+CB的值最小 19.解：(1)设乙种商品每件进价的年平均下降率为x, (3)如答图，C是线段BD上的一个动点，分别过点B、D作 根据题意，得125(1-x)2=80, AB⊥BD,ED⊥BD,连结AC、EC 解得x1=0.2=20%,x2=1.8(不符合题意，舍去). 已知AB=3,DE=2,BD=12. 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%. 设CD=x,则BC=12-x, (2)设购进y件甲种商品，则购进(100-y)件乙种商品. 根据题意，得(125-25×2)y+80(100-y)≤7800， 解得y≥40， y的最小值为40. 答：最少购进40件甲种商品. 20.解：(1)点A'的坐标为(-1，-2). 23题答图 (2)画出△A,B,C如答图所示. S64c=2×6×4=12. ∴.AC+CE=√(12-x)2+9+x2+4. 连结AE交BD于点F,延长AB至点G,使得BG=DE=2, 连结EG,易得矩形BGED, ∴.AG=AB+BG=3+2=5,GE=BD=12,∠BGE=90° 由(2)可知，线段AC+CE的最小值即为线段AE的长. 由勾股定理，得AE=√AG+GE=√52+12=13， .线段AC+CE的最小值为13， 即代数式√+4+√(12-x)2+9 的最小值为13. O(P) 24.(1)①证明：过点P作PG⊥BC, PH⊥CD,如答图①， /E G 20题答图 则∠PGE=∠PHF=90°. 四边形ABCD是正方形， (3)点D的坐标为(-2，-2)或(-4,2)或(2,2). 24题答图①同步练测·九年级数学·上册·华师版 第22章综合测试答题卡 姓 名 准考证号 贴条形码区 缺考 缺考考生由监考员粘贴条形码， 标记 并用2B铅笔涂黑缺考标记。 一、 答题前，考生必须将自己的姓名、准考证号填写在答题卡指 定的位置上，并核准条形码上的信息是否与本人相符，完全 正确后，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置上。 二、选择题必须在答题卡上用2B铅笔涂黑，非选择题必须用 填 注 0.5mm黑色水签字笔答题，字迹要工整、清楚。 涂样 正确填涂 意 三、考生必须在答题卡上每题指定的答题区域内答题。在其他 项 题号的答题空间答题无效。答案不能超出黑色边框，超出 黑色边框的答案无效。写在试题卷上的答案无效。 四、要保持答题卡整洁，不准折叠，不准弄破。 色 五、考试结束后，将试题卷和答题卡一并交给监考员。考生不准 将试题卷或答题卡带出考场，否则，将按有关规定处理。 一、选择题（用2B铅笔填涂） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 4[A][B][C][D] 8[A]B][C][D] IIIIIIIIIIII III II I I IIII I II II 二、填空题 9 10. 12 13 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 三、解答题 15. R 15题图 16. D E C 16题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 17. 1-7A-1-T-1-1 -----+--1 -1-1 0 r-1- --i 1- A 17题图 18. M F 18题图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 19. G D 19题图 20. B4 20题图① 20题图② 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 21. D 21题图 22. AC B 22题图① A 22题图② 22题图③ 22题图④ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 23. ■ 23题图 ■ 24. 24题图① D B 24题图② B 24题图③ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效九年级数学·上册·华师版 学 第22章综合测试 满分：120分 n 题 三 总分 得 分 装 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 1下图中是相似图形的一组是 觉订 □口 B C D 2(河北中考)如图，在五边形ABCDE中，AE∥BC,延长BA、BC,分别交 线 直线DE于点M、N.若添加下列一个条件后，仍无法判定△MAE∽ △DCN,则这个条件是 () A.∠B+∠4=180° B.CD∥AB C.∠1=∠4 D.∠2=∠3 鞍 内 不 2题图 3题图 3(云南中考)如图，在△ABC中，已知D、E分别是AB、AC边上的点，且 EBc若0-宁 BC 要 A分 c D. 4如图，网格中每个小正方形的边长都是1，△ABC的三个顶点均在格 点上，△ABC与△A'B'C位似，点A为位似中心，且相似比为1：2.若 答 在网格中建立平面直角坐标系，点A的坐标为(-3,2)，则点C的对 应点C的坐标为 A.(-5,2) B.（-1,2)或(-5,2) C.(-5,0) D.（-5,0)或(-1,4) 题 0 D A B B 4题图 5题图 6题图 5(眉山中考)如图，在4×3的方形网格中，每个小正方形的边长均为 1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与 △OCD的周长之比是 A.2:1 B.1:2 C.4:1 D.1:4 6唢呐是山西八大套的演奏乐器之一.如图，一个中号唢呐AB的长约 为40cm,若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P处进行装饰，则该 装饰与吹口的距离AP为 A.(20W5-20)cm B.(20√5+20)cm C.(60-20√5)cm D.(20W5-40)cm 7如图，菱形ABCD的面积是24，E、F分别是菱形ABCD的边BC、CD 的中点，连结AE、BF,AE与BF交于点G,则△BEG的面积为() A.5 B.36 11 C.3 D.9 B" D B 7题图 8题图 8(东营中考)如图，在△ABC中，CB=CA,∠ACB=90°，点D在边BC 上（与点B、C不重合），四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA, 交CA的延长线于点G,连结FB,交DE于点Q.下列结论：①AC=FG; ②S△FaB:S四形cBFG=1:2;③LABC=ABF;④AD=FQ·AC.其中结论 正确的序号是 () A.①②④B.①②③ C.①②③④ D.②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 日（成椰中专）若号=3，则的值为 10如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上.添加一个条件使 △ADE∽△ACB,则这个条件可以是 ·(写出一种情况即可) 10题图 11题图 门（青海中考）如图，在△ABC中，DE/BC,且AD=3,DB=2,则A2的值 是 12如图①是装了液体的长方体容器的主视图（数据如图），将该容器绕 地面一棱进行旋转倾斜后，水面恰好接触到容器口边缘，如图②所 示，此时液面宽度AB= 6cm 17 cm AB液面高度 8.c 一桌面 12题图① 12题图② 13题图 13如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=8,点E在边AD上，CE与BD相 交于点F,设DE=x,BF=y,当0≤x≤8时，y关于x的函数表达式为 5 14(烟台中考)如图，在平面直角坐标系中，点 3 P的坐标为6，引，△MBC的顶点A的坐标 2H P 为(4,3).以点P为位似中心作△ABC1与 1B, △ABC位似，相似比为2，且与△ABC位于点 0123456x P同侧；以点P为位似中心作△AB2C2与 14题图 △AB1C1位似，相似比为2，且与△ABC1位于点P同侧，…按照以 上规律作图，点A3的坐标为 三、解答题：本题共10小题，共78分。 15(6分)如图，已知△ABC∽△A'B'C',它们的相似比为k,AD、A'D'是对 应的中线家证物=铝=太 15题图 16(6分)如图，已知直线l1、l2、3分别截直线4于点A、B、C,截直线15 于点D、E、F,且L1∥L2∥L3: (1)如果AB=3,BC=6,DE=4,求EF的长； (2)如果DE:EF=2:3,AC=25,求AB的长. B 16题图 1⑦(6分)（安徽中考）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成 的网格中建立平面直角坐标系xOy,△ABC的顶点和A,均为格点（网 格线的交点).已知点A和点A1的坐标分别为(-1，-3)和(2,6) (1)在所给的网格图中描出边AB的中点D,并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将△ABC放大得到△AB,C1,使得点A的对 应点为A1,请在所给的网格图中画出△A1B,C 17题图 18(7分)如图，为了测量平静的河面的宽度，即EP的长，在离河岸D点 3.2m远的B点，立一根长为1.6m的标杆AB,在河对岸的岸边有一 根长为4.5m的电线杆MF,电线杆的顶端M在河里的倒影为点N, 即PM=PN.两岸均高出水平面0.75m,即DE=FP=0.75m,经测量 此时A、D、N三点在同一直线上，并且点M、F、P、N共线，点B、D、F 共线，若AB、DE、MF均垂直于河面EP,求河面的宽度EP. 