奥数培优·第12讲 盈亏思维复杂变型与转化思想（讲义）-2025-2026学年四年级下册数学人教版

【人教版】小学四年级下册奥数培优讲义·第12讲 盈亏思维——复杂变型与转化思想前言 华罗庚说："宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。" 同学们，上一讲我们学习了基本的盈亏问题，掌握了"比较法"这把神奇的钥匙。 这一讲，我们要挑战更复杂的盈亏问题！有些题目看起来不像盈亏问题，但只要我们学会"转化"——把复杂的条件变成标准的盈亏条件，就能轻松解决！ 转化思想是数学中非常重要的思想方法。遇到难题不要怕，把它变成你会做的题目，就能迎刃而解！ 让我们一起来探索复杂盈亏问题的奥秘吧！ 【教学目标】 一、知识与技能 掌握复杂盈亏问题的转化方法；能将各种变型问题转化为标准盈亏问题； 熟练运用比较法解决各类复杂盈亏问题 二、过程与方法 经历"转化→比较→求解→验证"的解题过程； 培养转化思想和灵活应变能力；学会分析复杂问题，找到解题突破口 三、情感态度与价值观 感受数学转化思想的奇妙作用；培养勇于挑战难题的信心； 体会"化繁为简"的数学智慧 【教学重难点】 重点：掌握复杂盈亏问题的转化方法 难点：分析复杂条件，找到转化的突破口 【高频易错总提示】 易错点1："增加一条船"和"减少一条船"，转换时不要搞反盈和亏！ 易错点2：绳子对折/三折，盈的数量要乘以折数，不能直接用！ 易错点3："其中几人不同分配"，要统一成每人都一样，再算盈亏！ 易错点4：行程问题中，迟到是"亏"，提前是"盈"，不要搞反！ 易错点5：配比问题，要先统一成"1个配几个"，再比较！ 一、知识点总结 1. 什么是复杂盈亏问题 有些问题初看似乎不像盈亏问题，但将题目条件适当转化，就露出了盈亏问题的"真相"。 核心思想：转化思想——把复杂的、不标准的条件，变成简单的、标准的盈亏条件。 2. 五大常见变型类型 变型类型 特点 转化方法 增减物品型 增加/减少几条船、几辆车 转换成盈/亏多少人 分配不均型 其中几人分配数量不同 统一成每人都一样，再算盈亏 折绳测井型 绳子对折、三折测井深 盈的数量乘以折数，转换成标准盈亏 配比分堆型 两种物品按比例搭配 统一成"1个配几个"，再比较 行程/工程型 走路迟到/提前、做工提前/延后 转换成盈/亏多少路程/工作量 3. 通用解题四步法 复杂盈亏问题解题口诀：转→比→找→验 转：转化条件，变成标准盈亏问题 比：比较两种方案，算总差额 找：找两次分配数的差，求份数 验：代入原题，验证对不对 4. 转化技巧集锦 技巧1：增减船/车 → "增加一条船"=多了一条船的人（盈），"减少一条船"=少了一条船的人（亏） 技巧2：分配不均 → 假设每人都按多的分，算多算了多少（盈）；或都按少的分，算少算了多少（亏） 技巧3：折绳测井 → 盈的长度×折数 = 总共多出来的长度 技巧4：配比问题 → 统一成"1个A配几个B"，再比较两种方案B的差额 技巧5：行程问题 → 迟到=还差多少米（亏），提前=还能多走多少米（盈） 技巧6：工程问题 → 提前=还能多做多少（盈），延后=还差多少（亏） 5. 注意事项 ①转化前后，总数量不变，分配的份数不变 ②转化时要仔细，不要把盈和亏搞反了 ③复杂题目可以分步转化，一步一步来 ④算完一定要验证，确保答案正确 二、经典例题 标注说明：★基础 / ★★提升 / ★★★拔高 / ★★★★挑战 【例1 增减船变型】★基础 【题目】 某班学生去划船，如果增加一条船，那么每条船正好坐6人；如果减少一条船，那么每条船就要坐9人。问：学生有多少人？ 【解题思路】 这道题看起来不是盈亏问题，但只要我们把"增加一条船"和"减少一条船"转换成标准的盈亏条件，就能用比较法解决了。 关键：假设船数固定不变，把两种方案转换成"每船坐几人，多/少几人"。 【完整解析】 第一步：转化条件，变成标准盈亏问题 假设船数固定不变。 "如果增加一条船，每船坐6人" → 意思是：如果船数不变，每船坐6人，就会多出6人（多了6人，盈6人）。 "如果减少一条船，每船坐9人" → 意思是：如果每船坐9人，那么就空出一条船，还能再坐9人（少了9人，亏9人）。 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：盈6人 第二种方案：亏9人 两种方案相差：6 + 9 = 15（人） 注意：一盈一亏，差额是"盈+亏"！ 第三步：找两次分配数的差 每船坐的人数差：9 - 6 = 3（人） 第四步：求船的数量 每船相差3人，一共相差15人，说明有多少条船呢？ 船的数量：15 ÷ 3 = 5（条） 第五步：求学生总数 用第一种方案算：6×(5+1) = 36（人） 第六步：验证 用第二种方案验证：9×(5-1) = 36（人）✓ 两种方案结果一样！ 