23.4 课时1 解直角三角形-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第23章解直角三角形 23.4解直角三角形 课时1解直角三角形 <《基础巩固练 [答案37] 如识点①解直角三角形 如限盒®解直角三角形的应用一方位角问题_/ ①在Rt△ABC中，有下列情况，则直角三角形可解 6如图，甲、乙两船同时从港口A出发，甲船以 的是 30 n mile/h的速度沿北偏东35°方向航行，乙船 A.已知BC=6,∠C=90° 沿南偏东55°方向航行，2h后，甲船到达C岛， B.已知∠C=90°，∠A=60°，BC=5 乙船到达B岛.若C、B两岛相距100 n mile,乙 C.已知∠C=90°，∠A=∠B 船的速度是 n mile/h. D.已知∠C=∠B=45 2(南通中考)在△ABC中，∠C=90°，tanA= 59 2 D东 AC=25,则BC的长为 A.1 B.2 C.√5 D.5 6题图 3(浙江杭州期末)在Rt△ABC中，∠ACB=90°， 7如图，上午8：00，一条船从A处测得灯塔C在它 AB=4,tanA=√3，则BC的长为 的北偏西30°方向，该船以30 n mile/h的速度向 A.3 B.2 C.√3 D.23 正北航行，9：30到达B处，测得灯塔C在它的北 4在△ABC中，∠C=90°，∠B=50°，AB=10,则 偏西60°方向，若船继续向正北方向航行，求轮 BC的长为 船何时到达灯塔C的正东方向D处 A.10tan50° B.10cos50° C.10sin 50 D.10 c0s50° 30 5根据下列条件解直角三角形 (1)在Rt△ABC中，∠C=90°，c=10,∠B=30°； (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9,c=6√5. 7题图 89 ①同步练测·九年级数学·上册·华师版 《能力提升练>· [答案P38] 1①如图，AD是△ABC的高.若BD=2CD=6,tanC 6如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B =2,则AB的长为 ( A.32 B.35 C.62 D.37 是领角，且血B=号mA=分4C=3,5 (1)求∠B的度数与AB的长； (2)求tan∠CDB的值. D 1题图 2题图 2如图，∠BAD=90°，∠ADC=15°，∠ABC=30°， D 6题图 AB=2,AD=2√3，则阴影部分的面积为（) A.2 B.5 C.2+5 D.3-3 3如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC于 点D,4C=I0,osC=},那么cD= 7[核心素养]如图，甲、乙两艘货轮同时从A港出 发，分别向B、D两港运送物资，最后到达A港正 东方向的C港装运新的物资.甲货轮沿A港的 东南方向航行40 n mile后到达B港，再沿北偏 3题图 4题图 东60°方向航行一定距离到达C港.乙货轮沿A 4如图，在四边形ABCD中，AD=AB=BC,∠ACD 港的北偏东60°方向航行一定距离到达D港，再 E30,eos BAC=21,CD=2,则AC日 沿南偏东30°方向航行一定距离到达C港.（参 考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45) (1)求A、C两港之间的距离（精确到0.1 n mile); 5如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码 (2)若甲、乙两艘货轮的速度相同（停靠B、D两 头C,货轮航行到A处时，测得码头C在北偏东 港的时间相同)，哪艘货轮先到达C港？请 60°方向上.为了躲避A、C之间的暗礁，这艘货 通过计算说明。 轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当 它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行 东 20 n mile到达码头C,则货轮从A到B航行的距 609 30 离是 n mile..（精确到0.1 n mile,参考 A 45 数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈ 609 1.192) B 北 7题图 北 70° 60 30 5题图6.C[解析]如答图，延长AC到点D,连结BD,AD=20, BD2=5,AB2=25,AD2+BD2=AB2,.