第2章 专题5 根的判别式和根与系数的关系的应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 专题5根的判别式和根与系数的关系的应用 [答案P15] 类型①利用根的判别式判断含字母系数的方程⑤已知a,b,c是△ABC的三边长，且关于a的方程 的根的情况 x2+2(a-b)x-(a2+b2-c2)2=0有两个相等 的实数根，判断△ABC的形状 ①常数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况是 b 0 0 1题图 A.有两个相等的实数根 B.无实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 2已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-4=0. 类型③利用根与系数的关系求字母的值 (1)判断方程的根的情况； 6已知关于x的方程x2-(2m-1)x+m2=0的两 (2)若方程有一个实数根为负数，求正整数 m的值. 实数根为x1,x2,若(x1+1)(x2+1)=3,则m的 值为 () A.-3 B.-1 C.-3或1 D.-1或3 7已知关于x的一元二次方程x2-（m-1)x- 2(m+3)=0. (1)求证：无论m取任何实数，方程都有两个不 相等的实数根； (2)设x1,x2为方程的两个实数根，且x+x2= 16,求m的值， 类型②利用根的判别式求字母的值或取值范围 3(德阳中考)若关于x的一元二次方程-2x2+ 4x+飞=0有两个相等的实数根，则k的值是 A.2 B.0 C.-2D.-4 ④（东营中考）若关于x的方程(2-1)x2+(k+ 类型⑨利用根与系数的关系求代数式的值_ 1)x+子=0无实根，则k的取值范围是 8(泸州中考)若一元二次方程2x2-6x-1=0的 两根为a,B,则2a2-3a+3B的值为 400 第二章一元二次方程 类型⑤利用根与系数的关系解决新定义问题/ 1①如图，四边形ABCD是边长为4的菱形，对角线AC, 9若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)》 BD的长分别是一元二次方程x2-(m+1)x+ 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2 2m=0的两个实数根，DH是AB边上的高，求 倍，则称这样的方程为“倍根方程”.例如：一元 DH的值 二次方程x2-9x+18=0的两个根是3和6，则 方程x2-9x+18=0就是“倍根方程” (1)若关于x的一元二次方程x2-6x+k=0是 “倍根方程”，求飞的值； 11题图 (2)若关于x的一元二次方程nx2-(3n+3m)x+ 8m=0(n≠0)是“倍根方程”，求该方程 的根. 类型⑦利用根与系数的关系解决论证与猜想 问题 12若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0， a,b,c为常数)的两个根，则x,+:,=- a,12 =C.这个定理叫作韦达定理， 类型⑥利用根与系数的关系解决几何问题 如：x1,2是方程x2+2x-1=0的两个根，则x,+ 1回已知关于x的一元二次方程x2-(4k+1)x+ x2=-2,x1x2=-1. 3k+3=0,其中k是整数. 已知M,N是方程x2-x-1=0的两根，记S1= (1)求证：方程有两个不相等的实数根； M+N;S2=M+N2;…;S.=M"+Nm. (2)若方程的两个实数根分别为x1,x2,若x1,2 (1)S1= ,S2= ； 是斜边长为3的直角三角形的两直角边 (2)当n≥3且为整数时，猜想Sn,Sn-1,Sn-2之间 有何关系？并证明. 长，求k的值. 。16.解：设2023年至2025年该校购书资金的年平均增长率为 x,由题意，得5000(1+x)2=7200, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意，舍去). 答：2023年至2025年该校购书资金的年平均增长率 为20%. 7.解：(1)设进馆人次的月平均增长率为x, 根据题意，得128(1+x)2=288, 解得x1=0.5=50%,2=-2.5(不合题意，舍去). 答：进馆人次的月平均增长率为50%. (2)能.理由：第四个月的进馆人次为288×(1+50%) =432 由于432<500，所以该市图书馆能接纳第四个月的进馆 人次 【能力提升练】 1.A2.D3.B4.15.5 6.解：(1)设每件的售价应为x元， 根据题意，得160-2-2≥110， 解得x≤15. 答：每件的售价应不高于15元. (2)10月份每件的进价为10×(1+20%)=12（元）. 根据题意，得10(1+m%)[15(1-名m%）-12-388, 设m%=t,则502-25t+2=0, 2 1 解得41=方，h=10,所以m1=40,m=10, 因为m>10,所以m=40. 答：m的值为40. 7.解：(1)y=10x+200 (2)根据题意，得(100-60-x)(10x+200)=8910, 整理，得x2-20x+91=0, 解得x1=7,x2=13. 要求优惠力度最大，∴x=13, .100-x=100-13=87. 答：每双运动鞋的售价应该定为87元 (3)定价为90元时，公司每天能获得9000元的利润. 根据题意，得(100-60-x)(10x+200)=9000, 整理，得x2-20x+100=0, 解得x1=x2=10. 每双运动鞋的利润不低于成本价的50%， .100-60-x≥60×50%，∴.x≤10， .x=10符合题意，此时100-x=90, ∴.定价为90元时，公司每天能获得9000元的利润。 专题5根的判别式和根与系数的关系的应用 1.C 2.解：(1)因为4=(-m)2-4×(2m-4)=m2-8m+16= (m-4)2. 因为(m-4)2≥0，所以方程总有两个实数根。 (2)方程x2-mx+2m-4=0可变形为 (x-2)(x-m+2)=0,解得x1=2,x2=m-2. 若方程有一个根为负数，则m-2<0, 所以m<2. 又因为m为正整数，所以m=1. 3.C4.k≤-1 5.解：根据题意，得4=4(a-b)2+4(a2+b2-c2)2=0, .(a-b)2+(a2+b2-c2)2=0, .a-b=0且a2+b2-c2=0, 即a=b且a2+b2=c2, 参考答案及解析 .△ABC为等腰直角三角形. 6.A[解析]：方程x2-（2m-1)x+m2=0的两实数根为 名西4=[-(2m-10]2-4m2≥0，m≤}，+= 2m-1,x12=m2.(x1+1)(x2+1)=x1x2+x1+x2+1= 3,∴m2+2m-1+1=3,解得m=1(舍去)或m=-3.故 选A. 7.(1)证明：，a=1,b=-(m-1),c=-2(m+3), .4=62-4ac=[-(m-1)]2-4×1×[-2(m+3)]= m2+6m+25=(m+3)2+16. (m+3)2≥0，.(m+3)2+16>0,即4>0， ∴.无论m取任何实数，方程都有两个不相等的实数根. (2)解：：x1,x2为方程x2-(m-1)x-2(m+3)=0的两 个实数根， .x1+2=m-1,1为2=-2(m+3), x号+x号=(x1+为)2-2x1x2=(m-1)2-2[-2(m+3)] =16, ∴.m2+2m-3=0,解得m1=-3,m2=1, .m的值为-3或1. 8.10 9.解：(1)设这个方程的两个根分别为a和2α， 则a+2a=-=6,解得a=2, 即这个方程的一个根为2. 将x=2代入方程x2-6x+k=0,得4-12+k=0, 解得k=8. (2)设这个方程的两个根分别为B和2B, B+28=3n+3m,① 由题意，得 n B·28=8m,② n 整理，得(m-n)2=0,m=n. 将m=n代入①，得B+28=3n+3m=6,解得B=2, ..2B=2×2=4,.该方程的根为x1=2,x2=4. 10.(1)证明：kx2-(4k+1)x+3k+3=0, .4=[-(4k+1)]2-4×k(3k+3)=162+8k+1- 122-12k=42-4k+1=(2k-1)2 k是整数，.2k-1≠0，.(2k-1)2>0, ·方程有两个不相等的实数根。 (2)解：关于x的一元二次方程x2-(4k+1)x+3k+3=0 的两个实数根分别为x1,2,k≠0， 名3张3 “名+名=46+1 k :西是斜边长为泸的直角三角形的两直角边长。 45 (-2() 整理，得5-8k-4=0,解得名=-子，=2 k是整数，.k的值为2. 11.解：四边形ABCD是菱形， .∴.AB=4,AC⊥BD,AC=2A0,BD=2B0 ∴.∠A0B=90°，.A02+B02=AB2=42=16. :对角线AC,BD的长分别是一元二次方程x2 ·15. 