专题05 圆周运动（专项训练）高中物理力学竞赛

**基本信息** 以模型分类为框架，整合临界分析、动态建模、能量综合等方法，构建从基础到竞赛难度的圆周运动解题体系，培养科学思维与模型建构能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |核心知识点|5类|临界角速度分析、等效势能转化、多过程速度衔接|从水平/竖直基础模型到非惯性系/能量综合，层层递进| |水平转盘临界|例题1|静摩擦力极值与整体隔离法|连接体模型中摩擦力与向心力的动态平衡| |竖直圆周不脱轨|例题2|绳/杆模型临界速度，动能定理应用|最高点速度条件与轨道压力变化规律| |圆锥摆动态分析|例题3|几何关系与动力学方程联立|角速度对运动参数的影响规律| |非惯性系圆周|例题4|离心力引入与等效势能法|旋转参考系中平衡问题的能量转化| |多过程能量综合|例题5|功能关系与平抛运动衔接|圆周运动与传送带/斜面的多过程速度传递|

跑哥物理 力学竞赛专题 专题四 圆周运动 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01水平转盘临界与连接体问题 题型02 竖直平面圆周运动不脱轨条件 题型03圆锥摆及变式动态分析 题型04 非惯性系与等效场圆周运动 题型05 圆周运动与多过程能量综合 四、巩固提升 核心知识点 1. 水平面内圆周运动的临界问题：涉及转台、弹簧连接体及绳连接体模型。核心在于分析静摩擦力达到最大值或绳张力出现/消失时的临界角速度，需结合牛顿第二定律与整体法、隔离法进行受力分析。 2. 竖直平面内圆周运动的临界与能量综合：包括“绳模型”（最高点最小速度为√gR）与“杆/管模型”（最高点速度可为零）。常结合动能定理或机械能守恒定律，分析物体在轨道内侧运动时不脱离轨道的条件（过最高点或不超过圆心等高线）。 3. 圆锥摆与类圆锥摆模型：研究物体在重力与支持力（或拉力）合力提供向心力下的匀速圆周运动。重点掌握几何关系与动力学方程的联立，以及角速度变化对高度、半径及受力的影响。 4. 非惯性系中的圆周运动：引入“离心力”概念处理旋转参考系中的平衡问题。利用等效势能（重力势能与离心势能之和）分析液面形状或相对静止条件，将动力学问题转化为能量极值问题。 5. 圆周运动与平抛、传送带的组合模型：考查多过程物理情景。关键在于衔接点的速度传递，圆周运动末端的速度方向决定平抛初态，传送带摩擦生热与相对位移的计算需结合功能关系。 思维导图 题型分类 题型一 水平转盘临界与连接体问题 例题1、如图所示，小物块与水平转台相对静止，间通过原长为、劲度系数的轻弹簧连接，已知的质量均为，与之间的动摩擦因数为，与转台间的动摩擦因数均为，和离转台中心的距离分别为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（     ） A．逐渐增大转台角速度，先相对于转台滑动 B．当与转台间摩擦力为零时，受到的摩擦力方向沿半径背离转台中心 C．当与转台间摩擦力为零时，受到的摩擦力为 D．当及均相对转台静止时，允许的最大角速度为 【答案】B 【难度】0.4 【详解】A．当物块、刚要相对于转台滑动时，以物块、整体为研究对象，此时弹簧弹力与最大静摩擦力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 假设物块不动，当物块刚要相对于转台滑动时，根据牛顿第二定律有 解得 由于，可知逐渐增大转台角速度，物块先相对于转台滑动，此时物块受到的静摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 由于，物块相对物块静止，即物块先滑动，故A错误； B．当物块与转台间摩擦力为零时，以物块、整体为研究对象，由弹簧的弹力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 此时物块需要的向心力为 解得 弹簧对物块的拉力为 解得 由于，可知物块受到的摩擦力方向沿半径背离转台中心，故B正确； C．由对B选项的分析可知，当物块与转台间摩擦力为零时，物块受到的摩擦力提供向心力，根据牛顿第二定律有 解得 可知该结果与选项C中的数值不符，故C错误； D．当物块、及均相对转台静止时，由于物块最先达到最大静摩擦力，所以允许的最大角速度为 解得 可知该结果与选项D中给出的表达式不符，故D错误。 故选B。 题型二 竖直平面圆周运动不脱轨条件 例题2、如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（     ） A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球从A到C的过程中，重力的功率先减小后增大再减小 C．小球从A到C的过程中不脱离轨道，在C点的最大速度为 D．小球从A到C的过程中不脱离轨道，v0最大速度为 【答案】AD 【难度】0.4 【详解】A．小球从到的过程中，设小球所在位置与圆心连线和竖直方向的夹角为，根据牛顿第二定律有 由动能定理得 联立解得轨道对小球的支持力 从到的过程中，逐渐减小，逐渐增大，故逐渐增大，根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力逐渐增大，故A正确； B．小球从到做匀减速直线运动，速度减小，速度与重力方向夹角不变，重力的瞬时功率逐渐减小；小球从到的过程，竖直向下的合力 由于 故 即小球始终具有竖直向下的加速度，故其竖直向上的分速度不断减小，根据可知，重力的功率在段也一直减小，所以整个过程中重力的功率一直减小，故B错误； D．小球在整个过程中不脱离轨道，由于在圆弧轨道外侧运动，最容易发生脱离的位置是刚进入圆弧的点。在点需满足 即 从到过程中由动能定理得 解得 即不脱离轨道的情况下的最大值为，故D正确； C．若取最大值，小球在点的速度 由于，所以此能够到达点的最大速度一定小于，故C错误。 故选AD。 题型三 圆锥摆及变式动态分析 例题3、如图（a），光滑圆锥体固定在水平面上，其轴线竖直，母线与轴线夹角为，长为的轻绳，一端固定在圆锥顶点处，另一端拴着质量为的小球（小球可看成质点，小球静止时，轻绳与母线平行），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，绳子拉力随的变化关系如图（b）所示，重力加速度取10m/s2，则下列正确的是（　　） A． B．m=1kg C．L=0.5m D．