专项巩固训练卷(三) 二次函数实际应用的常见类型-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学全程时习测试卷（人教版·新教材）

专项巩固训练卷（三） 二次函数实际应用的常见类型 。类型一利润问题 1.(湖州中考)某水产经销商以每千克30元的价格购进一批某品种 淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的日销售量y(千克)与销售 价格x(元/千克)(30≤x<60)存在一次函数关系，部分数据如表 所示： 销售价格x/(元/千克) 50 40 日销售量y/千克 100 200 (1)试求出y关于x的函数解析式； (2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W元，如果不考 虑其他因素，求当销售价格x为多少时，日销售利润W最大？ 最大的日销售利润是多少元？ 2.某商场销售一种销售成本为40元/件的童装，若按50元/件销售 一个月可售500件，销售单价每涨1元，月销售量减少10件. (1)求月销售利润y(单位：元)与销售单价x(单位：元/件)之间的 函数解析式； (2)当销售单价定为多少时，获得的月销售利润最大？最大月销 售利润是多少？ (3)若商场想使月销售利润达到8000元，求销售单价应定为 多少 ·类型二几何问题 3.新情境在中国上海国际艺术节来临之际，主办方工作人员准备利 用一边靠墙（墙长30米）的空旷场地为提前到场的观众用隔栏绳 围成一个面积为320平方米的长方形等候区.如图，为了方便观众 进出，在垂直于墙的两边各空出一个宽为1米的出人口，共用去隔 栏绳50米.请问： (1)工作人员围成的这个长方形的相邻两边长分别是多少米？ (2)若用去隔栏绳长度不变，长方形场地的最大面积可以是多少 平方米？ 出口 3题图 4.某学校计划在一块足够大的场地上，利用已有的直角墙角建造一 个矩形花圃，已知墙AB=5m,AC=10m. (1)如图①，若矩形花圃使用的篱笆总长为13，花圃两边靠墙， 其余两边用篱笆围成，围成的花圃面积为30m,求这个花圃较 短边的长度； (2)如图②，若矩形花圃使用的篱笆总长为29m,花圃的一边AD 由墙AB和篱笆BD构成，另一边AF由墙AC和篱笆CF构成， 其余两边DE,EF由剩下的篱笆围成.当篱笆CF的长为多少 时，围成的花圃面积最大？求出最大面积，并说明理由. D E 4题图① 4题图② 九年级数学上册 第13页 见此图标目园即刻扫码 分层训练助力学习进阶 ·类型三抛物线形问题 5. 公路隧道是专供汽车运输行驶的通道，隧道截面可视为抛物线的 一部分，隧道底部宽AB为10m,高OC为5m.为了避免隧道内行 车疲劳，拟在隧道顶部安装上下竖直高度为20cm的水平警示灯 带.普通货车的高度大约为2.5m(载货后高度)，为保证安全，货 车顶部与警示灯带底部的距离应不少于50cm.现以AB中点O为 原点，AB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴建立如图所示的平 面直角坐标系. (1)求抛物线的函数解析式； (2)在安全的前提下，确定灯带的最大安装长度（即灯带顶部左右 两侧的距离). 灯带 5m B 10m 5题图 见此图标目民即刻扫码 分层训练助力学习进阶 6.乒乓球是我国国球.球台长为2.8m,中间处球网的高度为 1.5dm.现有一台乒乓球发球器，球从发球器出口到第一次接触台 面的运动轨迹近似为一条直线.从第一次接触台面到第二次接触 台面的运动轨迹近似为一条抛物线.乒乓球第一次接触台面在球 网左侧，越过球网（擦网不影响球运动轨迹）后，第二次接触台面 在球网右侧为成功发球.乒乓球大小忽略不计.如图，当发球器放 在球台左端时，通过测量得到球距离台面高度y(单位：dm)与球距 离发球器出口的水平距离x(单位：dm)的相关数据，如表所示： x/dm 0 2 4 6 8 14 16 18 y/dm 3.362.521.680.84 0 3 3.2 3 (1)直接写出球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函 数解析式（写出自变量的范围）； (2)求乒乓球第二次接触台面时与发球器的出口的水平距离； (3)发球器有一个滑轨，可以让发球口向右平移，若要成功发球 发球口最多向右平移多少dm? 