单元复习讲义：专题03 线与角（考点梳理+例题讲解+举一反三+提升练习）-2026-2027学年数学四年级上册（北师大版·新教材）

该小学数学“线与角”专题复习讲义通过表格对比、分类梳理构建知识体系，考点梳理部分用表格清晰呈现线段、直线、射线的端点数量与延伸特征，按角的类型、度量方法等分类归纳，突出线与角的内在联系及重难点分布。 讲义亮点在于“典型例题+变式训练”的分层设计，如角度计算题型包含折叠问题和钟面角实例，培养几何直观与空间观念，提升练习结合修路选线等生活情境，帮助学生用数学眼光观察现实世界，支持教师实施精准化分层教学。

专题03 线与角 内容导航 考点梳理 1 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1 考点二、两点间线段最短与两点间的距离 2 考点三、相交与垂直 2 考点四、平移与平行 2 考点五、平角、周角的认识及特征 2 考点六、角的大小比较 2 考点七、角的度量（用量角器量角） 3 考点八、用量角器画角 3 考点九、用三角尺画角 3 考点十、角度的计算 3 例题讲解 4 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 4 题型二、两点间线段最短与两点间的距离 5 题型三、相交与垂直 5 题型四、平移与平行 6 题型五、平角、周角的认识及特征 7 题型六、角的大小比较 7 题型七、角的度量 8 题型八、用量角器画角 9 题型九、用三角尺画角 9 题型十、角度的计算 10 提升练习 11 考点梳理 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1. 线段、直线、射线的认识 名称 图示特征 端点数量 延伸情况 可否度量 线段 ———— 2个 不向两端延伸 能 射线 ————→ 1个 向一端无限延伸 不能 直线 ←————→ 0个 向两端无限延伸 不能 (1) 联系：线段和射线都是直线的一部分。 (2) 注意：过一点可以画无数条直线；过两点只能画一条直线（两点确定一条直线）。 考点二、两点间线段最短与两点间的距离 1. 性质：两点之间，线段最短。 2. 定义：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 3. 应用：修路、架桥时通常选择直线路径以节省材料或时间。 考点三、相交与垂直 1. 相交：两条直线有一个公共点，叫作相交。 2. 垂直：当两条直线相交成直角（90°）时，这两条直线互相垂直。 (1) 其中一条直线叫作另一条直线的垂线。 (2) 交点叫作垂足。 3. 性质：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。 考点四、平移与平行 1. 平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2. 画法要点： (1) 贴：三角尺的一条直角边紧贴已知直线。 (2) 靠：直尺靠紧三角尺的另一条直角边。 (3) 移：固定直尺，平移三角尺到指定位置。 (4) 画：沿三角尺直角边画出平行线。 3. 性质：平行线之间的距离处处相等。 考点五、平角、周角的认识及特征 1. 锐角：大于0°而小于90°的角。 2. 直角：等于90°的角。 3. 钝角：大于90°而小于180°的角。 4. 平角：等于180°的角。两边在同一条直线上，方向相反。（1平角 = 2直角） 5. 周角：等于360°的角。两边重合在一起。（1周角 = 2平角 = 4直角） 6. 大小关系：锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 考点六、角的大小比较 1. 叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，看另一条边的位置。另一条边在外面的角较大。 2. 度量法：用量角器分别量出度数进行比较。 3. 关键点：角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关。 考点七、角的度量（用量角器量角） 1. 工具：量角器（中心点、0刻度线、内外圈刻度）。 2. 步骤口诀：“点对点，线对边，零在内读内，零在外读外”。 (1) 点对点：量角器的中心点与角的顶点重合。 (2) 线对边：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 (3) 读刻度：看角的另一条边所对的刻度。若0刻度线在内圈，就读内圈刻度；若在外圈，就读外圈刻度。 考点八、用量角器画角 1. 步骤： (1) 画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。 (2) 在量角器上找到所需度数的刻度点，并点一个点。 (3) 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 (4) 标出角的符号和度数。 考点九、用三角尺画角 1. 直接画出的角：30°、45°、60°、90°。 2. 组合画出的角（加减法）： (1) 75° = 45° + 30° (2) 105° = 60° + 45° (3) 120° = 90° + 30° 或 60° + 60° (4) 135° = 90° + 45° (5) 150° = 90° + 60° (6) 15° = 45° - 30° 或 60° - 45° 3. 规律：凡是15°的倍数的角，都可以用一副三角尺画出来。 考点十、角度的计算 1. 基本公式： (1) 直角 = 90° (2) 平角 = 180° (3) 周角 = 360° 2. 常见题型： (1) 求余角/补角： 1　 已知∠1与∠2组成直角，则 ∠2 = 90° - ∠1。 2　 已知∠1与∠2组成平角，则 ∠2 = 180° - ∠1。 (2) 对顶角相等：两条直线相交，相对的角（对顶角）度数相等。 (3) 折叠问题：折叠前后的角大小相等，常利用平角180°建立方程求解。 (4) 钟面角： 1　 时针每小时走30°，每分钟走0.5°。 2　 分针每分钟走6°。 3　 3时整和9时整，时针与分针成直角；6时整成平角。 例题讲解 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 【典型例题】线段有( )个端点，射线有( )个端点，直线( )端点。两点之间的所有连线中，( )最短。 举一反三 【变式训练1】下面说法正确的是（    ）。 A．一条射线长30厘米。 B．一条线段的两端无限延长后就得到一条直线。 C．课桌面的一条边可以看成一条直线。 D．手电筒射出的光线可以看成是线段。 【变式训练2】当夜幕降临，灯光秀为老城勾勒出一幅全新的画卷。像图中这样的光束可以近似地看作数学中的( )（填“直线”“射线”或“线段”），有( )个端点。 【变式训练3】填一填、画一画。 （1）过点可以画（    ）条射线。 （2）画出直线，并在直线上画出长为2厘米的线段。 （3）在图中画出射线。 题型二、两点间线段最短与两点间的距离 【典型例题】如图，龙龙从家到学校有3条路线，走( )号路线最近，理由是( )。 举一反三 【变式训练1】奇奇家到图书馆有四条路线可以走，他走第（    ）号路最近。 A．① B．② C．③ D．④ 【变式训练2】如图，小明为了尽快到学校，会选择第( )条路线。 【变式训练3】如图：从A地到B地一共有4条路线，第( )条路线最短，因为两点之间( )最短。 题型三、相交与垂直 【典型例题】过点P分别画出射线OM、ON的垂线。 