小球的角速度为4rad/s时，小球已经离开锥面 【答案】C 【难度】0.4 【详解】A．小球仍与锥面接触时，沿绳方向由牛顿第二定律得 小球离开锥面后做圆锥摆运动，有 由图像可知第一段图线的斜率为 后一段图线经过，故 所以，解得，故A错误； B．由两段图线斜率之比得、 图线纵截距满足 解得，故B错误； C．小球离开锥面后有，由后一段图线经过 整理得，由两段图线斜率之比及纵截距得，所以，故C正确； D．图线折点对应支持力恰好减为零，小球即将离开锥面，此时 即；当时，小球仍与锥面接触，故D错误。 故选C。 题型四 非惯性系与等效场圆周运动 例题4、处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动。当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下的水面为“水平面”，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度转动，稳定时，水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以转动的桶为参考系，桶中的水处于相对静止状态，假如认为处于水表面的质量为的小水滴（可视为质点）除了受真实力作用外，还受到一个假想的“离心力”，使其合力为零，那么在形式上牛顿运动定律仍适用。类似于重力与重力势能的对应关系，水滴还将具有一个与该“离心力”对应的“离心势能”。该“离心势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水滴具有相同的总势能。 为便于研究，在过桶竖直轴线的平面内，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为轴正方向建立相对桶静止的直角坐标系，研究平面内水面上坐标为、质量为的小水滴在这个坐标系下的运动情况和能量。重力加速度为，根据以上信息可知，下列说法正确的是（     ） A．“离心力”的大小与平面内横坐标成反比 B．若在平面内水面上移动小水滴，该“离心力”做功与路径有关 C．以角速度大小稳定转动时，桶中水面的纵截面的方程 D．若选取轴处“离心势能”为零，“离心势能”的表达式 【答案】C 【难度】0.4 【详解】A．对m受力分析如图所示 以旋转的桶为参照物，水面却是静止的，所以与重力和其它液体对它的弹力N合力大小相等，方向相反，即，“离心力”的大小与平面内横坐标成正比，故A错误； B．离心力是保守力（类比重力），保守力做功只和初末位置有关，与路径无关，故B错误； C．由于整个水面总势能相等，在O点处总势能为0，则一个小水滴在该水面上任何位置重力势能与该势能的和均为0，即 整理可得，故C正确； D．以桶为参照系，如果把质量为m的水滴从移动到，又 则做功为 如果取y轴为势能零点，类比弹性势能和弹簧弹力做功的关系，做功与对应的势能关系 可得，故D错误。 故选C。 题型五 圆周运动与多过程能量综合 例题5、如图甲所示，长为的水平轨道，平台右端与水平传送带相接于点，传送带的运行速度为，长为，传送带右端点与一光滑斜面衔接，斜面长度，另有一固定竖直放置的光滑圆形轨道，轨道左下方开一小口，恰好在点与斜面相切，圆形轨道半径，。今将一质量的滑块（可视为质点），从处由静止开始受水平向右的力作用，的大小随位移变化关系如图乙所示，当滑块运动到点时撤去外力，滑块滑到传送带右端点时，恰好与传送带速度相同，滑块与间动摩擦因数，经过点的拐角处无机械能损失。取，，，不计空气阻力。试求： (1)滑块到达点的速度大小； (2)滑块与传送带间的动摩擦因数及滑块与传送带间因摩擦而产生的热量； (3)若传送带的运行速度可调，要使滑块第一次从点进入圆形轨道后而不脱离圆形轨道，求传送带的速度的范围。 【答案】(1) (2)， (3)或 【难度】0.39 【详解】（1）以滑块为研究对象，从到点的过程，由动能定理有 代入数据得 （2）滑块从点到点一直加速，到点恰好与传送带同速，由动能定理有 代入数据解得 由速度公式解得滑块在传送带上运动的时间为 其间传送带的位移为 故二者的相对位移为 由功能关系可得在经过传送带过程中因摩擦力系统增加的内能 （3）斜面高度为 设滑块在点的速度为时，恰好过圆弧最高点，由牛顿第二定律得 滑块从点到点的过程，由动能定理得 代入数据解得 设滑块在点的速度为时，恰好到圆弧处速度为零，此过程由动能定理得 代入数据解得 若滑块在传送带上一直减速至点恰好同速，则由动能定理得 代入数据解得 可知，满足滑块到点速度小于等于时，传送带的速度范围为 若滑块在传送带上一直加速至点恰好同速，则由动能定理得 解得 可知，满足滑块到点速度大于等于时，传送带的速度范围为 综上所述，传送带的速度范围为或。 巩固提升 1．如图，一个像“红旗”的金属框竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度和匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若，则与以匀速转动时相比，以匀速转动时（     ） A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹性势能一定变大 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变小 【答案】D 【难度】0.4 【详解】AB．小球在水平面内做匀速圆周运动，由合外力提供向心力，小球相对PQ杆静止，如图所示 小球在竖直方向受力平衡，根据平衡条件则有Fcosα=mg 若ω′<ω，假设小球下移，α减小，则弹簧形变量变大，则F变大，则Fcosα>mg 可知假设失败；同理，假设小球上移，α增大，则弹簧形变量减小，则F减小，则Fcosα<mg 可知假设失败；所以α不变，小球的高度不变，弹簧弹力的大小F一定不变，弹性势能不变，故AB错误； C．设杆对球的弹力为FN，若开始时角速度过小，根据牛顿第二定律则有 由Fsinα、r不变，可知角速度减小时，则FN变大； 若开始角速度过大，根据牛顿第二定律则有 可知角速度减小时，则FN减小；综合可知FN可能增大、可能减小、可能不变，根据牛顿第三定律，可知小球对杆压力的大小可能增大、可能减小、可能不变，故C错误。 D．小球所受合外力的大小，角速度变小，则合力一定变小，D正确。 故选D。 2．如图所示，可绕竖直中心轴在水平面内旋转的转台放置在水平地面上，转台除底座外是一段圆弧，一小圆环（可视为质点）套在圆弧上，初始时刻小圆环在图示位置，转台与小圆环均静止。