江西省临川第一中学2025-2026学年高一下学期7月知识定时训练数学试题

**基本信息** 高一7月数学定时训练卷聚焦复数、立体几何、三角函数等核心知识，通过统计图表分析、空间几何证明等问题设计，考查数学抽象、空间观念与数据意识，适配期末综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数共轭、棱柱定义、圆锥体积|基础概念辨析，如第2题考查棱柱与棱台结构特征| |多选|3/18|复数几何意义、解三角形|多角度思维，如第10题综合三角形面积与外接圆直径| |填空|3/15|直观图周长、三角形解的存在性|空间直观与推理，如第12题结合斜二测画法还原图形| |解答|5/77|圆锥表面积体积、统计直方图、五面体证明|综合应用，如17题通过频率分布直方图考查数据意识，19题空间几何证明与存在性问题发展推理能力|

高一7月知识定时训练 数学·参考答案 1.c 因z=7-7-00+0.8+6=4+3i, 1-i(1-i)(1+i)2 则三=4-3i. 2.C 根据棱柱、正方体、棱台、正棱锥的定义对选项逐一分析即可 对于A:有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体， 不一定满足每相邻两个四边形的公共边都互相平行，所以不一定是棱柱，故A错误： 对于B:直四棱柱是侧棱垂直于底面的四棱柱， 棱长都相等的直四棱柱，其底面不一定是正方形， 可能是其它四边形，所以不一定是正方体，故B错误； 对于C:根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分 叫做棱台， 由于棱台是由棱锥截得的，所以棱台的侧棱延长后一定交于同一点，故C正确； 对于D:底面是正多边形的棱锥，其顶点在底面的射影不一定是底面中心，所以不一定是正 棱锥，故D错误 3.D 3 先由平方关系求得cos=- ，再由余弦差角公式求解即可。 因为角&为第二象限角，所以cosa 42 5) 则cosa- cosacos +sin asin =3x34 14-3 6 6 6=-5x25210 故选：D. 4.A 根据圆锥的结构特征，结合面积以及体积公式即可求解 设圆锥的底面半径和高分别为r,h, 由于轴截面为等腰直角三角形，故h=r,且母线l=√2r, 故侧面积为ol=4√2π，则r=2. 体积为m2-8π 3 5.D 1 应用概率的基本性质及已知得36[P(B)]-48P(B)+7=0,结合P(B)E0,; 及对立事件的 3 概率求法求概率。 答案第1页，共10页 由设P(4+=PrP®)-P)=P4+PE)PP(®到= 又P(4=3P(e[Q则4P(-3(B-7整理得36P(-48P(2)+7-0. 由P(8)e[0写，且[6P()-[6P()-=0,可得P()=G 所以P(国=1-P()-名 6.B 根据题意，利用共线向量的坐标表示和向量垂直的坐标表示，列出方程，求得x,y的值，即 可求解 由向量a=(x,3),c=(1,-3),因为a/c,可得-3x=3,解得x=-1, 又由向量b=(3,y),c=(1,-3),因为b上c,可得3x1+(-3)×y=0,解得y=1 所以x-y=-2 7.A 根据三角函数的图象变换可得g(x)=cos(ax- 5.血在[ 兀3 上没有零点，可得 经子号根振周期公式解得0<®s1,假设商数gW在（仔 3ππ<T 上有零点，求出零点 x=低+拓k∈Z, 03a 子号钙一空求得0的取值范国，单面可得话数（国）在（任）上 203a02 没有零点时ω的取值范围. 将函数f(x)=c0sx的图象向右平移元个单位长度，得y=cos(r-巧的图象， 6 6 由题得g(y)=cos(ax- 6,周期T=2π 5L w 因为四在)上设有等点，所以空？ 222’ 得T≥2元，即2亚≥2m,得0<0≤1， 复设西数刊在行贸》 上有零点， 令g()=0,得x-5亚=正+杯k∈Z,解得x=c+红k∈Z, 62 30 8 ,8 又0<o≤1，当k=0时，得。<o≤1， 当=1时，得二<ω< 所以函数g(9)在？