专项巩固训练卷(四) 二次函数与几何图形的综合应用-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

8.解：(1)观察两种场景可知，场景A为y=-0.04x2+bx+c, 场景B为y=ax+21(a≠0)， 把点(10,16)，(20,3)代入y=-0.04x2+bx+c, 得-4+106+C=16解得b=0.1, L-16+20b+c=3, lc=21, .y=-0.04x2-0.1x+21. 把点(5,16)代入y=ax+21,得5a+21=16, 解得a=-1, ∴.y=-x+21, ∴.场景A的函数解析式为y=-0.04x2-0.1x+21, 场景B的函数解析式为y=-x+21. (2)当y=3时，在场景A中，x=20, 在场景B中，3=-x+21,解得x=18 ∴.化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长 专项巩固训练卷（四） 二次函数与几何图形的综合应用 1.解：(1)二次函数的图象经过点0(0,0)，A(4,0),B(1,3), 0=c, ra=-1, ∴.0=16a+4b+c,解得{b=4, 3=a+b+c, lc=0, ∴.二次函数的解析式为y=-x2+4x. 设直线AB的函数解析式为y=kx+n(k≠0)， 将A,B两点的坐标代入，得9=4+n解得k三1， 3=k+n, ln=4, ∴.直线AB的函数解析式为y=-x+4. C是直线AB与y轴的交点， .令x=0,得y=4,∴.C(0,4). (2).点P在直线AB上方，∴.1<m<4. 由题知P(m,-m2+4m),D(m,-m+4), .PD=yp-yn=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4= 512.9 -（m-2)+4 :-1<0当m=时，PD的长度最大，此时PD=9 2据：(1)将点B(3,0)点c0,4)代人y=a+号+， 得9a+8+c=0, 4 解得 a=-3’ Lc=4, lc=4, “抛物线的函数解析式为y=一子+号+4 (2②)由题意得，直线BC的函数解析式为y=一号x+4 y=++4=-1)+P1》 PF1x销FP1,骨) 设Q(0,n),如答图，过点M作MN⊥x轴于点N,则∠BOQ= ∠MWB=90°. .·∠QBM=90°，∴.∠QB0+∠MBN=90° .∠QB0+∠OQB=90°，∴.∠BQ0=∠MBN. .BQ=MB,∴.△BQO≌△MBN, ∴.QO=BN,B0=MN,∴.M(3+n,3) 设直线QM的函数解析式为y=k'x+n(k'≠0)， 六(3+m)+n=3,解得=十， :直线QM的函数解析式为y=多+片+n将点F代入，得 +=，解得=写+或=- 8 1√/46 参考答案及解析 0+0，号 1 Y+ M OB趴 2题答图 3题答图 3解：(1)对于y=-子+3x+6,当=0时，y=6,令y=0, 3 则x=-2或x=4,即A(-2,0),B(4,0),C(0,6). 设直线BC的函数解析式为y=kx+6(k≠0)， 将点B的坐标代入上式，得0=4+6，则k=-2, 即直线BC的函数解析式为)=一子+6， (2)如答图，过点D作x轴的垂线交BC于点P, 由题意知D(m,-子i+弓m+6,则P(m,-2m+), ∴Saam=Sac+Sam=7xAB·C0+7×PD·0B= 3×4+2)x6+分×[-+2m+6-(-是m+6× 4=-2+6m+18 ~子<0Sa有最大值，此时，m=一 6 =2, 2x(-) 即当m=2时，四边形ACDB的面积最大. 4.解：(1)由题意可知，设抛物线的函数解析式为y=a(x+ 2)(x-6),将(0,6)代入上式，得6=a(0+2)(0-6), 解得@=-分抛物线的函数解析式为y=一宁(x+2)(x -6)=-7+2x+6 (2)如答图，作点O关于直线BC的 对称点E,连接EC,EB,DE,OE. .B(6,0),C(0,6),∠B0C=90°， D:8 .∴.0B=0C=6. 点O,E关于直线BC对称， ∴.四边形OBEC为正方形， A O x ∴.E(6,6),连接AE. 由对称性知DE=DO, 4题答图 .∴.AD+OD=AD+DE≥AE, .当A,D,E三点共线时，AD+OD有最小值，最小值为AE 的长， .AE=√AB2+BE=√82+6=10. .·△AOD的周长为DA+D0+AO,A0=2, .△A0D周长的最小值为10+2=12. (3)由已知点A(-2,0),B(6,0),C(0,6), 设直线BC的函数解析式为y=x+b(k≠O), 将B(6,0),C(0,6)代入y=x+b中， 则+6=0， 1b=6, 想代6 ∴.直线BC的函数解析式为y=-x+6. 同理可得直线AC的函数解析式为y=3x+6, .PD∥AC, .可设直线PD的函数解析式为y=3x+a. 由(1)设P(m,-22+2m+6), 。7. 全程时习测试卷·九年级数学·上册 将点P的坐标代入直线PD的函数解析式，得 a=-m2-m+6, ·直线PD的函数解析式为y=3x-2m-m+6, y=-x+6, 联立得 1 y=3x-2m-m+6, 解得 (=-gm-im 1 m+6, (g2+,g2- 4m+6. :点P,D都在第一象限，S=SAPm+SAPD=SAPAB-S△AB= 1B1·[(-m+2m+6)-(-gm-m+6j]= -X 8x(-m+=-㎡2+9m=-(m-3+受 <0,当m=3时，S有最大值，最大值为号。 此时点P的坐标为3，》 5.解：(1)抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(6, 0)两点，设抛物线的函数解析式为y=a(x+2)(x-6). .点D(4,3)在抛物线上， .3=a(4+2)×(4-6), 1 解得a=-4, 抛物线的函数解析式为y=子(x+2)(x-6)=-子+ x+3. .直线l经过A(-2,0),D(4,3),设直线l的函数解析式为y =kx+n(k≠0)， 则{2k+n= 4k+n=3 0解得= ln=1, 1 “直线1的函数解析式为y=2x+1. (2)如答图①，过点P作PK∥y轴交AD于点K 设Pm,子㎡2+m+3,则风m,7m+1 Su=宁(，-)PK=3pK, .当PK的值最大时，△PAD的面积最大， PK=-2+m+3-7m-1=-子m2+m+2= -(m-12+号，子<0， 1 ·当m=1时，PK的值最大，最大值为 4 此时点P的坐标为1，），△PAD面积的最大值为孕 (3)如答图②，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AT,则 T(-5,6).设DT交y轴于点Q,则∠ADQ=45 :D(4,3),“直线DT的函数解析式为y=-3x+3, 113 ∴(o,) 作点T关于AD的对称点T(1,-6), 则直线DT的函数解析式为y=3x-9. 设DT交y轴于点Q',则∠ADQ'=45°， ∴.Q'(0,-9) …8 综上所述，满足条件的点Q的坐标为(0，号)或(0，-9)。 T C B 0 o' 5题答图① 5题答图② 6.解：(1)，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点B(4,0),点 D(3,4)在抛物线上， 「-16+4b+c=0, {-9+3b+c=4, 解得63， 1c=4, .抛物线的函数解析式为y=-x2+3x+4. (2).·抛物线y=-x2+3x+4与y轴交于点C, .C(0,4),∴.0C=4. .0B=4,∴.0B=0C. 又.·∠B0C=90°，∴.∠0BC=∠0CB=45°. 设直线BC的函数解析式为y=kx+m(k≠0)，将点B,C的坐 标代人得{4”0解得-1， lm=4, .直线BC的函数解析式为y=-x+4 过点P作PH⊥BC于点H,PM⊥x轴于点M,交BC于点N,如 答图. PM⊥x轴，.PM∥y轴，.∠PNH=∠OCB=45. .PH⊥BC,∴.∠PHN=90°，∴.∠HPN=90°-∠PWH=45°， ∴.∠HPN=∠PNH=45°，∴.△PHN是等腰直角三角形， ∴.PN=√2PH. 由题意，得PH=22,.PN=√2×22=4. 设点P的坐标为(x,-x2+3x+4)(0<x<4), 则点N的坐标为(x,-x+4), ∴.PN=-x2+3x+4-（-x+4)=-x2+4x=4,∴.x=2, .-x2+3x+4=-22+3×2+4=6,点P的坐标为(2,6). (3)存在，当点P的坐标为-子8)或(3,4)时，∠CP+ ∠AC0=45°. y=-3x+3。 2 y↑ N AOMB花 6题答图 7题答图 7.解：(1)抛物线与x轴交于A(1,0)和B(-5,0)两点，.抛 物线的对称轴为直线-12。-2，在y=-3x+3中，令 -2,得y=9,.抛物线的顶点坐标为(-2,9) 设抛物线的函数解析式为y=a(x+2)2+9, 将A(1,0)代入，得0=9a+9,解得a=-1, ∴抛物线的函数解析式为y=-(x+2)2+9=-x2-4x+5. (2)①如答图，在y=-x2-4x+5中，令x=0,得y=5, .C(0,5). 由B(-5,0),C(0,5),得直线BC的函数解析式为y=x+5, .E(m,-m2-4m+5),F(m,m+5), EF=-m2-4m+5-(m+5)=-m2-5m=-(m+2) 512 +终 :-1<0,当m=-时，P取得最大值，最大值为空 ②：E(m,-m2-4m+5),F(m,m+5),C(0,5), .EF2=(m2+5m)2,EC2=m2+(m2+4m)2,FC2=2m2. 