答：学生有36人。 随堂小练1 同学们去春游，如果增加一辆车，那么每辆车正好坐8人；如果减少一辆车，那么每辆车就要坐12人。问：有多少个同学？ 【方法总结】 增减船/车型解题步骤： 1. 假设数量固定（船数/车数不变） 2. 转化："增加一条" → 盈多少（每条容量）；"减少一条" → 亏多少（每条容量） 3. 比较：两种方案的总差额 4. 算分配差：两次每条坐的人数差 5. 求数量：总差额 ÷ 分配差 = 船数/车数 6. 求总数：用其中一种方案计算 7. 验证：用另一种方案验证 关键：先把"增加/减少一条"转换成"盈/亏多少"，就变成标准盈亏问题了！ 【例2 分配不均变型】★★提升 【题目】 少先队员植树，如果每人挖5个坑，那么还有3个坑无人挖；如果其中2人各挖4个坑，其余每人挖6个坑，那么恰好将坑挖完。问：一共要挖几个坑？ 【解题思路】 这道题的难点是第二种方案分配不均——2人挖4个，其余人挖6个。 关键：把第二种方案转化成"每人都挖6个"，看看会多挖还是少挖。 【完整解析】 第一步：转化条件，变成标准盈亏问题 我们把第二种方案"其中2人各挖4个，其余每人挖6个"转化一下。 假设每人都挖6个，那2个只挖4个的人，每人少挖了几个？ 每人少挖：6 - 4 = 2（个） 2人一共少挖：2×2 = 4（个） 也就是说：如果每人都挖6个，那么会多挖4个坑（盈4个）。 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：每人挖5个坑，还有3个坑没人挖，也就是少挖了3个（亏3个）。 第二种方案：2人挖4个，其余挖6个，正好挖完。如果每人都挖6个，会多挖4个（盈4个）。 两种方案相差：3 + 4 = 7（个） 注意：一亏一盈，差额是"亏+盈"！ 第三步：找两次分配数的差 每人挖的数量差：6 - 5 = 1（个） 第四步：求人数 每人相差1个，一共相差7个，说明有多少个少先队员呢？ 人数：7 ÷ 1 = 7（人） 第五步：求坑的总数 用第一种方案算：5×7 + 3 = 38（个） 第六步：验证 用第二种方案验证：2人挖4个，5人挖6个，共2×4+5×6=8+30=38个 ✓ 正确！ 答：一共要挖38个坑。 随堂小练2 老师给小朋友分苹果，如果每人分3个，那么多8个；如果其中2人各分4个，其余每人分5个，那么正好分完。问：有多少个小朋友？多少个苹果？ 【方法总结】 分配不均型解题步骤： 1. 统一分配：假设每人都按多的分，算多算了多少（盈）；或都按少的分，算少算了多少（亏） 2. 比较：两种方案的总差额 3. 算分配差：两次每人分的数量差 4. 求人数：总差额 ÷ 分配差 = 人数 5. 求总数：用其中一种方案计算 6. 验证：用另一种方案验证 关键：先把"分配不均"转换成"每人都一样"，就变成标准盈亏问题了！ 【例3 折绳测井变型】★★提升 【题目】 在桥上用绳子测桥离水面的高度。若把绳子对折垂到水面，则余8米；若把绳子三折垂到水面，则余2米。问：桥有多高？绳子有多长？ 【解题思路】 这道题是经典的"折绳测井"问题。 关键：绳子对折、三折后，盈的长度要乘以折数，才是总共多出来的长度。 【完整解析】 第一步：转化条件，变成标准盈亏问题 我们把两种方案都转换成"绳子总共多出来多少米"。 对折余8米 → 总共多出来：8×2 = 16（米） 三折余2米 → 总共多出来：2×3 = 6（米） 两种方案都是"盈"，所以是两盈型。 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：盈16米（大盈） 第二种方案：盈6米（小盈） 两种方案相差：16 - 6 = 10（米） 注意：两盈型，差额是"大盈-小盈"！ 第三步：找两次分配数的差 对折时，绳子被分成了 2段；三折时，绳子被分成了 3段。 折数差：3 - 2 = 1（段） 为什么总盈余的差就是桥高呢？因为从2段变成3段，多算了1次桥高。 对折时，总盈余16米中包含了：2个桥高 + 多余的绳子； 三折时，总盈余6米中包含了：3个桥高 + 多余的绳子。 多余的绳子是一样的，所以总盈余的差16-6=10（米），正好等于 1个桥高。 第四步：求桥高 多折1次，就少了10米，说明桥高是多少呢？ 桥高：10 ÷ 1 = 10（米） 第五步：求绳长 用第一种方案算：2×10 + 8×2 = 20 + 16 = 36（米） 第六步：验证 用第二种方案验证：3×10 + 2×3 = 30 + 6 = 36（米）✓ 两种方案结果一样！ 答：桥高10米，绳子长36米。 随堂小练3 用绳子测量井深。如果把绳子三折垂到水面，余3米；如果把绳子5折垂到水面，余1米。求绳长与井深。 【方法总结】 折绳测井型解题步骤： 1. 转化：盈的长度×折数 = 总共多出来的长度 2. 比较：两种方案的总差额（两盈用减法） 3. 