，3上没有零点时，⊙的取值范围是 2’2 答案第2页，共10页 故选：A 8.C 根据已知结合方差公式计算求解 己知5个实数4,4,43,4,4均为2,4,6,8中的数， 当重复值取2或8时波动性最大， 当重复值取2时，平均数为2+4+6+8+2=4号 ,所以方差为 5 136, 5 25 当重复值取8时，平均数 2+4+6+8+8=52,所以方差为 5 2)2 32 33)2 +3 +2 5 5 5 、5136, 5 25 136 所以得到方差最大值为 25 9.ACD 利用复数的几何意义判断A项，利用复数的乘方运算结果判断B项；根据复数的加减运算 与模的运算判断C项；根据方程的根的定义计算判断D项 对于A,复数：=2-i对应的点(2，-1)位于第四象限，故A正确： 对于B,z2=(2-i)}2=4-4i+i2=3-4i,故B错误： 对于C,因-3+2i=2-i-3+2i=-1+i,则-3+21=√(-1)+12=V2,故C正确： 对于D,当x=2-i时，x2-4x+5=(2-i)2-4(2-i)+5=3-4i-8+4i+5=0, 故z是关于x的方程x2-4x+5=0的一个根，即D正确. 10.AD 根据余弦二倍角公式得cosC,进而得sinC,再根据余弦定理求解AB,判断A;根据面积 公式8方必s如C计算判断B:根据正弦定理 sin C =2R计算判断C:根据 CD=C+C团)，结合余弦定理得CD=,2m+2b-AB,再代入数据计算判断D 9,sc-a=1,4c=b=5. 已知在aABC中，sinC=V5 由二倍角公式：osC=1-2m9,代入mS=5得： 25 cosC=1-2x =1-2×5=1-23 5 25 551 答案第3页，共10页 因为Ce(0,),所以sinC=V1-cos2c= 5 对于A选项，由余弦定理AB2=a2+b2-2 abcosC: 8-215号125620，即B=0=25,放选项正： 对于B选项，三角形面积公式：S4c= 21x5x4 2absinc= 2×3 故B选项错误 对于C选项，由正弦定理-2R(2R为ABC外按圈直径。 2R=4B-2y5_5545N5 sinC 4 2 5 故C选项错误： 对于D选项，因为CD是AABC的中线， 所以cD-C+c网. 所以co-c+c+2Cc因46+d+2 a-bcosC), 由余弦定理AB2=a2+b2-2 ab cosC得： +2a00c)2).CD 代入数值得：Cn-分2+2x5-20-分2+50-20-分瓦=分5-25，放D选顶 正确。 11.ABD 利用“R变换”定义，结合向量的加减数乘与数量积的坐标公式，根据选项要求逐一计算分析 即可判断. 对于A,设a=(k,),i=(x,),则a+6=(+,片+2)， R(ā+b)=(-2(y+y2),2(1+x2》=(-2y,2x)+(-2y2,2x2)=R(+R(⑥)，故A正确： 对于B,设a=(x,),则R(=(2y,2x),R(a回=(-4x,-4)=-4a, R4(a0=R2(R2(a)=R2(-4a=-4×(-4m=16a, 故对n∈N,Rm(a)=R4(R”(a)=l6R”(a),故B正确： 对于C,因为对m=(x,),R(0m=(-2y,2),(m=√4+4=2+=2m, 则R(2ā+b=2a+b,R(a+4R(⑥=22+4， 因|a+b2a+ub1当且仅当a,b方向相同时成立， 答案第4页，共10页 R(a+b)=R(ā+uR(不能恒成立，故C错误； 对于D,设=(3，)，i=(,),则R(@=(-24,2x),R⑥)=(2y,2x), 又因同==1，不妨设(a,万=0e[0,,则a-i=xx,+y2=cos6, 故[ā-R(a]6-R(⑥)]=(s,y)-(-2,2x》-(s,)-(-2y,2x》 =(:+24,1-2x)(5+2y,为-2x)=(:+2y)(x3+2)+(03-2x)0y2-2.x) =53+2xy3+2x3片+4+-2x1-2xy3+4x5 =5+4乃+乃+45=5(6+乃)=5c0s日， 因6∈[0，，则cos6∈[-1，，故[ā-R(@)]b-R⑥)的最小值为-5，即D正确， 12.12 直接由斜二测画法特征计算可得。 由斜二测画法可知，因为B'CIx'轴，且B'C=3,所以原图形中BC=B'C'=3,且BC‖x轴： 因为C在y轴上，0C=2,所以原图形中OC在y轴上，OC=2×0'C'=4: 所以原图形中O为原点，B坐标为(-3,4)，C坐标为(0,4)，O坐标为(0,0)， 因此0B=V(-3)2+42=5, 所以△OBC的周长为：BC+OC+OB=3+4+5=12 B 13.b=2或b≥2√2 由正弦定理将角化边，再由余弦定理求出B,再利用正弦定理。·，得到关于b的式 sin B sinA 子，最后由限制条件“△ABC存在且唯一确定”求解b的取值范围. 