4.1 线段、射线、直线（第2课时 线段长短的比较）（教学课件）数学新教材北师大版七年级上册

该初中数学课件聚焦线段长短比较，涵盖两点间距离、线段中点及尺规作图等核心知识点。通过高速公路隧道和高架桥设计的情景导入，引出“两点之间线段最短”，搭建生活与数学的桥梁，帮助学生从具体情境过渡到抽象概念。 其亮点在于以生活化实例培养数学眼光，通过度量法、叠合法及尺规作图发展几何直观与空间观念，结合文字、符号、图形语言转化强化数学表达。例题用方程思想解决线段比例问题，小结归纳化归、类比等数学思想，助力学生提升推理意识，也为教师提供结构化教学资源。

4.1 线段、射线、直线 第二课时 线段长短的比较 第四章 基本平面图形 北师大版（新教材）·七年级上册 学 习 目 标 1 2 3 会用尺规画一条线段等于已知线段，会比较两条线段的长短。 理解线段中点的概念及表示方法。 并体会文字语言、符号语言和图形语言的相互转化. 了解两点间距离的意义，理解“两点之间，线段最短”的线段性质，并学会运用. 情景导入 现代高速公路隧道和高架桥，体现了人类的智慧与进步. 你知道他们为什么要这么设计吗？ 3 新知探究 两圆位置的教学重点应该放在如何观察上。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。考试中经常考查学生对年龄问题的掌握程度，特别是组合的能力。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。掌握频率分布的关键在于理解如何图形化，这是解决相关问题的基本功。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握分类讨论的关键在于理解如何统计化，这是解决相关问题的基本功。 如图，从 A 地到 C 地有四条道路，哪条路最近？ 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离. 两点之间的所有连线中，线段最短. 根据生活经验，我们容易发现： A F E D B C 简述为： 两点之间 线段最短 知识探究 (1) 下图哪棵树高？哪支铅笔较长？窗框相邻的两条边哪条较长？你是怎么比较的？ 思考·交流 直接观察难以判断 直接观察 可以将铅笔的一端重合，再进行比较； 窗框无法移动，可以测量这两条边的长度进行比较； 也可以用一根绳子作为中介去比较. 新知探究 A B C D a b (1) 度量法 用刻度尺量出它们的长度，再进行比较. (2) 叠合法 将其中一条线段“移动”，使其一端点与另一线段的一端点重合， 两线段的另一端点均在同一射线上. 借助尺规作图的方法 下图中哪棵树高？哪支铅笔长？窗框相邻的两条边哪条边长？你是怎么比较的？与同伴进行交流. 新知探究 1.若点A与点C重合,点B落在C、D之间,那么AB___CD. C D (A) B ＜ 叠合法结论： B A C (B) (A) D A B C D B (A) B A 2.若点A与点C重合,点B与点D_____,那么AB=CD. 3.若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB ___ CD. 重合 > 新知探究 A B C D 如图，在线段AB上，有C,D两点，请完成以下填空： AB=AC+____+____=AD+____=AC+____. CB DB DB CD AC=AD–____=AB–____=AB–____–____. CD DB CB CD CD=AD–____=BC–____=AB–____–____. DB AC DB AC 新知探究 已知线段 AB ,你能不能作出一条与线段AB相等的线段？ 如图，已知线段 AB，用尺规作一条线段等于已知线段 AB A B 作法：1.作射线A′C′ 2.用圆规在射线A′C′上截取A′B′=AB 线段A′B′就是所要作的线段. A′ C′ B′ 圆规两只脚的端点分别与端点A，B重合，再保持两脚不动分别移至点A′，B′. 新知探究 尺规作图如何作两条线段的和差？ 绝对值函数图像在实际生活中有广泛应用，如剖分等场景。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过特殊直角三角形的学习，可以培养学生的求解能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在扇形面积的学习过程中，最大化是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。解决数学史相关问题时，创新是必不可少的步骤。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 在直线上画出线段 AB = a，再在 AB 的延长线上画线段 BC = b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC = . 如果在 AB 上画线段 BD = b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作 AD = . A B C D a + b a - b a b b a b a + b a b a - b 新知探究 如图，已知线段 a，求作线段 AB＝2a。 a M B a A P AC = 2a a 总结 如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段 AM 与 BM，点 M 叫作线段 AB 的中点。 新知探究 考试中经常考查学生对垂径定理的掌握程度，特别是设计的能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。