6题图 7.新情境我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心 的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅 线”，锅口直径为6dm,锅深3dm,锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直 径视为相同)，建立直角坐标系如图所示，把锅纵断面的抛物线记 为C1,把锅盖纵断面的抛物线记为C2 A(-3,0)C C0,1) B3,0) 0 C 1D0,-3) 7题图 (1)求C1和C2的函数解析式； (2)如果炒菜时锅里的水位高度是1dm,求此时水面的直径（结果 保留根号)； (3)如果将一个底面直径为2dm、高度为3.6dm的圆柱形器皿竖 直放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由。 九年级数学上册第14页 类型四决策问题 8.(潍坊中考)为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在两种 不同的场景下做对比实验，收集了该试剂挥发过程中剩余质量 y(克)随时间x(分钟)变化的数据(0≤x≤20)，并分别绘制在平面 直角坐标系中，如图所示 y/克 y/克 20.(5,19.5) 20 1 (10,16) 15 .(5,16) 1 ·(15,10.5) 10 .(10,11) 5引 .(15,6) ·(203) 5 、.(20,1) 05101520x/分钟 05101520x/分钟 场景A 场景B 8题图 (1)从y=ax+21(a≠0)，y=-0.04x2+bx+c中，选择适当的函 数模型分别模拟两种场景下y随x变化的函数关系，并求出相 应的函数解析式； (2)查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为3克.在上 述实验中，该化学试剂在哪种场景下发挥作用的时间更长？全程时习测试卷·九年级数学·上册 专项巩固训练卷（三） 二次函数实际应用的常见类型 1.解：(1)设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0)，将x =50,y=100和x=40,y=200分别代入，得 r50k+b=100, 40k+b=200, 将代0 ∴.y关于x的函数解析式为y=-10x+600 (2)W=(x-30)(-10x+600)=-10x2+900x-18000. 900 :-10<0,当x=2×（-10=45时， 在30≤x<60的范围内，W取到最大值，最大值是2250. ∴.销售价格为每千克45元时，日销售利润最大，最大的日销 售利润是2250元. 2.解：(1)由题意，得y=(x-40)[500-10(x-50)]= -10x2+1400x-40000, 故y与x之间的函数解析式为y=-10x2+1400x-40000, (2).y=-10x2+1400x-40000=-10(x-70)2+9000, -10<0, ∴.当x=70时，y有最大值，最大值为9000 答：当销售单价定为70元/件时获得的月销售利润最大，最大 月销售利润是9000元. (3)由题意，得8000=-10x2+1400x-40000, 解得x1=60,x2=80. 答：销售单价应定为60元/件或80元/件. 3.解：(1)设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为 (50+1+1-2x)米. 根据题意，得x(50+1+1-2x)=320, 整理，得x2-26x+160=0,解得x1=10,x2=16 当x=10时，50+1+1-2x=50+1+1-2×10=32>30,不符 合题意，舍去； 当x=16时，50+1+1-2x=50+1+1-2×16=20<30,符合 题意. 