22 数学活动 探索三角形的内接正方形的作法&易错疑难集训三-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（华东师大版·新教材）

【能力提升练】 1.B[解析].点B、F的坐标分别为(4,4)、(-2,1)，∴.FG =2,CB=4,CG=3.,·矩形ABCD与矩形EFG0位似，∴.FG ∥BC△PAP8%=能中3是=之，解得 PC PC=2,.OP=2,点P的坐标为(0,2). 2.c 3.C[解析].：四边形ABC0是矩形，∴.AC=OB=4,OG= BG,.0G=2,.易得G(2,√2).·每秒旋转45°，360÷45 =8(秒)，.每8秒为一个循环..2026÷8=253…2， 第2026秒时点G在第四象限，点G的坐标为（万，-万）. 4.(3,4)5.(4,-2) 6.解：(1)如答图，△A1B1C1即为所求作的三角形. 13-611- 6题答图 (2)如答图，△A2B2C2即为所求作的三角形 ,A(-1,2)、B(2,1)、C(4,5),△A2B2C2与△ABC位似， 且相似比为2， .A2(-2,4)、B2(4,2)、C2(8,10), 六a2=8x10-7x6x2- 2×4x8-1 ×6×10=28. 7.解：(1)(-3，-2) (2),·点B(3m+,m-n)关于y轴的对称点的坐标为 (-3m-n,m-n),点(-3m-n,m-n)关于直线y=m的 对称点的坐标为(-3m-n,2m-（m-n)),∴.点B2的坐标 为(-3m-n,m+n), {9 解得m=2, n=3. (3)点C(6x-5,2x+1)关于y轴的对称点的坐标为 (-6x+5,2x+1),点(-6x+5,2x+1)关于直线y=m的对 称点的坐标为(-6x+5,2m-(2x+1)), .点C2的坐标为(-6x+5,2m-2x-1). 点C2在第二象限， 5 x> 「5-6x<0, 6 2m-2x-1>0, 1 x<m-2 满足条件的x的整数解有且只有一个， 1<m-号≤2，解得子<m≤ 参考答案及解析 数学活动探索三角形的内接正方形的作法 (1)解：有三个角是直角的四边形是矩形 (2)证明：.AD⊥BC,PG⊥AD,PN⊥BC, ∴.∠ADC=∠DGP=∠DNP=90°， ·.四边形PGDN为矩形， ∴.PQ∥BC,GD=PN,∠QPN=90° .△AFG∽△AED,△AQP∽ABC,∠GFD=∠NDF, FG_AG PQ_AG.FG_PQ ·EDAD'CBAD·ED-CB CE=BD,∴.CE+DC=BD+DC,即DE=BC,∴.FG=PQ ·DF是∠ADE的平分线，∴.∠NDF=∠GDF, ∴.∠GDF=∠GFD,∴.FG=GD=PQ,∴.PQ=PN. .·QM⊥BC,∴.∠QMN=90°， ∴.∠QMN=∠DNP=∠OPN=90°，∴.四边形PQMN为矩形. ,·PQ=PN,∴.四边形PQMN为正方形 (3)解：△4BC内接正方形的个数为2，边长分别为9和 .理由如下： 7 在Rt△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=90°， 由勾股定理，得BC=√32+42=5. 由题意，得Rt△ABC的内接正方形有两种情况： 第一种情况：正方形的一边在BC上，如答图①， 0 答图① 根据材料构造方法，可得出此正方形. ,AD⊥BC AD=AB×AC=12 BC Γ5 由(2)可知△AQP∽△ABC,由材料可知GD=PN, …股8 设正方形边长为x,则CD=PN=QP=x,AG= 5x, 12 5-x 60 12=方，解得x=37 第二种情况：正方形的一边在AB上，如答图②， D 6 答图② 在BC上取点F,使FD⊥AB且FD=AD: ,∴.△ADF为等腰直角三角形， ·29· 同步练测·九年级数学·上册·华师版 ·.LBAF=45°，AF=2FD=2AD. .∠BAC=90°， .∴.∠CAF=90°-∠BAF=45. 过点F作FE⊥AC,则∠AEF=90°， ∴.∠AFE=90°-∠CAF=45°， .∴，△AEF为等腰直角三角形， .AF=√2AE=√2EF, ∴，AD=FD=AE=EF 又：∠DAE=90°，四边形ADFE为正方形， BF∥AB△GBr△CB,是-铝 设正方形ADFE的边长为y, 则AE=EF=y,CE=3-y, 号=子解得y号 3 综上所述，△MBC内接正方形的个数为2，边长分别为别或 多 易错疑难集训三 1k2hom或竖cm或2m 2A【解折]因为AB/CD/EF,可得品-器故A成主，B 不成立；平行线分线段成比例所涉及的线段与平行线上所 截的线段无关，故C、D不正确. ,易错分析 利用平行线分线段成比例时，要结合图形确定成 比例线段的四条线段的对应位置关系，不能混淆，同时 注意平行线分线段成比例中的比例线段与平行线上所 截的线段无关 3.6或124.10或6.45.8.4或2或12 6.(-4,0)或2，号)》 7.解：如答图，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求 -10-8. 4.-2..2.4.6..8.10x L10 7题答图 ·30· 8.解：(1)AC与A'C平行.理由：如答图① :△ABC与△A'B'C是位似图形，点A、B、A'、B'、O共线， .∠A=∠A',.AC∥A'C'; 如答图②.，△ABC与△A'B'C是位似图形，点A、B、A'、B'、 O共线，∴，∠A=∠CA'B',∴.AC∥A'C 70 8题答图① 8题答图② (2)如答图①..·AB=2A'B',0C=5,∴.C0=20C'=10, .CC'的长为5+10=15； 如答图②.，·AB=2A'B',0C'=5,∴.C0=20C”=10, ∴.CC'的长为10-5=5. 综上所述，CC的长为15或5 本章考点检测训练 1.D2.D3.C4.125.(45-4)6.D7.C8.B 9.C[解析]△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三 角形，BC=CE=EG=5,FG=AC=AB=3,.BG=33, %=5=器又：∠G=L6,△BFGn△PEc, EG .△BFG∽△ABC,故①正确；由题意，得∠FEG=∠DCE, 0D/E器-器Bc=0E0=0,故②正确： 马知C/PG△BPC△BrC,荒-骺=了yAC= FG,能=号，AP=2PC,故③正确；△BFG∽△FEG, ∴.∠EBF=∠EFG.,EF=AB=3,BE=BC+CE=2N3, ∴.EF≠BE,∴.∠BFE≠∠EBF,∴，∠EFG≠∠BFE,故④错 误.故选C 10只智 11.(1)证明：AB=3,BE=AB,.BE=3. .BE_3 BC=4BC=4 GD-RD, ∴BC=BD-GD=BD-4BD=子BD, 、BG3,BEBG 八BD=4BC=BD '∠EBG=∠CBD,∴.△BEG∽△BCD. (2)解：，△BEG∽△BCD, 8S8脱-，4Bc=4c, ∴.EG∥CD.第22章 图形的相似 数学活动 探索三角形的内接正方形的作法 [答案P29] 【阅读与思考】 请阅读下面的材料，并完成相应的任务 作三角形的内接正方形 定义：如果一个正方形的四个顶点都在三角形的边上，那么这个正方形叫做这个三角形的内接正方形 那么如何作一个三角形的内接正方形呢？如图①，作△ABC的内接正方形.可以用下面的方法： 第一步：如图②，过点A作AD⊥BC于点D. 第二步：延长BC到点E,使得CE=BD,连结AE. 第三步：作∠ADE的平分线，交AE于点F. 第四步：过点F作FG⊥AD于点G,交AC于点P,延长FG交AB于点Q. 第五步：过点Q作QM LBC于点M,过点P作PN⊥BC于点N. 则四边形PQMN为△ABC的内接正方形. 下面证明这种作法的合理性，即证明四边形PQMN为正方形 证明：AD⊥BC,PG⊥AD,PN⊥BC, ∴.∠ADC=∠DGP=∠DNP=90°， ∴.四边形PGDN为矩形（依据）， ∴.PQ∥BC,GD=PN,∠QPN=90°， … 【任务】 (1)填空：材料中的“依据”是指 (2)补全材料中的证明过程； (3)如图③，在Rt△ABC中，AB=4,AC=3,∠BAC=90°.直接写出Rt△ABC内接正方形的个数及对应的 边长 图① 图② 图③ 05 同步练测·九年级数学·上册·华师版 易错疑难集训三 [答案P30] 易错疑避点（③未确定成比例线段的顺序时，不分 心的坐标是 情况讨论导致漏解 ①已知三条线段的长分别为1cm,2cm,√2cm,如 果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另 外一条线段的长为 0 圆错疑摊点②运用平行线分线段成比例及其推论 6题图 7(安徽滁州期中)如图，在平面直角坐标系中， 时，没有找准对应线段导致错误 △ABC的顶点坐标分别是A(3,0)、B(4,4) 2(湖北武汉期中)如图，已知AB∥CD∥EF,那么 C(-2,3).在网格内画出△ABC以点0为位似 下列结论正确的是 中心的位似图形，使它与△ABC的相似比是2：1. 0 8 6 …4 2题图 1品器 B.BCDF CEAD 0-8.-6.-4.-2.02 6..8.10y C.CD_BC EF BE D.CD_AD EFAF 3在△ABC中，AB=6,AC=9,点D在边AB所在 的直线上，且AD=2,过点D作DE∥BC交边AC 所在直线于点E,则CE的长为 L10 圆错疑难点③两个三角形相似的对应边考虑不 7题图 8(重庆沙坪坝区期中)已知△ABC与△A'B'C是 全面导致错误 位似图形，点A、B、A'、B'、O共线，点O为位似 4如图，在△ABC中，AB=12,AC=15,D为AB上 中心 一点，且AD=号4B,在4C上取一点E,使以A、 (1)AC与A'C平行吗？为什么？ D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE= (2)若AB=2A'B',OC=5,求CC的长 4题图 5题图 5如图，AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分别为点B、D,AB =6,CD=4,BD=14.点P在线段BD上移动，当 以P、C、D为顶点的三角形与△ABP相似时，PB 的长为 易错凝避点⑨画位似图形时漏掉一种情况 6如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC和正 方形ADEF的边OA、AD均在x轴上，OA=2,AD =3,则正方形OABC和正方形ADEF的位似中 760