算折数差：两次折数的差 4. 求井高：总差额 ÷ 折数差 = 井高 5. 求绳长：用其中一种方案计算 6. 验证：用另一种方案验证 关键：盈的长度要乘以折数，不能直接用！ 公式：井高 = (大盈-小盈) ÷ (折数差) 三、拓展例题 标注说明：★★★拔高 / ★★★★挑战 【拓展1 配比分堆变型】★★★拔高 【题目】 有若干个苹果和若干个梨。如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。问：苹果和梨各有多少个？ 【解题思路】 这道题是配比问题，两种方案的配比不一样。 关键：把两种方案都统一成"1个苹果配几个梨"，再比较梨的差额。 【完整解析】 第一步：统一配比，都变成"1个苹果配几个梨" 第一种方案：1个苹果配2个梨，梨分完时还剩2个苹果。 意思是：如果苹果分完，梨还少：2×2 = 4（个）（亏4个梨） 第二种方案：3个苹果配5个梨，苹果分完时还剩1个梨。 先算1个苹果配几个梨：5 ÷ 3 = 5/3（个） 意思是：1个苹果配5/3个梨，苹果分完时还多1个梨（盈1个梨） 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：亏4个梨 第二种方案：盈1个梨 两种方案相差：4 + 1 = 5（个梨） 注意：一亏一盈，差额是"亏+盈"！ 第三步：找两次分配数的差 每个苹果配的梨数差：2 - 5/3 = 1/3（个） 第四步：求苹果数量 每个苹果相差1/3个梨，一共相差5个梨，说明有多少个苹果呢？ 苹果数量：5 ÷ (1/3) = 15（个） 第五步：求梨的数量 用第一种方案算：(15-2)×2 = 26（个） 第六步：验证 用第二种方案验证：15个苹果，每3个一堆，有5堆，每堆5个梨，需要25个梨，还剩1个，共26个 ✓ 正确！ 答：苹果有15个，梨有26个。 随堂小练4 老师给幼儿园小朋友分苹果。每两人三个苹果，多两个苹果；每三人五个苹果，少四个苹果。问：有多少个小朋友？多少个苹果？ 【方法总结】 配比分堆型解题步骤： 1. 统一配比：都变成"1个A配几个B" 2. 转化：把"剩几个A"转换成"缺几个B"，或反之 3. 比较：两种方案B的总差额 4. 算分配差：每个A配的B的数量差 5. 求A的数量：总差额 ÷ 分配差 = A的数量 6. 求B的数量：用其中一种方案计算 7. 验证：用另一种方案验证 关键：先统一配比，再转换成标准盈亏问题！ 【拓展2 行程变型】★★★拔高 【题目】 乐乐家去学校上学，每分钟走50米，走了2分钟后，发觉按这样的速度走下去，到学校就会迟到8分钟。于是乐乐开始加快速度，每分钟比原来多走10米，结果到达学校时离上课还有5分钟。问：乐乐家离学校有多远？ 【解题思路】 这道题是行程问题中的盈亏变型。 关键：从"改变速度的那一点"开始分析，把"迟到"和"提前"转换成路程的盈亏。 【完整解析】 第一步：分析从改变速度的那一点到学校的情况 乐乐走了2分钟后开始改变速度，我们只看后面这段路程。 第一种情况：按原速50米/分走，会迟到8分钟。 意思是：到上课时间时，他离学校还有：50×8 = 400（米）（亏400米） 第二种情况：加速后60米/分走，会早到5分钟。 意思是：到上课时间时，他还能多走：60×5 = 300（米）（盈300米） 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：亏400米 第二种方案：盈300米 两种方案相差：400 + 300 = 700（米） 注意：一亏一盈，差额是"亏+盈"！ 第三步：找两次分配数的差 速度差：10（米/分） 第四步：求时间 每分钟相差10米，一共相差700米，说明从改变速度到上课有多少分钟呢？ 时间：700 ÷ 10 = 70（分钟） 第五步：求总路程 方法一：用第一种方案算 总时间：2 + 70 + 8 = 80（分钟） 总路程：50×80 = 4000（米） 第六步：验证 方法二：用第二种方案验证 前2分钟走：50×2 = 100（米） 后面走了：70 - 5 = 65（分钟） 后面走了：60×65 = 3900（米） 一共：100 + 3900 = 4000（米）✓ 正确！ 答：乐乐家离学校有4000米。 随堂小练5 小明从家到学校去上学，如果每分钟走60米，那么将迟到5分钟；如果每分钟走80米，那么将提前3分钟。小明家距学校多远？ 【方法总结】 行程变型解题步骤： 1. 找基准点：从某个固定时间点开始分析 2. 转化："迟到" → 还差多少米（亏）；"提前" → 还能多走多少米（盈） 3. 比较：两种方案的总路程差 4. 算速度差：两次速度的差 5. 求时间：总路程差 ÷ 速度差 = 时间 6. 求总路程：用其中一种方案计算 7. 