现让转台缓慢加速旋转（即小圆环离开圆弧前的任意瞬间，可近似看作在做匀速圆周运动），直至小圆环从圆弧边缘飞出。已知小圆环与圆弧间的动摩擦因数，圆弧半径，圆弧边缘与圆心的连线和竖直方向的夹角为37°，圆弧边缘距水平地面的高度，重力加速度g取10 m/s2，，，不考虑材料强度与变形，不计空气阻力，小圆环落地后不反弹。下列说法正确的是（     ） A．从初始时刻到飞出之前，圆弧对小圆环的摩擦力先变小再变大 B．小圆环从圆弧边缘飞出时，转台的角速度大小 C．小圆环的落点到转台在地面的中心点的距离为 D．若小圆环与圆弧间的动摩擦因数，则无论转台转多快，小圆环都不会飞离圆弧 【答案】A 【难度】0.4 【详解】A．小环受力如图 设方向与竖直方向夹角为 对圆环在竖直方向 对圆环在水平方向 当 时，，即摩擦力沿切线向上；随增大，的代数值从负值逐渐增大到零，再变为正值，即摩擦力先向上减小到0，再反向增大，故A正确； B．在边缘，飞出时摩擦力达到最大值，且反向（沿切线向下），即（以向上为正） 竖直方向 水平方向 代入，，， 由竖直方程 水平方程 代入， 得 ，故B错误； C．，飞出速度 速度沿切线方向水平，竖直初速度为 0，下落时间 平抛水平位移 抛出点到转轴的水平距离 落点到转轴距离 而，故C错误； D．考虑极限情况，若圆环不飞离，摩擦力需能随增大而无限增大。由 且沿切线向下，竖直方程需有解，即，得。临界。因此 不足以保证，故D错误； 故选A。 3．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和点的连线与之间的夹角为。小物块和陶罐之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为。则（     ） A．小物块受到重力、支持力、向心力的作用 B．转台转动的角速度为 C．小物块转动的线速度大小为 D．当转台的角速度缓慢增大到时，小物块相对罐壁发生滑动 【答案】C 【难度】0.4 【详解】A．摩擦力为零时，小物块只受到重力和支持力，向心力是这两个力的合力沿水平方向的效果，不是额外受力，故A错误； B．设支持力为，摩擦力为零时沿竖直方向有 水平方向有 解得，故B错误； C．小物块做圆周运动的半径为，线速度=，故C正确； D．设摩擦力沿罐壁向上为正，物块相对罐壁静止时有 由关系式 解得， 其中为正表示沿罐壁向上。角速度增大时，临界条件为 代入，整理得 解得 所以在时未达到临界滑动，故D错误。 故选C。 4．如图（a）所示，一可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕O点做半径为r的匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿x轴上的分速度vx随时间t的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力。则滑块与转台间动摩擦因数μ和图（c）中阴影部分面积S大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.4 【详解】根据最大静摩擦力提供向心力有 由图（c）可知 解得 图（c）中阴影部分面积S大小等于沿x轴方向的位移大小，对应滑块匀速圆周运动的圆心角为 阴影部分面积S大小 故选D。 5．中国科幻大片中描述的“太空电梯”让人印象深刻，图（a）是“天梯”项目海基平台效果图，是在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”，宇航员乘坐太空舱通过“太空电梯”直通地球空间站。图（b）中为宇航员到地心的距离，为地球半径，曲线为宇航员由于受到地球引力而产生的加速度大小与的关系；直线为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与的关系。关于质量为、相对地面静止的宇航员在不同高度情况，下列说法正确的是（     ） A．随着的增大，宇航员的角速度增大 B．宇航员随地球自转的周期为 C．随着的增大，宇航员受到的弹力一直增大 D．在离地面高为的位置，宇航员对座椅的压力大小为 【答案】B 【难度】0.4 【详解】A．宇航员相对地面静止，随太空电梯一起和地球保持同轴自转，角速度与地球自转角速度相同，不随r增大而变化，故A错误； B．地球自转角速度ω恒定，向心加速度满足 在两曲线交点处时，向心加速度为，代入得 因此自转周期，故B正确； C．设地球引力产生的加速度为，宇航员受到的弹力为，宇航员随地球自转需要的向心加速度为 根据合力提供向心力 可得弹力 由图（b）可知随着r增大，减小，增大，因此是逐渐减小的，当时弹力为零，并非一直增大，故C错误； D．时，引力加速度为，则 在离地面高为的位置，由万有引力提供向心力 联立解得 在离地面高为的位置，向心加速度 代入弹力公式得 由牛顿第三定律可得宇航员对座椅的压力大小为，故D错误。 故选B。 6．如图，半径R为2 m的圆形水泥管道内，小朋友在最低点将球向左踢出，球在管道内做一次完整的圆周运动后，第二圈到达距最高点竖直高度为处离开管道，恰好落到小朋友的书包内。将球视为质点，球始终在同一竖直平面内运动，且第一圈恰好通过最高点。重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，则（     ） A．球离开管道时速度大小为 B．球离开管道时速度大小为4 m/s C．球第一次到最高点时速度大小为2 m/s D．球第一次到最高点时速度大小为 【答案】BD 【难度】0.4 【详解】CD．小球在第一圈恰好通过最高点，根据竖直平面内圆周运动的临界条件，在最高点时轨道的弹力刚好为零，由重力提供向心力 解得小球第一圈通过最高点时的速度大小为，故C错误，D正确； AB．第二圈时，小球在距离最高点竖直高度为处离开轨道，表明此时小球与轨道间恰好无相互作用力（弹力为零），随后小球将做斜抛运动，设小球离开轨道时，小球与圆心的连线与竖直向上方向的夹角为，根据几何关系可知 则 小球在离开轨道这一瞬间，只受重力，重力沿半径方向的分力提供向心力 解得小球离开管道时的速度大小为，故A错误，B正确。 故选BD。 7．如图所示，质量为、可视为质点的小球可在竖直平面内沿光滑圆环轨道内侧运动，圆环的半径为。整个空间中存在方向水平向右速度恒定的风。某时刻在轨道最低点给小球一个沿切线方向的初速度，运动过程中小球始终受到水平向右的恒定风力作用，风力大小，小球恰好能够沿圆环做完整的圆周运动。