第5章 专题11 二次函数与几何图形综合-【勤径学升】2026-2027学年九年级上册数学同步练测教师用书Word（北师大版·新教材）

二次函数与三角形的综合　　 (无锡中考)已知二次函数y＝－x2＋mx＋m(m≠0)图象的顶点为A，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C. (1)若该函数图象经过点(0，)，求点A的横坐标； (2)若m<3，点P(2，y1)和Q(4，y2)在该函数图象上，证明：y1>y2； (3)若△ABC是等腰三角形，求m的值． (1)解：∵二次函数y＝－x2＋mx＋m图象经过点(0，)，∴m＝，解得m＝3，∴y＝－x2＋3x＋.∵－＝－＝3，∴点A的横坐标为3. (2)证明：∵点P(2，y1)和Q(4，y2)在二次函数y＝－x2＋mx＋m的图象上，∴y1＝－2＋2m＋m，y2＝－8＋4m＋m.∵m<3，∴y1－y2＝－2＋2m＋m－＝－2(m－3)>0，∴y1＞y2. (3)解：在y＝－x2＋mx＋m中，令x＝0得y＝m， ∴B.∵y＝－x2＋mx＋m＝－(x－m)2＋＋m，∴A，C(m，0).当AB＝AC时，m2＋＝，解得m＝0(舍去)或m＝；当AB＝BC时，m2＋＝m2＋，解得m＝0(舍去)或m＝或m＝－；当AC＝BC时，＝m2＋，解得m＝0(舍去)或m＝－2或m＝.综上所述，m的值为或－或－2. (宁夏中考)如图，抛物线y＝ax2－2x＋3与x轴负半轴交于点A，与y轴交于点B，顶点C的横坐标为－1. (1)求抛物线的表达式； (2)如图①，将直线AB沿y轴向上平移m(m>0)个单位长度，当它与抛物线有交点时，求m的取值范围； (3)如图②，抛物线的对称轴交直线AB于点D，交x轴于点E，连接AC.抛物线上是否存在点P(不与点C重合)，使得S△PAD＝S△CAD.若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． 2题图①　　　　　　　　2题图② 解：(1)∵抛物线顶点横坐标为－1，∴由顶点公式x＝－，其中b＝－2，即－＝－1，∴a＝－1，∴抛物线表达式为y＝－x2－2x＋3. (2)当y＝0时，－x2－2x＋3＝0，即x2＋2x－3＝0，解得x＝－3或x＝1(正半轴，不合题意，舍去)，故A(－3，0)；当x＝0时，y＝3，故B(0，3).设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点A(－3，0)与点B(0，3)代入，得b＝3，k＝1，∴直线AB的函数表达式为y＝x＋3，向上平移m个单位长度后，直线方程为y＝x＋3＋m.与抛物线y＝－x2－2x＋3联立，得－x2－2x＋3＝x＋3＋m，整理，得x2＋3x＋m＝0.抛物线与直线有交点时，Δ＝32－4×1×m＝9－4m≥0，解得m≤.又∵m>0，∴m的取值范围为0<m≤. 2题答图 (3)抛物线对称轴为x＝－1.当x＝－1时，y＝－(－1)2－2×(－1)＋3＝4，故C(－1，4).由(2)可知，直线AB：y＝x＋3，当x＝－1时，y＝2，故D(－1，2).∵点A(－3，0)，∴S△CAD＝×CD×AE＝×(4－2)×2＝2.设P(x，y)在抛物线上，y＝－x2－2x＋3，如答图． 情况1：过点C作AB的平行线，与抛物线交于点P，此时S△PAD＝S△CAD＝2(同底等高)，∵OA＝OB，且PC∥AB，故可设直线PC的函数表达式为y＝x＋t，将点C(－1，4)代入，得t＝5，即PC的函数表达式为y＝x＋5.联立，得解得或(舍去)，∴点P的坐标为(－2，3)； 情况2：过点E作AB的平行线，交抛物线于点P1和点P2，∵CD＝DE，即直线PC向下平移到直线AB的距离等于直线AB向下平移到直线P1P2的距离，∴此时存在满足条件的点，由于直线P1P2相较于直线AB，向下平移了4个单位长度，故函数表达式为y＝x＋1.联立，得整理，得x2＋3x－2＝0，∴x＝，即点P1的横坐标是，点P2的横坐标是，∴存在点P，横坐标为－2，或. 二次函数与线段或角度的综合　　 已知抛物线y＝ax2＋bx－4过点A(－1，0)，B(m，0)，与y轴交于点C.B是x轴正半轴上的动点，F是抛物线在第四象限图象上的动点，连接BC，AF，且AF交y轴于点D，交BC于点E. (1)当m＝3时，求抛物线的表达式； (2)如图①，在(1)的条件下，若∠CDE＝∠CED，求直线AF的函数表达式； (3)要使得∠DCE＝∠DEC成立，请探索m的取值范围(直接写出结果)； (4)如图②，∠DCE＝∠DEC，当m为何值时，OD的长度等于1? 