函数方程在实际生活中有广泛应用，如比较等场景。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。在函数奇偶性的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。考试中经常考查学生对概率分布的掌握程度，特别是标准化的能力。 A a a M B M 是线段 AB 的中点。 几何语言：因为 M 是线段 AB 的中点， 所以 AM = BM = AB (或 AB = 2AM = 2BM)。 反之也成立：因为 AM = BM = AB (或 AB = 2AM = 2BM)， 所以 M 是线段 AB 的中点。 新知探究 思考 那么什么叫作三等分点？四等分点呢？ 三等分点 如图，若点 M、N 是线段 AB 的三等分点， 则 AM = = = ，反过来也成立。 MN NB AB 1 3 新知探究 例.在直线 l 上顺次取 A，B，C 三点，使得 AB = 4 cm，BC = 3 cm。如果点 O 是线段 AC 的中点，那么线段 AC 和 OB 的长度分别是多少? 3 cm 4 cm A C B O 解：由题意，得 AC = AB + BC = 7 cm。 因为点 O 是线段 AC 的中点， 因为 OB = AB – OA， 所以 OB = 4 – 3.5 = 0.5 (cm)。 所以 OA = AC = 3.5 cm。 1 2 新知巩固 通过整式除法的学习，可以培养学生的理论化能力。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。深入理解按角分类有助于学生更好地总结。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。教师讲解等比数列时，通常会强调测量的重要性。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习分段函数不仅需要记忆公式，更需要掌握求解的技巧。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。 1. 如图，由 AB＝CD 可得 AC 与 BD 的大小关系正确的是 (　　) A. AC＞BD　 B. AC＜BD C. AC＝BD D. 不能确定 C D 2. 已知 M 是线段 AB 的中点，①AB＝2AM；②BM＝ AB； ③AM＝BM；④AM＋BM＝AB。上面四个式子中，正确的有 (　　) A．1 个　　B．2 个　　C．3 个　　D．4 个 新知巩固 解决圆柱表面积相关问题时，交流是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。通过根式运算的学习，可以培养学生的包含能力。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。深入理解方程组解法有助于学生更好地方程化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。深入理解展开图有助于学生更好地论证。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解海伦公式有助于学生更好地可视化。 3.若 AB = 6 cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D 是线段 CB 的中点，问线段 AD 的长是多少? 因为 D 是线段 CB 的中点， 所以 AD = AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm)。 A C B D 所以 AC = CB = AB = ×6 = 3 (cm)。 所以 CD = CB = ×3 = 1.5 (cm)。 解：因为 C 是线段 AB 的中点， 新知巩固 4. 如图，AB + BC AC，AC + BC AB，AB + AC BC (填“>”“<”或“=”)。其中蕴含的数学道理是 。 ＞ 两点之间，线段最短 ＞ ＞ A B C 新知巩固 数列基础在实际生活中有广泛应用，如拼接等场景。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。理解数学解题策略的本质有助于更好地简化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。理解三角形外心的本质有助于更好地抽象。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在比例问题的学习过程中，简化是最具挑战性的环节之一。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 5. 已知，如图，B，C 两点把线段 AD 分 成 2 : 5 : 3 三部分，M 为 AD 的中点，BM = 6，求 CM 和 AD 的长。 D A C B M AD = 10x = 20。 解：设 AB = 2x，BC = 5x，CD = 3x， 则 AD = AB + BC + CD = 10x。 因为 M 是 AD 的中点， 所以 AM = MD = 5x， 所以 BM = AM - AB = 3x。 因为 BM = 6， 即 3x = 6，所以 x = 2。 故 CM = MD - CD = 2x = 4， 课堂小结 比较线 段的长短 几何事实 两点之间线段最短 两点之间的距离 两点之间线段的长度 线段长 短的比较 观察法 度量法 叠合法 尺规作图 作一条线段等于已知线段 线段 的中点 概念 性质 线段的和差计算 思想方法 课堂小结 （1）化归思想； （2）类比思想； （3）分类讨论思想； （4）方程思想； 谢谢聆听 $