专练1 特殊四边形中的探究问题&专练2 一元二次方程在学科内的应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 .点P,Q关于直线x=-1对称， ,点P的横坐标是-3. 当x=-3时，y=-7×(-3)2-(-3)+4= 2 点P的坐标是(-3，吾)} ②过点P作PF∥OC交AC于点F. PF/oc,△PEF△0BC,是-8e 又：器=是，0G=4PF=是 设点F,+4),则点P(,之2-x+4） …(-子2-x+4-(x+4)=是 解得x1=-1,为2=-3， 点P的坐标是(-1，受(-3，) 又：点P在直线y=x上， k=是或k=名 第六章概率的进一步认识（第六章） 1.C2.C3.B4.C5.c6.D 7g87936107 11.解：(1)0.6(2)0.6 (3)由题意知，白球有40×0.6=24（个）， ∴.黑球有40-24=16（个）. 12.解：(1)转动转盘一次，指针所指的扇形不是红色的概率 务 (2)画树状图如答图， 开始 第一次 第二次红黄蓝红黄蓝红黄蓝 12题答图 由树状图可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的 结果有3种， ·.转盘转动两次，两次指针指向的扇形颜色相同的概率是 31 9=3 13.解：画树状图如答图. 开始 第一张 A B C 第二张B CA CA B 13题答图 ·50. 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到的两张 卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”（即A和C)的结果 有2种， ∴抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概 *为名日 14.解：(1)40 补全条形统计图如答图① 18人数 16 4 1 12 16 8642 6 0 篮球足球游泳排球课程 14题答图① (2)54°1200×35%=420（名）. 答：参加“游泳”的人数大约为420名. (3)将两名男生分别记为A,B,两名女生分别记为C,D,画 树状图如答图②， 开始 B D BCDACDABDAB 14题答图② 共有12种等可能的结果，其中到市上参加比赛的两人恰 为一男一女的结果有：AC,AD,BC,BD,CA,CB,DA,DB,共 8种， :到市里参加比赛的两人恰为一男一女的概率为音 3 题型专练 专练一特殊四边形中的究问题 1.解：(1)①∠EAF=∠B ②成立.证明如下：如答图①，过点A分别作AM⊥BC于点 M,AN⊥CD于点N, 则易得AM=AN,∠AME=∠ANF=90°. 又.AE=AF, ∴.Rt△AEM≌Rt△AFN .·.∠EAM=∠FAN, ∴.∠EAF=∠MAN. 又.·由①可知∠MAN=∠B, .∠EAF=∠B,即①中的结论仍然成立. D D B CE) B EM C A 1题答图① 1题答图② (2)①如答图②，作点A关于直线BC的对称点A',连接 A'F,交BC于点E,此时EA+EF的值最小，易知此时点E 与点C重合 ②EA+EF的最小值为6. [解析]连接AC,如答图②.四边形ABCD是菱形，∴，AB= BC=CD=4.又：∠B=60°，△ABC是等边三角形，AC =4P是边GD的中点，CF=分CD=2AC+CP= 4+2=6,.EA+EF的最小值为6. 2.解：(1)9045 (2)设EF与DP相交于点O,由题意，得EF是PD的中垂线， ∴.DO=PO,EF⊥PD 四边形ABCD是矩形，∴.DC∥AB,.∠FDO=∠EPO, 又：∠DOF=∠POE,∴.△DOF≌△POE,,DF=PE. 又.DF∥PE,.四边形DEPF是平行四边形 又EF⊥PD,.口DEPF为菱形. 当AP=子时，菱形DEPF的边长为 28 (3)存在.情况一：如答图①，连接EM. 由题意知DE=EP=AM, ∴.易得△EAM≌△MPE,.AE=PM. 设AE=PM=x,则AM=DE=AD-AE=3-x, ∴.BM=AB-AM=x+1. 易知CP=CD=4,∴.MC=CP-MP=4-x. 在RL△BCM中，易得(x+1)2+32=(4-x)2, 解得x=子，即=子 3 C(F 2题答图① 2题答图② 情况二：如答图②，设CM与AD交于点G 参考答案及解析 ·由题意知DE=EP=AM, ∴.易得△GAM≌△GPE,.易得MP=AE. 