已知sin2A+sin2c-sin'B=a-sin4:sinc, 2 由正弦定理有a2+c2-2-a2c, 2 由余弦定理有coB-+2-及_9互 2ac 42 因为Be(Q网，所以B至则400) 4 答案第5页，共10页 由正弦定理可得b=anB2 sinA sinA' 因为△ABC存在且唯一确定，则A的值应唯一确定，则A∈ 4 或A=π 时，B≥A,有b≥a=2W2, 当4=时，有b-2 综上，b的取值范围为b=2或b≥2√2 14.3 利用正弦、余弦函数的值域均为[-1，]的特征，分整数o=0和o≠0两类情况讨论，结合诱 导公式、三角函数恒等条件求解符合p∈(0,2π)的取值总个数。 分以下情况讨论： 当o=0时，若sinx≥cosp恒成立， sinx∈[-1，]，要使不等式对任意x恒成立，需cosp≤sinx的最小值-l, .c0sp=-1,.p=π 当o≠0时，sinx≥cos(ax+p)恒成立，由诱导公式可得sinx≥sin axx+P+ 2 恒成立， shxel-i,sin 若上述不等式对任意x恒成立，仅当sinx=sinr+p+ 对任意x恒成立， .0=±1 当o=l时，sinx=sinx+p+ 2 对任意x恒成立， -2，keZ,解得0=-52，k∈Z, 9+2 2 :9e(0,2,p=3 2 当o=-l时，sinx=sin-x+p+ 对任意x恒成立， 由诱号公式可得(1g引--)m :-9-+元=2m,k∈乙，解得0=-2，k∈Z, 2 002,六p-号 综上，P的所有可能取值为C、元 2 、3江，共3个 2 15.(1)=-2 (2)(-2,2)U(2,+0) 答案第6页，共10页 (1)由三是纯虚数，先利用复数的除法进行化简，再利用纯虚数的定义即可求m的值： Z (2)若OA,OB的夹角为锐角，则OA.OB>0且OA,OB的夹角不为0，结合复数的几何 意义即可求解的取值范围。 1)互=1+i-+i0m-20m2i+i-2i3m+2片(m-2i z2m+2im2+4 m2+4 m2+4 =m+2,0m-2i m2+4m2+4 由于是纯虚数，所以十之=0，m=-2 m2+4 (2)由向量OA对应的复数是=1+i,向量OB对应的复数是2=m+2i可得 OA=1,1),OB=m,2), 若OA,OB的夹角为锐角，则OA.OB>0且OA,OB的夹角不为0，那么 +2>0 ≠2 解得m>-2,且m≠2， 所以，m的取值范围(-2,2)U(2,+∞) 16.(1)36元，16π (2)10m,42元. (1)设圆锥的高为，分别应用表面积和体积公式，求出表面积和体积即可得到答案. (2)先求出圆锥的体积，OQ为AO的中点，利用相似比求出圆柱的底面半径，即可求出圆 柱的体积，剩下几何体的体积为圆锥体积减去圆柱体积，根据圆锥表面积和圆柱侧面积即可 得到剩下几何体的表面积，即可得到答案. (1)设圆锥的高为h,由题意得：AB=5,OB=4,故AO=3,所以h=3. 所以圆锥侧面积S=0l=4×5π=20m,圆锥的底面积S2=W2=16π， 所以圆锥的表面积S锥=S+S,=36π； 圆催的体积为5如h专16c316c h 3 圆柱的底面半径为，三2，高（母线)为) 所以圆柱的体积为乃=πx2x3 6 又圆锥的体积为%=16π，所以剩下几何体的体积为V=7-V,=16π-6π=10m; 因为SH斯=2π×2×}=6r,圆锥的表面积S懂-36元： 2】 所以剩下几何体的表面积S=S圆锥+S圆柱侧=36π+6=42元 答案第7页，共10页 17.(1)0.005 (2)86 (3)x=88,52=11.7 (1)根据频率分布直方图的性质计算即可 (2)根据频率分布直方图中百分位数的估计方法求解即可. (3)根据加权平均数及合并方差公式求解即可 (1)由题意，10×(2a+0.015+0.020+0.030+0.025)=1,解得a=0.005. (2)设参赛者成绩的85%分位数为t, 由图知成绩在[40,80)内的频率为0.7，成绩在[40,90)内的频率为0.95，所以t在[80,90)内， 所以0.7+(t-80)×0.025=0.85,解得t=86. (3)成绩在[80,90)内的人数为0.25×200=50，成绩在[90,100]内的人数为0.05×200=10， 所以这两组数据合并后的平均数=，50。