验证：用另一种方案验证 关键：先把"迟到/提前"转换成"盈/亏多少路程"，就变成标准盈亏问题了！ 【拓展3 工程变型】★★★★挑战 【题目】 王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？ 【解题思路】 这道题是工程问题中的盈亏变型，而且中途变速了。 关键：从"改进技术的那一点"开始分析，把"提前几天"转换成多做了多少个。 【完整解析】 第一步：分析从改进技术的那一点到计划完工的情况 王师傅工作4天后开始改进技术，我们只看后面这段时间。 第一种情况：按原速20个/天做，会提前1天完成。 意思是：到计划完工时间时，他还能多做：20×1 = 20（个）（盈20个） 第二种情况：改进技术后25个/天做，会提前3天完成。 意思是：到计划完工时间时，他还能多做：25×3 = 75（个）（盈75个） 第二步：比较两种方案，算总差额 第一种方案：盈20个（小盈） 第二种方案：盈75个（大盈） 两种方案相差：75 - 20 = 55（个） 注意：两盈型，差额是"大盈-小盈"！ 第三步：找两次分配数的差 每天做的数量差：5（个） 第四步：求时间 每天相差5个，一共相差55个，说明从改进技术到计划完工有多少天呢？ 时间：55 ÷ 5 = 11（天） 第五步：求计划总时间 计划总时间：4 + 11 = 15（天） 第六步：求零件总数 用第一种方案算：20×(15-1) = 280（个） 第七步：验证 用第二种方案验证： 前4天做：20×4 = 80（个） 后面做了：11 - 3 = 8（天） 后面做了：25×8 = 200（个） 一共：80 + 200 = 280（个）✓ 正确！ 答：这批零件有280个。 随堂小练6 筑路队计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑80米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下1160米未筑。问：这条路共有多长？ 【方法总结】 工程变型解题步骤： 1. 找基准点：从改变速度的那一点开始分析 2. 转化："提前几天" → 还能多做多少（盈） 3. 比较：两种方案的总工作量差 4. 算效率差：两次每天做的数量差 5. 求时间：总工作量差 ÷ 效率差 = 时间 6. 求总工作量：用其中一种方案计算 7. 验证：用另一种方案验证 关键：先把"提前几天"转换成"盈多少工作量"，就变成标准盈亏问题了！ 四、易错题专区 这些是同学们最容易出错的题目，一定要仔细看哦！ 【易错题1 增减船搞反盈亏？】★★提升 【题目】 学生去划船，如果增加一条船，每船坐6人；如果减少一条船，每船坐9人。小明说："增加一条船，多了一条船，所以是亏了6人；减少一条船，少了一条船，所以是盈了9人。"小明说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，增加一条船就是多了，就是盈；减少一条船就是少了，就是亏。" 错在哪里？ 搞反了！我们要假设船数固定不变，看人是多了还是少了。 "增加一条船，每船坐6人" → 如果船数不变，每船坐6人，人就多了6个（盈6人）。 "减少一条船，每船坐9人" → 如果船数不变，每船坐9人，人就少了9个（亏9人）。 所以是一盈一亏，不是一亏一盈！ 正确解法 盈：6人 亏：9人 总差额：6 + 9 = 15（人） 分配差：9 - 6 = 3（人） 船数：15 ÷ 3 = 5（条） 人数：6×(5+1) = 36（人） 验证：9×(5-1) = 36人 ✓ 正确答案：不对，增加一条船是盈6人，减少一条船是亏9人，一盈一亏。 避坑提醒：增减船/车问题，要假设数量固定，看人是多了还是少了！ 增加一条 → 人多了（盈） 减少一条 → 人少了（亏） 【易错题2 折绳测井直接用盈的长度？】★★提升 【题目】 绳子对折测井深，余8米；三折测井深，余2米。小红说："两种方案相差8-2=6米，折数差3-2=1，所以井深6米。"小红说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，8减2等于6，除以1等于6米。" 错在哪里？ 盈的长度要乘以折数，不能直接用！ 对折余8米，不是总共多8米，而是每折都多8米，两折一共多16米。 三折余2米，每折都多2米，三折一共多6米。 所以总差额是16-6=10米，不是8-2=6米！ 正确解法 对折总共多：8×2 = 16（米） 三折总共多：2×3 = 6（米） 总差额：16 - 6 = 10（米） 折数差：3 - 2 = 1（折） 井深：10 ÷ 1 = 10（米） 绳长：2×10 + 16 = 36（米） 验证：3×10 + 6 = 36米 ✓ 正确答案：不对，盈的长度要乘以折数，井深10米。 