设AE=MP=y,则DE=AD-AE=3-y, ∴.AM=PE=DE=3-y,∴.BM=AB+AM=7-y. 易知CP=CD=4,∴.MC=MP+PC=y+4. 在Rt△BCM中， 易得(7-y)2+32=(y+4)2, 解得y=引即4B=引 综上，线段4证的长为子或升 专练二一元二次方程在学科内的应用 1.解：方程(a+c)2+c+“,=0有两个相等的实数根， 4=P-4(a+e）.年=2-(d2-2)=0, 即62+c2=a2,∴.此三角形是直角三角形 2.解：(1)如答图①.AB=AC=20cm,∠A=90°， .∴.BC=WJ2AB=20W2cm,∠B=∠C=45° ·四边形DEFG是长方形， ∴.∠DGF=∠EFG=90°，DG=EF, ∴.∠DGB=∠EFC=90°， ∴，易得△DGB和△EFC是等腰直角三角形， .DG=BG=EF=FC. 设DG=xcm,则GF=(202-2x)cm. 由题意，得x(20√2-2x)=75, 整理，得2x2-202x+75=0, 箭得5252。 2 .202-2x=152或52， ∴.长方形卡片的长和宽分别为 152 2 m,56m或15hcm,52m D D B G B 2题答图① 2题答图② (2)如答图②.设AF=acm, 则易得EF=CF=(20-a)cm. 由题意，得a(20-a)=75, 整理，得a2-20a+75=0, 解得a1=15,a2=5. ·51· 同步练测·九年级数学·上册·北师版 经检验，a1-15,a2=5都符合题意。 ∴.长方形卡片的长和宽分别为15cm和5cm 3.(1)解：①5②m2+2 4 [解析]，·四边形ABCD是菱形，∴，AC⊥BD,OA=OC,OD= OB,.AB2=OA2+OB2.m,n,t分别是菱形ABCD的两条 对角线的长和边长，2=（受）+（经广2 m2+元.当m=4,n=2时，2_4+22 4 4 =5,t=±5.t>0, t=5. (2)证明：根据题意，得4=(22-4m·(（分=4-2mm :2=m2+n2 4 六4e-2n=4xm2+2-2m=m2+m2-2mn=(m-m2≥0， .4≥0， 关于x的"菱系一元二次方程”m2+2+分n=0必有 实数根. 4.解：(1)(-2,2) (2)解x2-2(m+1)x+m2+2m=0,得x=m+2或m. 又：x1<x2,∴.x1=m,x=m+2,∴.M(m,m+2). 又.点M在直线y=-x上 .m+2=-m,解得m=-1. (3)存在.y=-kx+2(4+k)=k(-x+2)+8, .直线过定点(2,8)， .方程x2+bx+c=0的衍生点M的坐标为(2,8). 由根与系数的关系，得-6=2+8，b=-10, Le=2x8, lc=16. 专练三相似中的几何变换问题 1k解：(1瓷=号A1cG (2)当90°<<180时，(1)中发现的结论仍然成立. 理由：设AE与BC,CG分别交于点P,点O. 四边形ABCD和四边形EBGF都是矩形， ∴.∠ABC=∠EBG=90°， ∴，∠ABC+∠CBE=∠EBG+∠CBE, 即∠ABE=∠CBG. 又.点E,G分别落在AB,BC边上时， E,G恰好为边AB,BC的中点， BE-AR-4,BG-BG-3, AB BE 4 ·CB-BC=3△ABE∽△CBG, CG-GR-子，∠BME=∠BCG AE AB 4 ·52. .·∠APB=∠CPO,∴.∠ABP=∠POC=90°，∴.AE⊥CG, .当90°<a<180°时， 4E与CG的数量关系仍然是C花=子， 位置关系仍然是AE⊥CG. (3)AG2+CE2的定值为125. 2.解：(1)DP=CQ (2)成立.理由如下： 设AD=BC=m,EH=n,则AB=km,EF=kn. :0为EBF的中点0F=0B=之a ·EH∥AP,∴.易得△OEH∽△OAP, 小-驰…册=左同理器号 B0=2· 设A0=x,则B0=km-x,AP=2 " 大pm-登0-台0-2a÷ k CQ=B0-BC=2m-经-m=m-经0P=0 (3)OA的长为5或3.[解析]k=1,AD=8,EH=4, ∴.AD=AB=CD=BC=8,EH=EF=FG=GH=4..·O为EF 的中点B0=0F=2由(2)得Dp=c0.器-86=号 :∠PDM=∠QCM=90°，∠DMP=∠CMQ,DP=CQ, .△DMP≌△CMQ,.DM=CM=4.如答图①，当∠QP0= 90°时，∠AP0+∠DPM=90°.：∠D=90°，.∠DMP+ ∠DPM=90°，.∠AP0=∠DMP.