×87+，10 50+10 ×93=88, 50+10 方-006[62187-9]309p24(o39门-Ⅱ7 50+10 18.)A= 9 (3)2√5 (1)利用正弦定理结合倍角公式可得csA=- 2,即可得角4： 4 (2)利用余弦定理结合基本不等式可得0<c≤行，再根据等面积法求高h的最大值： (3)设∠BAD=0,利用正弦定理可得BD=4BsBA,DC=4Csm∠C1D,结合 sin∠ADB sin∠ADC BD=2CD整理可得sinB=2√3cos6,即可得结果 (1)因为bsin2A+asin B=0,由正弦定理可得sin B sin2A+sin Asin B=0, 可得2 sin Bsin AcosA+sin Asin B=0, 又因为A,B∈(0，π)，则sinA≠0，sinB≠0，可得2cosA+1=0, 即cos4=分所以4 3 (2)若a=2,由余弦定理可得d2=b2+c2-2 bc cosA, 则4=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc,可得0<bc≤3， 4 当且仅当b=c 25时，等号成立， 答案第8页，共10页 由aMBC的面积可得besinah,即h.cm4.点c5 2 所以边BC上的高h的最大值为 3 ③3)设∠BAD=0,则∠CAD=B, 在△ABD中，由正弦定理可得，AB sin∠ADB"sin∠BAD'则BD=1Bsin∠BAD BD sin∠ADB1 在aMCD中，由正弦定理可得AC DC sin∠ADC sin∠CAD' 则DC=ACsin∠CAD sin∠ADC, 因为BD=2CD,即AB sin∠BAD_2ACsi∠CAD sin∠ADB-sin∠ADC 又因为∠ADB+∠ADC=元，则sin∠ADB=sin∠ADC, 即ABsin∠BAD=2 ACsin∠CAD,可得3sin6=4sin 2π-6=2sin6+26cos8, (3 即sin0=2√3cos0,可得tam6=2N5,即tan∠BAD=2√5 19.(1)因为DF=V15,DA=1,AF=4,所以DF2+DA2=15+1=AF2, 所以由勾股定理逆定理可得AD⊥DF, 因为AD⊥BD,BDODF=D,BD,DFC平面BDF, 所以AD⊥平面BDF, 因为ADC平面ABCD,所以平面ABCD⊥平面BDF; (2)因为AF/IDE,AB/IDC,AB,AFC平面ABF,DC,DE文平面ABF, 所以DC∥平面ABF,DE∥平面ABF, 因为DCODE=DDC,DEC平面DCE,所以平面ABFII-平面DCE, 因为平面ABFO平面CBFE=BF,平面DCEO平面CBFE=CE,所以BF1ICE. 因为AD1DB,AD=1,AB=2,所以DB=√AB2-AD2=√3 因为AF=4,AB=2,BF1AB,所以BF=√AF2-AB2=25, 所以BD2+BF2=3+12=15=DF2,所以BF⊥DB. 因为AB∩DB=B,AB,DBC平面ABCD,所以BF⊥平面ABCD 因为BF/ICE,所以CE⊥平面ABCD. 因为CDc平面ABCD,所以CE⊥CD, 因为DE=2,DC=1,所以CE=√DB-DC=√3. 综上可得：A1/DB,AB11DC,BF1CB,A==BP2, DE DC CE 答案第9页，共10页 则五面体ABCDEF两底面平行，且两底面对应三角形相似， 所以五面体ABCDEF为三棱台： ®存在，1-兮 (I)通过证明AB⊥平面ADF,可完成证明； (2)通过证明五面体ABCDEF两底面平行，且两底面对应三角形相似，可完成证明； 《③)假设存在点M满足题意，设把1E0,通过证明4C1平面8CBP,可得AB在 平面BCEF上的射影为CE.再过M向BCEF作垂线，垂足为N,则N在线段CE上，据此可 得MN,B关于t的表达式，可得答案 (1)略 （2)略 （3)如图连接C4,B,假设存在点M满足题意，设4-1∈0，] AE 由等腰梯形对称性可得CA=DB=√5，AC⊥CB, 因为平面ABCD L平面BCEF,平面ABCDO平面BCEF=BC,ACC平面ABCD, 所以AC⊥平面BCEF,则AE在平面BCEF上的射影为CE. 过M向BCEF作垂线，垂足为N,则N在线段CE上. 则AC/1MN, 因为4=t,所以1M-CW=,其 AE ME NE 1-t 所以N-Y-1-t,N=1-1)MC=50-1), AC EC NC EC-EN=EC (1-1+t)= 又由(2)可得EC⊥CB,可得NB=VNC+CB2=V1+3t2. 若直线BM与平面BCEF所成的角为45°，则∠MBN=45°，结合MN⊥NB,可得MN=NB, 即V51-t)=+30→3+3x2-6t=1+32→t=号 3 B M D 答案第10页，共10页 高一7月知识定时训练 科目：数 学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号 涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题 时，将答案写在答题卡上。