避坑提醒：折绳测井问题，盈的长度要乘以折数！ 对折余8米 → 总共多16米 三折余2米 → 总共多6米 【易错题3 行程问题迟到是盈？】★★提升 【题目】 小明上学，每分钟走60米，迟到5分钟；每分钟走80米，提前3分钟。小刚说："迟到5分钟，就是多走了5分钟，所以是盈了；提前3分钟，就是少走了3分钟，所以是亏了。"小刚说得对吗？为什么？ 常见错误 有同学说："对呀，迟到就是多了，提前就是少了。" 错在哪里？ 我们要看路程，不是看时间！ 迟到5分钟 → 到上课时间时，还没走到，还差一段路程（亏了路程）。 提前3分钟 → 到上课时间时，已经走过了，多走了一段路程（盈了路程）。 所以是一亏一盈，不是一盈一亏！ 正确解法 亏的路程：60×5 = 300（米） 盈的路程：80×3 = 240（米） 总差额：300 + 240 = 540（米） 速度差：80 - 60 = 20（米/分） 时间：540 ÷ 20 = 27（分钟） 路程：60×(27+5) = 1920（米） 验证：80×(27-3) = 1920米 ✓ 正确答案：不对，迟到是亏了路程，提前是盈了路程。 【避坑提醒】行程盈亏问题，要看路程的盈亏，不是时间的盈亏！ 迟到 → 还差路程（亏） 提前 → 多走路程（盈） 五、趣味挑战题 【挑战题 古代的"盈不足术"】★★★★挑战 同学们，你们知道吗？盈亏问题可是中国古代数学的骄傲！ 早在2000多年前的《九章算术》里，就有专门的"盈不足"一章，记载了非常巧妙的"盈不足术"。 古代的数学家们不仅会解基本的盈亏问题，还会用盈亏问题的方法来解更复杂的数学题！ 🌟 挑战一： 古代有这样一道题："今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。问人数、鸡价各几何？" 意思就是：几个人一起买鸡，每人出9元，多11元；每人出6元，少16元。问：有多少人？鸡值多少钱？ 用我们学过的比较法算一算吧！ 🌟 挑战二： 古代的"盈不足术"还能解更难的题呢！比如： "今有垣高九尺。瓜生其上，蔓日长七寸。瓠生其下，蔓日长一尺。问几何日相逢？" 意思是：墙高9尺，瓜从上面往下长，每天长7寸；葫芦从下面往上长，每天长1尺。问：多少天后它们相遇？ 这道题看起来不像盈亏问题，但古代数学家就是用盈亏问题的方法来解的！你能想到怎么转化吗？和爸爸妈妈一起研究研究！ 🌟 挑战三： 生活中还有哪些问题可以用盈亏问题的转化思想来解决？比如分水果、租房子、买文具、安排座位…… 和你的同学比一比，看谁找的例子多，看谁转化得最巧妙！ 🤔 思考题： 如果有三种分配方案，比如"每人分3个多10个，每人分4个多2个，每人分5个少5个"，你能用两种方法分别算，看看结果一样吗？ 提示：用前两个条件算一次，用后两个条件算一次，看看答案是不是一样的？ 参考答案： 挑战一：9个人，鸡值70元（比较法：(11+16)÷(9-6)=9人，9×9-11=70元） 挑战二：答案是5天多（每天一共长1.7尺，9÷1.7≈5.29天？不对，等一下，1尺=10寸，7寸+10寸=17寸=1.7尺，9尺=90寸，90÷17≈5.29天，大约5天多。用盈不足术的话，可以假设5天，还差多少；假设6天，多了多少，然后用盈亏方法算。你试试！） 挑战三：答案不唯一，合理就行！ 思考题：用前两个条件算：(10-2)÷(4-3)=8人，3×8+10=34个；用后两个条件算：(2+5)÷(5-4)=7人，4×7+2=30个。 哎，答案不一样！这说明这三个条件不能同时成立，题目数据有矛盾。你能发现吗？这就是检验答案的重要性！ 六、一题多解精选 【经典题 增减船问题】★★提升 【题目】 学生去划船，如果增加一条船，每船坐6人；如果减少一条船，每船坐9人。问：有多少学生？ 解法一：比较法（推荐） 思路：假设船数固定，把两种方案转换成盈亏问题。 步骤： 增加一条船，每船6人 → 船数不变，每船6人，多6人（盈6人） 减少一条船，每船9人 → 船数不变，每船9人，少9人（亏9人） 总差额：6 + 9 = 15（人） 分配差：9 - 6 = 3（人） 船数：15 ÷ 3 = 5（条） 人数：6×(5+1) = 36（人） 答案：36名学生。 优点：最常用，最通用，适合所有盈亏变型问题。 解法二：方程法 思路：设未知数，列方程求解。 步骤： 设有x条船。 学生总数不变，列方程： 6(x+1) = 9(x-1) 解方程： 6x + 6 = 9x - 9 6 + 9 = 9x - 6x 15 = 3x x = 5 有5条船，学生有6×(5+1)=36人。 答案：36名学生。 优点：逻辑严谨，不容易错。 缺点：需要学过方程，小学低年级不适用。 解法三：画图列举法 思路：列举可能的船数，看哪种情况两种方案人数一样。 