答：这个长方形的宽为16米，长为20米， (2)设场地的面积为S平方米，则S=x(50+1+1-2x)= -2x2+52x=-2(x-13)2+338. -2<0,.当x=13时，S有最大值，为338， 此时50+1+1-2x=50+1+1-2×13=26<30,符合题意 答：长方形场地的最大面积是338平方米 4.解：(1)设这个花圃较短边的长度为xm, 由题意，得x(13-x)=30, 整理，得x2-13x+30=0, 解得x1=3,x2=10>5(不合题意，舍去)， 当x=3时，较长边的长度为13-3=10(m),符合题意， 故这个花圃较短边的长度为3m. (2)由题意知，矩形花圃的周长为29+AB+AC=29+5+10= 44(m), 1 AD+AF=2×4=22(m). 设篱笆CF的长为xm,则AF=(10+x)m, .AD=22-AF=22-10-x=(12-x)m. 设花圃的面积为Sm,则S=AF·AD=（10+x)(12-x)= -x2+2x+120=-(x-1)2+121, ∴.当x=1时，S取最大值，最大值为121 即当篱笆CF的长为1m时，围成的花圃面积最大，最大面积 为121m2 5.解：(1)由题易知C(0,5),A(-5,0), 设抛物线的函数解析式为y=ax+5, 将4(-5,0)代人，得25a+5=0,解得a=-号， ·6· 抛物线的函数解析式为y=行+5 (2):普通货车的高度大约为2.5m,货车顶部与警示灯带底 部的距离应不少于50cm, ∴.悬挂点的纵坐标y≥2.5+0.2+0.5=3.2，即悬挂点的纵坐 标的最小值是3.2， 当y=3.2时，+5=3,2，解得x=3, .灯带的最大安装长度是3-(-3)=6(m): 6.解：(1)设球从发球器出口到第一次接触台面时y关于x的函 数解析式为y=x+b(k≠0,0≤x≤8)，把(0,3.36)，(8,0)代 人0收。年得化三品 .y=-0.42x+3.36(0≤x≤8). (2)设抛物线的函数解析式为y=a(x-h)2+m(a≠0)， 抛物线过点(14,3)，（18,3)， h=14,18=16,则y=a(x-16)2+m 2 把(14,3)，(16,3.2)代入抛物线的函数解析式，得 「3=a(14-16)2+m,解 a=-20' L3.2=a(16-16)2+m, 16 m=5 ∴题物线的函数解折式为y=一六(：-16)+9 令y=0,得-0(x-16)2+9=0, 解得x1=24,x2=8(舍去)， ·乒乓球第二次接触台面时与发球器出口的水平距离为 24dm. (3).2.8m=28dm,∴.球台的一半长14dm. 在)=0(x-16y尸+中， 当y=15时，1.5=20(x-16)2+5 解得1=16+√34（舍去），x2=16-√34， ∴.发球口最多向右平移14-(16-√34)=（√34-2）dm. 7.解：(1)抛物线均过点A(-3,0),B(3,0),设C1,C2的函数解 析式分别为y=a1(x-3)(x+3)(a1≠0)，y=a（x- 3)(x+3)(a2≠0)， 抛物线C1还经过点D(0,-3),则-3=a1(0-3)(0+3), a=分 C10=3-3(-3≤x≤3). 抛物线C2还经过点C(0,1),则1=a2(0-3)(0+3), 1 a2=-9’ G:y=)+1(-3≤≤3). (2)当炒菜锅里的水位高度为1dm时，y=-2, 即宁-3-2， ∴.x=±√3，∴.此时水面的直径为2√3dm (3)锅盖不能正常盖上.理由： 当x=1时，地物线C:y=号×12-3=-号， 6a7=-gx1P+1=g 而-（引-g+台-<6, ∴.锅盖不能正常盖上. 8.解：(1)观察两种场景可知，场景A为y=-0.04x2+bx+c, 场景B为y=ax+21(a≠0)， 把点(10,16)，(20,3)代入y=-0.04x2+bx+c, 得-4+106+C=16解得b=0.1, L-16+20b+c=3, lc=21, .y=-0.04x2-0.1x+21. 把点(5,16)代入y=ax+21,得5a+21=16, 解得a=-1, ∴.y=-x+21, ∴.