写在本试题卷上无效。 3.本试题卷共5页，19小题，满分150分，考试用时120分钟。如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负。 4.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。 姓 名 准考证号 祝 你 考 试 顺 利 ! 机密★启用前 高一7月知识定时训练 数 学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知复数，则的共轭复数（    ） A． B． C． D． 2．下列四个选项中正确的是（    ） A．有两个面平行， 其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．棱长都相等的直四棱柱是正方体 C．棱台的侧棱延长后交于同一点 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 3．已知角为第二象限角，，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．已知一圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 5．已知事件与事件相互独立，若，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知向量，，，若，，则（    ） A．2 B． C．18 D． 7．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知个实数，，，，的取值均为，，，中的一个（每个数至少出现一次），则，，，，的方差的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知复数，则（    ） A．在复平面内对应的点位于第四象限 B． C． D．是关于的方程的一个根 10．在中，，，，则（     ） A． B．的面积为 C．外接圆的直径是 D．若是的中线，则 11．设对任意的平面向量进行一次“变换”后得到一个新向量，对连续进行次“变换”得到的向量记作．设，为平面内的非零向量，则下列说法正确的是（    ） A．对任意的，，恒成立 B．对任意的， C．若，，则 D．若，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．如图， 是的直观图 (斜二测画法). 其中在轴上，且轴. . ，则的周长为_____. 13．在中，，，若存在且唯一确定，则的取值范围为__________． 14．若关于的不等式恒成立，则的所有可能取值共有________个． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．在复平面内，是原点，向量对应的复数是，向量对应的复数是，. (1)若是纯虚数，求m； (2)若，的夹角为锐角，求m的取值范围. 16．如图，圆锥的底面半径 ，母线长为 5. (1)求圆锥的表面积和体积; (2)过 的中点 作平行于底面的截面，以该截面为底面挖去一个最大的圆柱. 求剩下的几何体的体积和表面积. 17．某校举办益智类答题比赛，对报名参加初赛的学生进行了选拔性测试，为了解参赛者的成绩情况，随机抽取了200名学生的成绩（满分100分），按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)请根据直方图估计参赛者成绩的85%分位数； (3)已知样本数据落在的平均数是87，方差是6.2，落在的平均数是93，方差是9.2，求这两组数据合并后的平均数和方差． 18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若，求边BC上的高h的最大值； (3)若，，线段BC上的点D满足，求的值． 19．如图，在五面体ABCDEF中，平面平面BCEF，，，，，且，． (1)证明：平面平面BDF； (2)证明：五面体ABCDEF为三棱台； (3)线段AE上是否存在点M，使得直线BM与平面BCEF所成的角为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $