第2章 教材素材拓展 一元二次方程几何解法&易错疑难集训二-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测（北师大版·新教材）

同步练测·九年级数学·上册·北师版 教材素材拓展一元二次方程几何解法 [答案P16] 【阅读】许多数学家曾研究过一元二次方程的几何解法，下面以方程x2+2x-35=0即x(x+2)=35为例 加以说明. 三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造图1，一方面，图中大正方形的 边长是(x+x+2),它的面积可利用正方形的面积公式计算；另一方面，这个大正方形的面积又等于四个全 等矩形的面积加上中间小正方形的面积， 公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔·花拉子米采用的方法是：构造图2，一方面，图中大正方形的面积为(x+ 1)2;另一方面，它又等于35+1，据此可得x=5. x+2 x+2 x+2 图1 图2 【完成任务】 (1)数学家阿尔·花拉子米求解过程中所用的方法与下列哪种方法是类似的？ () A.直接开平方法 B.公式法 C.配方法 D.因式分解法 (2)根据数学家赵爽的方法求出x的值； 【探究思考】 (3)上述几何解法有何弊端，请说明这种弊端产生的原因； 【拓展延伸】 (4)根据赵爽记载的方法，在下列三个构图中（矩形的顶点均落在边长为1的小正方形网格格点上），能够 得到方程x2+3x-10=0的正数解的构图是 (请填写序号). 420 第二章一元二次方程 易错疑难集训二 [答案P16] 圆错凝难点①忽略二次项系数不为0的条件/ 圆错疑避点④解一元二次方程时漏根 ①若关于x的方程(a-3)xa-+x-1=0是一元⑤小敏与小霞两位同学解方程3(x-3)=(x-3)2 二次方程，则a的值是 的过程如下： 2(广元中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+ 小敏： 小霞： (a-1)x-了=0有两个相等的实数根，则a 方程的两边都除以 移项，得3(x-3)-（x-3) (x-3), =0, 得3=x-3, 提取公因式，得(x-3)(3-x- 偈错疑难点②配方时添项错误或漏填项 则x=6. 3)=0, 则x-3=0或3-x-3=0, 3用配方法解一元二次方程：x2+8x-5=0. x1=3,x2=0. 解：移项，得x2+8x=5. 配方，得x2+8x+16=5, 你认为她们的解法是否正确？若正确，请在框 即(x+4)2=5, 内打“√”；若错误，请在框内打“×”，并写出正 ∴.x1=-4+√5，x2=-4-5. 确的解答过程. 上面的解题过程正确吗？若不正确，请写出正 确的解题过程. 易错凝难点⑤忽略分类讨论 ⑥若关于x的方程x2-3x-9 =0有实数根，则 实数k的取值范围是 7已知关于x的方程(m-1)x2-mx+1=0.求证： 易错疑难点③公式法解方程时，未将方程化为一 不论m为何值，方程总有实数根. 般形式 4④（吉林德惠期中）小明在解方程x2-5x=1时出 现了错误，解答过程如下： a=1,b=-5,c=1,(第一步) ∴.b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21,(第二步) 3(第三步 45+,团，5 2 2 .(第四步) (1)小明解答过程是从第 步开始出错 的，其错误原因是 圆留圆随点回忽视方程有实根的隐含条件/ (2)写出此题正确的解答过程。 8(陕西西安期)已知关于x的一元二次方程x2+ 2mx+m2-m=0的两实数根为x1,x2,且满足 x1x2=2,则x1+x2的值为 () A.4 B.-4 C.4或-2 D.-4或2同步练测·九年级数学·上册·北师版 (m+1)x+2m=0的两个实数根， ∴，AC+BD=m+1,AC·BD=2m, 即2A0+2B0=m+1,2A0·2B0=2m, 40+B0=之(m+1),40·B0= 2m, ∴A02+B02=(40+B0)2-240·B0=4(m+1)2-m =16,解得m1=9,m2=-7. 