第2章 2 课时4 用因式分解法求解一元二次方程&微专题6 运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 课时4用因式分解法求解一元二次方程 《基础巩固练> [答案P11] 知限点⑨用因式分解法解一元二次方程_ 6下列一元二次方程中，最适合用因式分解法来 ①一元二次方程x(x-4)=0的根是 解的是 () A.x1=1,x2=4 B.x1=1,x2=-4 A.(x+2)(x+1)=5 C.x1=0,x2=4 D.x1=0,x2=-4 B.(x-6)2=6-x 2(天津南开区期中)已知一元二次方程的两根分 C.x2+5x-1=0 别为x1=3,x2=-4,则这个方程为（ D.18(4-x)2=2 A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0 7解下列方程：①3x2-27=0;②2x2-3x-1=0; C.(x+3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0 ③2x2-5x+2=0;④2(3x-1)2=3x-1.较简便 3(山西大同期未)用因式分解法解一元二次方程 的方法是 () (4x-1)(x+3)=0时，可将原方程转化为两个 A.①公式法，②配方法，③直接开平方法，④因 一元一次方程，其中一个方程是4x-1=0,则另 式分解法 个方程是 B.①因式分解法，②公式法，③配方法，④直接 ④用因式分解法解下列方程： 开平方法 C.①②直接开平方法，③公式法，④因式分解法 (1)x(x+4)=3x+12; D.①直接开平方法，②公式法，③④因式分解法 8(山东泰安期末)按照指定方法解下列方程： (1)x(x-2√3)+3=0；（自选方法） (2)x2-4-2(2-x)=0; (2)3x2-6x-2=0;(配方法) (3)9(x+1)2-(2x-5)2=0. 知识点②用合适的方法解一元二次方程 (3)x2-9=2x+6.(因式分解法) 5(贵州贵阳期末)解一元二次方程(x-1)2 2(x-1)最适宜的方法是 A.直接开平方法 B.公式法 C.因式分解法 D.配方法 300 第二章 一元二次方程 《能力提升练) [答案P12] ①（北京朝阳区期中）一元二次方程(x+2)(x- 6解下列方程： 4)=x-4的解是 ( (1)2(x-3)2=x2-9; A.-2 B.-1 (2)2-3x-4-0 C.-1和4 D.-2和4 2已知关于x的方程x2+px+q=0有两个根6和 -2,则二次三项式x2+px+q可分解因式为 ( 7[核心素养]为解方程x4-5x2+4=0,我们可以 A.(x+6)(x+2)B.(x+6)(x-2) 将x2视为一个整体，然后设x2=y,则x4=y2,将 C.(x-6)(x-2) D.(x-6)(x+2) 原方程化为y2-5y+4=0,解这个方程得y1= 3若直角三角形的两边长分别是方程x2-7x+12 1,y2=4,所以原方程的解为x1=1,x2=-1,x3 =0的两根，则该直角三角形的面积是（） =2,x4=-2. A.6 B.12 利用上述方法解方程： C12或7 D6赋9 (1)(x2-2x)2+x2-2x-6=0: 4若关于x的一元二次方程(2k-1)x2+x-42= 0的一个根为1，则飞的值为 ⑤（山东东营期中）根据图中的程序，当输入一元 二次方程x2-2x=0的根x时，输出结果y的值 (2)2(2+4x)2-2-4w-5-0, 2 为 y=x-4(x≤1) 输人x 输出y y=-x+4(x>1) 5题图 微专题6运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 方法指导： 1依照上面的方法和原理，解下列方程： “十字相乘法”适用于形如x2+(p+q)x+p9 (1)x2+4x+3=0;(2)x2-7x+10=0; =0的方程：x2+(p+q)x+P9=(x+p)(x+9) 1、 一P 19 1×p+1×q=p+q 例：用“十字相乘法”解方程x2+2x-35=0. 策略一：竖分二次项系数和常数项：1=1×1，-35 (3)x2-4x-12=0;(4)2x2+x-6=0. =(-5)×(+7); 策略二：交叉相乘，验中项系数： 5 1+7 →7-5=2； 策略三：横向写出两因式：x2+2x-35=(x-5)(x+ 7)=0,解得x1=5,x2=-7.