重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球从轨道最低点运动到最高点的过程中，所受合力对小球一直做负功，小球速度一直减小 B．运动过程中小球的最小速度为 C．运动过程中小球的最大速度为 D．运动过程中风力对小球做的功等于其机械能变化量 【答案】BD 【难度】0.4 【详解】A．先将重力与风力求合力，该力为恒力，可视为等效重力，设为，如图 则合力大小 合力方向与竖直方向夹角为，则有 解得 可知小球从轨道最低点运动到最高点的过程中，所受合力对小球先做正功后做负功，因此小球速度先增大后减小，故A错误； B．运动过程中小球的最小速度出现在等效重力最高点，即B点，由题意可知，小球恰好能够沿圆环做完整的圆周运动，可知小球在B点有 联立解得，故B正确； C．运动过程中小球的最大速度出现在等效重力最低点，即A点，则从B到A过，根据动能定理有 联立解得，故C错误； D．根据功能关系可知，运动过程中风力对小球做的功等于其机械能变化量，故D正确。 故选BD。 8．如图所示，质量均为的小木块A、B用细线连接，并沿直径方向放置在水平转盘上，开始时细线恰好不紧绷，图甲中小木块A、B放置在转盘圆心两侧、图乙中小木块A、B放置在转盘圆心同侧，图甲、乙中小木块A、B到圆心的距离分别为和，已知两小木块与转盘间的动摩擦因数均为，重力加速度为，当转盘由静止开始逐渐增大角速度，两小木块始终与转盘保持相对静止，则下列说法正确的是（     ） A．当转盘的角速度时，图甲和图乙中的细线均开始紧绷 B．当转盘的角速度时，图甲中的细线开始紧绷，图乙中的细线仍然松弛 C．图甲和图乙中转盘角速度的最大值相同 D．图甲和图乙中转盘角速度的最大值之比为 【答案】AD 【难度】0.4 【详解】AB．甲乙两图中，当物块B与转盘间的摩擦力达到最大时，细绳开始绷紧，则由，解得 即当转盘的角速度时，图甲和图乙中的细线均开始紧绷，A正确，B错误； CD．图甲中转盘达到最大角速度时，则对A有 对B有 解得 图乙中转盘达到最大角速度时，则对A有 对B有 解得 可得图甲和图乙中转盘角速度的最大值之比为，C错误，D正确。 故选AD。 9．如图所示，为竖直平面内四分之一光滑圆弧轨道，半径。长度的水平传送带，左端与圆弧轨道最低点连接，右端上表面与固定平台等高并紧靠。平台上固定有一底端处开口且略微错开的竖直光滑圆轨道。一质量的滑块（视为质点），从圆弧轨道最高点处静止释放。已知滑块与传送带表面的动摩擦因数，与右侧平台间的动摩擦因数，左侧平台光滑，。轻弹簧初始为原长，左端与轻质挡板连接，右端固定，其劲度系数。弹簧弹性势能的表达式（为弹簧形变量），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计通过各连接处的能量损失，重力加速度。求： (1)滑块下滑至圆弧轨道最低点时对处的压力大小； (2)若传送带以顺时针转动，要使滑块第一次冲上圆轨道后不脱离圆轨道，圆轨道的半径满足的条件； (3)若传送带以逆时针转动，且调节圆轨道半径，使滑块从处进入圆轨道，能沿轨道运动一周后，从处离开圆轨道，继续沿平台水平向右滑动，与位于平台处的轻质挡板相撞并粘连（不计能量损失），求滑块从冲上传送带到弹簧第一次被压缩到最短的过程中因摩擦而产生的热量。 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.34 【详解】（1）滑块从到机械能守恒 解得 在点 解得，根据牛顿第三定律可知滑块对点处的压力大小为。 （2）传送带顺时针转动，，滑块在传送带上做匀减速运动，加速度 滑块减速到与传送带共速的位移 解得 滑块第一次冲上圆轨道过时的速度为，滑块不脱离圆轨道分两种情况： ①能通过圆轨道最高点，最高点满足 从到最高点机械能守恒 联立得 ②不超过圆轨道圆心高度，滑出不脱离，上升最大高度 由机械能守恒有 得 综上可得圆轨道的半径满足的条件为或 （3）传送带逆时针转动，滑块向右匀减速，到达点速度满足 得 滑块在传送带上向右运动过程运动时间 传送带向左位移 相对位移 在传送带上产生的热量 在平台上滑块从点到弹簧压缩到最短过程中，设弹簧最大压缩量为，由能量守恒得 解得 滑块在平台上总路程 在平台上产生的热量 总摩擦生热 10．如甲图所示，水平轨道由光滑的段和粗糙的段组成。段左端固定一轻弹簧，点为弹簧原长位置；段长度，动摩擦因数为；BC右端平滑连接长为的水平传送带，传送带以速度顺时针匀速转动，物块与传送带间动摩擦因数。传送带右端点与竖直平面内的光滑半圆形轨道相切（为最低点），半圆形轨道的半径。现将一质量的物块（可视为质点）向左压缩弹簧至点，此时弹簧的弹性势能；从点由静止释放物块，物块沿轨道向右运动，重力加速度取。求： (1)若物块恰能滑到半圆形轨道的最高点处，求其经过点时的速度大小； (2)若改变传送带速度的大小，求物块到达点时的速度范围； (3)若要保证物块在半圆形轨道上滑动时不脱离轨道，求传送带速度的取值范围； (4)改变传送带的速度，物块在半圆形轨道上能到达的最大高度为，请写出的函数关系式并在乙图中画出相应的图像。（要求标注出关键的拐点坐标） 【答案】(1) (2)~ (3)或 (4)当时，；当时，；当时， 【难度】0.35 【详解】（1）从到，根据动能定理有 在E处，根据牛顿第二定律有 解得 （2）若物块在传送带上一直减速，则从P至D过程有 解得 若物块在传送带上一直加速，则从P至D过程有 解得 可知，调节传送带速度的大小，物块到达D处时的速度大小为~ （3）若物块刚好运动至半圆轨道与O等高处速度恰好为零，则有 解得 可知，传送带速度时，物块不脱离圆弧轨道。若物块恰好能够做完整的圆周运动，根据（1）有 可知，传送带速度应取 综合上述可知，若要保证物块在半圆形轨道上滑动时不脱离轨道，传送带速度的取值范围或 （4）结合上述可知，当时，物块在传送带上一直减速，且可以到达与圆心等高处，即有 当时，物块均能够到达半圆轨道最高点，即有 当时，物块会在圆心等高处上方且未到最高点时脱离轨道，设脱离轨道处与圆心O的连线与竖直方向夹角为，则有 从D到脱离轨道处有 物块在半圆形轨道上能到达的最大高度 解得 画出图像，如图所示 11．如图所示为一款静置于地面上的鱼饵自动投放器中投饵管的装置示意图，下半部AB为倾斜放置的直细管，上半部BC是半径为R的圆弧弯管。管口C沿水平方向，且距离水面的竖直高度为h=4.5R。