∠ADB=90°， cos∠BAC=AD=20_25 B D 6题答图 专题8锐角三角函数综合应用 1.解：如答图，过点A'作A'D⊥BC'于点D.在等腰直角三角形 A'BC中，易知A'D是底边B'C'上的中线， AD=gD=之BC .BC=B'C' .BD=BC+B'D=B'C'+B'D=- wc, .tan∠A'BC'=A'D2B'C 1 BD- 二3 2B'c B C(B)D C 1题答图 2D3(90)4号 5.解：(1)由题意，得 sin120°=sin(180°-120°)=in600= 2 c0s120°=-c0s(180°-120)=-c0s60°=-2， 1 in150=sin(180°-150）=sin30°=2 (2),该三角形的三个内角的比是1：1：4， ∴.该三角形的三个内角分别为30°，30°，120° ,sinA、cosB是方程的两个不相等的实数根， sinA+cosB=m」 ，AsB=-子 .A、B是三角形两个顶点，.sinA>0,cosB<0, ∠A=30,2B=120,号+(-）g, ∴.m=0. 6.解：(1)OB=3,点B在y轴正半轴上， ∴.B(0,3). :m∠BA0=70A=m2M0= OB 3 -=6. 2 参考答案及解析 又：点A在x轴的负半轴上，A(-6,0) 设直线AB的函数表达式为y=:+b(k≠0)，将点A(-6, 0),B(0,3)的坐标代人，得-6+6=0，。 [k=2’ 1 b=3, 解得人 b=3, 1 ·直线AB的函数表达式为y=2x+3, (2)如答图，过点C作CH⊥x轴于点H,则CH∥OB. y B A 6题答图 OAC15. CH=2SA40c_2x15=5,点C的纵坐标为5. OA 6 1 又：点C在直线y=2+3上， ∴之+3=5，解得x=4, ∴点C的横坐标为4，即0H=4, m∠o0M-器号 :CH∥OB,∠OCH=∠BOC, ∴mL80c=m∠0ch=-号 23.4解直角三角形 课时1解直角三角形 【基础现固练】 1.B2.C 3.D〔解析]在△MBC中，∠C=90,则mA-%=, .ACCABG 3 .BC2=12,.BC=25. 4.B 5.解：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，c=10, 六∠A=900-∠B=-90-30°=60,6=7=5， ∴a=√2-b=√102-5=55. (2),在Rt△ABC中，∠C=90°，b=9,c=63, a=w√c2-b=35. imA=g=35-1 c632, ∴.∠A=30°，∴.∠B=90°-∠A=90°-30°=60°. 6.40 ·37. 同步练测·九年级数学·上册·华师版 7.解：.∠CBD为△ABC的外角，∠CBD=60°，∠CMB=30°， ∴∠ACB=∠CBD-∠CAB=30°， ∴.∠CMB=∠ACB, ∴.AB=BC AB=30×(9.5-8)=45(n mile), .'BC=45 n mile. 在Rt△BCD中，∠BCD=30°， .BD=BC=22.5 n mile, :从B处到D处用的时间为2.5÷30=子(b)=45(mi), 即轮船10时15分到达灯塔C的正东方向的D处， 【能力提升练】 1.c 2A[解析]如答图，过点C分别作AD、AB、DB的垂线，垂足 分别为，点E、G、F∠BAD=90°，AB=2,AD=25, .tan LADB AB 污停，B=0+派=4， ∴.∠ADB=30°，.∠ABD=60°.又，·∠ADC=15°，∠ABC= 30°，易知DC、BC分别为∠ADB、∠ABD的平分线，CE =CF=CG设cB=CF=CG=a,号AB·AD=2(A0+ DB+AB)×a,2×25=(25+4+2)a,解得a=√3-1， 阴影部分的面积为之AB·AD-之DB·CF=号x2× 25-号×4×(5-1)=2. D R 2题答图 3号 4.43[解析]过点D、B分别作DE⊥AC,BH⊥AC,垂足分 别为点E、H,如答图.设AC=x,'在Rt△CDE中，CD=2, ∠ACD=30°，DE=号CD=1,CE=CD·c0s30°=5， .AE=x-√3.在Rt△AED中，由勾股定理，得AD2=AE2+ DE=()2+1.AB=BC,BHLAC.AH=AC= 分L4C=0-,AB=A0,(船-，即 1 (1 +药港理，得35-168Bx+36=0,解得 名=45，=号5.当4C=号5时，4C<DC,与图形不 ·38· 符，舍去，.AC=45. 4题答图 5.30.6 6.解：(I)如答图，过点C作CE⊥AB于点E.设CE=x, 在△ACE中，：m4-器=分 .AE=2x,..AC=+(2x)2=5x, 5x=35,解得x=3,CE=3,AE=6. 