22 专题4 常考的相似模型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

第22章 图形的相似 专题4常考的相似模型 [答案P20] 类型（①“A”字型 类型②“8”字型 ①模型展示>>-· ⑦模型展示>-·- (DE∥BC) (DE与BC不平行， (AB∥CD) (AB与CD不平行， 其中∠AED=∠B) 其中∠ABJ=∠CDJ) 《 《明 1如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC= 3已知：在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB边上 8,E是AC上一点，AE=5,ED LAB,垂足为点D, 求AD的长. 的高，连结ED,求证：△ABC∽△ADE. 1题图 3题图 2如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上， ∠AED=∠B,AG分别交线段DE、BC于点F、G, ④如图，已知正方形ABCD中，E、G分别是AD、BC 且AD:AC=DF:CG.求证： 的中点，连结CE、DG、BD.线段CE分别交BD、 (1)AG平分∠BAC; DG于点F、H. (2)EF·CG=DF·BG (1求影的位： (2求的值 4题图 2题图 0 同步练测·九年级数学·上册·华师版 类型⑥旋转型 类型⑨母子型 ⑦模型展示>-…一·…一-一·=一 模型展示>-…-一= 若∠1=∠2，∠B=∠D, D 则△ADE∽△ABC (∠ACD=∠B) ·……-<《明 7如图，在△ABC中，D为BC上一点，∠BAD=∠C 5(福建福州期末)如图，在△ABC和△ADE中， (1)求证：△ABD∽△CBA; ∠ACB=∠AED=90°，AC=CB,AE=ED.连结 (2)若AB=6,BD=3,求CD的长. BD、CE.当点D在△ABC内，且B、D、E三点共 线时，设DE交AC于点O,则图中与△OCE相似 的三角形（不包括△OCE)共有 D 7题图 5题图 A.0个B.1个C.2个 D.3个 6如图，点B、D、E在一条直线上，BE与AC相交 于点r8能e (1)求证：∠BAD=∠CAE; (2)若∠BAD=21°，求∠EBC的度数； 8如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边 (3)连结EC,求证：△ABD∽△ACE. 于点D,已知∠ADB=2∠ABD (1)求证：△ABD∽△ACB; (2)若DC=2AD=2,求∠A的度数 D 6题图 8题图 580 第22章图形的相似 类型⑤双垂直型 类型⑥一线三等角型 模型展示>>-·一· 模型展不>-…一-=-一一一一·一” △ADE∽△ABC 若∠1=∠2=∠3， D 则△ABC∽△CDE C(D ……-《组 "””==””·一”“。-·一·-··-·一《《 9如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线，过点 1门如图，在矩形ABCD中，E为DC边上一点，把 D作垂直于AB的直线交BC于点E,交AC的延 △ADE沿AE翻折，使点D恰好落在BC边上的 长线于点F.求证： (1)△ADF△EDB; 点F处求证设好 (2)CD2=DE·DF. 11题图 9题图 12如图，在△ABC中，∠A=50°，AB=AC,D是BC 边上的动点，E、F分别是AB、AC边上的点. 10(四川遂宁期中)如图，在△ABC中，∠ACB= (1)若BD=DE,且△BDE∽△CDF,求∠EDF的 90°，CD⊥AB于点D,E为AC的中点，ED、CB的 度数； 延长线交于点F,求证： (2)若∠EDF=α，不改变α的值，以D为旋转中 (1)△ABC∽△CBD; 心，把∠EDF按顺时针或逆时针方向适当转 (225-% 动后，△BDE和△CDF始终保持相似，求aα 的值. 10题图 D 12题图 c59 同步练测·九年级数学·上册·华师版 类型⑦对角互补模型 1⑤如图，E、G、F、H分别是矩形ABCD四条边上的 ⑤模型展示》>-一-一-一·-·一… 点，EF⊥GH.若AB=2,BC=3,求EF与GH 的比. 若∠A0B+∠DCE=180°， D 过点C作CM⊥AO于点M, CN⊥OB于点N, 则△CDM∽△CEN - …=·。“·-w《《 15题图 13在数学探究活动中，某同学进行了如下操作：如 图，在直角三角形纸片ABC(∠C=90)内剪取 一个直角三角形DEF(∠EDF=90),点D、E、F 分别在AB、AC、BC边上.当AC=3,BC=4,DE= 2DF时，求AD的长. 13题图 16如图，矩形ABCD由两个全等的正方形组成，点 类型⑧十字架模型 E、H、F、G分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、 ⑥模型展示>-…一·-一一一…一·-·一一 DA上，EF与GH交于点O,∠FOH=90°，EF= D 在矩形ABCD中， 4,求GH的长. CF⊥DE于点G, C 则△Dcr∽△ADE=8-8品 16题图 14如图，点E、F、G分别在正方形ABCD的边AB BC、AD上，AF⊥EG.