在AB倾斜直管内有一原长小于直管长度、下端固定的轻质弹簧，开始时弹簧锁定在弹性势能Ep=3mgR处，将一粒质量为m可视为质点的鱼饵放置在弹簧上端D点，解除锁定后弹簧将鱼饵弹射出去，到达管口C时对管壁的作用力恰好为零。测得直管末端B点到弹簧锁定时上端D点的竖直高度为1.5R，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)鱼饵落到水面时距离管口C点的水平距离x1； (2)鱼饵从D点到C点过程中克服摩擦阻力做的功Wf； (3)要使投放的鱼饵能落到更大面积的水里，使该投饵管以过A点垂直地面的直线为轴在120°范围内来回缓慢转动。每次从D点弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵质量在到m之间变化。已知质量为和m的鱼饵在管中克服摩擦做功之比等于，其他质量的鱼饵到C点时的速度大于质量为m的鱼饵小于质量为的鱼饵。投放的鱼饵均能落到水里，持续投放一段时间后，求鱼饵能够落到水面的最大面积S。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.42 【详解】（1）鱼饵到达C时对管壁作用力为零，此时重力提供圆周运动的向心力 解得 鱼饵离开C点后做平抛运动，则有， 联立解得 （2）鱼饵从D点到C点的过程，由能量守恒可得 其中 代入，解得克服摩擦阻力做的功为 （3）当鱼饵质量为时，设其到达管口C的速度为，由能量守恒定律得 解得 设落到水里的水平距离为，则有 解得 鱼饵能覆盖的最大面积 解得 12．如图所示，光滑的轨道固定在竖直平面内，它由直线部分和圆弧部分组成，圆弧与直线在点相切；部分与水平面的夹角，是圆弧的圆心，水平，竖直。已知圆弧的半径，，重力加速度，，。现使质量为的小球从点沿斜面向上以某初速度射出，小球恰好能经过点，求： (1)小球经过点时对轨道的压力大小及从点射出时的初速度大小； (2)要保证小球能到达圆弧轨道且不从之间脱离圆弧轨道，从点射出的初速度需满足什么条件？ (3)如果小球滑上圆弧轨道后在点上方满足的点恰好脱离圆弧轨道，此时从点射出的初速度多大？ 【答案】(1) ； (2)或 (3) 【难度】0.4 【详解】（1）小球恰好经过点时，轨道对小球的支持力为零。设小球经过点、点的速度分别为、，在点由牛顿第二定律有 解得 从点到点，机械能守恒，有= 解得 在点，重力沿半径方向的分量为零，设轨道对小球的支持力为，由牛顿第二定律有 代入数据得，由牛顿第三定律知，小球对轨道的压力大小为 从点到点的高度差为 由机械能守恒定律有= 代入数据解得 （2）小球能滑上圆弧轨道，要求它到达点时速度大于零。由机械能守恒定律有 解得 设圆弧上任一点相对的方位角为，在点上方时。沿指向圆心方向，由牛顿第二定律有 若小球在不高于点处速度减为零，则有，此时 小球会沿原轨道返回，不会脱离轨道。小球恰好到达点时，由机械能守恒定律有= 解得 故该情形下 若小球越过点继续上升，随增大，支持力减小，保证小球到达点前不脱离轨道，需满足点处，即 从点到点，由机械能守恒定律有= 结合，解得 综上，初速度应满足或 （3）小球在点恰好脱离圆弧轨道时，轨道对小球的支持力为零。设小球经过点时的速度为，沿指向圆心方向，由牛顿第二定律有 解得 从点到点的高度差为 由机械能守恒定律有= 代入数据解得 13．如图所示，竖直面内固定有一光滑圆弧轨道，轨道的上端点和圆心的连线与水平方向的夹角。现将质量为的小滑块（可视为质点）从空中的点以初速度水平向左抛出，恰好从点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到点，已知、两点的高度差为，圆弧轨道半径为，小滑块到达点经光滑水平段后，从点滑上依次紧挨着静止在水平地面上的四块质量均为、长度均为的木板，木板上表面与点等高。小滑块与木板之间的动摩擦因数，木板与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，，不计空气阻力。求： (1)小滑块的初速度的大小； (2)小滑块到达点时对轨道的压力； (3)小滑块滑离木板前，木板4在地面上滑动的最大速度大小。 【答案】(1) (2)，方向竖直向下 (3) 【难度】0.39 【详解】（1）设小滑块到达点时竖直分速度大小为，由竖直方向自由落体规律有 得，小滑块恰沿圆弧轨道切线进入轨道，速度方向与水平方向夹角为 有== 解得= （2）从点到点，小滑块下降高度 由机械能守恒有= 整理得 在点轨道对小滑块的支持力为，由牛顿第二定律有 整理得= 由牛顿第三定律，小滑块对轨道的压力大小为，方向竖直向下。 （3）小滑块通过光滑水平段，滑上木板时速度仍为 小滑块受到的滑动摩擦力大小为 加速度大小为 小滑块在木板1上时，木板1至4整体可受地面最大静摩擦力为 在木板2上时，木板2至4整体可受地面最大静摩擦力为 故木板1、2阶段木板均不动。 小滑块滑到木板3左端时，已经相对地面前进，由匀变速直线运动规律有 整理得 小滑块在木板3上时，木板3、4整体可受地面最大静摩擦力为 故木板3、4开始向右滑动。设木板3、4共同加速度大小为，由牛顿第二定律有 整理得 设小滑块在木板3上滑行时间为，相对木板3前进 有 即 解得，另一根不符合第一次滑到木板3右端的过程。 此时小滑块速度 木板4速度 小滑块滑上木板4后，木板4与木板3分离，木板4单独受小滑块摩擦力作用向右加速。设木板4加速度大小为，由牛顿第二定律有 整理得 设小滑块在木板4上滑行时间为，相对木板4前进 有 即 解得，另一根舍去。 小滑块滑离木板4右端时，木板4速度最大，=，之后木板4只受地面摩擦力而减速。 14．表面光滑的水平轨道左端与长L=1.25 m的水平传送带平滑相接，传送带以v0=1 m/s的恒定速率逆时针匀速运动。水平轨道右侧的竖直墙上固定一轻弹簧，现用质量m=0.1 kg的小物块（可视为质点）将弹簧向右压缩到某一位置（弹簧处于弹性限度范围内），由静止开始释放小物块，小物块到达水平传送带左端B点后，立即沿切线进入固定的竖直光滑半圆轨道最高点，并恰好沿半径R=0.4 m的半圆轨道做圆周运动，最后经圆周最低点C，滑上质量为M=0.9 kg的长木板，若物块与传送带间动摩擦因数μ1=0.8，物块与木板间动摩擦因数μ2=0.25。力加速度g=10 m/s2。求： (1)小物块到达B点时速度vB的大小； (2)弹簧被压缩后的弹性势能Ep； (3)要使小物块恰好不会从长木板上掉下，则木板长度s与木板和地面之间动摩擦因数μ3应满足什么关系（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。 