又：∠D=LA=90°， 六△hMP0△DNP,S-84-,年得0M =3或OA=0(舍去)；如答图②，当∠PQ0=90°时，同理可 得△00△C0器-0则32-6解得08 =3或OB=0(舍去)，∴.OA=AB-OB=5.综上，OA的长为 5或3 0 D M AEOF B A EOFB 2题答图① 2题答图② 3.解：【问题解决】又由翻折可得LDEA=∠DEA', .2∠DEA=∠AEA'=∠EAB+∠EBA'=2∠EBA', ∴.∠DEA=∠EBA',·A'B∥DE 【结论应用】(1)40[解析]如答图①，连接AA',交DE于 点M,易知AA'⊥DE,AA'=2AM由题意设A'B=3x,则DE= 5x..·∠AME=90°，DE∥A'B,∴.∠AA'B=∠AME=90°.·E专练一 特殊四边形中的探究问题 类型1最值问题 类型2存在性问题 1.已知菱形ABCD,点E、点F分别在边 2.【实践操作】在矩形ABCD中，AB=4,AD=3, BC,CD上 现将纸片折叠，点D的对应点记为点P,折痕 【猜想与证明】 为EF(E,F是折痕与矩形的边的交点)，再将 (1)①如图①，若AE⊥BC,AF⊥CD,E,F分别 纸片还原，连接DP 为垂足，则∠EAF与∠B之间的数量关 【初步思考】 系是 (1)若点P落在矩形ABCD的边AB上（如图 ②如图②，当AE=AF且AE,AF分别不与 ①).当点P与点A重合时，∠DEF= BC,CD边垂直时，判断①中的结论是 ;当点E与点A重合时，∠DEF 否仍然成立，若成立，请给出证明；若不 = 成立，请说明理由； 【深入探究】 【作图与计算】 (2)当点E在AB上，点F在DC上时（如图 (2)①作图：若∠B=60°，F是边CD的中点， ②)，连接DE,PF,试说明：四边形DEPF 请在BC边上找一点E,使EA+EF的 值最小，请根据描述在图③中画 为菱形，并直接写出当AP=子时菱形 出图形； DEPF的边长； ②在①的条件下，若AB=4,请直接写出 【拓展延伸】 EA+EF的最小值， (3)若点F与点C重合，点E在AD上，连接 FP,EP,射线BA与射线FP交于点M(如 图③)，在折叠过程中，是否存在使得线段 AM与线段DE的长度相等的情况？若存 E 在，请求出线段AE的长度；若不存在，请 1题图① A 说明理由， C(F E 1题图② 2题图① 2题图② 2题图③ 1题图③ 21 同步练测·九年级数学·上册·北师版 专练二 一元二次方程在学科内的应用 应用1与三角形相结合 问题： 1.已知a,b,c是三角形的三边长，且关于x的一 (1)填空： 元二次方程(a+c)x+bx+aC=0有两个相 ①当m=4,n=2时，t= 4 ②用含m,n的代数式表示t= 等的实数根，试判断此三角形的形状 (2)求证：关于x的“菱系一元二次方程” m2+2+2=0必有实数根 2.某中学某节社团课上，老师给每名学生发了一 张腰长为20cm的等腰直角三角形硬卡片（如 图①②，AB=AC=20cm,∠A=90),要求学 3题图 生们利用它裁出一张长方形卡片制作明信片， 要求裁出的长方形卡片的四个顶点都在三角 形硬卡片的边上，并且裁出的长方形卡片的面 积为75cm2. (1)方方同学很快完成了自己的设计（如图 应用3与函数相结合 4.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c= ①)，并完成计算，请你求出他裁出的长方 形卡片的长和宽； 0(a≠0)的两个实数根为x1,x2(x1<x2),分别 以x1,x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2), (2)圆圆同学看了方方同学的设计后提出了 不同的设计方案，请利用图②大致画出草 则称点M为该一元二次方程的衍生点， (1)一元二次方程x2=4的衍生点M的坐标 图，并求出圆圆同学裁出的长方形卡片的 长和宽 为 (2)若点M是关于x的一元二次方程x2- 2(m+1)x+m2+2m=0的衍生点，且点M 在直线y=-x上，求m的值； 2题图① 2题图② (3)是否存在b,c,使得不论k(k≠0)为何值， 关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M 始终在直线y=-x+2(4+k)上？若存 在，请求出b,c的值；若不存在，请说 明理由 应用2与四边形相结合 3.如图，在菱形ABCD中，m,n,t分别是菱形 ABCD的两条对角线的长和边长，这时我们把 关于x的形如m2+2+7=0的一元二次 方程称为“菱系一元二次方程”.请解决下列 20