3题图①　　　　3题图② 解：(1)当m＝3时，抛物线y＝ax2＋bx－4的图象与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴设二次函数的交点式为y＝a(x＋1)(x－3). ∵y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)＝ax2－2ax－3a，y＝ax2＋bx－4， ∴－3a＝－4，解得a＝，∴抛物线的表达式为y＝x2－x－4. (2)对于二次函数y＝x2－x－4，令x＝0，得y＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)，则OC＝4.∵∠CDE＝∠CED，∴CD＝CE.∵OB＝3，OC＝4，∴BC＝＝5. 3题答图① 如答图①，作∠DCE的角平分线CG交x轴于点G，则∠OCG＝∠BCG，AF⊥CG，∴∠OAD＝90°－∠AGC＝∠OCG＝∠OCB.设点G到BC的距离为d，则d＝OG.∵＝＝，∴＝＝，∴OG＝OB＝×3＝，∴＝＝.∵∠OCG＝∠OAD，∠AOD＝∠COG，∴△AOD∽△COG，＝＝.∵A(－1，0)，则OA＝1，∴OD＝，∴D.设直线AF的函数表达式为y＝kx＋t(k≠0)，代入A(－1，0)，D，∴解得∴直线AF的函数表达式y＝－x－. (3)当m＝4时，OB＝OC＝4，∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°.∵∠DCE＝∠DEC，∴∠CDE＝90°，则点D，O重合，点F，B重合．又∵F是第四象限的点， ∴当∠OCB＞45°时，则∠CDF＜90°，m＞4， ∴要使得∠DCE＝∠DEC成立，m的取值范围为m＞4. (4)∵OD＝OA＝1，∴△OAD是等腰直角三角形，∴∠CDE＝∠ADO＝45°，∴∠OCB＝∠DCE＝∠DEC＝67.5°，∴∠OBC＝∠COB－∠DCE＝90°－67.5°＝22.5°. 3题答图② 如答图②，取H(4，0)，∴OC＝OH，∴△OCH是等腰直角三角形，∴∠OCH＝45°，∴∠HCB＝∠OBC＝22.5°，∴HC＝HB＝4，∴OB＝OH＋HB＝4＋4，即m＝4＋4. 二次函数与四边形的综合　　 如图，在平面直角坐标系xOy中，以P为顶点的抛物线的表达式为y＝ax2－4ax(a<0)，点A的坐标是(－1，0)，以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，得到点A′. (1)直接写出点A′的坐标和抛物线的对称轴； (2)当3≤x≤5时，y有最大值为1－2a，求抛物线的表达式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 4题图 解：(1)∵点A的坐标是(－1，0)，∴OA＝1.∵以原点为中心，把点A顺时针旋转90°，此时点A′在y轴正半轴上，∴∠AOA′＝90°，OA′＝OA＝1，∴A′(0，1).∵y＝ax2－4ax(a＜0)，∴对称轴为直线x＝－＝2. (2)∵y＝ax2－4ax(a＜0)，对称轴为直线x＝2，∴当x＞2时，y的值随着x值的增大而减小．∵3≤x≤5，∴当x＝3，y有最大值为32a－4×3a＝－3a＝1－2a，∴a＝－1，∴y＝－x2＋4x. (3)存在．∵y＝－x2＋4x，∴当x＝2时，y＝－22＋4×2＝4，∴P(2，4).设M(0，m)，N(s，t)，由(1)知A′(0，1)，当以A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，如答图，分三种情况：①当A′P为对角线时，则△A′MP为以M为顶点的直角三角形，PN∥A′M，即PN∥y轴，A′N∥PM，∴PM⊥y轴，∴A′N⊥y轴，∴M(0，4)，N(2，1)； 4题答图 ②当以A′M为对角线时，则解得 ∴M(0，t＋3)，N(－2，t). ∵A′M＝PN，∴(t＋3－1)2＝(2＋2)2＋(4－t)2，解得t＝， ∴N； ③当以PM为对角线时，要满足以A′，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足△A′PM是以∠PA′M为直角的直角三角形，即PA′⊥y轴，与题意不符，故此种情况不存在．综上所述，N(2，1)或N. 学科网（北京）股份有限公司 $