【答案】(1) (2)1.2 J (3)若，，若，s=4 m 【难度】0.28 【详解】（1）由题意知物体在光滑半圆轨道最高点恰好做圆周运动，在B点，由牛顿第二定律得 解得B点速度 （2）设物块到达A点时的速度为vA，由题意可知，物块被弹簧弹出过程中，物块和弹簧组成的系统机械能守恒，有 由可知，物体在传送带上一直做匀减速运动。则物块在传送带上滑行过程由动能定理可得 联立以上各式解得Ep=1.2 J （3）根据题意，从B到C过程中，由机械能守恒定律有 解得 分类讨论 ①若 即，则木板不动，对物块有 解得s=4 m ②若μ3<0.025，对物块有 对木板有 共速时有 木板的长度为 联立解得 15．如图所示，水平轨道上段光滑，段粗糙，且，为竖直平面内半径的光滑半圆轨道，两轨道相切于点，右侧有电场强度的匀强电场，方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在点，另一端与带负电滑块P接触但不连接，弹簧原长时滑块在点。现向左压缩弹簧后由静止释放滑块P，当滑块P运动到点瞬间对轨道的压力为。已知滑块P的质量、电荷量，与轨道间的动摩擦因数，忽略滑块P与轨道间的电荷转移（已知，，）。求： (1)滑块在点速度大小； (2)滑块在上运动时对轨道的最小压力； (3)欲使滑块P进入圆轨道后能从点水平抛出，求弹簧释放弹性势能的最小值。 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.24 【详解】（1）由牛顿第三定律，轨道对滑块的支持力大小为，在点电场力沿水平方向，沿半径指向圆心的方向应用牛顿第二定律，得 代入数据解得 （2）滑块所受电场力水平向左，大小为 设滑块位于圆弧上某点时，该点半径与竖直向下方向的夹角为，则 从圆弧上该点运动到点，由动能定理得 沿半径指向圆心的方向应用牛顿第二定律，得 消去并代入数据，得 由 可知当，时最小，最小压力为 （3）设滑块恰能从点水平抛出时在点的速度为，沿用小问2的角度，有 滑块在圆轨道上全程不脱离需，弹性势能最小时有 解得 滑块在点的动能为 此时在 处有，滑块能通过该临界位置。 由于、两点的横坐标相同，电场力从点到点做功为零；滑块从点到点升高，故 滑块通过段克服摩擦力所需的能量为 弹簧在点恢复原长，故释放弹簧弹性势能的最小值为 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 跑哥物理 力学竞赛专题 专题四 圆周运动 一、核心知识点 二、思维导图 三、题型分类 题型01水平转盘临界与连接体问题 题型02 竖直平面圆周运动不脱轨条件 题型03圆锥摆及变式动态分析 题型04 非惯性系与等效场圆周运动 题型05 圆周运动与多过程能量综合 四、巩固提升 核心知识点 1. 水平面内圆周运动的临界问题：涉及转台、弹簧连接体及绳连接体模型。核心在于分析静摩擦力达到最大值或绳张力出现/消失时的临界角速度，需结合牛顿第二定律与整体法、隔离法进行受力分析。 2. 竖直平面内圆周运动的临界与能量综合：包括“绳模型”（最高点最小速度为√gR）与“杆/管模型”（最高点速度可为零）。常结合动能定理或机械能守恒定律，分析物体在轨道内侧运动时不脱离轨道的条件（过最高点或不超过圆心等高线）。 3. 圆锥摆与类圆锥摆模型：研究物体在重力与支持力（或拉力）合力提供向心力下的匀速圆周运动。重点掌握几何关系与动力学方程的联立，以及角速度变化对高度、半径及受力的影响。 4. 非惯性系中的圆周运动：引入“离心力”概念处理旋转参考系中的平衡问题。利用等效势能（重力势能与离心势能之和）分析液面形状或相对静止条件，将动力学问题转化为能量极值问题。 5. 圆周运动与平抛、传送带的组合模型：考查多过程物理情景。关键在于衔接点的速度传递，圆周运动末端的速度方向决定平抛初态，传送带摩擦生热与相对位移的计算需结合功能关系。 思维导图 题型分类 题型一 水平转盘临界与连接体问题 例题1、如图所示，小物块与水平转台相对静止，间通过原长为、劲度系数的轻弹簧连接，已知的质量均为，与之间的动摩擦因数为，与转台间的动摩擦因数均为，和离转台中心的距离分别为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法正确的是（     ） A．逐渐增大转台角速度，先相对于转台滑动 B．当与转台间摩擦力为零时，受到的摩擦力方向沿半径背离转台中心 C．当与转台间摩擦力为零时，受到的摩擦力为 D．当及均相对转台静止时，允许的最大角速度为 题型二 竖直平面圆周运动不脱轨条件 例题2、如图，固定在竖直面内的光滑轨道ABC由直线段AB和圆弧段BC组成，两段相切于B点，AB段与水平面夹角为，BC段圆心为O，最高点为C、A与C的高度差等于圆弧轨道的直径2R。小球从A点以初速度冲上轨道，能沿轨道运动恰好到达C点，下列说法正确的是（     ） A．小球从B到C的过程中，对轨道的压力逐渐增大 B．小球从A到C的过程中，重力的功率先减小后增大再减小 C．小球从A到C的过程中不脱离轨道，在C点的最大速度为 D．小球从A到C的过程中不脱离轨道，v0最大速度为 故选AD。 题型三 圆锥摆及变式动态分析 例题3、如图（a），光滑圆锥体固定在水平面上，其轴线竖直，母线与轴线夹角为，长为的轻绳，一端固定在圆锥顶点处，另一端拴着质量为的小球（小球可看成质点，小球静止时，轻绳与母线平行），小球以角速度绕圆锥体的轴线做匀速圆周运动，绳子拉力随的变化关系如图（b）所示，重力加速度取10m/s2，则下列正确的是（　　） A． B．m=1kg C．L=0.5m D．小球的角速度为4rad/s时，小球已经离开锥面 题型四 非惯性系与等效场圆周运动 例题4、处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动。当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下的水面为“水平面”，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度转动，稳定时，水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以转动的桶为参考系，桶中的水处于相对静止状态，假如认为处于水表面的质量为的小水滴（可视为质点）除了受真实力作用外，还受到一个假想的“离心力”，使其合力为零，那么在形式上牛顿运动定律仍适用。类似于重力与重力势能的对应关系，水滴还将具有一个与该“离心力”对应的“离心势能”。