1.2有理数及其大小比较 讲义 2026—2027学年人教版初中数学七年级上册

本讲义聚焦有理数的定义与分类、数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较五大核心知识点，构建“有理数→数轴→相反数→绝对值→大小比较”完整知识链，以学习支架形式串联前后内容，为后续运算及方程学习奠定基础。 该资料通过知识框架图明晰脉络，易错点提醒突破负号层次等难点，典型例题精讲强化应用。借助数轴实现数形结合培养几何直观，通过分类及绝对值非负性应用提升抽象能力与推理意识，课中辅助教学，课后助力学生回顾强化、查漏补缺。

初中数学·七年级上册 · 第1.2节 有理数及其大小比较 讲义 1.2有理数及其大小比较 讲义 一、知识框架图 本节是整个“有理数”章节的基础与核心，主要学习以下内容：有理数的定义与分类、数轴、相反数、绝对值、有理数的大小比较。这些概念是后续有理数运算、一元一次方程、实数等全部内容的基础，必须打下坚实基础。 有理数 → 数轴 → 相反数 → 绝对值 → 大小比较 以上五个概念形成了一条完整的知识链：先理解有理数的概念和分类，再用数轴将“数”与“形”结合起来，接着学习相反数和绝对值两个重要工具，最后综合运用这些工具进行大小比较。整个过程体现了数形结合的整体思想。 二、有理数的定义 有理数的定义：整数和分数统称为有理数。也就是说，能写成形式 a/b（其中 a、b 是整数，b ≠ 0）的数都是有理数。 1. 整数 整数包括正整数、零、负整数。例如：3是正整数，0是零，-5是负整数。注意：0既不是正数，也不是负数，但 0 是整数，也是有理数。 2. 分数 分数包括正分数和负分数。有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此属于有理数。例如：0.5可化为 1/2，属于有理数；0.333...可化为 ，也属于有理数。但无限不循环小数（如π≈3.14159...）不能化为分数，不属于有理数。 三、有理数的分类（重点） 有理数有两种常用分类方法，考试中常考填空或选择题。 1. 按定义分类（按数的形式分） 有理数分为整数和分数两大类。整数包括正整数、零、负整数；分数包括正分数和负分数。注意：整数也可以写成分数的形式（如 3 = ），但分类时整数和分数是并列关系，不重不漏。 2. 按性质符号分类（按正负性分） 有理数分为正有理数、零、负有理数。正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。零是中性数，既不是正数也不是负数。 3. 分类易错点提醒 易错点1：带“-”号的数不一定是负数。例如当 a = -3 时，-a = 3 是正数。易错点2：小数不全是分数。有限小数和无限循环小数是分数（属于有理数），但无限不循环小数（如π）不是分数，也不是有理数。易错点3：“非负整数”指的是 0 和正整数，不仅仅是正整数。易错点4：最大负整数是 -1，最小正整数是 1，没有最大或最小的有理数。 四、数轴 1. 定义 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。这三个要素缺一不可，考试常考判断“下列图形是否是数轴”的题目。 2. 怎样画数轴 第一步：画一条水平直线。第二步：在直线上取一点作为原点，用这个点表示 0。第三步：在直线右端画箭头，表示正方向（通常向右）。第四步：选取适当长度作为单位长度，从原点向右依次标 1, 2, 3, ...，向左依次标 -1, -2, -3, ...。 3. 数轴的核心性质 性质1：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。但反过来，数轴上的点不一定都是有理数（后续将学无理数）。性质2：数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数，原点表示 0。性质3：数轴上右边的数总比左边的数大（右大左小）。 4. 数轴上点的移动规律 向数轴正方向移动几个单位长度，对应的数就加几；向数轱负方向移动几个单位长度，对应的数就减几。口诀：正加负减。 五、相反数 1. 