若EF=EC,则(m2+5m)2=m2+(m2+4m)2, 解得m=0(舍去)或m=-4,∴.E(-4,5); 若EF=FC,则(m2+5m)2=2m2,解得m=0(舍去)或m=√2- 5或m=-√2-5（舍去），.E(2-5,-2+62)； 若EC=FC,则m2+(m2+4m)2=2m2,解得m=0(舍去)或m =-3或m=-5(舍去)，∴E(-3,8). 综上所述，点E的坐标为(-4,5)或（√2-5，-2+6√2）或 (-3,8). 8.解：(1)，抛物线的对称轴为直线x=3,AB=4, ∴.A(1,0),B(5,0). 将(1,0)代入y=x-1,得k-1=0,解得k=1, ∴.直线AD的函数解析式为y=x-1. 将(1,0)，(5,0)代入y=ax2+bx+5, 得590解箱[6 1b=-6, ∴.抛物线的函数解析式为y=x2-6x+5 (2)存在. 将x=3代入y=x-1,得y=2,∴.D(3,2) ①当∠DAM=90时， 设直线AM的函数解析式为y=一x+c, 将(1,0)代入，得-1+c=0,解得c=1, ∴.直线AM的函数解析式为y=-x+1, 联立，得y=+1，解得{。或=4， 1y=x2-6x+5, y=-3 .点M的坐标为(4，-3)； ②当∠ADM=90°时， 设直线DM的函数解析式为y=-x+d, 将(3,2)代入，得-3+d=2,解得d=5, ∴.直线DM的函数解析式为y=-x+5, 、联立，得x+5，得=5或=5， 1y=x2-6x+5, ly=0. 点M的坐标为(0,5)或(5,0). 综上所述，点M的坐标为(4，-3)或(0,5)或(5,0) 9.解：(1).y=-x+4, ∴.当x=0时，y=4,∴.B(0,4);当y=0时，x=4,∴.C(4,0) 将点B,C的坐标代入y=a2+x+c,得160+4+c=0,解得 Lc=4, 1 a7'抛物线的函数解析式为y=-之+x+4 c=4, (2)过点E作EC∥y轴交BC于点G. 设E,-2+1+4）,则c6,-4+4)5c=-2+2, 5%m=7×(-+2刘x4=-f+4=-(:-22+4, .当t=2时，△BCE的面积有最大值4，此时E(2,4) (3存在y=+x+4=-2x-102+号 .抛物线的对称轴为直线x=1. 设Q(1,m),Pn,-2n2+n+4), ①当PQ为平行四边形的对角线时，1+n=4,解得n=3, 参考答案及解析 P3, ②当PB为平行四边形的对角线时，n=4+1=5, P5,- ③当PC为平行四边形的对角线时，4+n=1,解得n=-3, …P(-32) 综上所述，点P的坐标为(3,2)或(5-2)或(-3，-2)} 第二十七章反比例函数 基础过关检测卷 1.D2.A3.C4.A5.A6.C7.A8.C9.D10.B 1k>012.1(答案不难-)1B.414p-19 15.x<-2或0<x<316分17.20 18.4[解析]如答图，连接OA,设BC=a,CD y =b,ab =4,...AC 2BC 2a,OC A CD=2b,则Sae=20C·Ac=7× bx2a=7b=2.又：s0e=岁=2， OC Dx k1=4.反比例函数的图象在第一象 18题答图 限，.k>0,.k=4. 19.解：(1).在该函数图象的每一个分支上，y都随x的增大而 减小，∴.m-3>0,解得m>3. （2)把42,2代入yn:2,得号-解得m6 2 20.解：（1)函数图象过点P(2,3), 将P(2,3)代入y=3m-6,得3-3m,-6, 21 解得m=4. (2)补全图象如答图. --2-1--- -543-220.12345x ----- ----- --月 -5 20题答图 k 21.解：(1)设y关于x的函数解析武为y=x中2k≠0)， 当x=4时，y=1,1=4+2解得k=6, 六y关于x的函数解析式为y=6 Γx+2 （2)当y=3时，3=，2解得x=0 检验：当x=0时，x+2≠0，∴.x=0是该分式方程的解， ∴.x的值为0. 2.解：(1)：点C(3,6)在反比例函数y=二的图象上， =3×6=18,.反比例函数的解析式为y=18 'AB=BC,点C(3,6),∴.B(0,3) :点B,C在y=kx+b的图象上， 。9.专项巩固训练卷（四） 二次函数与几何图形的综合应用 ◆类型一线段问题 1.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图 象经过原点和点A(4,0).经过点A的直线与该二次函数图象交于 点B(1,3),与y轴交于点C (1)求二次函数的解析式及点C的坐标； (2)P是二次函数图象上的一个动点，当点P在直线AB上方时， 过点P作PE⊥x轴于点E,与直线AB交于点D,设点P的横 坐标为m,当m为何值时，线段PD的长度最大？