该“离心势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水滴具有相同的总势能。 为便于研究，在过桶竖直轴线的平面内，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为轴正方向建立相对桶静止的直角坐标系，研究平面内水面上坐标为、质量为的小水滴在这个坐标系下的运动情况和能量。重力加速度为，根据以上信息可知，下列说法正确的是（     ） A．“离心力”的大小与平面内横坐标成反比 B．若在平面内水面上移动小水滴，该“离心力”做功与路径有关 C．以角速度大小稳定转动时，桶中水面的纵截面的方程 D．若选取轴处“离心势能”为零，“离心势能”的表达式 题型五 圆周运动与多过程能量综合 例题5、如图甲所示，长为的水平轨道，平台右端与水平传送带相接于点，传送带的运行速度为，长为，传送带右端点与一光滑斜面衔接，斜面长度，另有一固定竖直放置的光滑圆形轨道，轨道左下方开一小口，恰好在点与斜面相切，圆形轨道半径，。今将一质量的滑块（可视为质点），从处由静止开始受水平向右的力作用，的大小随位移变化关系如图乙所示，当滑块运动到点时撤去外力，滑块滑到传送带右端点时，恰好与传送带速度相同，滑块与间动摩擦因数，经过点的拐角处无机械能损失。取，，，不计空气阻力。试求： (1)滑块到达点的速度大小； (2)滑块与传送带间的动摩擦因数及滑块与传送带间因摩擦而产生的热量； (3)若传送带的运行速度可调，要使滑块第一次从点进入圆形轨道后而不脱离圆形轨道，求传送带的速度的范围。 巩固提升 1．如图，一个像“红旗”的金属框竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑。一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆。金属框绕MN轴分别以角速度和匀速转动时，小球均相对PQ杆静止。若，则与以匀速转动时相比，以匀速转动时（     ） A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹性势能一定变大 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变小 2．如图所示，可绕竖直中心轴在水平面内旋转的转台放置在水平地面上，转台除底座外是一段圆弧，一小圆环（可视为质点）套在圆弧上，初始时刻小圆环在图示位置，转台与小圆环均静止。现让转台缓慢加速旋转（即小圆环离开圆弧前的任意瞬间，可近似看作在做匀速圆周运动），直至小圆环从圆弧边缘飞出。已知小圆环与圆弧间的动摩擦因数，圆弧半径，圆弧边缘与圆心的连线和竖直方向的夹角为37°，圆弧边缘距水平地面的高度，重力加速度g取10 m/s2，，，不考虑材料强度与变形，不计空气阻力，小圆环落地后不反弹。下列说法正确的是（     ） A．从初始时刻到飞出之前，圆弧对小圆环的摩擦力先变小再变大 B．小圆环从圆弧边缘飞出时，转台的角速度大小 C．小圆环的落点到转台在地面的中心点的距离为 D．若小圆环与圆弧间的动摩擦因数，则无论转台转多快，小圆环都不会飞离圆弧 3．如图所示，半径为的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心的对称轴重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为0，且它和点的连线与之间的夹角为。小物块和陶罐之间的动摩擦因数为0.5，重力加速度为。则（     ） A．小物块受到重力、支持力、向心力的作用 B．转台转动的角速度为 C．小物块转动的线速度大小为 D．当转台的角速度缓慢增大到时，小物块相对罐壁发生滑动 4．如图（a）所示，一可视为质点的滑块放在水平转台上，滑块恰好能随转台绕O点做半径为r的匀速圆周运动，图（b）为俯视图。某学校物理兴趣小组利用位移传感器采集滑块的位置和时刻信息，画出某时刻起滑块沿x轴上的分速度vx随时间t的变化关系如图（c）所示。取水平向右为正方向，滑块所受最大静摩擦力大小等于滑动摩擦力大小，不计空气阻力。则滑块与转台间动摩擦因数μ和图（c）中阴影部分面积S大小分别为（     ） A．， B．， C．， D．， 5．中国科幻大片中描述的“太空电梯”让人印象深刻，图（a）是“天梯”项目海基平台效果图，是在赤道上建造垂直于水平面的“太空电梯”，宇航员乘坐太空舱通过“太空电梯”直通地球空间站。图（b）中为宇航员到地心的距离，为地球半径，曲线为宇航员由于受到地球引力而产生的加速度大小与的关系；直线为宇航员由于地球自转而产生的向心加速度大小与的关系。关于质量为、相对地面静止的宇航员在不同高度情况，下列说法正确的是（     ） A．随着的增大，宇航员的角速度增大 B．宇航员随地球自转的周期为 C．随着的增大，宇航员受到的弹力一直增大 D．在离地面高为的位置，宇航员对座椅的压力大小为 6．如图，半径R为2 m的圆形水泥管道内，小朋友在最低点将球向左踢出，球在管道内做一次完整的圆周运动后，第二圈到达距最高点竖直高度为处离开管道，恰好落到小朋友的书包内。将球视为质点，球始终在同一竖直平面内运动，且第一圈恰好通过最高点。重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，则（     ） A．球离开管道时速度大小为 B．球离开管道时速度大小为4 m/s C．球第一次到最高点时速度大小为2 m/s D．球第一次到最高点时速度大小为 7．如图所示，质量为、可视为质点的小球可在竖直平面内沿光滑圆环轨道内侧运动，圆环的半径为。整个空间中存在方向水平向右速度恒定的风。某时刻在轨道最低点给小球一个沿切线方向的初速度，运动过程中小球始终受到水平向右的恒定风力作用，风力大小，小球恰好能够沿圆环做完整的圆周运动。重力加速度为，下列说法正确的是（     ） A．小球从轨道最低点运动到最高点的过程中，所受合力对小球一直做负功，小球速度一直减小 B．运动过程中小球的最小速度为 C．运动过程中小球的最大速度为 D．运动过程中风力对小球做的功等于其机械能变化量 8．如图所示，质量均为的小木块A、B用细线连接，并沿直径方向放置在水平转盘上，开始时细线恰好不紧绷，图甲中小木块A、B放置在转盘圆心两侧、图乙中小木块A、B放置在转盘圆心同侧，图甲、乙中小木块A、B到圆心的距离分别为和，已知两小木块与转盘间的动摩擦因数均为，重力加速度为，当转盘由静止开始逐渐增大角速度，两小木块始终与转盘保持相对静止，则下列说法正确的是（     ） A．