两边开平方，得x+子=±子名=分出=-2 (2)整理，得2x2+4x=16. 方程的两边都除以2，得x2+2x=8. 配方，得x2+2x+1=8+1,即(x+1)2=9. 两边开平方，得x+1=±3，.x1=2,x2=-4 5.解：(1)S1=2(2a+4),S2=(a+3)2. (2)由(1)得S2-S1=(a+3)2-2(2a+4)=a2+6a+9- 4a-8=a2+2a+1=(a+1)2. a>0,(a+1)2>0,.S2-S1>0, .S2>S1. 微专题5利用配方法判断代数式的正负或求最值 1.C 2D[解析]m2-m+之c=0,m2-m=-子c:m2- m-(a子e分=42-4m+e2- 1 4(m2-m）+2-=4x(-2+-行-2-2e- 子=(6-102-6≤3(e-102≥≥-1 1 故选D. 3.-1小-8 4.解：a2+b2-4a-2b+6=a2-4a+4+b2-2b+1+1=(a- 2)2+(b-1)2+1. (a-2)2≥0，(b-1)2≥0， .(a-2)2+(b-1)2+1≥1， 代数式a2+b2-4a-2b+6的最小值为1. 课时3用公式法求解一元二次方程 【基础巩固练】 1.D 2.3x2-5x-4=03-5-4(-5)23（-4)73 5±735+735-73 6 6 6 3.解：(1)一 (2)方程可化为x2-5x+3=0, 这里a=1,b=-5,c=3, ,62-4ac=(-5)2-4×1×3=13>0, x=-b±√B-4e-5±3 2a 2×11 名=5+厘，=5-g 2=2 4.解：(1)将原方程化为一般形式，得3y2-23y+1=0. a=3,b=-25,c=1, b2-4ac=(-25)2-4×3×1=0, y=23±0 6为29 3 (2)a=3,b=2,c=1, ∴.b2-4ac=22-4×3×1=-8<0, ·.原方程没有实数根 (3)将原方程化为一般形式，得x2-9x+2=0. a=1,b=-9,c=2, .b2-4ac=(-9)2-4×1×2=81-8=73, t=9±3 2 参考答案及解析 19+历，9历 2 2 5.D 6.-1(答案不唯一) 7.±6[解析]因为a=5,b=m,c=1,所以A=b2-4ac= m2-4×5×1=m2-20,所以m2-20=16,解得m=±6. 【能力提升练】 1.c2.c 3.g 4.解：(1)整理，得x2-x-2=0,这里a=1,b=-1,c=-2. 4=b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, “.方程有两个不相等的实数根， ÷x=-6±6P-40e=1±5-1±3 2a Γ2×1=2， 即x1=2,x2=-1. (2)整理，得x2-25x+2=0, 这里a=1,b=-25,c=2. 4=b2-4ac=(-25)2-4×1×2=4>0, .方程有两个不相等的实数根， x=-b±8-4ae_25±425±2 2a 2×1 2 即x1=5+1,2=5-1. 5.解：(1)4=2-4(-4k-16)=2+16k+64=(k+8)2 :(k+8)2≥0，方程有两个实数根. (2)存在. 解方程x2+x-4k-16=0, 解得x1=4,x2=-k-4. 当-k-4=6时，k=-10; 当-k-4=2时，k=-6, ∴.存在满足题意的实数k,k的值为-10或-6， 当k=-10时，方程的根为x1=4,x2=6;当k=-6时，方程 的根为1=4，x2=2. 6.解：(1)关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5= 0有两个实数根， ∴.4=[-2(m+1)]2-4(m2+5)=8m-16≥0， 解得m≥2，∴.m的取值范围为m≥2. (2)分两种情况： 当7为底边长时，由题意，得4=0，∴.8m-16=0, 解得m=2,此时一元二次方程为x2-6x+9=0, 解得名1=x2=3,3+3<7,不合题意，舍去； 当7为腰长时，将x=7代入，得49-14(m+1)+m2+5= 0,解得m=4或10. 当m=4时，三边长分别为3,7,7，可以构成三角形； 当m=10时，三边长分别为7,7,15， 7+7<15,不合题意，舍去. 综上，m的值为4. 课时4用因式分解法求解一元二次方程 【基础巩固练】 1.C2.A3.x+3=0 4.