场景A的函数解析式为y=-0.04x2-0.1x+21, 场景B的函数解析式为y=-x+21. (2)当y=3时，在场景A中，x=20, 在场景B中，3=-x+21,解得x=18 ∴.化学试剂在场景A下发挥作用的时间更长 专项巩固训练卷（四） 二次函数与几何图形的综合应用 1.解：(1)二次函数的图象经过点0(0,0)，A(4,0),B(1,3), 0=c, ra=-1, ∴.0=16a+4b+c,解得{b=4, 3=a+b+c, lc=0, ∴.二次函数的解析式为y=-x2+4x. 设直线AB的函数解析式为y=kx+n(k≠0)， 将A,B两点的坐标代入，得9=4+n解得k三1， 3=k+n, ln=4, ∴.直线AB的函数解析式为y=-x+4. C是直线AB与y轴的交点， .令x=0,得y=4,∴.C(0,4). (2).点P在直线AB上方，∴.1<m<4. 由题知P(m,-m2+4m),D(m,-m+4), .PD=yp-yn=-m2+4m+m-4=-m2+5m-4= 512.9 -（m-2)+4 :-1<0当m=时，PD的长度最大，此时PD=9 2据：(1)将点B(3,0)点c0,4)代人y=a+号+， 得9a+8+c=0, 4 解得 a=-3’ Lc=4, lc=4, “抛物线的函数解析式为y=一子+号+4 (2②)由题意得，直线BC的函数解析式为y=一号x+4 y=++4=-1)+P1》 PF1x销FP1,骨) 设Q(0,n),如答图，过点M作MN⊥x轴于点N,则∠BOQ= ∠MWB=90°. .·∠QBM=90°，∴.∠QB0+∠MBN=90° .∠QB0+∠OQB=90°，∴.∠BQ0=∠MBN. .BQ=MB,∴.△BQO≌△MBN, ∴.QO=BN,B0=MN,∴.M(3+n,3) 设直线QM的函数解析式为y=k'x+n(k'≠0)， 六(3+m)+n=3,解得=十， :直线QM的函数解析式为y=多+片+n将点F代入，得 +=，解得=写+或=- 8 1√/46 参考答案及解析 0+0，号 1 Y+ M OB趴 2题答图 3题答图 3解：(1)对于y=-子+3x+6,当=0时，y=6,令y=0, 3 则x=-2或x=4,即A(-2,0),B(4,0),C(0,6). 设直线BC的函数解析式为y=kx+6(k≠0)， 将点B的坐标代入上式，得0=4+6，则k=-2, 即直线BC的函数解析式为)=一子+6， (2)如答图，过点D作x轴的垂线交BC于点P, 由题意知D(m,-子i+弓m+6,则P(m,-2m+), ∴Saam=Sac+Sam=7xAB·C0+7×PD·0B= 3×4+2)x6+分×[-+2m+6-(-是m+6× 4=-2+6m+18 ~子<0Sa有最大值，此时，m=一 6 =2, 2x(-) 即当m=2时，四边形ACDB的面积最大. 4.解：(1)由题意可知，设抛物线的函数解析式为y=a(x+ 2)(x-6),将(0,6)代入上式，得6=a(0+2)(0-6), 解得@=-分抛物线的函数解析式为y=一宁(x+2)(x -6)=-7+2x+6 (2)如答图，作点O关于直线BC的 对称点E,连接EC,EB,DE,OE. .B(6,0),C(0,6),∠B0C=90°， D:8 .∴.0B=0C=6. 点O,E关于直线BC对称， ∴.四边形OBEC为正方形， A O x ∴.E(6,6),连接AE. 由对称性知DE=DO, 4题答图 .∴.AD+OD=AD+DE≥AE, .当A,D,E三点共线时，AD+OD有最小值，最小值为AE 的长， .AE=√AB2+BE=√82+6=10. .·△AOD的周长为DA+D0+AO,A0=2, .△A0D周长的最小值为10+2=12. (3)由已知点A(-2,0),B(6,0),C(0,6), 设直线BC的函数解析式为y=x+b(k≠O), 将B(6,0),C(0,6)代入y=x+b中， 则+6=0， 1b=6, 想代6 ∴.直线BC的函数解析式为y=-x+6. 同理可得直线AC的函数解析式为y=3x+6, .PD∥AC, .可设直线PD的函数解析式为y=3x+a. 由(1)设P(m,-22+2m+6), 。7.