当转盘的角速度时，图甲和图乙中的细线均开始紧绷 B．当转盘的角速度时，图甲中的细线开始紧绷，图乙中的细线仍然松弛 C．图甲和图乙中转盘角速度的最大值相同 D．图甲和图乙中转盘角速度的最大值之比为 9．如图所示，为竖直平面内四分之一光滑圆弧轨道，半径。长度的水平传送带，左端与圆弧轨道最低点连接，右端上表面与固定平台等高并紧靠。平台上固定有一底端处开口且略微错开的竖直光滑圆轨道。一质量的滑块（视为质点），从圆弧轨道最高点处静止释放。已知滑块与传送带表面的动摩擦因数，与右侧平台间的动摩擦因数，左侧平台光滑，。轻弹簧初始为原长，左端与轻质挡板连接，右端固定，其劲度系数。弹簧弹性势能的表达式（为弹簧形变量），最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计通过各连接处的能量损失，重力加速度。求： (1)滑块下滑至圆弧轨道最低点时对处的压力大小； (2)若传送带以顺时针转动，要使滑块第一次冲上圆轨道后不脱离圆轨道，圆轨道的半径满足的条件； (3)若传送带以逆时针转动，且调节圆轨道半径，使滑块从处进入圆轨道，能沿轨道运动一周后，从处离开圆轨道，继续沿平台水平向右滑动，与位于平台处的轻质挡板相撞并粘连（不计能量损失），求滑块从冲上传送带到弹簧第一次被压缩到最短的过程中因摩擦而产生的热量。 10．如甲图所示，水平轨道由光滑的段和粗糙的段组成。段左端固定一轻弹簧，点为弹簧原长位置；段长度，动摩擦因数为；BC右端平滑连接长为的水平传送带，传送带以速度顺时针匀速转动，物块与传送带间动摩擦因数。传送带右端点与竖直平面内的光滑半圆形轨道相切（为最低点），半圆形轨道的半径。现将一质量的物块（可视为质点）向左压缩弹簧至点，此时弹簧的弹性势能；从点由静止释放物块，物块沿轨道向右运动，重力加速度取。求： (1)若物块恰能滑到半圆形轨道的最高点处，求其经过点时的速度大小； (2)若改变传送带速度的大小，求物块到达点时的速度范围； (3)若要保证物块在半圆形轨道上滑动时不脱离轨道，求传送带速度的取值范围； (4)改变传送带的速度，物块在半圆形轨道上能到达的最大高度为，请写出的函数关系式并在乙图中画出相应的图像。（要求标注出关键的拐点坐标） 11．如图所示为一款静置于地面上的鱼饵自动投放器中投饵管的装置示意图，下半部AB为倾斜放置的直细管，上半部BC是半径为R的圆弧弯管。管口C沿水平方向，且距离水面的竖直高度为h=4.5R。在AB倾斜直管内有一原长小于直管长度、下端固定的轻质弹簧，开始时弹簧锁定在弹性势能Ep=3mgR处，将一粒质量为m可视为质点的鱼饵放置在弹簧上端D点，解除锁定后弹簧将鱼饵弹射出去，到达管口C时对管壁的作用力恰好为零。测得直管末端B点到弹簧锁定时上端D点的竖直高度为1.5R，不计空气阻力，重力加速度为g。求： (1)鱼饵落到水面时距离管口C点的水平距离x1； (2)鱼饵从D点到C点过程中克服摩擦阻力做的功Wf； (3)要使投放的鱼饵能落到更大面积的水里，使该投饵管以过A点垂直地面的直线为轴在120°范围内来回缓慢转动。每次从D点弹射时只放置一粒鱼饵，鱼饵质量在到m之间变化。已知质量为和m的鱼饵在管中克服摩擦做功之比等于，其他质量的鱼饵到C点时的速度大于质量为m的鱼饵小于质量为的鱼饵。投放的鱼饵均能落到水里，持续投放一段时间后，求鱼饵能够落到水面的最大面积S。 12．如图所示，光滑的轨道固定在竖直平面内，它由直线部分和圆弧部分组成，圆弧与直线在点相切；部分与水平面的夹角，是圆弧的圆心，水平，竖直。已知圆弧的半径，，重力加速度，，。现使质量为的小球从点沿斜面向上以某初速度射出，小球恰好能经过点，求： (1)小球经过点时对轨道的压力大小及从点射出时的初速度大小； (2)要保证小球能到达圆弧轨道且不从之间脱离圆弧轨道，从点射出的初速度需满足什么条件？ (3)如果小球滑上圆弧轨道后在点上方满足的点恰好脱离圆弧轨道，此时从点射出的初速度多大？ 13．如图所示，竖直面内固定有一光滑圆弧轨道，轨道的上端点和圆心的连线与水平方向的夹角。现将质量为的小滑块（可视为质点）从空中的点以初速度水平向左抛出，恰好从点沿轨道切线方向进入轨道，沿着圆弧轨道运动到点，已知、两点的高度差为，圆弧轨道半径为，小滑块到达点经光滑水平段后，从点滑上依次紧挨着静止在水平地面上的四块质量均为、长度均为的木板，木板上表面与点等高。小滑块与木板之间的动摩擦因数，木板与地面之间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取，，，不计空气阻力。求： (1)小滑块的初速度的大小； (2)小滑块到达点时对轨道的压力； (3)小滑块滑离木板前，木板4在地面上滑动的最大速度大小。 14．表面光滑的水平轨道左端与长L=1.25 m的水平传送带平滑相接，传送带以v0=1 m/s的恒定速率逆时针匀速运动。水平轨道右侧的竖直墙上固定一轻弹簧，现用质量m=0.1 kg的小物块（可视为质点）将弹簧向右压缩到某一位置（弹簧处于弹性限度范围内），由静止开始释放小物块，小物块到达水平传送带左端B点后，立即沿切线进入固定的竖直光滑半圆轨道最高点，并恰好沿半径R=0.4 m的半圆轨道做圆周运动，最后经圆周最低点C，滑上质量为M=0.9 kg的长木板，若物块与传送带间动摩擦因数μ1=0.8，物块与木板间动摩擦因数μ2=0.25。力加速度g=10 m/s2。求： (1)小物块到达B点时速度vB的大小； (2)弹簧被压缩后的弹性势能Ep； (3)要使小物块恰好不会从长木板上掉下，则木板长度s与木板和地面之间动摩擦因数μ3应满足什么关系（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。 15．如图所示，水平轨道上段光滑，段粗糙，且，为竖直平面内半径的光滑半圆轨道，两轨道相切于点，右侧有电场强度的匀强电场，方向水平向右。一根轻质绝缘弹簧水平放置，一端固定在点，另一端与带负电滑块P接触但不连接，弹簧原长时滑块在点。现向左压缩弹簧后由静止释放滑块P，当滑块P运动到点瞬间对轨道的压力为。已知滑块P的质量、电荷量，与轨道间的动摩擦因数，忽略滑块P与轨道间的电荷转移（已知，，）。求： (1)滑块在点速度大小； (2)滑块在上运动时对轨道的最小压力； (3)欲使滑块P进入圆轨道后能从点水平抛出，求弹簧释放弹性势能的最小值。 物理力学竞赛专题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $