第2章 专题4 一元二次方程的解法-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

香同步练测·九年级数学·上册·北师版 专题4一元二次方程的解法 [答案P12] 类型①直接开平方法 (2)-4x-=0： ①一元二次方程(2x+1)2-81=0的根是 2用直接开平方法解下列方程： (1)4x2-25=0; (3)x2-25x-4=0. (2)(4x+1)2-16=0 9 类型④因式分解法 5解下列方程： 类型⑧配方法 (1)2x(x+1)=x(x-1); 3用配方法解下列方程： (1)-x2+2x+3=0; (2)4(2-3x)2=9(x-1)2; (2)-8x+ s0 1 (3)x2-7x=-12 类型③公式法 ④用公式法解下列方程： (1)x2-x-2=0; 类型⑤用适当的方法解方程 6解下列方程： (1)x2-2x=3; 320 第二章一元二次方程 (2)3-2x-是=0： 类型⑦用换元法解方程 ⑧新考向阅读下列材料： 解方程：(x2-3)2-7(x2-3)+6=0. 解：将x2-3视为一个整体，然后设x2-3=t, 则原方程可化为t2-7t+6=0, 解得t1=1,t2=6. 当t=1时，x2-3=1,解得x1=2,x2=-2; (3)2(x+1)2=x2-1; 当t=6时，x2-3=6,解得x1=3,x2=-3, 所以原方程的解为x1=2,x2=-2,x3=3,x4= -3. 以上过程采用了换元法解方程，达到了降次的 目的，体现了“转化思想” 根据以上阅读材料内容，解下列方程： (1)(4x-1)2-10(4x-1)+24=0; (4)3x2-10x+8=0. 类型⑥)解含绝对值的一元二次方程 刀新考向阅读以下内容，并解决问题： 解方程：x2-1xl-2=0. (2)x4-5x2+4=0. 解：①当x≥0时，原方程可化为x2-x-2=0, 解得x1=2,x2=-1(舍去)； ②当x<0时，原方程可化为x2+x-2=0, 解得x1=1(舍去)，x2=-2. 综上所述，原方程的解为x1=2,x2=-2. 请参照上述方法解方程：x2-1x-31-3=0. 033同步练测·九年级数学·上册·北师版 (2)原方程可化为(x+2)(x-2)+2(x-2)=0. 因式分解，得(x-2)(x+2+2)=0, 即(x-2)(x+4)=0. 于是得x-2=0或x+4=0, x1=2,x2=-4. (3)因式分解，得[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x- 5)]=0, 即(5x-2)(x+8)=0 于是得5x-2=0或x+8=0, 2 小出1=5西=-8， 5.C6.B7.D 8.解：(1)整理，得x2-25x+3=0. 配方，得(x-√5)2=0. 两边开平方，得x-3=0,解得1=x2=3. (2)整理，得-2=号 配方，得2-2x+1=号，即(x-1)2=号 两边开平方，得x1=± 3 解得名=1+ 3书=1-⑤ 3 (3)整理，得x2-2x-15=0. 因式分解，得(x-5)(x+3)=0, .x-5=0或x+3=0,解得x1=5,x2=-3. 【能力提升练】 1.C2.D 3.D[解析]x2-7x+12=0,x1=3或x2=4.①当长是4 的边是直角边时，该直角三角形的面积是乃×3×4=6： ②当长是4的边是斜边时，第三边的长是√42-32=√万，该 直角三角形的而款是}×3x厅-3综上，该直角三角 形的面我是6表故造D 4.05.-4或2 6.解：(1)整理，得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0. 因式分解，得(x-3)(x-9)=0. 于是有x-3=0或x-9=0,x1=3,2=9 (2)a=16=-5,c=-子 4=(-2-4×1×(-)=4>0, 则x=-b±YB2-4ac-5±2 2a 2， 52%=62 2 7.解：(1)设x2-2x=t, 原方程可化为2+t-6=0,解得1=-3,2=2. 当t=-3时，x2-2x=-3, 即x2-2x+3=0,此方程没有实数根； 当t=2时，x2-2x=2,此方程可化为x2-2x+1=3, 即(x-1)2=3. 两边开平方，得x-1=±√3， ·12· 所以x1=1+5,2=1-3, 所以原方程的解为1=1+√5,2=1-√5. (2)令x2+4x=y, 原方程可化为y2-2y-15=0, 解得y1=-3,y2=5. 当y=-3时，x2+4x=-3,解得x=-1或-3； 当y=5时，x2+4x=5,解得x=-5或1， 所以原方程的解为x1=-1,x2=-3,=-5,x4=1. 微专题6运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)(x+1)(x+3)=0,x+1=0或x+3=0, x1=-1,x2=-3. (2)(x-5)(x-2)=0,x-5=0或x-2=0, .x1=5,2=2. (3)(x-6)(x+2)=0,x-6=0或x+2=0, 为1=6，为=-2. (4)(2x-3)(x+2)=0,2x-3=0或x+2=0, 3 六名=2西=-2 专题4一元二次方程的解法 1.x1=4,x2=-5 2.解：(1)4x2-25=0, 4=25,22=3=名 5 (2)(4x+102-9-0(4+12-9 两边开平方，得4x+1=±3， 4 1 7 解得=2=-12 3.解：(1)原方程可化为x2-2x=3. 配方，得x2-2x+1=4,即(x-1)2=4. 