在Rt△BCE中， sin B= 气∠B=45,△BCE为等腰直角三角形， .'BE=CE=3,.'.AB=AE+BE=9. 6题答图 (2)CD是边AB上的中线， BD=2AB=4.5,DE=1.5, m∠C0E-院=是-2，用m∠c08的值为2 7.解：(1)如答图，过点B作BE⊥AC于点E, ∴.∠AEB=∠CEB=90° 由题意可知∠GAB=45°，∠EBC=60°， ∴.∠BAE=45°， ∴.AE=AB·co略∠BAE=40×cos45 =40×2=20反(n mile)), 2 BE=AB·sin∠BAE=40×sin45o =40x2=202(mmle), 2 .∴.CE=BE·tan∠EBC=20√2tan609 =202×√5=206(n mile), .AC=AE+CE=202+206≈20×1.41+20×2.45= 77.2(n mile), .∴.A、C两港之间的距离约为77.2 n mile. 北 东 60 E F AP G458 60 B 7题答图 (2)由(1)知LEBC=60°，BE=20√2 n mile,. Bc=BE2=205。.202=402=56.4(n mile.) cos LEBCcos60°1 1 2 由题意，得∠ADF=60°，∠CDF=∠CAD=30°， .∠ADC=90°， .CD-Cx77.2-38.6(nmile), AD=AC,cos30°=7.2×1-73≈66.8(nmle）, 2 “.甲行驶的路程为AB+BC=40+56.4=96.4(n mile), 乙行驶的路程为AD+CD=66.8+38.6=105.4(n mile). 96.4<105.4,且甲、乙速度相同， .甲货轮先到达C港。 课时2解直角三角形的应用一仰角、俯角 【基础巩固练】 1.B2.8.4 3.解：延长CD交A0于点F,如答图. D 3题答图 则四边形CEOF是矩形， ∴.∠AFC=∠CF0=90°，CF=OE=15m. 在△4CP中，m∠ACF=2怎-g=39, .AF=15×3.49=52.35(m). 在△B0p中，m∠B0cr=8器-g-327, ∴.BF=15×3.27=49.05(m), ∴.AB=AF-BF=52.35-49.05≈3(m). 答：三棱锥高度AB大约是3m. 4.B[解析]由题意可知AD⊥BC,AD=100m,∠BAD=36°， ∠DAC=60°，∴.BD=AD·tan36°≈100×0.73=73(m),CD =AD·tan60°=100×√3≈173(m),.BC=BD+CD= 73+173=246(m). 5.180 6.解：由题意，得∠CAB=∠ACD=90°，∠ABC=30°，CD=60m. 在Rt△ACD中，AC=CD·tan63.4°≈120m. 在△1Bc中，MB=0=120,5=207.6(m. 答：校园西门A与东门B之间的距离为207.6m. 参考答案及解析 【能力提升练】 1.A2.7.4 3.120√3[解析]如答图，过点C作CD⊥AB,垂足为点D. F--- 607 30-E D B 3题答图 由题意，得EF∥AB,∴，∠FCA=∠CAB=6O°，∠ECB=∠CBA= 30在R△ACD中，CD=0m,AD=CD 90 tan60°= 30,5(m).在R△BCD中，BD=a30- CD 90 =905(m),.AB 3 =AD+BD=1205(m),∴，湖泊两端A、B的距离为1205m. 4.解：.∠BEC=60°，∠BDE=30°， ∴.∠DBE=60°-30°=30°，∠DBE=∠BDE, .∴.BE=DE=20m. 在△B6C中，BC=BE·m60=20×=10w5(m， .AB=BC-AC=105-12≈10×1.73-12=5.3(m). 答：旗杆AB的高度约为5.3m. 5.解：如答图，延长BC交直线l于点F,过点A作AE⊥l,垂足 为点E,则BF⊥. D 45o 230° 楼 房 B 5题答图 由题意，得AE=BF=40m,AB=EF=70m. 在Rt△ADE中，∠ADE=45°， ·DE=AE tan450=40(m), .DF=EF-DE=70-40=30(m). 在Rt△CDF中，∠CDF=30°， Cf=F.m30=30×号=10(m), .BC=BF-CF=40-103≈23(m), ∴.楼房的高度约为23m. 6.解：如答图所示，过点E作EF⊥AB于点F,则∠EFB=90°. EC⊥CB,AB⊥CB,.∠ECB=∠CBF=90°=∠EFB, ∴.四边形BCEF是矩形， .'EF=BC =16 m,BF=CE=1.5 m. ·39.