当m=-7时，A0·B0=-3.5<0,不合题意，舍去， .m=9,∴.AC·BD=2m=18. ,DH是AB边上的高， ∴S=AB·DH=之4C:BD, 401=之x18,解得Dn= 41 12.解：(1)13[解析]由题意，得M+N=1,MW=-1, .S1=M+N=1,S2=M2+N2=(M+N)2-2MN=12- 2×(-1)=3. (2)Sn=Sn-1+Sn-2证明如下： M,N是方程x2-x-1=0的两根， .M2=M+1,N2=N+1, 六S-1+S-2=Mm-1+Nm-1+Mm-2+m-2=M+ M+N M N M(N(1+N MM NN +2 M2 N2 M2 2 M"NM S. 教材素材拓展一元二次方程几何解法 解：(1) (2)一方面，大正方形的面积可表示为(x+x+2)2, 另一方面，也可表示为4x(x+2)+(x+2-x)2, (x+x+2)2=4x(x+2)+(x+2-x)2. 又：x(x+2)=35,.(2x+2)2=4×35+4=144. .x>0,.2x+2=12,.x=5. (3)上述几何解法的弊端是容易漏解 原因：几何解法中正方形的边长与面积均为正数，无法构造出 与负数相关的图形，导致只能求出一元二次方程的正数根，无 法求出负数根。 (4)② 易错疑难集训二 1.-12.-1 3.解：不正确.正确的解题过程如下：移项，得x2+8x=5. 配方，得x2+8x+16=5+16,即(x+4)2=21. 两边开平方，得x+4=±√21， 名=-4+√21，x2=-4-√21. 4.解：(1)一原方程没有化成一般形式 (2)原方程化成一般形式为x2-5x-1=0. a=1,b=-5,c=-1, .62-4ac=(-5)2-4×1×(-1)=29, x=5±29 2 名-5+29 2 ,易错分析 针对这类问题一定要先将一元二次方程化为一般 形式，确定a,b,c的值，再利用求根公式解方程就不会导 致错解： ·16 5.解：××正确的解答过程如下：移项，得3(x-3)-(x -3)2=0. 提取公因式，得(x-3)(3-x+3)=0, 则x-3=0或3-x+3=0,∴.x1=3,x2=6. 6.k≥-1 7.证明：①当m-1=0,即m=1时， 方程为-x+1=0,解得x=1, 所以此时方程有实数根； ②当m-1≠0时，4=m2-4(m-1)=m2-4m+4=(m- 2)2≥0，所以此时方程有两个实数根. 综上，不论m为何值，方程总有实数根. 8.B 本章考点枪测训练 1.B2.-13.2x2-4x-1=04.C 5.解：(1)3(x-1)2=12, 方程的两边都除以3，得(x-1)2=4. 两边开平方，得x-1=±2， 1=3,2=-1. (2)x2+4x-2=0, 移项，得x2+4x=2. 配方，得x2+4x+4=2+4, 即(x+2)2=6. 两边开平方，得x+2=±6， x1=6-2,2=-6-2. (3)3x(x-2)=x-2, ∴.(3x-1)(x-2)=0, 1 为1=3=2. (4)原方程可化为x2-√6x+1=0. a=1,b=-6,c=1, .4=62-4ac=(-6)2-4×1×1=2>0, …x=-(-6)±2-6±2 2×1 21 .x1= 626 2 6.B7.B 8.0[解析]：a,b是方程x2+x-2025=0的两个实数根， .a2+a-2025=0,a+b=-1,.a2=-a+2025,.a2- b-2026=-a+2025-b-2026=-a-b-1=-（a+ b)-1=-(-1)-1=0. 1 9.解：(1)m的取值范围为m>-2 (2):a=1,6=-(m+1),c=m 49 b .1+x2=- a =m+1,-买 2(1+2)=2(m+10=, 化简，得m2-8m=8, 解得m1=4+2√6，m2=4-2V6. 1 由(1)可知m>-2, ∴.m的值为4+26. 10.解：(1)根据题意，得△=[-2(m+1)]2-4(m2+5)= 8m-16≥0，解得m≥2.