举一反三 【变式训练1】一批冒险家在树林中探险，他们要从点A到对面的村庄休息一晚（如图所示），到村庄（    ）的距离最近。    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式训练2】如图，a、b、c、d四条直线，互相垂直的直线有( )组；相交的直线有( )组。 【变式训练3】某工程队要修一条从赵家村通往刘家庄，再从刘家庄通往污水处理厂的排水管道。怎样修管道最短？画图表示。 题型四、平移与平行 【典型例题】从直线外一点可以画( )条已知直线的平行线；平行线间的垂线段有( )条，它们互相( )。 举一反三 【变式训练1】下面各图中，两条直线相互平行的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练2】在同一平面内，直线c与直线d同时垂直于直线L，直线c与直线d的关系是( )，记作( )。 【变式训练3】过点A作直线y的平行线m，过B点作直线y的垂线n。 题型五、平角、周角的认识及特征 【典型例题】( )个周角＝2个平角＝( )个直角。 举一反三 【变式训练1】判断下面的角各是什么角，填在括号里。 ( )          ( )         ( )         ( )         ( ) 【变式训练2】一个角是，这个角是( )角，两个直角可以拼成1个( )角。 【变式训练3】钟面上3：30时，时针和分针形成的较小角是( )角；从5时到6时，分针转过( )°，形成的角是( )角。 题型六、角的大小比较 【典型例题】比较下图中的角，度数最小的角是（    ）。 A． B． C． D． 举一反三 【变式训练1】把一个15°角用6倍的放大镜来看，看到的角是（    ）。 A．6° B．15° C．90° D．150° 【变式训练2】“挑灯笼，闹元宵”已经有很多年的历史了。下面“挑灯笼”形成的四个角中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式训练3】用木条制作一个“活动角”（如图1）。将这个角的一条边剪短（如图2），角的大小( )；将这个角的一条边固定，另一条边向左拉开（如图3、图4），角的大小( )。（填“变大”“变小”或“不变”） 题型七、角的度量 【典型例题】量出下面各个角的度数。 ( )° ( )° ( )° ( )° 举一反三 【变式训练1】用破损的量角器也能量出角的度数，如图中的角约是（    ）。 A．60° B．75° C．55° D．105° 【变式训练2】写出这两个角的度数。 ( )                    ( ) 【变式训练3】量出下面每个角的度数，并在图上表示出来。 题型八、用量角器画角 【典型例题】画一个60°的角和一个135°的角。 举一反三 【变式训练1】以下面的射线作为一条边，用量角器画出下面各度数的角。 【变式训练2】画出下面指定度数的角。 45°      80°     120°       135° 【变式训练3】先画出一个145°的角，再以点A为顶点画出一个比它小60°的角。 题型九、用三角尺画角 【典型例题】画一个120°的角。（用三角板画，有作图痕迹） 举一反三 【变式训练1】用一副三角板拼角，能拼出的最大锐角是（    ）。 A．60° B．75° C．80° D．90° 【变式训练2】求出下面各角的度数。 ∠1＝( )°                ∠2＝( )°            ∠3＝( )° 【变式训练3】用一副三角尺画出角，注意保留画图过程。 ①150°   ②15° 题型十、角度的计算 【典型例题】如图，已知∠2＝60°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 举一反三 【变式训练1】∠1与∠2的和是174°，∠2＝54°，那么∠1＝( )°。 【变式训练2】如图，∠1＝45°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【变式训练3】一张长方形纸如图那样折起，已知∠1＝20°，那么∠2＝( )° 提升练习 1．幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（    ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 2．沿着图中虚线折一折，两条折痕互相垂直的是（    ）。 A． B． C． D． 3．用量角器量一个角，其中角的一条边对准量角器内圈20°的刻度线。如果另一条边对准量角器外圈75°的刻度线，那么这个角是（    ）。 A．55° B．75° C．85° D．105° 4．下面分别是小红、小刚、小其和小亮用量角器或直尺画的角，（    ）画的角大小相等。 A．小红和小刚 B．小刚和小其 C．小红和小其 D．小刚和小亮 5．有下面的说法：①一条直线长8厘米，它的一半长4厘米。②两个锐角可以拼成一个平角。③正方形相邻的两条边互相垂直。④过直线外一点只能画一条直线和已知直线平行。其中正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 6．下面说法正确的有（    ） ①直线可以无限延伸，射线不能无限延伸。 ②直线的长度是射线的2倍。 ③平角是一条直线，周角是一条射线。 ④一条长1厘米的线段向两端各延伸100厘米后仍是一条线段。 A．1 B．2 C．3 D．4 7．下图中，所测量到的角度是（    ）°。 A．40 B．90 C．130 D．无法确定 8．下面的各组直线，互相平行的有( )，相交的有( )，互相垂直的有( )。（填序号） 9．解释说理。 爸爸在墙上钉一根木条，先在木条左端钉了一个钉子（如左下图），木条能旋转不能固定，其中的数学原理是( )；然后在木条右端又钉了一个钉子（如右下图），木条稳稳地固定在墙上，不能晃动，其中的数学原理是( )。 10．下图中互相垂直的直线有( )组，互相平行的直线有( )组，如果∠1＝135°，则∠2＝( )°。 11．在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画( )条；过直线外一点，能画( )条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线( )。 12．如图，4条直线a、b、c、d，其中( )和( )相互平行，( )和( )相互垂直。 13．如图，小丽站在点处，她从点到点，走( )号路线最近，再从点到二手市场，走( )号路线最近。（填序号） 14．下面三个角都是用一副三角尺拼成的，最大的角是( )，最小的角是( )。 15．木条小实验。 (1)上图是用几个不同长度的木条组成的角，用三角尺比一比，可以看出这些角大小________。（填“相等”或“不相等”） (2)观察下图，通过木条的转动，可以看出所组成的角由锐角先变成________角，再变成________角，角变得越来越________。 (3)通过上面的操作可以发现，角的大小和边的长短________，与两边张开的大小________。（填“有关”或“无关”） 16．如图，∠1＝30°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 17．如图所示，∠1＝55°，求∠2和∠3的度数。 18．过点A画OB的垂线，画OC的平行线。 19．救援人员沿怎样的线路才能尽快地游到岸边？说明理由并在图中画出路线。理由：（    ）。 20．以点O为顶点，射线OB为一条边，画一个75°的角，再过点A分别画出射线OB的平行线和垂线。 21．按要求画角。 (1)画一个65°的角。 (2)画一个比平角小40°的角。 22．清代诗人高鼎用“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”生动描绘了儿童放风筝的场景。下图画的是王红、李明两人放风筝的场景，风筝线的长度相等。 (1)量一量，王红的风筝线与地面的夹角是( )°，李明的夹角是( )°。 (2)风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？（夹角90°范围内） (3)如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°（风筝线的长度与王红、李明的相等），那么他的风筝飞得高度比王红的高还是低？比李明的呢？ 23．如图是把一张长方形的纸折起来之后形成的图形。 （1）如果∠1＝30°，求∠2的度数。 （2）如果∠2＝80°，求∠1的度数。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 线与角 内容导航 考点梳理 1 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1 考点二、两点间线段最短与两点间的距离 2 考点三、相交与垂直 2 考点四、平移与平行 2 考点五、平角、周角的认识及特征 2 考点六、角的大小比较 2 考点七、角的度量（用量角器量角） 3 考点八、用量角器画角 3 考点九、用三角尺画角 3 考点十、角度的计算 3 例题讲解 4 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 4 题型二、两点间线段最短与两点间的距离 6 题型三、相交与垂直 7 题型四、平移与平行 9 题型五、平角、周角的认识及特征 11 题型六、角的大小比较 12 题型七、角的度量 14 题型八、用量角器画角 16 题型九、用三角尺画角 18 题型十、角度的计算 19 提升练习 21 考点梳理 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1. 线段、直线、射线的认识 名称 图示特征 端点数量 延伸情况 可否度量 线段 ———— 2个 不向两端延伸 能 射线 ————→ 1个 向一端无限延伸 不能 直线 ←————→ 0个 向两端无限延伸 不能 (1) 联系：线段和射线都是直线的一部分。 (2) 注意：过一点可以画无数条直线；过两点只能画一条直线（两点确定一条直线）。 考点二、两点间线段最短与两点间的距离 1. 性质：两点之间，线段最短。 2. 定义：连接两点的线段的长度，叫做这两点间的距离。 3. 应用：修路、架桥时通常选择直线路径以节省材料或时间。 考点三、相交与垂直 1. 相交：两条直线有一个公共点，叫作相交。 2. 垂直：当两条直线相交成直角（90°）时，这两条直线互相垂直。 (1) 其中一条直线叫作另一条直线的垂线。 (2) 交点叫作垂足。 3. 性质：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。这条垂直线段的长度叫作点到直线的距离。 考点四、平移与平行 1. 平行：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。 2. 画法要点： (1) 贴：三角尺的一条直角边紧贴已知直线。 (2) 靠：直尺靠紧三角尺的另一条直角边。 (3) 移：固定直尺，平移三角尺到指定位置。 (4) 画：沿三角尺直角边画出平行线。 3. 性质：平行线之间的距离处处相等。 考点五、平角、周角的认识及特征 1. 锐角：大于0°而小于90°的角。 2. 直角：等于90°的角。 3. 钝角：大于90°而小于180°的角。 4. 平角：等于180°的角。两边在同一条直线上，方向相反。（1平角 = 2直角） 5. 周角：等于360°的角。两边重合在一起。（1周角 = 2平角 = 4直角） 6. 大小关系：锐角 < 直角 < 钝角 < 平角 < 周角 考点六、角的大小比较 1. 叠合法：将两个角的顶点重合，一条边重合，看另一条边的位置。另一条边在外面的角较大。 2. 度量法：用量角器分别量出度数进行比较。 3. 关键点：角的大小与两边张开的大小有关，与两边的长短无关。 考点七、角的度量（用量角器量角） 1. 工具：量角器（中心点、0刻度线、内外圈刻度）。 2. 步骤口诀：“点对点，线对边，零在内读内，零在外读外”。 (1) 点对点：量角器的中心点与角的顶点重合。 (2) 线对边：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 (3) 读刻度：看角的另一条边所对的刻度。若0刻度线在内圈，就读内圈刻度；若在外圈，就读外圈刻度。 考点八、用量角器画角 1. 步骤： (1) 画一条射线，使量角器的中心点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合。 (2) 在量角器上找到所需度数的刻度点，并点一个点。 (3) 以射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。 (4) 标出角的符号和度数。 考点九、用三角尺画角 1. 直接画出的角：30°、45°、60°、90°。 2. 组合画出的角（加减法）： (1) 75° = 45° + 30° (2) 105° = 60° + 45° (3) 120° = 90° + 30° 或 60° + 60° (4) 135° = 90° + 45° (5) 150° = 90° + 60° (6) 15° = 45° - 30° 或 60° - 45° 3. 规律：凡是15°的倍数的角，都可以用一副三角尺画出来。 考点十、角度的计算 1. 基本公式： (1) 直角 = 90° (2) 平角 = 180° (3) 周角 = 360° 2. 常见题型： (1) 求余角/补角： 1　 已知∠1与∠2组成直角，则 ∠2 = 90° - ∠1。 2　 已知∠1与∠2组成平角，则 ∠2 = 180° - ∠1。 (2) 对顶角相等：两条直线相交，相对的角（对顶角）度数相等。 (3) 折叠问题：折叠前后的角大小相等，常利用平角180°建立方程求解。 (4) 钟面角： 1　 时针每小时走30°，每分钟走0.5°。 2　 分针每分钟走6°。 3　 3时整和9时整，时针与分针成直角；6时整成平角。 例题讲解 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 【典型例题】线段有( )个端点，射线有( )个端点，直线( )端点。两点之间的所有连线中，( )最短。 【答案】 2/两 1/一 没有 线段 【详解】线段的定义：有2个端点的有限长直线段；射线的定义：有1个端点，向一端无限延伸的线；直线的定义：没有端点，向两端无限延伸的线；两点间距离性质：两点之间的所有连线中，线段最短。 所以线段有2个端点，射线有1个端点，直线没有端点。两点之间的所有连线中，线段最短。 举一反三 【变式训练1】下面说法正确的是（    ）。 A．一条射线长30厘米。 B．一条线段的两端无限延长后就得到一条直线。 C．课桌面的一条边可以看成一条直线。 D．手电筒射出的光线可以看成是线段。 【答案】B 【分析】射线有一个端点，另一端无限延伸，无固定长度；线段有两个端点，有固定长度；直线无端点，向两端无限延伸。根据定义，选项A中射线无长度，说法错误；选项B中线段两端无限延长可得直线，说法正确；选项C中课桌面有端点且有限长，应视为线段，说法错误；选项D中手电筒光线有起点无限延伸，应视为射线，说法错误。 【详解】A．射线有一个端点，另一端无限延伸，因此没有固定的长度，不能说“长30厘米”。此选项错误。 B．线段有两个端点，若两端均无限延长，则去除了端点，向两个方向无限延伸，得到一条直线。此选项正确。 C．课桌面的一条边有固定的长度和两个端点，因此应视为一条线段，而非无限延伸的直线。此选项错误。 D．手电筒射出的光线有一个端点（光源），向一个方向无限延伸，因此应视为一条射线，而非有两个端点的线段。此选项错误。 故答案为：B 【变式训练2】当夜幕降临，灯光秀为老城勾勒出一幅全新的画卷。像图中这样的光束可以近似地看作数学中的( )（填“直线”“射线”或“线段”），有( )个端点。 【答案】 射线 1 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长；直线无端点，无限长；进而解答即可。 【详解】当夜幕降临，灯光秀为老城勾勒出一幅全新的画卷。像图中这样的光束可以近似地看作数学中的射线，有1个端点。 【变式训练3】填一填、画一画。 （1）过点可以画（    ）条射线。 （2）画出直线，并在直线上画出长为2厘米的线段。 （3）在图中画出射线。 【答案】（1）无数 （2）见详解 （3）见详解 【分析】（1）射线只有一个端点，另一端可以无限延伸。过一个点可以向任意方向画射线，因此过B点可以画无数条射线。 （2）直线没有端点，可以向两端无限延伸，先连接A、B两点并向两端延长，得到直线AB。在直线AB上，以A为一个端点，用直尺量出2厘米的长度，确定另一个端点D，线段AD即为所求。 （3）射线CB以C为端点，经过B点并向B点的方向无限延伸。 【详解】（1）过点可以画（无数）条射线。 （2）（3） 题型二、两点间线段最短与两点间的距离 【典型例题】如图，龙龙从家到学校有3条路线，走( )号路线最近，理由是( )。 【答案】 ② 两点之间，线段最短 【分析】两点间所有的连线中，线段的距离是最短的，注意线段是直的，据此判断。 【详解】这3条路线中，②号路线是直的，且是线段，理由是两点间所有连线中线段最短。 举一反三 【变式训练1】奇奇家到图书馆有四条路线可以走，他走第（    ）号路最近。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】奇奇家与图书馆可以看作两个点，四条路线①②③④是连接这两个点的不同路径。其中①号路线、②号路线、④号路线都是曲线，而③号路线是线段。根据“两点之间线段最短”的原理，判断奇奇从家到图书馆的最短路线。 【详解】根据“两点之间线段最短”的原理，③是线段，因此③号路线最近。 故答案为：C 【变式训练2】如图，小明为了尽快到学校，会选择第( )条路线。 【答案】① 【分析】根据题意，连接两点的线段的长度，叫做两点间的距离。两点之间线段最短。据此解答。 【详解】第①条路是直线段，第②条路是曲线。 小明为了尽快到学校，会选择第①条路线。 【变式训练3】如图：从A地到B地一共有4条路线，第( )条路线最短，因为两点之间( )最短。 【答案】 ③ 线段 【分析】两点间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫作两点间的距离。 【详解】根据分析可知，从A地到B地一共有4条路线，第③条路线最短，因为两点之间线段最短。 题型三、相交与垂直 【典型例题】过点P分别画出射线OM、ON的垂线。 【答案】 【分析】过直线外一点作已知直线的垂线，需要利用三角板的直角边完成作图。将三角板的一条直角边与射线OM/ON重合，沿射线OM/ON移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点P，沿该直角边画直线，此直线即为过点P垂直于射线OM/ON的垂线。 【详解】图略。 举一反三 【变式训练1】一批冒险家在树林中探险，他们要从点A到对面的村庄休息一晚（如图所示），到村庄（    ）的距离最近。    A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短；据此解题即可。 【详解】观察图形可知， 批冒险家在树林中探险，他们要从点A到对面的村庄休息一晚（如图所示），到村庄乙的距离最近。 故答案为：B 【点睛】根据垂直的性质：从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中垂线段最短；由此解答即可。 【变式训练2】如图，a、b、c、d四条直线，互相垂直的直线有( )组；相交的直线有( )组。 【答案】 2 5 【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，当两条直线相交成90度时，这两条直线互相垂直；在同一平面内，有交点的直线叫做相交线；据此进行解答。 【详解】a、b、c、d四条直线，互相垂直的直线有（2）组；相交的直线有（5）组。 【点睛】此题考查了平行和垂直的定义，注意基础知识的积累。 【变式训练3】某工程队要修一条从赵家村通往刘家庄，再从刘家庄通往污水处理厂的排水管道。怎样修管道最短？画图表示。 【答案】 【分析】根据两点之间的所有连线中，线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离；过直线外一点到已知直线的所有连线中，垂线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，据此画图，即可解答。 【详解】略 题型四、平移与平行 【典型例题】从直线外一点可以画( )条已知直线的平行线；平行线间的垂线段有( )条，它们互相( )。 【答案】 1 无数 平行 【分析】平行线的基本性质：过直线外一点有且只有1条直线能和已知直线不相交，也就是只能画1条已知直线的平行线。在两条平行线之间，我们可以从任意不同的位置画出垂直于这组平行线的线段，这样的垂线段能画出无数条。这些垂线段都同时垂直于同一条直线，所以它们之间互相平行。 【详解】从直线外一点可以画1条已知直线的平行线；平行线间的垂线段有无数条，它们互相平行。 举一反三 【变式训练1】下面各图中，两条直线相互平行的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行的定义：“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”逐项分析即可。 【详解】A．把两条直线向两端延长发现不会相交，符合平行的定义，符合题意。 B．把两条直线向右延长，发现两条直线会相交于一点，与平行的定义不符，不符合题意。 C．两条直线相垂直，不符合题意。 D．两条直线相交，不是平行，不符合题意。 【变式训练2】在同一平面内，直线c与直线d同时垂直于直线L，直线c与直线d的关系是( )，记作( )。 【答案】 互相平行 【分析】由垂直和平行的特征和性质可知，同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，据此解答即可，平行的符号是//。 【详解】如图：，在同一平面内，直线c与直线d同时垂直于直线L，直线c与直线d的关系是互相平行，记作。 【变式训练3】过点A作直线y的平行线m，过B点作直线y的垂线n。 【答案】 【分析】画平行线时，三角尺的一条直角边与已知直线y重合，直尺的一条边紧靠三角尺另一条直角边，移动三角尺到点A，过这个点A，沿三角尺的直角边画平行线m。 画垂线时，使得三角尺的一条直角边与已知直线y重合，将三角尺沿着直线移动，使得三角尺另一条直角边与点B重合，过点B，沿三角尺的另一条直角边画垂线n。 【详解】略 题型五、平角、周角的认识及特征 【典型例题】( )个周角＝2个平角＝( )个直角。 【答案】 1 4 【分析】直角是等于90°的角；平角是等于180°的角；周角是等于360°的角；据此解答即可。 【详解】180°×2＝360° 90°×4＝360° （1）个周角＝2个平角＝（4）个直角。 举一反三 【变式训练1】判断下面的角各是什么角，填在括号里。 ( )          ( )         ( )         ( )         ( ) 【答案】 直角 钝角 周角 锐角 平角 【分析】角的分类依据是角度大小。锐角：大于0°且小于90°；直角：等于90°；钝角：大于90°且小于180°；平角：等于180°；周角：等于360°。 【详解】角①：角度等于90°（有直角符号），是直角； 角②：角度大于90°，是钝角； 角③：角度等于360°，是周角； 角④：角度小于90°，是锐角； 角⑤：角度等于180°，是平角。 【变式训练2】一个角是，这个角是( )角，两个直角可以拼成1个( )角。 【答案】 锐 平 【分析】大于，而小于，的角叫做锐角，等于的角叫做直角，等于的角叫做平角。解题时先比较与的大小关系判断第一个空；再计算两个直角的度数和，根据结果判断第二个空。 【详解】 一个角是，这个角是锐角，两个直角可以拼成1个平角。 【变式训练3】钟面上3：30时，时针和分针形成的较小角是( )角；从5时到6时，分针转过( )°，形成的角是( )角。 【答案】 锐 360 周 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°。钟面上3：30时，分针指向6，时针走到3和4的中间，时针和分针之间的夹角比两个大格多，比三个大格少，根据角的分类：大于0°小于90°的角叫做锐角，90°的角是直角，大于90°小于180°的角叫做钝角，据此解答； 时针从5时走到6时，时间经过了1小时，则分针转一圈，一圈为360°；周角度数为360°。 【详解】根据分析可知： 30°×2＝60°，30°×3＝90°，大于0°小于90°的角叫做锐角，所以钟面上3：30时，时针和分针形成的较小角是锐角； 从5时到6时，分针转过360°，形成的角是周角。 题型六、角的大小比较 【典型例题】比较下图中的角，度数最小的角是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】角的大小与两条边张口有关，与边的长短无关。张口越大，角越大；张口越小，角越小。 【详解】 张口最小，所以角的度数最小。 举一反三 【变式训练1】把一个15°角用6倍的放大镜来看，看到的角是（    ）。 A．6° B．15° C．90° D．150° 【答案】B 【分析】放大镜只能放大物体的视觉尺寸（即边的长度），不能改变图形的形状和角度。角的大小只取决于两条边叉开的大小，与边的长短无关，因此度数不会发生变化。 【详解】把一个15°角用6倍的放大镜来看，两条边叉开的大小不变，所以看到的角仍然是15°。 故答案为：B 【变式训练2】“挑灯笼，闹元宵”已经有很多年的历史了。下面“挑灯笼”形成的四个角中，最大的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】角由一个顶点和两条边组成，和书本、黑板的角相同大小的是直角，比直角大的是钝角，比直角小的是锐角。据此解答即可。 【详解】 A．，形成的是一个钝角； B．，形成的是一个直角； C．，形成的是一个锐角； D．，形成的是一个锐角。 “挑灯笼，闹元宵”已经有很多年的历史了。“挑灯笼”形成的四个角中，最大的是。 【变式训练3】用木条制作一个“活动角”（如图1）。将这个角的一条边剪短（如图2），角的大小( )；将这个角的一条边固定，另一条边向左拉开（如图3、图4），角的大小( )。（填“变大”“变小”或“不变”） 【答案】 不变 变大 【分析】角的大小与角的两条边张开的程度有关，而角的大小与边的长短没有关系。两边张开的越大，角就越大。据此解答即可。 【详解】用木条制作一个“活动角”（如图1）。将这个角的一条边剪短（如图2），角的大小不变；将这个角的一条边固定，另一条边向左拉开（如图3、图4），角的大小变大。（填“变大”“变小”或“不变”） 题型七、角的度量 【典型例题】量出下面各个角的度数。 ( )° ( )° ( )° ( )° 【答案】 45 120 70 150 【分析】运用量角器量角的方法，即把量角器放在角的上面，使量角器的中心与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所指的量角器上的刻度就是这个角的度数。 【详解】 举一反三 【变式训练1】用破损的量角器也能量出角的度数，如图中的角约是（    ）。 A．60° B．75° C．55° D．105° 【答案】C 【分析】用量角器量角，角的一边对着刻度75°，角的另一边对着刻度130°，用大的度数减去小的度数，得出角的度数；据此解答。 【详解】130°－75°＝55° 【变式训练2】写出这两个角的度数。 ( )                    ( ) 【答案】 110° 50° 【分析】用量角器测量角时，量角器的中心和角的顶点重合，0刻度线和角的一边重合，另一边所指的刻度就是角的大小。开口向右读内圈度数，开口向左读外圈度数。第一幅图中角的一条边对着量角器上外圈0°的刻度，另一条边对着外圈110°的刻度，这表明这个角是从0°到110°，用110°减去0°就是这个角的大小。第二幅图中角的一条边对着量角器上内圈20°的刻度，另一条边对着内圈70°的刻度，这表明这个角是从20°到70°，用70°减去20°就是这个角的大小。 【详解】（1），所以第一个角的度数是110°； （2），所以第二个角的度数是50°。 【变式训练3】量出下面每个角的度数，并在图上表示出来。 【答案】 【分析】用量角器量角的度数步骤如下：先把角的顶点和量角器的中心重合，0刻度线与角的一条边重合，另一条边所对应的刻度就是角的度数。据此解答。 【详解】图略。 题型八、用量角器画角 【典型例题】画一个60°的角和一个135°的角。 【答案】见详解 【分析】先画出一条射线，再根据量角器量出所需要的角度，再画出另一条射线即可。 【详解】画出角的步骤：先画出一条射线，作为角的一边，射线的端点为角的顶点，将量角器的中心与射线的端点重合，零刻度线与射线重合，在量角器刻度线的位置画一个点，以射线的端点为端点，通过刚画出的点，再画出一条射线，在角的内部接近顶点处标出即可。 画出角的步骤：先画出一条射线，作为角的一边，射线的端点为角的顶点，将量角器的中心与射线的端点重合，零刻度线与射线重合，在量角器刻度线的位置画一个点，以射线的端点为端点，通过刚画出的点，再画出一条射线，并在角的内部接近顶点处标出即可。 举一反三 【变式训练1】以下面的射线作为一条边，用量角器画出下面各度数的角。 【答案】见详解 【分析】将量角器的中心点与射线的端点重合，射线与量角器的0°刻度线重合时，在量角器刻度线上找到题目要求的角度所对应的刻度线，做好标记，然后连接射线端点到标记点就画出角的另一条边，最后画弧标出角的度数即可。注意射线与量角器内圈的0°刻度线重合时，在量角器内圈刻度线上找角度，射线与量角器外圈的0°刻度线重合时，在量角器外圈刻度线上找角度。 【详解】以左边的射线为一条边用量角器画75°的角：量角器的中心点与射线的端点重合，射线与量角器内圈的0°刻度线重合，在量角器内圈刻度线上找到75°的刻度线，做标记，然后连接射线端点到标记点即画出角的另一条边，最后标记角度为75°即可。如下图： 以右边的射线为一条边用量角器画120°的角：量角器的中心点与射线的端点重合，射线与量角器外圈的零刻度线重合，在量角器外圈刻度线上找到120°的刻度线，做标记，然后连接射线端点到标记点即画出角的另一条边，最后标记角度为120°即可。如下图： 【变式训练2】画出下面指定度数的角。 45°      80°     120°       135° 【答案】见详解 【分析】用量角器画角的方法如下：先确定角的顶点，从顶点画一条射线作为角的一边。把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与已画射线重合。根据要画的角的度数，在量角器上找到对应刻度并标记点，如果0°刻度线在内圈，则从内圈读起并标记，在外圈就从外圈读起并标记。从顶点出发，经过标记点画射线，作为角的另一边。据此作答即可。 【详解】 如图所示： 【变式训练3】先画出一个145°的角，再以点A为顶点画出一个比它小60°的角。 【答案】 【分析】画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点重合，0刻度线和射线重合，在量角器145°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可。比145°小60°的角是145°－60°＝85°，即画85°的角，以A为端点画一条射线，用量角器的圆点和射线的端点A重合，0刻度线和射线重合，在量角器85°的刻度上点上点，过射线的端点和刚作的点，画射线即可。 【详解】画图略 题型九、用三角尺画角 【典型例题】画一个120°的角。（用三角板画，有作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】我们使用的三角板有30°、45°、60°、90°等四个现成的角度，将各个角相加或相减即可得出答案：120°＝90°＋30°；由此即可画图。 【详解】90°＋30°＝120° 作图如下： 【点睛】本题主要考查利用三角板熟练作图的能力，关键是明确所要画的度数由三角板中哪些度数的角的和或差构成。 举一反三 【变式训练1】用一副三角板拼角，能拼出的最大锐角是（    ）。 A．60° B．75° C．80° D．90° 【答案】B 【分析】锐角是小于90°的角。一副三角板有以下几个角度：90°，60°，45°，30°；只要其中的两个角相加或者相减后能得出的角都可以用一副三角板拼出。 【详解】A．60°为三角板的一个角度； B．75°＝30°＋45°，它可以用一副三角板拼出； C．80°它不可以用一副三角板拼出； D．90°不是锐角。 60°＜75°，所以用一副三角板拼角，能拼出的最大锐角是75°。 故答案为：B 【变式训练2】求出下面各角的度数。 ∠1＝( )°                ∠2＝( )°            ∠3＝( )° 【答案】 135 75 180 【分析】根据题意，已知两块三角板的角度分别是：30°，60°，90°和45°，45°，90°，以此分别计算出各个图的角度即可。 【详解】根据分析可知： 45°＋90°＝135° 30°＋45°＝75° 90°＋90°＝180° 【变式训练3】用一副三角尺画出角，注意保留画图过程。 ①150°  ②15° 【答案】见详解 【分析】一副三角板，一个三角板的角有30°、60°、90°，等腰直角三角板的角有45°、45°、90°，用它们进行拼组，有90°＋60°＝150°，60°－45°＝15°或者45°－30°＝15°，据此画图即可。 【详解】 （15°角画法不唯一） 【点睛】解决本题的关键是正确记忆三角板上各个角的度数。 题型十、角度的计算 【典型例题】如图，已知∠2＝60°，则∠1＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 30 120 【分析】观察图形可知，∠1与∠2组成了一个直角，所以∠1＝90°－∠2；∠2与∠3组成了一个平角，∠3＝180°－∠2。 【详解】∠1＝90°－∠2＝90°－60°＝30°； ∠3＝180°－∠2＝180°－60°＝120°。 如图，已知∠2＝60°，则∠1＝（30）°，∠3＝（120）°。 举一反三 【变式训练1】∠1与∠2的和是174°，∠2＝54°，那么∠1＝( )°。 【答案】120 【分析】已知两个角的度数之和与其中一个角的度数，求另一个角的度数用两个角的度数之和减去已知角的度数即可。 【详解】174°－54°＝120° ∠1与∠2的和是174°，∠2＝54°，那么∠1＝120°。 【变式训练2】如图，∠1＝45°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 45 135 【分析】观察图中信息，得出∠1、∠2和90°组成一个平角，即180°，减法计算出∠2的度数；∠2和∠3组成一个平角，减法计算出∠3的度数。 【详解】∠2的度数为： ∠3的度数为： 【变式训练3】一张长方形纸如图那样折起，已知∠1＝20°，那么∠2＝( )° 【答案】140 【分析】长方形的底边原本是平直的，刚好是180°的平角，折叠后，重叠部分的角和∠1大小相等（折叠前后对应角大小相等），平角由2个∠1和露出来的∠2组成，列式计算即可。 【详解】由分析得出： 已知∠1=20°，代入计算： 则∠2＝140° 提升练习 1．幸福村要修一条公路与国道连接，如图所示，这样修能使路最近。这里用到的数学知识是（    ）。 A．过直线外一点到这条直线的垂直线段最短 B．平行线之间的距离处处相等。 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】幸福村是直线外一点，国道是已知直线。观察题图中公路与国道的位置关系，存在直角符号，说明所修公路是幸福村到国道的垂线段。因为要找直线外一点到直线的最短路径，所以对应垂线段最短的相关几何性质，再匹配选项内容即可。 【详解】A．图里修的是从幸福村到国道的垂直线段，对应的数学知识是：过直线外一点到这条直线的垂直线段最短，符合题意。 B．平行线之间的距离处处相等。平行线的相关性质，本题没有涉及平行线，不符合题意； C．两点之间线段最短，本题是点到直线的最短距离问题，不是两点间连线，不符合题意； D．两点确定一条直线，是确定直线的规则，和“路最近”的要求无关，不符合题意； 2．沿着图中虚线折一折，两条折痕互相垂直的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线；据此解答。 【详解】A．由图可知，两条虚线都是水平方向，互相平行，不垂直，不符合题意； B．由图可知，一条水平虚线、一条斜向虚线，相交不是直角，不垂直，不符合题意； C．由图可知，两条折痕相交成直角，所以这两条折痕互相垂直，符合题意； D．由图可知，两条折痕不是直角，所以不垂直，不符合题意。 3．用量角器量一个角，其中角的一条边对准量角器内圈20°的刻度线。如果另一条边对准量角器外圈75°的刻度线，那么这个角是（    ）。 A．55° B．75° C．85° D．105° 【答案】C 【分析】量角器上有内圈和外圈两组刻度，同一位置的内外圈刻度数值之和为180°。测量角的大小时，需要读取同一圈刻度上的数值进行计算。本题中两条边分别对准了内圈和外圈的不同刻度，需先将其转化为同一圈的刻度，再求差值。 【详解】内圈刻度和外圈刻度在同一位置的数值相加等于180°，已知角的一条边对准内圈20°刻度线，将其转化为外圈刻度：180°－20°＝160°。 角的另一条边对准外圈75°刻度线，用160°－75°＝85°。 4．