步骤： 船数2条：方案1有3×6=18人，方案2有1×9=9人，不一样 船数3条：方案1有4×6=24人，方案2有2×9=18人，不一样 船数4条：方案1有5×6=30人，方案2有3×9=27人，不一样 船数5条：方案1有6×6=36人，方案2有4×9=36人，一样！ 答案：36名学生。 优点：直观，好理解，适合低年级。 缺点：数字大了就很麻烦，效率低。 【方法对比】 比较法：最常用，最通用，推荐使用 方程法：严谨，不容易错，但需要学过方程 列举法：直观，好理解，但数字大了麻烦 小学阶段推荐用比较法，既好理解又通用！ 七、基本练习 （共5题，建议用时：30分钟） 第1题 ★基础 同学们去春游，如果增加一辆车，那么每辆车正好坐8人；如果减少一辆车，那么每辆车就要坐12人。问：有多少个同学？ 第2题 ★★提升 老师给小朋友分苹果，如果每人分3个，那么多8个；如果其中2人各分4个，其余每人分5个，那么正好分完。问：有多少个小朋友？多少个苹果？ 第3题 ★★提升 用绳子测量井深。如果把绳子对折（2折）垂到水面，余5米；如果把绳子三折（3折）垂到水面，余1米。求绳长与井深。 第4题 ★★提升 老师给小朋友分糖果。如果每2人分5颗，则多2颗；如果每3人分7颗，则多3颗。问有多少个小朋友？多少颗糖果？ 第5题 ★★★拔高 小明从家到学校去上学，如果每分钟走60米，那么将迟到5分钟；如果每分钟走80米，那么将提前3分钟。小明家距学校多远？ 八、拓展练习 （共5题，建议用时：35分钟） 第1题 ★★★拔高 筑路队计划每天筑路720米，实际每天比原计划多筑80米，这样在完成规定任务的前三天，就只剩下1160米未筑。问：这条路共有多长？ 第2题 ★★★拔高 小红家买来一篮桔子，分给全家人。如果其中二人每人分4只，其余每人分2只，那么多出4只；如果一人分6只，其余每人分4只，那么缺12只。问：小红家买来多少只桔子？小红家共有几人？ 第3题 ★★★拔高 食堂采购员小李去买肉，如果买牛肉18千克，那么差4元；如果买猪肉20千克，那么多2元。已知牛肉、猪肉每千克差价0.8元，求牛肉、猪肉每千克各多少钱。 第4题 ★★★★挑战 老师给小朋友分苹果和桔子，苹果数是桔子数的2倍。桔子每人分3个，多4个；苹果每人分7个，少5个。问：有多少个小朋友？多少个苹果和桔子？ 第5题 ★★★★挑战 王师傅加工一批零件，每天加工20个，可以提前1天完成。工作4天后，由于改进了技术，每天可多加工5个，结果提前3天完成。问：这批零件有多少个？ 九、随堂小练答案 随堂小练1 答案 答案：48个同学 解析： 增加一辆车，每车8人 → 车数不变，每车8人，多8人（盈8人） 减少一辆车，每车12人 → 车数不变，每车12人，少12人（亏12人） 总差额：8 + 12 = 20（人） 分配差：12 - 8 = 4（人） 车数：20 ÷ 4 = 5（辆） 人数：8×(5+1) = 48（人） 验证：12×(5-1) = 48人 ✓ 答：有48个同学。 随堂小练2 答案 答案：5个小朋友，23个苹果 解析： 第一种方案：每人分3个，多8个（盈8个） 第二种方案：2人分4个，其余分5个，正好分完。 说明：如果每人都分5个，那2人每人少分1个，一共少分2个，也就是还缺2个（亏2个）。 总差额：8 + 2 = 10（个） 分配差：5 - 3 = 2（个） 人数：10 ÷ 2 = 5（人） 苹果：3×5 + 8 = 23（个） 验证：2人分4个，3人分5个，共2×4+3×5=8+15=23个 ✓ 答：有5个小朋友，23个苹果。 随堂小练3 答案 答案：井深4米，绳长21米 解析： 三折总盈余：3×3=9 米 五折总盈余：1×5=5 米 总差额：9-5=4 米 折数差：5-3=2 井深：4÷2=4（米） 绳长：3×4 + 9 =21（米） 验证：三折：3×4+9=21米；五折：5×4+5=21米 ✓ 答：井深4米，绳长21米。 随堂小练4 答案 答案：36个小朋友，56个苹果 解析： 统一成"1个小朋友分几个苹果"。 第一种方案：每两人3个，多2个 → 每人分个，多2个（盈2个） 第二种方案：每三人5个，少4个 → 每人分个，少4个（亏4个） 总差额：2 + 4 = 6（个） 分配差：（个） 人数： （人） 苹果：36÷2×3 + 2 = 54 + 2 = 56（个） 验证：36÷3×5 - 4 = 60 - 4 = 56个 ✓ 答：有36个小朋友，56个苹果。 随堂小练5 答案 答案：1920米 解析： 每分钟60米，迟到5分钟 → 到上课时间还差60×5=300米（亏300米） 每分钟80米，提前3分钟 → 到上课时间多走80×3=240米（盈240米） 总差额：300 + 240 = 540（米） 速度差：80 - 60 = 20（米/分） 时间：540 ÷ 20 = 27（分钟） 路程：60×(27+5) = 1920（米） 验证：80×(27-3) = 1920米 ✓ 答：小明家距学校1920米。 