若AB=5,AE=DG=1,求 BF的长. 0 14题图 60g同步练测·九年级数学·上册·华师版 (2)证明：E、F分别是AB、BD的中点， 六易得CF=2D,CB=4B,EN=7AD, 需-器-荒=分△GE△D 【能力提升练】 1.D 2.D[解析]△ACD是以AC为底的等腰三角形，AD= cm△8c0与△a4C有船-品-2设D= BD=y,则AD=x,AB=x+y,六. 2 「+y2=4 =4B 3， 解得 CD=43 4y=2x, y= 25 3 3 3.③④⑤4.45° 5.证明：DE∥AB,EF∥BC,DF∥AC, 器册张咒器 即DE-DPEF AB AC BC' ∴.△DEF∽△ABC. 6.证明：如答图，过点C作CH⊥OB,交OB于点H. 由A、B、C三点的坐标可以得到OA=3,OB=4,AD=1,CD= 2,0H=CD =2,BH=0B-OH=2,CH=4, .AB=OA2+OB2 yA =32+42=5, AC=AD2+CD HP =√2+22=√5， 0 A Dx BC=√B+CH 6题答图 =√22+42=25. 在△ABC和△ACD中， 光--5%-29-58-， 品器光 .△ABC∽△ACD. 7(1)证明治0。 品器 AB CD-AC-AB CD AC AD CD=A'CAD' .△ADC∽△A'D'C', ∠A=∠A' AC=APB,△ABC△A'B'C. ·20· (2)解：△ABC∽△A'B'C. 理由：如答图，过点D、D'分别作DE∥BC,D'E'∥B'C',DE 交AC于点E,D'E交A'C于点E. E 7题答图 ,DE∥BC,∴.△ADE∽△ABC, :40=DE4E AB BC AC 同理A'D_DE'4'E A'B'B'CTA'CT :40、AD ABA'B' DE D'E' ∴B-BC DE BC DEB'C" 同理AE、A'E ACA'C' .AC-AE_A'C-A'E' AC A'C 即EC-E'C AC A'C EC=AC ECA'CT CD AC BC CDA'CB'C CD DE EC ∴CD-DE-EC ∴.△DCE∽△D'CE', .∴.∠CED=∠C'E'D'. .DE∥BC, .∠CED+∠ACB=180°， 同理∠CED'+∠A'CB'=180°， ∴.∠ACB=∠A'CB AC=CB “AC-CB .△ABC∽△A'B'C. 专题4常考的相似模型 1.解：.∠C=∠ADE=90°，∠A=∠A, △M0 EAACB,2=8 又：AC=8,AE=5,AB=10, 智00=4 2.证明：(1)：∠DAE+∠AED+∠ADE=180°，∠BAC+ ∠B+∠C=180°，∠AED=∠B,∠DAE=∠BAC, .∠ADE=∠C. 在△ADF和△ACG中， AD:AC=DF:CG,∠ADE=∠C, .△ADF∽△ACG, ∴.∠DAF=∠CAG .AG平分∠BAC. (2)在△AEF和△ABG中， ∠AED=∠B,∠EAF=∠BAG, △AFFAARG,AG-8 由1)期△Ai0A1cc小2器-C 六影-2器P,cG=r·G 3.证明：设BD与CE交于点O, :BD、CE分别是AC、AB边上的高， .∠BEC=∠BDC=90. ∠BOE=∠COD,.∠ABD=∠ACE. ,∠A=∠A,∴.△ABD∽△ACE, …能0…品 ∠A=∠A,△ABC△ADE. 4,解：(1)：E是AD的中点ME=DE=2AD, ,四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC,AD∥BC, DE=BC,△DEF△BCP, :分…既行 (2)G是BC的中点， CG-RC-AD,2CG-DE. :'AD∥BC,∴.△DEH∽△GCH, 小器器=18m=0H=子c 由(1得器=号，即EF=宁c, C AFH=EH-BF=6BC,小CmE FH 6 Γ31 2 5.C &(1证明8-骺-怨△MBC△A0E, ·.∠BAC=∠DAE, '.∠BAC-∠DAF=∠DAE-∠DAF, 即∠BAD=∠CAE. (2)解：·△ABC∽△ADE .∠ABC=∠ADE. .∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ADE=∠ABE+∠BAD, .∠EBC=∠BAD=21°. (3)证明：由(1)知∠BAD=∠CAE. AB=AC·ABAD AD-AE心AC=AE△MBD∽△ACE. 参考答案及解析 7.(1)证明：.∠BAD=∠C,∠B=∠B,.△ABD∽△CBA. (2解：△M0△cB4器0 yaB=6,B0=30-&8c=2, ∴.CD=BC-BD=12-3=9. 8.(1)证明：.BD平分∠ABC,∴.∠ABC=2∠ABD. 又：∠ADB=2∠ABD,.∠ADB=∠ABC. 又.·∠A=∠A,∴.△ABD∽△ACB. (2)解：△ABD△ACB,÷LABD=∠C,4g-AD AC=AB .·∠ABD=∠DBC,∴.∠C=∠DBC. 又DC=2AD=2, ∴.AD=1,DB=DC=2,∴.AC=AD+DC=3. 