22 专题5 相似三角形的证明方法&专题6 相似的结合应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第22章 图形的相似 专题5相似三角形的证明方法 [答案P25] 法①三点定形法 方法②等线段代换法 1如图，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高， 3如图，在△ABC中，D、E分别是BC和AC上的 ∠ABC的平分线BE交AC于点E,交AD于点 点，连结DE并延长，与BA的延长线交于点F, R求证品品 且B0-Dc求证瓷号 D 1题图 3题图 2如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边BC上 4如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、 一点，连结BD、AE,它们相交于点F,且∠BDA= ∠BAE. Bc上的点，DE∥C,EF∥4，求证：0- (1)求证：BE=EF·AE; DE (2)若BE=4,EF=2,DF=9,求AB的长， CT 2题图 4题图 c 香同步练测·九年级数学·上册·华师版 法③等比代换法 方法⑨等积代换法 5如图，已知在△ABC中，点D在边BC上，∠ADE 7如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC =∠B,∠EAF=∠FDC,DE与AC交于点F.如 内一点，DE∥BC,过点D作AC的平行线交CE 果AB2=AF·AC,求证：AD·BC=AE·BF 的延长线于点R,CP与AB交于点P,求证器 D 5题图 7题图 6如图，在△ABC中，已知∠BAC=90°，AD⊥BC于 8如图，CE是直角三角形ABC斜边AB上的高，在 点D,E为直角边AC的中点，连结ED并延长， EC的延长线上任取一点P,连结AP,过点B作 交B的廷长线于点R求证：光 BG⊥AP于点G,交CE于点D.求证：CE2=PE· DE. 6题图 8题图 680 第22章 图形的相似 专题6 相似的综合应用 [答案26] 类型①与三角形有关的综合 类型®与四边形有关的综合 ①如图，在等边三角形ABC中，点D、E分别在AC、 3(江西萍乡期末)如图，在平行四边形ABCD中， AB上，且2号4E=贴 E为AB的中点，F为AD上一点，EF交AC于点 G,AF=2cm,DF=4cm,AG=-3cm,求AC的长. (1)求证：△AED∽△CBD; D C (2)已知△BDC的面积为24√3，求BD的长. G 3题图 1题图 2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为斜边 类型③与反比例函数有关的综合 AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交BC 4如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点 于点F,FG⊥AB于点G.求证：FG=CF·BF, B,CD⊥x轴于点D,点C的坐标为(4,6)， △OAB∽△COD,且相似比为1：2，反比例函数y =在(x>0)的图象经过点A,交0C于点E,求店 dd 的值. D G 2题图 B D 4题图 60选项符合题意；因为，点F为△ABC的重心，所以DF= CP,所以S2r=宁ar故C选项不特合题意：因为 DE∥BC,所以SADRE=S△DCE,所以SAADC=SAAER·-故D选 项不符合题意. 3.D 4.D[解析]如答图，连结EG.'DE∥BC,DE过△ABC的重 DE 2 心，BC=子设DE=10,则BC=15.DF=4EF,DF =8,FE=2,.SADFG:SAEFG=4:1.DE∥BC,△GDFM △6c瓷-咒=是凭=号acS=87, .SADFG:SAEFC =32:7. B 4题答图 56 6.证明：(1)∠ADB=∠ACB, ,∴.∠BDE=∠ACE. 又，∠CEA=∠DEB, .△ACE∽△BDE (2).△ACE∽△BDE 柴器器瓷 又，∠DEC=∠BEA, ∴，△ECD∽△EAB, ·器品 即BE·CD=AB·DE 7.(1)证明：.AC平分∠DAB, ∴.∠DAC=∠CAB. ,∠ADC=∠ACB=90° .△ADC∽△ACB, …光2胎 .AC2=AB·AD. (2)解：AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠CAB. ∠ACB=90°，E为AB的中点，AB=6, CE-AE-7AB=3LCAE=LACE. ·∠ACE=LDAC,.CE∥DA, 小怒品手 专题5相似三角形的证明方法 1.证明：，在Rt△ABC中，AD为斜边BC上的高， ∴.∠C+∠CAD=90°. .·∠CMD+∠BAD=90°，.∠BAD=∠C. 