定义 只有符号不同的两个数互为相反数。例如：3 和 -3 互为相反数， 和 - 互为相反数。 2. 几何意义 在数轴上，互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等，即关于原点对称。 3. 求法与性质 求法：a 的相反数是 -a。0 的相反数是 0（唯一一个相反数是本身的数）。性质1：互为相反数的两个数之和为 0，即 a + b = 0 → a、b 互为相反数。性质2：互为相反数的两个数绝对值相等。性质3（多重符号化简规律）：数字前面负号个数为偶数时，结果为正；负号个数为奇数时，结果为负。例如：-(-3) = 3，+(-5) = -5，-(-(-2)) = -2。 六、绝对值（重难点） 1. 定义 一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 |a|。绝对值的几何意义是“距离”，距离不可能为负数，因此绝对值总是非负的。 2. 代数定义（计算规则，必背） |a| = a　（当 a > 0 时，正数的绝对值是它本身） |a| = -a　（当 a < 0 时，负数的绝对值是它的相反数） |0| = 0　（零的绝对值是零） 以上三条可以合并记为：当 a ≥ 0 时，|a| = a；当 a < 0 时，|a| = -a。这是考试的核心考点，必须熟练掌握。 3. 绝对值的非负性（重要性质） |a| ≥ 0，即任何有理数的绝对值都大于或等于 0 应用：如果 |a| + |b| = 0，由于每一项都≥ 0，只有每一项都等于 0 时和才为 0，所以 a = 0 且 b = 0。这是考试高频考题类型。 4. 绝对值求值专项训练 例1：求下列各数的绝对值。|5| = 5；|-3| = 3；|0| = 0；|- | = ；|2.7| = 2.7。例2：若 |x| = 4，则 x = 4 或 x = -4。解析：绝对值为 4 的数有两个，分别是 4 和 -4，因为它们在数轴上到原点的距离都是 4 个单位长度。 规律总结：若 |x| = a（a > 0），则 x = a 或 x = -a，即绝对值相等的两个数互为相反数。 七、有理数的大小比较（核心重点） 1. 法则一：利用数轴比较（最直观） 在数轴上表示的两个有理数，右边的数总比左边的数大。这是最基本、最直观的比较方法，也是其他比较方法的几何依据。例如：在数轴上标出 -2 和 1，1 在 -2 的右边，所以 1 > -2。 口诀：右大左小。可以类比为“右手力量大于左手”来形象记忆。 2. 法则二：直接比较（最常用） 规则1：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数。例如：3 > 0，0 > -1，5 > -2。规则2：两个正数比较，绝对值大的数大。例如：5 > 3，因为 |5| > |3|。规则3（重点中的重点）：两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 两个负数比较：绝对值越大，数值反而越小！ 例如：|-6| = 6，|-4| = 4，因为 6 > 4，所以 -6 < -4。再例：|- | = ，|- | = ，因为 > ，所以 - < - 。 这条规则是考试的高频考点，很多同学容易受“数大值大”的思维定式影响而出错，务必小心。可用数轴来验证：在数轴上，-6 在 -4 的左边，所以 -6 < -4，与“右大左小”一致。 3. 利用绝对值比较两个负数的步骤 第一步：分别计算两数的绝对值。第二步：比较绝对值的大小。第三步：根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出判断。例：比较 -3.5 和 -2.8 的大小。|-3.5| = 3.5，|-2.8| = 2.8，3.5 > 2.8，所以 -3.5 < -2.8。 4. 多种比较方法汇总 除了数轴法和绝对值法，还有以下方法：作差法：设 a、b 为任意两个数，若 a - b > 0，则 a > b；若 a - b = 0，则 a = b；若 a - b < 0，则 a < b。作商法：当 b > 0 时，若 a/b > 1，则 a > b；若 a/b = 1，则 a = b；若 0 < a/b < 1，则 a < b。