两边开平方，得x-1=±2， 所以x-1=2或x-1=-2, 所以x1=3,x2=-1. (2)原方程可化为x2-16x=-1. 配方，得x2-16x+64=-1+64, 即(x-8)2=63. 两边开平方，得x-8=±3√万， 所以x-8=3万或x-8=-3√万， 所以x1=8+3√7，x2=8-3V7. 4.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, .b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, ÷x=-b±Y6-4ae-1±5-1±3 2a Γ2×1=2， x1=2,x2=-1. (2)原方程整理，得2-3x-冬=0， a=1,a=-3c=-4, 8-4ac=(-32-4×1×(-4）=10>0, x=-b±Y-4e=3±0 2a 2×1 3+103-10 = 2 (3)a=1,b=-25,c=-4, .b2-4ac=(-25)2-4×1×(-4)=36>0, x=-b±0-4ae_25±36.25±6 2a 2×1 2 .x1=5+3,2=5-3. 5.解：(1)原方程可变形为2x(x+1)-x(x-1)=0, x(2x+2-x+1)=0, x(x+3)=0,x=0或x+3=0, 所以x1=0,x2=-3. (2)原方程可变形为[2(2-3x)]2=[3(x-1)]2, [2(2-3x)]2-[3(x-1)]2=0, [2(2-3x)+3(x-1)][2(2-3x)-3(x-1)]=0, 即(1-3x)(7-9x)=0, 1-3x=0或7-9x=0, 1 7 所以x1=3为=9 (3)整理，得x2-7x+12=0, 因式分解，得(x-4)(x-3)=0, 所以x-4=0或x-3=0, 解得x1=4,x2=3. 6.解：(1)x2-2x+1=3+1,(x-1)2=4, .x-1=±2，.1=3，x2=-1. (2)a=3,6=-2,c=-4 4=(-万2-4x3×(-=5>0, =±5巨45，E5 2×3 6 6 (3)2(x+1)2-(x+1)(x-1)=0, (x+1)[2(x+1)-(x-1)]=0,(x+1)(x+3)=0, x+1=0或x+3=0,1=-1,x2=-3. (4)(x-2)(3x-4)=0,∴x-2=0或3x-4=0, 4 x1=2,为=3 7.解：①当x-3≥0即x≥3时， 原方程可化为x2-(x-3)-3=0,即x2-x=0, 解得1=0，x2=1. x≥3，x=1或x=0均不符合题意； ②当x-3<0即x<3时， 原方程可化为x2+(x-3)-3=0,即x2+x-6=0, 解得x1=2,x2=-3. 综上所述，原方程的解为1=2,2=-3. 8.解：(1)设1=4x-1,则原方程化为2-10：+24=0， 因式分解，得(t-4)(t-6)=0, 解得1=4,2=6. 5 当1=4时，4x-1=4,4x=5,x=4 当1=6时，4x-1=6,4x=7,x=4, 7 5 7 所以原方程的解为=4为=4 (2)设t=x2,则原方程化为2-5t+4=0, 因式分解，得(t-1)(t-4)=0,解得1=1,2=4. 当t=1时，x2=1,x=±1；当t=4时，x2=4,x=±2， 所以原方程的解为名1=1，x2=-1,=2,4=-2 参考答案及解析 3一元二次方程的龈与系数的关系 【基础巩固练】 1.A2.D3.-34.-2 5.解：a=4,b=8,c=-2, 西+为=-b。-8 a (1)1+1-+5.-2 4 (2)号+号=（名+为2）2-2x12=(-2)2-2× ()5 (3)(1-x2)2=(x1+名)2-4x12=（-2)2-4× (-)6 6.C7.58.4 9.-3[解析]a,B是方程x2-2x+k=0的两个实数根， △=（-2)2-4k≥0，解得k≤1.a,B是方程x2-2x+k =0的两个实数根，a2-2a+k=0,a+B=2,.a2-2a= -ka2-a+B=5,.a2-2a+a+B=5,.-k+2=5, .k=-3. 10.(1)解：把x1=-1代人方程(x-1)(x-2)=m2, 得m2=6,.m=±6， .(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, .(x-4)(x+1)=0, .x1=-1,x2=4, .x2=4,m=±√6. (2)证明：方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. 4=9-4(2-m2)=4m2+1>0, ·,方程有两个不相等的实数根. 方程(x-1)(x-2)=m2, 即x2-3x+2-m2=0的两根为名1,2， x1+x2=3,x12=2-m2, (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=2-m2-3+1 =-m2. m2≥0，-m2≤0，即(x1-1)(x2-1)≤0. 【能力提升练】 1.D2.C 3.B[解析]设原来的方程为ax2+bx+c=0(a≠0)，由题知 -合=6+1=7，÷=-2×(-5)=10,6=-7a,0= 10a,.原来的方程为ax2-7ax+10a=0.当a=1时，方程 为x2-7x+10=0.故选B. 4.295.3<m≤56.7号 7,解：设方程的另一个根是，则21=-号， 3 x1=-5 “名+2=令号+2=专解得=-7 8.解：根据根与系数的关系，得 3 x1+x2=-2,x1为=-2 ·13