解：(1)原方程可化为x(x+4)=3(x+4). 移项，得x(x+4)-3(x+4)=0. 因式分解，得(x+4)(x-3)=0. 于是得x+4=0或x-3=0, x1=-4,x2=3. 。11· 同步练测·九年级数学·上册·北师版 (2)原方程可化为(x+2)(x-2)+2(x-2)=0. 因式分解，得(x-2)(x+2+2)=0, 即(x-2)(x+4)=0. 于是得x-2=0或x+4=0, x1=2,x2=-4. (3)因式分解，得[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x- 5)]=0, 即(5x-2)(x+8)=0 于是得5x-2=0或x+8=0, 2 小出1=5西=-8， 5.C6.B7.D 8.解：(1)整理，得x2-25x+3=0. 配方，得(x-√5)2=0. 两边开平方，得x-3=0,解得1=x2=3. (2)整理，得-2=号 配方，得2-2x+1=号，即(x-1)2=号 两边开平方，得x1=± 3 解得名=1+ 3书=1-⑤ 3 (3)整理，得x2-2x-15=0. 因式分解，得(x-5)(x+3)=0, .x-5=0或x+3=0,解得x1=5,x2=-3. 【能力提升练】 1.C2.D 3.D[解析]x2-7x+12=0,x1=3或x2=4.①当长是4 的边是直角边时，该直角三角形的面积是乃×3×4=6： ②当长是4的边是斜边时，第三边的长是√42-32=√万，该 直角三角形的而款是}×3x厅-3综上，该直角三角 形的面我是6表故造D 4.05.-4或2 6.解：(1)整理，得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0. 因式分解，得(x-3)(x-9)=0. 于是有x-3=0或x-9=0,x1=3,2=9 (2)a=16=-5,c=-子 4=(-2-4×1×(-)=4>0, 则x=-b±YB2-4ac-5±2 2a 2， 52%=62 2 7.解：(1)设x2-2x=t, 原方程可化为2+t-6=0,解得1=-3,2=2. 当t=-3时，x2-2x=-3, 即x2-2x+3=0,此方程没有实数根； 当t=2时，x2-2x=2,此方程可化为x2-2x+1=3, 即(x-1)2=3. 两边开平方，得x-1=±√3， ·12· 所以x1=1+5,2=1-3, 所以原方程的解为1=1+√5,2=1-√5. (2)令x2+4x=y, 原方程可化为y2-2y-15=0, 解得y1=-3,y2=5. 当y=-3时，x2+4x=-3,解得x=-1或-3； 当y=5时，x2+4x=5,解得x=-5或1， 所以原方程的解为x1=-1,x2=-3,=-5,x4=1. 微专题6运用“十字相乘法”分解因式解一元二次方程 1.解：(1)(x+1)(x+3)=0,x+1=0或x+3=0, x1=-1,x2=-3. (2)(x-5)(x-2)=0,x-5=0或x-2=0, .x1=5,2=2. (3)(x-6)(x+2)=0,x-6=0或x+2=0, 为1=6，为=-2. (4)(2x-3)(x+2)=0,2x-3=0或x+2=0, 3 六名=2西=-2 专题4一元二次方程的解法 1.x1=4,x2=-5 2.解：(1)4x2-25=0, 4=25,22=3=名 5 (2)(4x+102-9-0(4+12-9 两边开平方，得4x+1=±3， 4 1 7 解得=2=-12 3.解：(1)原方程可化为x2-2x=3. 配方，得x2-2x+1=4,即(x-1)2=4. 两边开平方，得x-1=±2， 所以x-1=2或x-1=-2, 所以x1=3,x2=-1. (2)原方程可化为x2-16x=-1. 配方，得x2-16x+64=-1+64, 即(x-8)2=63. 两边开平方，得x-8=±3√万， 所以x-8=3万或x-8=-3√万， 所以x1=8+3√7，x2=8-3V7. 4.解：(1)a=1,b=-1,c=-2, .b2-4ac=(-1)2-4×1×(-2)=9>0, ÷x=-b±Y6-4ae-1±5-1±3 2a Γ2×1=2， x1=2,x2=-1. (2)原方程整理，得2-3x-冬=0， a=1,a=-3c=-4, 8-4ac=(-32-4×1×(-4）=10>0, x=-b±Y-4e=3±0 2a 2×1 3+103-10 = 2