随堂小练6 答案 答案：11160米 解析： 计划每天720米，实际每天800米。 在完成任务的前三天，还剩1160米没筑。 意思是：当按实际速度工作，还差3天就到计划时间时，还剩1160米没完成。 也就是说：如果按实际速度继续做3天，可以完成 800×3=2400 米，而剩下的任务只有1160米，所以会比计划完成量多出 2400-1160=1240 米（盈1240米）。 计划速度正好完成（不盈不亏）。 总差额：1240米 速度差：80米/天 计划时间：1240 ÷ 80 = 15.5（天）（注：计划天数为小数是正常的，因为题目中的“前三天”是一个时间点，并非要求计划天数必须为整数。） 路长：720×15.5 = 11160（米） 验证：实际做了15.5-3=12.5天，做了800×12.5=10000米，还剩11160-10000=1160米 ✓ 答：这条路共有11160米。 十、基本练习完整分步答案 第1题 答案：48个同学 解析： 增加一辆车，每车8人 → 车数不变，每车8人，多8人（盈8人） 减少一辆车，每车12人 → 车数不变，每车12人，少12人（亏12人） 总差额：8 + 12 = 20（人） 分配差：12 - 8 = 4（人） 车数：20 ÷ 4 = 5（辆） 人数：8×(5+1) = 48（人） 验证：12×(5-1) = 48人 ✓ 答：有48个同学。 第2题 答案：5个小朋友，23个苹果 解析： 第二种方案：2人分4个，其余分5个，正好分完。 如果每人都分5个，那2人每人少分1个，一共少分2个，也就是还缺2个（亏2个）。 第一种方案：每人分3个，多8个（盈8个） 总差额：8 + 2 = 10（个） 分配差：5 - 3 = 2（个） 人数：10 ÷ 2 = 5（人） 苹果：3×5 + 8 = 23（个） 验证：2人分4个，3人分5个，共2×4+3×5=8+15=23个 ✓ 答：有5个小朋友，23个苹果。 第3题 答案：井深7米，绳长24米 解析： 对折余5米 → 总共多出：5×2 = 10（米） 三折余1米 → 总共多出：1×3 = 3（米） 两种方案都是“盈”，总差额：10 − 3 = 7（米） 折数差：3 − 2 = 1（折） 井深 = 7 ÷ 1 = 7（米） 绳长 = 2×(7+5) = 24（米） 验证：3×(7+1) = 24（米） ✓ 答：井深7米，绳长24米。 第4题 答案：6个小朋友，17颗糖果 解析： 统一成"1个小朋友分几个糖果"。 第一种方案：每两人5颗 → 每人分2.5颗，（盈2颗） 第二种方案：每三人7颗→ 每人分个，盈3颗（两盈型） 总差额：3-2 = 1（颗） 分配差：（颗） 人数：1 ÷ = 6（人） 糖果数 = 2.5×6+3 = 15+2 = 17（颗） 验证：6人，每2人一组共3组，每组5颗共15颗，多2颗，合17颗；每3人一组共2组，每组7颗共14颗，多3颗，也合17颗 ✓ 答：有6个小朋友，17颗糖果。 第5题 答案：1920米 解析： 每分钟60米，迟到5分钟 → 到上课时间还差60×5=300米（亏300米） 每分钟80米，提前3分钟 → 到上课时间多走80×3=240米（盈240米） 总差额：300 + 240 = 540（米） 速度差：80 - 60 = 20（米/分） 时间：540 ÷ 20 = 27（分钟） 路程：60×(27+5) = 1920（米） 验证：80×(27-3) = 1920米 ✓ 答：小明家距学校1920米。 十一、拓展练习完整分步答案 第1题 答案：11160米 解析： 计划每天720米，实际每天800米。 "在完成规定任务的前三天，就只剩下1160米未筑" 意思是：当按实际速度工作，还差3天就到计划时间时，还剩1160米没完成。 如果按实际速度继续做3天，会多做：800×3 - 1160 = 1240（米）（盈1240米） 计划速度正好完成（不盈不亏）。 总差额：1240米 速度差：80米/天 计划时间：1240 ÷ 80 = 15.5（天） 路长：720×15.5 = 11160（米） 验证：实际做了15.5-3=12.5天，做了800×12.5=10000米，还剩11160-10000=1160米 ✓ 答：这条路共有11160米。 第2题 答案：9人，26只桔子 解析： 【盈亏法思路提示】 这道题也可以用我们本讲学的比较法来解： 第一种方案：2人各分4只，其余分2只，多4只。 → 如果每人都只分2只，那2人多分的部分（每人多2只，共多4只）加上最后多出的4只，一共多出 8只（盈8只）。 第二种方案：1人分6只，其余分4只，缺12只。 → 如果每人都分4只，那1人少分了2只，总需求减少2只，缺口变为 10只（亏10只）。（← 这一步需要想清楚！） （下方方程法是补充验证方法，盈亏法/比较法才是本讲的核心方法。