怨-胎AB=ADAC=3 又AD2=1,DB2=4, .AB2+AD2=DB2=4,.△ABD是直角三角形，∠A=90°. 9.证明：(1)：△ABC是直角三角形，AB是斜边， ∴.∠ACB=90°，∠A+∠B=90° ,DF⊥AB,∴∠ADF=90°， .∠F+∠A=90°，.∠F=∠B. 又：∠ADF=∠EDB=90°， ∴.△ADF∽△EDB, (2).·CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线， .'CD =AD =DB. 由△ADF△D8,得品B, ÷品8器cm=DEe 10.证明：(1).∠ACB=90°，CD⊥AB, .∠ACB=∠CDB. 又.·∠ABC=∠CBD, ∴.△ABC△CBD. (2).·△ABC∽△CBD, A=∠Bc0,器品即%铝 E是AC的中点，CD⊥AB, ∴.DE=AE=CE, ∴.∠A=∠EDA. 又，∠EDA=∠BDF, .∠A=∠FCD=∠BDF 又∠F=∠F, ∴.△FDB∽△FCD, DFBD,DF BC 六CF=DCCF=AC 11.证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC, ∴.∠BAF+∠AFB=90°. 由翻折可得∠AFE=∠D=90°，AF=AD, ·21· 同步练测·九年级数学·上册·华师版 ∴.∠AFB+∠EFC=90°，AF=BC, ∴.∠BAF=∠EFC,∴.△ABF∽△FCE, .AR=AF AB_BC FC FE'FC EF 12.解：(1).∠A=50°，AB=AC, 六∠B=∠C=7x(180°-50)=650 BD=DE,∴.∠B=∠BED=65°， ∴.∠BDE=180°-∠B-∠BED=50°. :△BDE∽△CDF,∴.∠CDF=∠BDE=50°， .∴.∠EDF=180°-∠BDE-∠CDF=80°. (2).∠B=∠C=65°， .∠BDE+∠BED=180°-65°=115°， ∠CDF+∠CFD=180°-65°=115. ,随着∠EDF的转动，∠BDE和∠CDF均发生变化， .·.只能是△BDE∽△CFD. :·当∠BDE=∠CFD时，△BDE∽△CFD, 此时∠BED=∠CDF, .∴.∠BDE+∠CDF=∠CFD+∠CDF=115°， .∴.a=180°-（∠BDE+∠CDF)=180°-115°=65°， 即a为65时，△BDE和△CDF始终保持相似. 13.解：如答图，过点D分别作DP⊥AC于点P,作DQ⊥BC于 点Q,则∠EPD=∠FQD=90°.易得∠PDQ=90°， ∴.∠ADP+∠QDF+∠FDB=90° 又.∠EDF=90°，.∠ADP+∠PDE+∠FDB=90°， ∴.∠QDF=∠PDE,∴.△DPE∽△DQF, A QF B 13题答图 DODF 又：DB=2r6-2器=2.Dp=20 .AC=3,BC=4,∠C=90°，∴AB=5. 易知DP∥8c需-总=子品-子，6-号 .P3 AP 3 AP 3 易得DQ=PC,P元=2心Ac-5 0p/Bc怨-8…0=号A0=3 14.解：：四边形ABCD是正方形， .AB=AD=5,∠ABC=∠BAD=90° AE=DG=1,∴.AG=4. .AF⊥EG,.∠BAF+∠AEG=90°=∠BAF+∠AFB, ∴.∠AFB=∠AEG,∴.△ABFn△GAE, ·22· 15.解：过点H作HM⊥BC于点M,过点E作EN⊥CD于点N, 如答图，∴.∠HMG=∠ENF=90°. ,EF⊥GH, .∴.∠HGC+∠EFC=180o =∠HGC+∠HGM, ·.∠EFC=∠HGM, .△MHG∽△NEF, B M G EF EN BC 3 15题答图 “mAB=2 16.解：8 3.相似三角形的性质 【基础巩固练】 1.B2.A3.C 4.解：△ABC∽△A'B'C',AD和A'D'分别是BC和B'C边上 的高，且BE和BE是对应的中线， ∴品器即名品， 45 解得B'E'=7.5cm 5.B6.100cm、40cm 7.B[解析].△ABC∽△DEF,△DEF的周长是△ABC周长 的一半，∴.△DEF与△ABC的相似比为1：2，.△DEF与 △ABC的面积比为1：4.S△DBP=6,SAABC=24.AB= 8,AB边上的高等于24x2=6. 8 8.C9.9 1 1 10.12 [解析]在口ABCD中，AB∥CD,.△AEF∽△DEC. :SacB=4SAM即，即A4E=1,AEF-⊥.ERL SADCE 4CE=2心C=3 在口ABCD中，AD∥BC,△AEF∽△BCF, ,S△AEE= SABCF (g分sa5品b 1.解：E,F是CD的三等分点，EF=子CD 在口ABCD中，AB=CD,AB∥CD EF=3AB,∠EFM=∠FPMB,∠cBP=∠cBA, .∴.△EFG∽△BAG, S△EFG= EF SABAG 【能力提升练】 1.B2.B3.D 413:91[解折]：E是Bc的三等分点器=宁在 口ABCD中，AD/BC,AD=BC,△ADF~△BF,g 8器=分5agS8r5m=1H3:95g=k,