参考答案及解析 .:∠ABC的平分线BE交AC于点E, ∠ABP=∠CBE△0△CaE品-品 2.(1)证明：：四边形ABCD为平行四边形， ∴.AD∥BC,∴.∠FBE=∠BDA. .·∠BDA=∠BAE,∴∠FBE=∠BAE .∠BEF=∠AEB,∴.△EBF∽△EAB, 器-需股=即，A服 (2)解：BE2=EF·AE,BE=4,EF=2, ·AE=BE42 E㎡=2=8，AF=AE-EF=8-2=6. BE∥AD,F BF EF AF 即BF、2 9=6,解得BF=3. △EBF∽△EAB,AB-EB' BF EF 即3 2 B=4.AB=6. 3.证明：如答图，过点A作AM∥DF交BD于点M, 瓷2品 又D=c能-器 B4 MD 3题答图 4.证明：，DE∥BC,EF∥AB, 四边形DEFB为平行四边形，.DE=BF DEc品-怨F/A装-既 :DE=BF,∴ABBC AD DE 5.证明：连结BF,如答图. .·∠EAF=∠FDC,∠AFE=∠DFC,∠EAF+∠AFE+∠E =180°=∠FDC+∠DFC+∠C,.∠E=∠C. ,∠ADE=∠B,.△ADEM△ABC, 40=4E.AD4B AB=AC·AE=AC AB2=AF·AC, 、ABAF ACAB .·∠BAF=∠CAB, .△ABF∽△ACB, 5题答图 …怨器…船影 ∴.AD·BC=AE·BF 6.证明：·∠BAC=90°，AD⊥BC,.∠BAC=∠ADB=90°. :∠CBA=∠ABD, ·25. 同步练测·九年级数学·上册·华师版 △C84~△ABD,LC=LD,-0 又：E为AC的中点BD=子4C=BC,LC=LBDC 又.：∠EDC=∠FDB,∴.∠FAD=∠FDB. .∠DFB=∠AFD BD DF AB DF △DBF∽△ADF,∴DH-AF,AC-AF 7证明DE/BC路-是Pm.Pc=PE-Pa DF∥AC,E-盼PD·PC=PF·PA PEPB=FPA器路 8.证明：，·CE是直角三角形ABC斜边AB上的高， .∴.∠ACB=∠AEC=90°， ∴.∠ACE+∠BCE=90°，∠ACE+∠CAE=90°， ∴.∠CAE=∠BCE 'LAEC=LCEB,.Rt△ACE∽Rt△CBE, 六能-器C=AEE 又.·BG⊥AP,.∠DEB=∠DGP=∠PEA=90°， .∠P+∠PAE=∠GBA+∠PAE,.∠P=LGBA, 六△h4E△DEB3-0, .PE·DE=AE·BE,.CE2=PE·DE, 专题6相似的综合应用 1.(1)证明：，：△ABC为等边三角形， ∴.∠A=∠C=60°，BC=AB. B=BEC8=242=子， 号得c0=20,2品能宁 又：∠A=∠C,∴.△AED△CBD. (2)解：如答图，过点D作DF⊥BC于点F 设AD=a,则AC=3a,CD=2a. 作DG∥AB交BC边于点G, ∴.易得△CDG∽△CAB, .△CDG为等边三角形，∴.CG=CD=2a 又nF1cGcF=cG=aDp=a ,·△ABC是等边三角形，∴.BC=AC=3a, ∴Sac=号0F·Bc=号×w5a·3a=245, 解得a=4(负值已舍去)， .BC=12,CF=4,DF=43,.BF=8. 在Rt△BDF中，由勾股定理可知BD=4√7. B G F 1题答图 ·26· 2.证明：如答图，延长GF与AC交于点H. ,:CD⊥AB,FG⊥AB,∴.CD∥FG, ∴.∠AGF=∠ADE,∠AFG=∠AED H ∠AHF=∠ACE,∠AFH=∠AEC, ∴.△AFG∽△AED,△AFH∽△AEC, AF FG AF FH ·AE=ED'AE=EC FG FH ·ED-EC 2题答图 又.：ED=EC,.FG=FH. 易证得R△CFH∽R△GFB,CF=FB: CF FH .FG·FH=CF·BF .FG=FH,∴.FG2=CF·BF. 3.解：如答图，取AC中点H,连结EH. D H G 3题答图 E为AB的中点，H为AC的中点， .EH为△ABC的中位线，∴.EH∥BC. 在平行四边形ABCD中， AF=2 cm.DF=4 cm, .∴.AD=AF+DF=6cm, .'BC=AD =6 cm,.'.EH=3 cm. ,·EH∥BC∥DA,∴.△GHE∽△GAF ÷盟职即cH=33-(m), CA FA 2 4c=2x(3+2）=15(m). 4.解：点C的坐标为(4,6)，CD⊥x轴于点D, .0D=4,CD=6. .△OAB∽△COD, AB OB 1 ”ODCD=2, AB=子0D=2,0B=2CD=3. :AB⊥x轴于点B,.A(3,2) :反比例函数y=(x>0)的图象经过点A, ∴.k=3×2=6. 22.4位似图形 【基础巩固练】 1.C2.B 3.B[解析]：以点O为位似中心，把△ABC各边放大到原来 的2倍得到△A'B'C,.△ABC△A'B'C,AB∥A'B',直线 CC经过点O,AO:AM'=1:3,故A、C、D选项说法正确，不符 合题意：B选项说法错误，符合题意. 4.B