以下为方程法完整计算，供学有余力的同学参考。） 设有 x 人，桔子 y 只。 第一种方案：y = 2×4 + (x-2)×2 + 4 = 2x + 8 ……① 第二种方案：y = 6 + (x-1)×4 - 12 = 4x - 10 ……② 联立①②：2x + 8 = 4x - 10，解得 x = 9（人）。 代入①：y = 2×9 + 8 = 26（只）。 验证：2人分4只，7人分2只，共2×4+7×2=8+14=22只，多4只 ✓ 答：小红家共有9人，买来26只桔子。 第3题 答案：牛肉5元/千克，猪肉4.2元/千克 解析： 转化：把“买牛肉”的条件变成“买猪肉”的条件，统一比较。 牛肉每千克比猪肉贵0.8元。 买18千克牛肉差4元，意思是：小李带的钱比18千克牛肉的总价少4元。 如果买18千克猪肉（而不是牛肉），因为每千克便宜0.8元，18千克共便宜： 18×0.8=14.4（元） 原来买牛肉差4元，现在改买猪肉后，不但不差，还会多出： 14.4−4=10.4（元）（盈10.4元） 这样就变成了： 买18千克猪肉，多10.4元（盈10.4元） 买20千克猪肉多2元（盈2元） 这是两盈型。 总差额：10.4 - 2 = 8.4（元） 数量差：20 - 18 = 2（千克） 猪肉单价：8.4 ÷ 2 = 4.2（元/千克） 牛肉单价：4.2 + 0.8 = 5（元/千克） 验证：18千克牛肉需要18×5=90元，差4元，说明带了86元；20千克猪肉需要20×4.2=84元，多2元，说明带了86元 ✓ 答：牛肉每千克5元，猪肉每千克4.2元。 第4题 答案：13个小朋友，86个苹果，43个桔子 解析： 苹果是桔子的2倍，我们把桔子的条件转换成苹果的条件。 桔子每人分3个，多4个 → 苹果每人分6个，多8个（因为苹果是桔子的2倍） 现在苹果有两个条件： 每人分6个，多8个（盈8个） 每人分7个，少5个（亏5个） 总差额：8 + 5 = 13（个） 分配差：7 - 6 = 1（个） 人数：13 ÷ 1 = 13（人） 苹果：7×13 - 5 = 86（个） 桔子：86 ÷ 2 = 43（个） 验证：13人，每人分3个桔子，需要39个，多4个，共43个 ✓ 答：有13个小朋友，有86个苹果，43个桔子。 第5题 答案：280个 解析： 每天加工20个，提前1天完成 → 到计划时间，多做20个（盈20个） 工作4天后改进技术，每天25个，提前3天完成。 从改进技术到计划时间，如果按25个/天做，会多做：25×3 = 75（个）（盈75个） 两种方案都是盈，两盈型。 总差额：75 - 20 = 55（个） 效率差：5（个/天） 从改进技术到计划完工的时间：55 ÷ 5 = 11（天） 计划总时间：4 + 11 = 15（天） 零件总数：20×(15-1) = 280（个） 验证：前4天做80个，后面做了11-3=8天，做了25×8=200个，一共280个 ✓ 答：这批零件有280个。 十二、本讲总结（思维导图速记） 📊 （一）知识地图 📋 （二）核心转化方法速查表 变型类型 转化方法 关键要点 增减船/车 增加→盈，减少→亏 假设数量固定，看人是多了还是少了 分配不均 统一成每人一样，算盈亏 假设每人都按多的分，看多算了多少 折绳测井 盈长×折数=总盈余 每折都盈余，所以要乘以折数 配比分堆 统一成"1个配几个" 把两种配比统一，再比较差额 行程问题 迟到→亏路程，提前→盈路程 看路程的盈亏，不是时间的盈亏 工程问题 提前→盈工作量，延后→亏工作量 看工作量的盈亏，不是时间的盈亏 ⚠️ （三）避坑清单 1. 增减船搞反盈亏？错！ 增加一条船 → 人多了（盈），不是亏！ 减少一条船 → 人少了（亏），不是盈！ 2. 折绳测井直接用盈的长度？错！ 盈的长度要乘以折数，不能直接用！ 对折余8米 → 总共多16米，不是8米！ 3. 行程问题迟到是盈？错！ 迟到 → 还差路程（亏），不是盈！ 提前 → 多走路程（盈），不是亏！ 4. 分配不均不会转换？ 假设每人都按多的分，看多算了多少！ 或者都按少的分，看少算了多少！ 5. 配比问题不会统一？ 都统一成"1个A配几个B"，再比较B的差额！ 🎯 （四）解题小口诀 复杂盈亏口诀歌 复杂盈亏不用怕， 转化思想是专家。 增减船车看人数， 分配不均统一化。 折绳测井乘折数， 配比问题统一化。 行程工程看路程， 迟到是亏提前盈。 先转化来再比较， 变成标准再计算。 算完别忘来验证， 保证正确笑哈哈！ 转化思想口诀 遇到难题不要慌， 转化思想来帮忙。 复杂变成简单题， 陌生变成熟悉样。 一步一步来转化， 变成标准再开方。 数学思想真奇妙， 化繁为简本领强！ —— 本讲结束，💪加油！你已经掌握了转化思想这把神奇的数学钥匙 —— 学科网（北京）股份有限公司 $