777777 18题图 19(7分)（滨州中考）如图，在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC.以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BC于点E、F;以点A为圆心， BE的长为半径画弧，交AC于点H,以点H为圆心，EF的长为半径画 弧，两弧交于点G;连结AG并延长交BC于点D. (1)求证：△ACD△BCA; (2)当AB=4时，求BC的长. G 19题图 20(7分)如图①，在△ABC中，AB=8,BC=6,点D在线段BC上，CD= 2,过点D作DE∥AC,交AB于点E. (1)求线段AE的长； (2)如图②，在图①的基础上连结CE,过点D作DF∥CE,交AB于点 F,求线段BF的长 B D 20题图① 20题图② 21(8分)已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为边AB上一点，过 点B作BE⊥CD,垂足为点E,延长BE交边AC于点F. （当DA=DC时，求证：8品 (2)当F为AC中点时，连结AE,求证：AE·FC=EF·AB. H 21题图 22(9分)（乐山中考）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现：将 条线段AB分割成长、短两条线段AC、CB,若短段与长段的长度之比 等于长段的长度与全长之比，即g=4G,则这种分割称为黄金分割， AC AB' 这个比值称为黄金比，点C叫做线段AB的黄金分割点： 【问题初探】如图①，已知点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC), 求黄金比. 解：设AB=1,AC=x,则CB=1-x. ..CB_AC ACAB,.... 请补全以上解题过程； 【问题再探】如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=1,AC=2,请作出 AC的黄金分割点（要求：仅用圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）； 【知识迁移】如图③，点C为线段AB的黄金分割点(AC>BC),分别 以AC、BC为边在线段AB同侧作正方形ACDE和矩形CBFD,连结 BD、BE.求证：△EAB∽△BCD: 【延伸拓展】如图④，在正五边形ABCDE中，对角线AD与BE交于点 M.求证：点M是AD的黄金分割点. A C BA 22题图① 22题图② 22题图③ 22题图④ 23(10分)（河南中考）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物 保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心.某综合与实践小 组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下， 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量 示意图 N FMD 23题图 如图，纪念碑AB位于有台阶的平台BC上，太阳光下，其顶端A 的影子落在点D处，同一时刻，竖直放置的标杆DE顶端E的影 测量说明 子落在点F处，位于点M处的观测者眼睛所在位置为点N,点 N、E、A在一条直线上，纪念碑底部点B在观测者的水平视线上 测量数据 DE =2.1 m,DF =2.1 m,DM =1 m,MN=1.2 m 备注 点F、M、D、C在同一水平线上 —6 根据以上信息，解决下列问题： (1)由标杆的影子DF的长和标杆DE的长相等，可得CD=CA,请说 明理由； (2)求纪念碑AB的高度； (3)小红通过间接测量得到CD的长，进而求出纪念碑AB的高度约 为18.5m.查阅资料得知，纪念碑的实际高度为19.64m.请判断 小红的结果和(2)中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的 可能原因（写出一条即可） 24(12分)【基础巩固】 （1)如图①，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD=∠B,求证：AC2= AD·AB; 【尝试应用】 (2)如图②，在口ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点， ∠BFE=∠A.若BF=5,BE=3,求AD的长； 【拓展提高】 (3)如图③，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点， EF∥AC,AC=2EF,∠BAD=2∠EDF,AE=1,DF=4,求菱形 ABCD的边长（直接写出答案）. 24题图① 24题图② 24题图③