同步练测·九年级数学·上册·北师版 (m+1)x+2m=0的两个实数根， ∴，AC+BD=m+1,AC·BD=2m, 即2A0+2B0=m+1,2A0·2B0=2m, 40+B0=之(m+1),40·B0= 2m, ∴A02+B02=(40+B0)2-240·B0=4(m+1)2-m =16,解得m1=9,m2=-7. 当m=-7时，A0·B0=-3.5<0,不合题意，舍去， .m=9,∴.AC·BD=2m=18. ,DH是AB边上的高， ∴S=AB·DH=之4C:BD, 401=之x18,解得Dn= 41 12.解：(1)13[解析]由题意，得M+N=1,MW=-1, .S1=M+N=1,S2=M2+N2=(M+N)2-2MN=12- 2×(-1)=3. (2)Sn=Sn-1+Sn-2证明如下： M,N是方程x2-x-1=0的两根， .M2=M+1,N2=N+1, 六S-1+S-2=Mm-1+Nm-1+Mm-2+m-2=M+ M+N M N M(N(1+N MM NN +2 M2 N2 M2 2 M"NM S. 教材素材拓展一元二次方程几何解法 解：(1) (2)一方面，大正方形的面积可表示为(x+x+2)2, 另一方面，也可表示为4x(x+2)+(x+2-x)2, (x+x+2)2=4x(x+2)+(x+2-x)2. 又：x(x+2)=35,.(2x+2)2=4×35+4=144. .x>0,.2x+2=12,.x=5. (3)上述几何解法的弊端是容易漏解 原因：几何解法中正方形的边长与面积均为正数，无法构造出 与负数相关的图形，导致只能求出一元二次方程的正数根，无 法求出负数根。 (4)② 易错疑难集训二 1.-12.-1 3.解：不正确.正确的解题过程如下：移项，得x2+8x=5. 配方，得x2+8x+16=5+16,即(x+4)2=21. 两边开平方，得x+4=±√21， 名=-4+√21，x2=-4-√21. 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1, .62-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, x=5±29 2 名-5+29 2 ,易错分析 针对这类问题一定要先将一元二次方程化为一般 形式，确定a,b,c的值，再利用求根公式解方程就不会导 致错解： ·16 5.解：××正确的解答过程如下：移项，得3(x-3)-(x -3)2=0. 提取公因式，得(x-3)(3-x+3)=0, 则x-3=0或3-x+3=0,∴.x1=3,x2=6. 6.k≥-1 7.证明：①当m-1=0,即m=1时， 方程为-x+1=0,解得x=1, 所以此时方程有实数根； ②当m-1≠0时，4=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m- 2)2≥0，所以此时方程有两个实数根. 综上，不论m为何值，方程总有实数根. 8.B 本章考点枪测训练 1.B2.-13.2x2-4x-1=04.C 5.解：(1)3(x-1)2=12, 方程的两边都除以3，得(x-1)2=4. 两边开平方，得x-1=±2， 1=3,2=-1. (2)x2+4x-2=0, 移项，得x2+4x=2. 配方，得x2+4x+4=2+4, 即(x+2)2=6. 两边开平方，得x+2=±6， x1=6-2,2=-6-2. (3)3x(x-2)=x-2, ∴.(3x-1)(x-2)=0, 1 为1=3=2. (4)原方程可化为x2-√6x+1=0. a=1,b=-6,c=1, .4=62-4ac=(-6)2-4×1×1=2>0, …x=-(-6)±2-6±2 2×1 21 .x1= 626 2 6.B7.B 8.0[解析]：a,b是方程x2+x-2025=0的两个实数根， .a2+a-2025=0,a+b=-1,.a2=-a+2025,.a2- b-2026=-a+2025-b-2026=-a-b-1=-（a+ b)-1=-(-1)-1=0. 1 9.解：(1)m的取值范围为m>-2 (2):a=1,6=-(m+1),c=m 49 b .1+x2=- a =m+1,-买 2(1+2)=2(m+10=, 化简，得m2-8m=8, 解得m1=4+2√6，m2=4-2V6. 1 由(1)可知m>-2, ∴.m的值为4+26. 10.解：(1)根据题意，得△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)= 8m-16≥0，解得m≥2.