作差法和作商法在高中阶段会频繁使用，初中阶段了解即可。 八、典型例题精讲 例题1（有理数分类） 判断下列各数属于哪些数集（有理数、整数、分数、正数、负数）：3，-5，0， ，-0.3，π。 解：3 是正整数、有理数；-5 是负整数、有理数；0 是整数、有理数，既不是正数也不是负数； 是正分数、有理数；-0.3 是负分数、有理数（-0.3 = - ）；π 不是有理数（无限不循环小数）。 易错提醒：0 是有理数但既不是正数也不是负数；π 不是有理数；小数 -0.3 可以化为分数，属于有理数。 例题2（数轴的绘制与应用） 在同一数轴上标出下列各数：-3，1.5，0，- ，2。并按从小到大的顺序用“<”连接起来。 解：先在数轴上标出各点的位置，再根据“右大左小”读出大小关系。结果：-3 < - < 0 < 1.5 < 2。 技巧：先比较负数部分，再写 0，最后写正数部分。两个负数比较时用绝对值法则。 例题3（相反数与绝对值结合） 求下列各数的相反数和绝对值：(1) 7；(2) -4.5；(3) 0。 解：(1) 7 的相反数是 -7，绝对值是 |7| = 7。(2) -4.5 的相反数是 4.5，绝对值是 |-4.5| = 4.5。(3) 0 的相反数是 0，绝对值是 |0| = 0。 例题4（绝对值的非负性应用） 已知 |a| + |b| = 0，求 a、b 的值。 解：因为 |a| ≥ 0，|b| ≥ 0，两个非负数之和为 0，则每一项都必须为 0。所以 |a| = 0 且 |b| = 0，即 a = 0，b = 0。 强调：这是“若干非负数之和为 0，则每一项均为 0”此思路的典型应用，后续学习平方的非负性时也会用到。 例题5（两个负数的比较，必考题型） 比较下列各组数的大小：(1) -3 与 -7；(2) - 与 - 。 解：(1) |-3| = 3，|-7| = 7。3 < 7，所以 -3 > -7（绝对值小的反而大）。(2) |- | = ≈ 0.667，|- | = = 0.75。0.667 < 0.75，所以 - > - 。 技巧：比较分数大小时，可先化为小数再比较绝对值，也可通分后比分子。 例题6（含字母的绝对值化简） 化简下列各式：(1) -|-5|；(2) |-(-3)|；(3) 若 a < 0，则 |a| = ? 解：(1) -|-5| = -5。先求绝对值 |5| = 5，再加外面的负号。(2) |-(-3)| = |3| = 3。先化简括号内的 -(-3) = 3，再求绝对值。(3) 因 a < 0，根据绝对值定义，|a| = -a。注意此时 -a 是一个正数。 重点提醒：当 a < 0 时，|a| = -a 中的 -a 并不是负数，而是正数。这是初学者最容易混淆的地方。 九、易错点与难点突破 1. 负号的层次问题 带负号的数不一定是负数。当 a 本身是负数时，-a 反而是正数。判断一个数是正负时，不能仅看表面有没有负号，而要看它的实际值。 2. 绝对值与相反数的区别 绝对值是“距离”，结果非负；相反数是“符号相反”，结果可正可负可零。例如 |-5| = 5（绝对值，结果为正）；-5 的相反数是 5。两者容易混淆，注意判断题目问的是哪一个。 3. 两个负数比较的思维定式 很多同学习惯性地认为“数大值大”，在比较负数时容易出错。破解方法：①用数轴法验证（右大左小）；②用绝对值法则（绝对值大的反而小）；③用例子记忆（温度 -10℃ < -5℃，因为更冷）。 4. 最大最小问题 最大负整数是 -1，最小正整数是 1。没有最大的有理数，也没有最小的有理数（正数可以无限大，负数可以无限小）。没有最小的正数，也没有最大的负数。 十、知识总结（必背清单） 有理数 = 整数 + 分数；整数 = 正整数 + 0 + 负整数；分数 = 正分数 + 负分数 数轴三要素：原点 + 正方向 + 单位长度，缺一不可 a 的相反数 = -a；0 的相反数 = 0；互为相反数的两数之和 = 0 |a| = a (a≥0)；|a| = -a (a<0)；|a| ≥ 0（非负性） 正数 > 0 > 负数；两个负数比较：绝对值越大，数值反而越小！ — 第 页 — 学科网（北京）股份有限公司 $