下面分别是小红、小刚、小其和小亮用量角器或直尺画的角，（    ）画的角大小相等。 A．小红和小刚 B．小刚和小其 C．小红和小其 D．小刚和小亮 【答案】C 【分析】由图可知：角的一条边与量角器外圈0°刻度线重合，则另一条边与量角器外圈重合的度数就是小红画的角的度数；角的两条边都不与0°刻度线重合，可以用量角器内圈左边重合的度数－量角器内圈右边重合的度数＝小刚画的角的度数；平角的度数－三角尺中60°角的度数＝小其画的角的度数；角的一条边与量角器内圈0°刻度线重合，则另一条边与量角器内圈重合的度数就是小亮画的角的度数；先读出、算出每个人画的角的度数，再比较。 【详解】由分析得：小红画的角大小为120°，小亮画的角大小为60°。 小刚画的角大小为：140°－40°＝100° 小其画的角大小为：180°－60°＝120° 所以，小红和小其画的角大小相等。 5．有下面的说法：①一条直线长8厘米，它的一半长4厘米。②两个锐角可以拼成一个平角。③正方形相邻的两条边互相垂直。④过直线外一点只能画一条直线和已知直线平行。其中正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①直线是没有长度的； ②锐角是大于0°小于90°的角，直角是90°的角，平角是180°的角； ③ 正方形的四个角都是直角，相邻的两条边相交成直角； ④根据平行线的定义和性质，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。这是因为平行线之间的距离处处相等，且通过该点只能确定唯一一条直线满足与已知直线不相交且距离相等的条件。 【详解】根据分析可知： ① 直线可以向两端无限延伸，不可度量长度，只有线段可以度量长度。所以直线不能说长8厘米；原题说法错误； ② 锐角是大于0°小于90°，90°＋ 90°＝180°，即两个直角度数之和是180°，也就是两个直角可以拼成一个平角，但是锐角的度数要比直角小，所以两个锐角的度数之和一定小于180°；一定拼不成一个平角；原题说法错误； ③正方形相邻的两条边互相垂直；原题说法正确； ④ 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；原题说法正确； 综上，正确的说法有③和④，共2个。 6．下面说法正确的有（    ） ①直线可以无限延伸，射线不能无限延伸。 ②直线的长度是射线的2倍。 ③平角是一条直线，周角是一条射线。 ④一条长1厘米的线段向两端各延伸100厘米后仍是一条线段。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】解题时需依据定义判断：直线无端点无限长，射线一个端点无限长，线段两个端点有限长；平角和周角是角不是线。逐一分析题干中的四个说法，统计正确的个数，再选择对应的选项。 【详解】① 直线没有端点，可以向两端无限延伸；射线有一个端点，可以向一端无限延伸。说法中“射线不能无限延伸”不符合定义，此选项错误； ② 直线和射线都是无限长的，无法测量出具体的长度，因此不能比较倍数关系，此选项错误； ③ 平角的两条边成一条直线，但平角本身是一个角，有顶点和两条边；周角的两条边重合，但周角本身是一个角。它们不是直线或射线，此选项错误； ④ 线段有两个端点，长度有限。一条长1厘米的线段向两端各延伸100厘米后，总长度变为201厘米，仍然有两个端点，符合线段的特征，此选项正确。 综上所述，正确的说法只有④，共1个。 7．下图中，所测量到的角度是（    ）°。 A．40 B．90 C．130 D．无法确定 【答案】B 【分析】由图可知，这个角的一条边对应的刻度是130°，另一条边对应的刻度是40°，直接用130°减去40°即可算出这个角的度数。 【详解】130°－40°＝90° 所以所测量到的角度是90°。 8．下面的各组直线，互相平行的有( )，相交的有( )，互相垂直的有( )。（填序号） 【答案】 ①③ ②④⑤⑥ ②⑥ 【分析】根据平行线和互相垂直的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线；在同一平面内，当两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；据此进行解答。 【详解】由分析可知： ①③两组，两条直线无论如何延长都不会相交；②④⑤⑥三组，两条直线有交点；②⑥两组，两条直线相交成直角。 各组直线，互相平行的有（①③），相交的有（②④⑤⑥），互相垂直的有（②⑥）。 9．解释说理。 爸爸在墙上钉一根木条，先在木条左端钉了一个钉子（如左下图），木条能旋转不能固定，其中的数学原理是( )；然后在木条右端又钉了一个钉子（如右下图），木条稳稳地固定在墙上，不能晃动，其中的数学原理是( )。 【答案】 过一点能画无数条直线 两点确定一条直线 【分析】一根钉子是一个点，经过一个点有无数条直线，所以木条总是来回晃动； 两根钉子即为两个点，两点确定一条直线，所以木条就会固定不动了。 【详解】爸爸在墙上钉一根木条，先在木条左端钉了一个钉子（如左下图），木条能旋转不能固定，其中的数学原理是过一点能画无数条直线；然后在木条右端又钉了一个钉子（如右下图），木条稳稳地固定在墙上，不能晃动，其中的数学原理是两点确定一条直线。 10．下图中互相垂直的直线有( )组，互相平行的直线有( )组，如果∠1＝135°，则∠2＝( )°。 【答案】 2 1 45 【分析】两条直线相交成直角则互相垂直，统计满足条件的直线组数量。同一平面内不相交的直线互相平行，统计互相平行的直线组数量。用180°减去∠1的度数，再利用平行线的同侧、截线的同侧，所对应的角相等这一性质，即可求出∠2的度数。 【详解】由图可知，直线a与c互相垂直，直线b与c互相垂直，因此互相垂直的直线有2组； 由图可知，直线a与b互相平行，因此互相平行的直线有1组； ∠3＝180°－∠1＝180°－135°＝45° 因为直线a与b互相平行，所以∠2＝∠3，因此，∠2＝45°。 11．在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画( )条；过直线外一点，能画( )条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线( )。 【答案】 无数 1 互相平行 【分析】同一平面内只要不和已知直线相交，都满足平行线要求，因此一条直线的平行线有无数条；根据平行的基本结论，过直线外一点，只能画出1条与已知直线平行的直线；平行具有传递性，两条直线都和同一条直线平行，则这两条直线互相平行。 【详解】在同一平面内，画一条直线的平行线，可以画无数条；过直线外一点，能画1条直线与已知直线平行。有两条直线和同一条直线平行，则这两条直线互相平行。 12．如图，4条直线a、b、c、d，其中( )和( )相互平行，( )和( )相互垂直。 【答案】 b c a d 【分析】同一平面内永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。 【详解】如图，4条直线a、b、c、d，其中b和c相互平行，a和d相互垂直。 13．如图，小丽站在点处，她从点到点，走( )号路线最近，再从点到二手市场，走( )号路线最近。（填序号） 【答案】 ② ③ 【分析】从点A到点B，可以看作是两点之间的连线，根据两点之间的连线中，线段最短；①号路是曲线，②号路是线段，所以②号路最近。 从点B到二手市场，根据点到直线的距离，垂线段最短的原理，③号路线是垂线段，④号是斜线，所以走③号路线最近。据此解答。 【详解】小丽站在点A处，她从点A到点B，走②号路线最近，再从点B到二手市场，走③号路线最近。 14．下面三个角都是用一副三角尺拼成的，最大的角是( )，最小的角是( )。 【答案】 ∠3 ∠2 【分析】一副三角尺分为直角三角尺和等腰直角三角尺。直角三角尺的角的度数分别是30°、60°、90°，等腰直角三角尺的度数是45°、90°、45°，结合图示拼组，计算出拼成角的度数，最后比较角的大小，求出最大和最小的角即可。 【详解】图一，由等腰直角三角尺的45°角和直角三角尺的60°角拼成，度数为45°＋60°＝105°； 图二，由等腰直角三角尺的45°角和直角三角尺的30°角拼成，度数为45°＋30°＝75°； 图三，由等腰直角三角尺的45°角和直角三角尺的90°角拼成，度数为45°＋90°＝135°。 135°＞105°＞75°，所以∠3＞∠1＞∠2 三个角都是用一副三角尺拼成的，最大的角是∠3，最小的角是∠2。 15．木条小实验。 (1)上图是用几个不同长度的木条组成的角，用三角尺比一比，可以看出这些角大小________。（填“相等”或“不相等”） (2)观察下图，通过木条的转动，可以看出所组成的角由锐角先变成________角，再变成________角，角变得越来越________。 (3)通过上面的操作可以发现，角的大小和边的长短________，与两边张开的大小________。（填“有关”或“无关”） 【答案】(1)相等 (2) 直 钝 大 (3) 无关 有关 【分析】角的大小由两条边的张开程度决定，与边的长短无关；小于90°的是锐角，等于90°的是直角，大于90°小于180°的是钝角。据此解答。 【详解】（1）题目所给图是用几个不同长度的木条组成的角，用三角尺比一比，用的是同一个三角尺的一个角放在木条组成的角上，可以看出这些角大小相等。 （2）观察题目所给图，通过木条的转动，可以看出两根木条张开的越来越大，由此可以看出所组成的角由锐角先变成直角，再变成钝角，角变得越来越大。 （3）通过上面的操作可以发现，角的大小与边的长短无关，与两边张开的大小有关。 16．如图，∠1＝30°，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 60 120 【分析】图中存在一个直角（标有直角符号），说明∠1＋∠2＝90°，∠2和∠3组成一个平角，说明∠2＋∠3＝180°。 【详解】∠2＝90°－30°＝60° ∠3＝180°－60°＝120° 17．如图所示，∠1＝55°，求∠2和∠3的度数。 【答案】∠2＝35° ∠3＝145° 【分析】分析可知，∠1＋∠2＋∠5＝180°，又∠1＝55°，∠5＝90°，用180°减∠1、∠5即可算出∠2的度数；∠2＋∠3＝180°，用180°减∠2即可算出∠3的度数，解答即可。 【详解】∠2＝180°－55°－90°＝35° ∠3＝180°－35°＝145° 18．过点A画OB的垂线，画OC的平行线。 【答案】 【分析】画垂线：用三角尺让一条直角边与OB重合，平移三角尺使另一条直角边过A点画线； 画平行线：用直尺和三角尺，让三角尺一边与OC重合，靠紧直尺平移三角尺过A点画线。 【详解】图略。 19．救援人员沿怎样的线路才能尽快地游到岸边？说明理由并在图中画出路线。理由：（    ）。 【答案】见详解 【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做这点到直线的距离。解题时需结合该原理，设计出最短路线并说明理由。 【详解】路线设计：从“救援人员”所在的点向“岸边”这条直线作一条垂直的线段，线段的另一端落在岸边，这条垂线段就是救援人员应走的线路。 画法步骤： 1.一靠：把三角尺的一条直角边紧紧靠在“岸边”这条直线上； 2.二移：沿着直线平移三角尺，让三角尺的另一条直角边正好经过“救援人员”所在的点； 3.三画：沿着经过该点的直角边，从点向岸边画一条线段，线段的另一端落在岸边，这条线段就是所求的垂线段（最短路线）。 作图如下： 理由：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，所以沿这条垂直线段游到岸边，距离最短，能尽快到达。 20．以点O为顶点，射线OB为一条边，画一个75°的角，再过点A分别画出射线OB的平行线和垂线。 【答案】 【分析】画75°角：将量角器中心与点O重合，0刻度线与射线OB重合，找到75°刻度位置标记点，过O和该标记点画射线，得到75°角。 过A画OB的平行线：用直尺与三角板配合，先将三角板的一条直角边与OB重合，平移三角板使该直角边经过点A，沿该直角边画直线即可。 过A画OB的垂线：将三角板的另一条直角边与OB重合，移动三角板使直角顶点落在OB上、且三角板经过点A，沿过A的直角边画直线，标注垂直符号。 【详解】图略 21．按要求画角。 (1)画一个65°的角。 (2)画一个比平角小40°的角。 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0° 刻度线和射线重合；在量角器对应度数刻度线的地方点一个点；以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，就得到了对应度数的角。 【详解】（1） （2）平角为 180°，，即需要画 140° 的角。 22．清代诗人高鼎用“草长莺飞二月天，拂堤杨柳醉春烟。儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢。”生动描绘了儿童放风筝的场景。下图画的是王红、李明两人放风筝的场景，风筝线的长度相等。 (1)量一量，王红的风筝线与地面的夹角是( )°，李明的夹角是( )°。 (2)风筝的高度和风筝线与地面的夹角有什么关系？（夹角90°范围内） (3)如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°（风筝线的长度与王红、李明的相等），那么他的风筝飞得高度比王红的高还是低？比李明的呢？ 【答案】(1) 65 40 (2) 风筝线与地面的夹角越大，风筝飞得越高 (3) 比王红的低，比李明的高 【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量并填空即可。 （2）根据测量的结果说明风筝的高度和风筝线与地面的夹角的关系即可。 （3）先比较风筝线与地面的夹角的度数，再判断即可。 【详解】（1）量一量，王红的风筝线与地面的夹角是65°，李明的夹角是40°。 （2）答：经过测量发现，风筝线与地面的夹角越大，风筝飞得越高。 （3）65°＞50°＞40° 答：如果张亮的风筝线与地面的夹角是50°，他的风筝飞得比王红的风筝低，比李明的高。因为张亮的风筝线与地面的夹角，比王红的风筝线与地面的夹角小，比李明的风筝线与地面的夹角大。 23．如图是把一张长方形的纸折起来之后形成的图形。 （1）如果∠1＝30°，求∠2的度数。 （2）如果∠2＝80°，求∠1的度数。 【答案】（1）∠2＝75° （2）∠1＝20° 【分析】长方形折叠时，折痕两侧的图形完全重合，因此∠2与∠3相等。又因为∠1、∠2及∠3构成一个平角（180°），于是有∠1＋∠2×2＝180°，利用此关系即可求解。 【详解】（1）若∠1＝30°，∠2＝∠3，则30°＋2×∠2＝180°， 2×∠2＝150°，180°－30°＝150°，∠2＝150°÷2＝75°。 （2）若∠2＝80°，则∠1＋2×80°＝180°， ∠1＋160°＝180° ∠1＝180°－160°＝20°。 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 30 页 学科网（北京）股份有限公司 $