并求出最 大值. AN 1题图 2.抛物线y=a+骨x+e与轴交于点A和点B(3,0),与y轴交于 点C(0,4),P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PE⊥x轴 于点E,交BC于点F (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图，当点P运动到抛物线顶点时，Q是y轴上的动点，连接 BQ,过点B作直线I⊥BQ,连接QF并延长交直线1于点M,当 BQ=MB时，请求出点Q的坐标. B花 2题图 。类型二面积问题 3.如图，抛物线=子++6与x轴交于A,B两点（点A在点 B的左侧)，与y轴交于点C,D是第一象限抛物线上的一个动点， 若点D的横坐标为m,连接AC,BC,BD,CD. (1)求A,B,C三点的坐标，并求直线BC的函数解析式； (2)当四边形ACDB的面积有最大值时，求出m的值. 3题图 4.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c的图象与 x轴交于点A(-2,0)和点B(6,0),与y轴交于点C(0,6).D为线 段BC上的一动点. (1)求抛物线的函数解析式； (2)如图①，求△AOD周长的最小值； (3)如图②，连接AC,过动点D作DP∥AC交抛物线第一象限部分 于点P,连接PA,PB,记△PAD与△PBD的面积和为S,当S取 得最大值时，求点P的坐标，并求出此时S的最大值： 4题图① 4题图② 九年级数学上册第15页 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶「 ●类型三角度问题 5.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A(-2,0),B(6,0)两点， 与y轴交于点C.直线l与抛物线交于A,D两点，与y轴交于点E, 点D的坐标为(4,3). (1)求抛物线与直线1的函数解析式； (2)若P是抛物线上的点且在直线1上方，连接PA,PD,求当 △PAD面积最大时，点P的坐标及该面积的最大值； (3)若Q是y轴上的点，且∠ADQ=45°，求点Q的坐标. D A 0 5题图 6.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交 于A,B(4,0)两点，与y轴交于点C,点D(3,4)在抛物线上，P是抛 物线上一动点， (1)求该抛物线的函数解析式； (2)连接BC,若在BC上方抛物线上有一点P,且点P到直线BC 的距离为2√2，求点P的坐标； (3)连接AC,抛物线上是否存在点P,使∠CBP+∠AC0=45°？若 存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由， y B 6题图 见此图标民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 ·类型四特殊三角形存在性问题 7.(凉山州中考)如图，已知抛物线与x轴交于A(1,0)和B(-5,0) 两点，与y轴交于点C.直线y=-3x+3过抛物线的顶点P. (1)求抛物线的函数解析式； (2)若直线x=m(-5<m<0)与抛物线交于点E,与直线BC交于 点F ①当EF取得最大值时，求m的值和EF的最大值； ②当△EFC是等腰三角形时，求点E的坐标. y=-3x+3↑y B 7题图 8.如图，抛物线y=ax2+bx+5与x轴交于A,B两点，与y轴交于点 C,AB=4.抛物线的对称轴为直线x=3,与经过点A的直线y= kx-1交于点D,与x轴交于点E. (1)求直线AD及抛物线的函数解析式； (2)在抛物线上是否存在点M,使得△ADM是以AD为直角边的直 角三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明 理由。 y D MEB 8题图 九年级数学上册第16页 ●类型五特殊四边形存在性问题 9.如图，抛物线y=ax2+x+c经过坐标轴上A,B,C三点，直线y= -x+4过点B和点C. (1)求抛物线的函数解析式； (2)E是直线BC上方抛物线上一动点，连接BE,CE,求△BCE面 积的最大值及此时点E的坐标； (3)Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P,使得 以P,Q,B,C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出 所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. ↑y 0 9题图